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1、3.1 平方根(教案) 浙教版 七年級(jí)上冊(cè) 第三章 一、教學(xué)目標(biāo) 1.經(jīng)歷平方根概念的抽象過(guò)程； 2.了解平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示； 3.理解平方根的性質(zhì)； 4.了解平方與開(kāi)平方互為逆運(yùn)算，會(huì)用平方運(yùn)算求平方根。 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：平方根的概念和求法。 難點(diǎn)：平方根的概念比較抽象復(fù)雜，并且涉及到符號(hào)表示，是本節(jié)課的難點(diǎn)。 三、 教學(xué)過(guò)程 1. 算一算 （1）上述計(jì)算涉及到哪些運(yùn)算？它們中互為逆運(yùn)算的是哪些？（2）乘方有沒(méi)有逆運(yùn)算？ 【設(shè)計(jì)意圖】以一道計(jì)算結(jié)果為711的有理數(shù)加、減、乘、除、乘方混合運(yùn)算作為課前

2、檢測(cè)有三重考量，一方面可以鞏固第二章所學(xué)知識(shí)，另一方面可以引出本節(jié)課的課題同時(shí)還可以極大程度上調(diào)動(dòng)本節(jié)課的學(xué)習(xí)積極性（本節(jié)課執(zhí)教班級(jí)為711班）。 2. 填一填 一個(gè)數(shù)的平方為： 4 16 1.44 0 這個(gè)數(shù)是： x2=a(a≥0) x 3.抽象概念 一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于 a ，這個(gè)數(shù)叫做a的平方根，也叫做a 的二次方根。 即：若 x2 = a,則 x 叫做 a 的平方根。 如：∵ （ ± 2 ）2 =4 , 再如：∵ 02 = 0, ∴ 4的平方根是± 2 . ∴0的平方

3、根是0. 【設(shè)計(jì)意圖】以學(xué)生口答表格中的問(wèn)題為出發(fā)點(diǎn)，循序漸進(jìn)用字母表示數(shù)字，由此抽象出平方根的概念，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，水到渠成。 4.例1.求下列各數(shù)的平方根： （1）49 （2） （3）0.36 （4） 求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫做開(kāi)平方。 問(wèn)：根據(jù)例題的解答過(guò)程，請(qǐng)用兩個(gè)字準(zhǔn)確概括開(kāi)平方運(yùn)算與平方運(yùn)算之間的關(guān)系嗎？ 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)例1加深學(xué)生對(duì)平方根概念的認(rèn)知，在引導(dǎo)學(xué)生利用平方運(yùn)算求一個(gè)數(shù)的平方根的同時(shí)引出開(kāi)平方運(yùn)算的概念以及平方運(yùn)算和開(kāi)平方運(yùn)算的互逆關(guān)系。

4、 5. 說(shuō)一說(shuō) 說(shuō)一說(shuō)下面各數(shù)的平方根分別是多少？ 4 ，0， 0.01，，-4，-16 問(wèn)：請(qǐng)你根據(jù)原數(shù)的正負(fù)性，結(jié)合結(jié)果的平方根個(gè)數(shù)等因素總結(jié)出一條你認(rèn)為成立規(guī)律。 6.性質(zhì)形成 一個(gè)正數(shù)有正負(fù)兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。 【設(shè)計(jì)意圖】在學(xué)生得到上面各數(shù)的平方根以后，設(shè)置具有引導(dǎo)作用的有效提問(wèn)助推學(xué)生一步步得到平方根的性質(zhì)，順理成章。 7.練一練 判斷下列說(shuō)法是否正確： （1）沒(méi)有平方根; （ ） （2）7的平方根是49； （ ） （3） （－2）2的平方根是±2； （ ） （4）

5、若x2 = 16 ，則x= 4； （ ） （5）1 是 1的平方根;（ ） （6）1 的平方根是 1； （ ） 【設(shè)計(jì)意圖】鞏固新知。重點(diǎn)和學(xué)生一起辨析（5）和（6），感受隱藏在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的文字趣味性。 8.性質(zhì)應(yīng)用 我校為了迎接元旦文藝匯演，要求每一名學(xué)生上交一份自己滿(mǎn)意的美術(shù)作品。711班的小王同學(xué)想裁剪出一塊面積為4 dm2的正方形畫(huà)布用來(lái)完成作品。請(qǐng)問(wèn)他的作品的邊長(zhǎng)應(yīng)是多少？ 問(wèn)：小王的作品可以是3 dm2的正方形畫(huà)布嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由。3的平方根該如何表示？ 【設(shè)計(jì)意圖】根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，“找不到”一個(gè)數(shù)的平方剛

