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1、2023屆一輪復(fù)習(xí)時作業(yè)54 拋物線 一、選擇題 1. 若拋物線 y2=2pxp>0 上的點 Ax0,2 到其焦點的距離是 A 到 y 軸距離的 3 倍，則 p 等于 ?? A. 12 B. 1 C. 32 D. 2 2. 已知拋物線 x2=2y 的焦點為 F，其上有兩點 Ax1,y1，Bx2,y2 滿足 ∣AF∣?∣BF∣=2，則 y1+x12?y2?x22 的值為 ?? A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 已知拋物線 C:y2=2pxp>0 的焦點為 F，準線為 l，且 l 過點 ?2,3，M 在拋物線 C 上，若點 N1,2，則 ∣MN

2、∣+∣MF∣ 的最小值為 ?? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 以拋物線 y2=8x 上的任意一點為圓心作圓與直線 x=?2 相切，這些圓必過一定點，則這一定點的坐標是 ?? A. 0,2 B. 2,0 C. 4,0 D. 0,4 二、填空題 5. 若拋物線 y2=4x 上的點 M 到焦點的距離為 10，則點 M 到 y 軸的距離是 ?． 6. 拋物線 y=14x2 的焦點和準線的距離是 ?． 7. 若拋物線 y2=2pxp>0 的準線經(jīng)過雙曲線 x2?y2=1 的一個焦

3、點，則 p= ?． 8. 若拋物線 y2=2x 的焦點是 F，點 P 是拋物線上的動點，又有點 A3,2，則 ∣PA∣+∣PF∣ 取最小值時點 P 的坐標為 ?． 9. 動圓過點 1,0 且與直線 x=?1 相切，則動圓的圓心的軌跡方程為 ?． 10. 已知拋物線 C:y2=2pxp>0 的焦點 F 到準線的距離與橢圓 x29+y24=1 的長軸長相等，則拋物線的標準方程為 ?． 11. 若 F 是拋物線 y2=4x 的焦點，點 Pii=1,

4、2,3,?,100 在拋物線上，且 P1F+P2F+?+P100F=0，則 P1F+P2F+?+P100F= ?． 12. 拋物線的頂點在原點，焦點在 x 軸上，拋物線上的點 P?2,a 到焦點的距離為 3，則 a= ?． 13. 在直角坐標系 xOy 中，直線 l 過拋物線 y2=4x 的焦點 F，且與該拋物線相交于 A，B 兩點，其中點 A 在 x 軸上方．若直線 l 的傾斜角為 60°，則 △OAF 的面積為 ?． 14. 過拋物線 y2=4x 的焦點 F 作傾斜角為 4

5、5° 的直線交拋物線于 A，B 兩點，則弦長 ∣AB∣ 為 ?． 三、解答題 15. 已知拋物線的頂點在原點，它的準線過雙曲線 x2a2?y2b2=1 的一個焦點，拋物線與雙曲線的交點為 P32,6，求拋物線方程和雙曲線方程． 16. 已知過拋物線 y2=2pxp>0 的焦點，斜率為 22 的直線交拋物線于 Ax1,y1，Bx2,y2x10 的焦點

6、為 F，拋物線 C 與直線 l1:y=?x 的一個交點的橫坐標為 8． （1）求拋物線 C 的方程； （2）不過原點的直線 l2 與 l1 垂直，且與拋物線交于不同的兩點 A，B，若線段 AB 的中點為 P，且 ∣OP∣=∣PB∣，求 △FAB 的面積． 答案 1. D 【解析】由題意得 3x0=x0+p2， 即 x0=p4， 即 Ap4,2， 代入拋物線方程，得 p22=2， 因為 p>0， 所以 p=2．故選D． 2. B 【解析】由拋物線的定義可知 ∣AF∣?∣BF∣=y1?y2=12x12?x22=2，則 x12?x22=4， 所以 y1+x12?

7、y2?x22=y1?y2+x12?x22=2+4=6． 3. B 【解析】由題可得，l:x=?2． 由拋物線的定義可知，∣MF∣=xM+2， 所以 ∣MN∣+∣MF∣=∣MN∣+xM+2≥1+2=3． 4. B 【解析】由題意得拋物線 y2=8x 的準線方程為 x=?2， 因為動圓的圓心在拋物線 y2=8x 上，且與拋物線的準線相切， 所以動圓的圓心必過拋物線的焦點，即過點 2,0． 5. 9 【解析】由 y2=4x 知其焦點為 F1,0， 因為 ∣MF∣=10， 所以 xM=9， 所以點 M 到 y 軸的距離為 9． 6. 2 7. 22 【