6、剛好等于3，在這樣的情形之下，峰回路轉(zhuǎn)，引出平方根的符號(hào)表示，恰到好處。 9.表示方法（自主學(xué)習(xí)） 一個(gè)正數(shù)a的正平方根用表示(讀做“根號(hào)a”)； a的負(fù)平方根用表示(讀做“負(fù)根號(hào)a”)，因此，一個(gè)正數(shù)a的平方根就用表示，(讀做正、負(fù)根號(hào)a”)，其中a叫做被開(kāi)方數(shù)。 如：9的平方根是± 3，即； 再如：25的負(fù)平方根是-3，即 正數(shù)的正的平方根稱(chēng)為算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根是0.一個(gè)數(shù)a(a≥0)的算術(shù)平方根記做。如：4的算術(shù)平方根是2 ，即. 對(duì)文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行說(shuō)明。 9-1.我能行（自學(xué)效果檢測(cè)、點(diǎn)撥） 問(wèn)題1. 數(shù)字0.000001的平方根是多少？

7、（請(qǐng)同時(shí)選擇文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言回答這一問(wèn)題。） 9-2.辨一辨（自學(xué)效果檢測(cè)、點(diǎn)撥） 問(wèn)題2.請(qǐng)結(jié)合自學(xué)部分辨一辨下列3個(gè)符號(hào)所表示的意義。 【設(shè)計(jì)意圖】此部分可以說(shuō)是本節(jié)課的重中之重，很多同學(xué)對(duì)這里提及到的三種符號(hào)往往會(huì)混淆，尤其是第一次接觸，更是云里霧里。此部分通過(guò)“先學(xué)后教”的教學(xué)模式，讓學(xué)生經(jīng)歷自主學(xué)習(xí)在先和教師斷后的模式，充分感受平方根的符號(hào)語(yǔ)言同文字語(yǔ)言的巧妙互化，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。 10. 例2：先說(shuō)出下列各式的意義，再計(jì)算。 11. 練習(xí)：填空 ⑴表示25的_________； ⑵表示16的_____

8、______; ⑶表示___________; (4) 9的算術(shù)平方根是_________; (5)（－4）2的平方根是_________ (6) 5的平方根可表示_________; (7) 3的算術(shù)平方根可表示_____; 小貼士：既可以表示結(jié)果又可以表示過(guò)程，當(dāng)能開(kāi)的出來(lái)時(shí)，它是過(guò)程，開(kāi)不出來(lái)時(shí)它是結(jié)果。 【設(shè)計(jì)意圖】知識(shí)鞏固與運(yùn)用，讓學(xué)生對(duì)根號(hào)有個(gè)全新的認(rèn)識(shí)，它既可以表示結(jié)果又可以表示過(guò)程。識(shí)得廬山真面目才能會(huì)當(dāng)凌絕小，一覽眾山小。 12. 議一議 （1） .的平方根是 _______ （2）平方根等于它本身的數(shù)是_____

9、__ （3）.算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)是________ （4）.算術(shù)平方根和平方根相等的數(shù)是_______ （5）.若x+2和3x-14是某一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)不相等的平方根，則這個(gè)正數(shù)是_______ 【設(shè)計(jì)意圖】此部分是本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)。關(guān)于（1），學(xué)生極易錯(cuò)誤地以為就是求16的平方根；關(guān)于（2），學(xué)生很有可能會(huì)認(rèn)為1的平方根是1，等于它本身，符合條件；至于（5），初學(xué)者往往想不到運(yùn)用平方根的性質(zhì)去求出x，當(dāng)然還會(huì)有一些同學(xué)自以為求出x就是最終的答案，殊不知題目要求我們求的是“這個(gè)正數(shù)”而非x。 四.課堂小結(jié) （1）.一種運(yùn)算+一個(gè)性質(zhì)：開(kāi)平方運(yùn)算+平方根的性質(zhì)； （2）.兩個(gè)概念：