8、解析】拋物線 y2=2pxp>0 的準線方程是 x=?p2，雙曲線 x2?y2=1 的一個焦點 F1?2,0，因為拋物線 y2=2pxp>0 的準線經(jīng)過雙曲線 x2?y2=1 的一個焦點，所以 ?p2=?2，解得 p=22． 8. 2,2 【解析】將 x=3 代入拋物線方程 y2=2x，得 y=±6． 因為 6>2， 所以 A 在拋物線內(nèi)部，如圖． 設(shè)拋物線上點 P 到準線 l:x=?12 的距離為 d， 由定義知 ∣PA∣+∣PF∣=∣PA∣+d， 當(dāng) PA⊥l 時，∣PA∣+d 最小，最小值為 72，此時 P 點縱坐標為 2， 代入 y2=2x，得 x=2， 所以點

9、 P 的坐標為 2,2． 9. y2=4x 【解析】設(shè)動圓的圓心坐標為 Px,y，則圓心到點 1,0 的距離到直線 x=?1 的距離相等，那么點 P 的軌跡是以 1,0 為焦點，以直線 x=?1 為準線的拋物線方程為 y2=4x． 10. y2=12x 11. 200 12. ±22 【解析】根據(jù)題意設(shè)拋物線方程為 y2=?2pxp>0， 因為拋物線上的點 P?2,0 到焦點的距離為 3， 所以 2+p2=3，得 p=2， 所以 a2=?4×?2，得 a=±22． 13. 3 【解析】由題意得 kAB=tan60°=3，焦點 F 的坐標為 1,0， 所以直線

10、AB 的方程為 y?0=3x?1，即 y=3x?1， 由 y=3x?1 與拋物線方程 y2=4x 聯(lián)立解得 x=13 或 x=3，則由題意知 xA=3． 則由拋物線的定義可知 ∣AF∣=3+1=4． 又 ∣OF∣=1，∠AFO=120°， 所以 S△OAF=12∣AF∣?∣OF∣?sin120°=12×4×1×32=3. 14. 8 【解析】拋物線的焦點是 F1,0， 所以直線 AB 的方程是 y=x?1， 設(shè) Ax1,y1，Bx2,y2， 聯(lián)立 y2=4x,y=x?1 消去 y 得 x2?6x+1=0， 所以 x1+x2=6， 所以 ∣AB∣=x1+x2+p=6+

11、2=8． 15. 依題意設(shè)拋物線方程為 y2=2pxp>0， 因為點 P32,6 在拋物線上， 所以 6=2p×32，解得 p=2， 所以所求拋物線方程為 y2=4x， 故拋物線的準線方程為 x=?1． 因為雙曲線的左焦點在拋物線的準線上， 所以 c=1，故 a2+b2=1， 又點 P326 在雙曲線上， 所以 94a2?6b2=1， 由 a2+b2=1,94a2?6b2=1, 解得 a2=14，b2=34， 所以所求雙曲線方程為 4x2?43y2=1． 16. （1） 設(shè)直線 AB 的方程是 y=22x?p2， 與拋物線方程聯(lián)立，得 y=22x?p2,

12、y2=2px, 從而 4x2?5px+p2=0， 所以 x1+x2=5p4． 由拋物線的定義，得 ∣AB∣=x1+x2+p=9， 所以 p=4， 所以拋物線的方程是 y2=8x． ??????（2） 因為 p=4， 所以 4x2?5px+p2=0，可簡化為 x2?5x+4=0， 解得 x1=1，x2=4，y1=22，y2=42， 所以 A1,?22，B4,42． 設(shè) Cx3,y3，則 OC=x3,y3=1?22+λ4,42=4λ+1,42λ?22． 又 y32=8x3， 所以 222λ?12=84λ+1， 即 2λ?12=4λ+1， 解得 λ=0 或 λ=2． 17

13、. （1） 由題意知直線與拋物線的交點坐標為 8,?8， 所以 ?82=2p×8， 所以 2p=8， 所以拋物線方程為 y2=8x． ??????（2） 直線 l2 與 l1 垂直，故可設(shè)直線 l2:x=y+m，Ax1,y1，Bx2,y2，且直線 l2 與 x 軸的交點為 M． 由 x2=8x,x=y+m 得 y2?8y?8m=0，Δ=64+32m>0， 所以 m=?2． y1+y2=8，y1y2=?8m， 所以 x1x2=y12y2264=m2． 由題意可知 OA⊥OB，即 x1x2+y1y2=m2?8m=0， 所以 m=8 或 m=0（舍）， 所以直線 l2:x=y+8，M8,0． 故 S△FAB=S△FMB+S△FMA=12?∣FM∣?y1?y2=3y1+y22?4y1y2=245. 第6頁（共6 頁）