10、平方根和算術(shù)平方根； （3）.三種特殊符號(hào)：，， 五.作業(yè)布置 (1).閱讀趣味鏈接--《根號(hào)的由來(lái)》，談?wù)勛约洪喿x后的感受； (2).完成作業(yè)本 3.1 平方根。 【設(shè)計(jì)意圖】本部分讓學(xué)生于課后自主閱讀趣味鏈接--《根號(hào)的由來(lái)》，并談一談閱讀后的感受，旨在讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)獨(dú)特的文化魅力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。 六.擴(kuò)一擴(kuò)(機(jī)動(dòng)題） （1） . （2） . （3）對(duì)于非負(fù)數(shù)，等于多少？ （4）對(duì)于任意數(shù)，等于多少？ （5）對(duì)于非負(fù)數(shù)，等于多少？ 【設(shè)計(jì)意圖】機(jī)動(dòng)題，根據(jù)課堂實(shí)際情況決定，如若課堂上不能完成，則作為回家作業(yè)。此部分內(nèi)容的設(shè)計(jì)意圖是讓

11、學(xué)生通過(guò)兩個(gè)具體的實(shí)例得出其一般情形，引導(dǎo)學(xué)生當(dāng)實(shí)在分不清結(jié)果是否有絕對(duì)值的時(shí)候，可以通過(guò)從“特殊到一般”的思路予以思考，并得出正確答案。當(dāng)然，最主要的還是幫助學(xué)生從理論的角度對(duì)三個(gè)公式的正確性加以分析以達(dá)到真正熟練掌握的目的。 七、趣味鏈接 根號(hào)的由來(lái) 現(xiàn)在，我們已經(jīng)會(huì)用根號(hào)來(lái)表示平方根、立方根等，并感覺(jué)到使用起來(lái)既簡(jiǎn)潔又方便，你知道根號(hào)是怎樣產(chǎn)生而又演變成現(xiàn)在這樣的嗎? 古時(shí)候，埃及人用記號(hào)“”表示平方根，印度人在開(kāi)平方時(shí)，在被開(kāi)數(shù)的前面寫(xiě)ka，阿拉伯人用表示.1480年以后，德國(guó)人用一個(gè)點(diǎn)“·”來(lái)表示平方根，兩個(gè)點(diǎn)“··”表示4次方根，三個(gè)點(diǎn)表示立方根，比如，·3、··3、···

12、3就分別表示3的平方根、4次方根、立方根，到十六世紀(jì)初，可能是書(shū)寫(xiě)快的緣故，小點(diǎn)上帶了一條細(xì)長(zhǎng)的尾巴，變成了“”.1525年，路多爾夫在他的代數(shù)著作中，首先采用了根號(hào)，比如他寫(xiě)是2，是3，并用表示.但這種寫(xiě)法未得到普遍的認(rèn)可與采納. 與此同時(shí)，有人采用“根”字的拉丁文radix中第一個(gè)字母的大寫(xiě)R來(lái)表示開(kāi)方運(yùn)算，并且后面跟著拉丁文“平方”一字的第一個(gè)字母q，或“立方”的第一個(gè)字母c來(lái)表示開(kāi)的是多少次方.例如，現(xiàn)在的，當(dāng)時(shí)有人寫(xiě)成R.q.4352．現(xiàn)在的，用數(shù)學(xué)家邦別利（1526～1572年）的符號(hào)可以寫(xiě)成：R.c.┖7p.R.q.14┙，其中“┖　┙”相當(dāng)于今天的括號(hào)，p相當(dāng)于今天的加號(hào)（那

13、時(shí)候，連加減號(hào)“＋”“－”還沒(méi)有通用）. 直到十七世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾（1596～1650年）第一個(gè)使用了現(xiàn)今用的根號(hào)“”.在一本書(shū)中，笛卡爾寫(xiě)道：“如果我想求a2＋b2的平方根，就寫(xiě)作，如果想求a3＋b3＋abb的立方根，則寫(xiě)作”. 這是出于什么考慮呢?有時(shí)候被開(kāi)方數(shù)的項(xiàng)數(shù)較多，為了避免混淆，笛卡爾就用一條橫線(xiàn)把幾項(xiàng)連起來(lái)，前面放上根號(hào)√（不過(guò)，它比路多爾夫的根號(hào)多了一個(gè)小鉤），就成為現(xiàn)在的根式形式. 現(xiàn)在的立方根符號(hào)出現(xiàn)得很晚，一直到十八世紀(jì)，才在一些書(shū)中看到符號(hào)的使用，比如25的立方根用表示.以后，諸如等等形式的根號(hào)漸漸使用開(kāi)來(lái). 由此可見(jiàn)，一種符號(hào)的普遍采用是多么艱難，它是人們?cè)谟凭玫臍q月中，經(jīng)過(guò)不斷改良、選擇和淘汰的結(jié)果，它是數(shù)學(xué)家們集體智能的結(jié)晶。