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______________________________________________________________________________________________________________ 第四章 不定積分 一、 基本要求： 1、 理解原函數(shù)與不定積分的概念； 2、 掌握不定積分的性質(zhì)和了解不定積分的幾何意義。 二、 授課內(nèi)容： §4-1 原函數(shù)與不定積分 一、 原函數(shù) 定義1 如果對任一，都有 或 則稱為在區(qū)間I 上的原函數(shù)。 例如：，即是的原函數(shù)。 ，即是的原函數(shù)。 原函數(shù)存在定理：如果函數(shù)在區(qū)間I 上連續(xù)，則在區(qū)間I 上一定有原函數(shù)，即存在區(qū)間I 上的可導函數(shù)，使得對任一，有。 注1：如果有一個原函數(shù)，則就有無窮多個原函數(shù)。 設(shè)是的原函數(shù)，則，即也為的原函數(shù)，其中為任意常數(shù)。 注2：如果與都為在區(qū)間I 上的原函數(shù)，則與之差為常數(shù)，即 （C為常數(shù)） 注3：如果為在區(qū)間I 上的一個原函數(shù)，則（為任意常數(shù)）可表達的任意一個原函數(shù)。 二、不定積分 定義2 在區(qū)間I上，的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)，成為在區(qū)間I上的不定積分，記為。 如果為的一個原函數(shù)，則 ，（為任意常數(shù)） 例1． 因為 ， 得 例2． 因為，時，；時，，得 ，因此有 例3． 設(shè)曲線過點，且其上任一點的斜率為該點橫坐標的兩倍，求曲線的方程。 解：設(shè)曲線方程為，其上任一點處切線的斜率為 從而 由，得，因此所求曲線方程為 三、不定積分的性質(zhì) 由原函數(shù)與不定積分的概念可得： 1) 2) 3) 4) 5) 四、不定積分的幾何意義 不定積分的幾何意義如圖5—1所示： 圖 5—1 設(shè)是的一個原函數(shù)，則在平面上表示一條曲線，稱它為的一條積分曲線．于是的不定積分表示一族積分曲線，它們是由的某一條積分曲線沿著軸方向作任意平行移動而產(chǎn)生的所有積分曲線組成的．顯然，族中的每一條積分曲線在具有同一橫坐標的點處有互相平行的切線，其斜率都等于． 在求原函數(shù)的具體問題中，往往先求出原函數(shù)的一般表達式，再從中確定一個滿足條件 (稱為初始條件)的原函數(shù)．從幾何上講，就是從積分曲線族中找出一條通過點的積分曲線． 例4 設(shè)曲線通過點，且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標的平方，求此曲線的方程． 解 設(shè)所求曲線的方程為，按題意有 ． 于是 ． 因為這曲線通過點，代入上式可得．故所求曲線的方程為 ． 小結(jié)：本節(jié)學習了原函數(shù)的概念，不定積分的概念，不定積分的性質(zhì)，學習了幾個簡單的積分公式，并通過幾個例子熟悉積分公式的使用。 三、 基本要求： 3、 鞏固不定積分的概念； 4、 掌握不定積分的基本公式和不定積分的性質(zhì)； 5、 熟練掌握直接積分法。 四、 授課內(nèi)容： §4-2 不定積分的概念與性質(zhì) 二、 不定積分的的基本公式及性質(zhì) 1、積分公式 1) (為常數(shù)) 2) () 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 2、不定積分的性質(zhì) 性質(zhì)1． 性質(zhì)2．，?。槌?shù)，） 二、直接積分法 例1． 求　 解： 　　　 例2． 求　 解： 　　　 例3． 求　 解： 　　　　　 例4．求　 解： 　　　 a) 求　 解： 　　　 b) 求　 解： 　　　 一、 基本要求： 1、 了解換元積分法的基本思想； 2、 熟練掌握第一類換元積分法和第二類換元積分法。 二、 授課內(nèi)容： §4-3 換元積分法 一、 第一類換元積分法（或稱湊微分法） 設(shè)為的原函數(shù)，即 或 如果 ，且可微，則 即為的原函數(shù)，或 因此有 定理1 設(shè)為的原函數(shù)，可微，則 (2-1) 公式(2-1)稱為第一類換元積分公式。 例1． 求 解： 例2． 求 解： 例3． 求 解：原式= 例4． 求 ， 解： 例5． 求 解： 例6． 求 解： 例7． 求 解： 例8． 求 解： 二、 第二類換元積分法 定理2 設(shè)是單調(diào)的可導函數(shù)，且，又設(shè) 具有原函數(shù)，則 (2-2) 其中為的反函數(shù)。 公式(2-2)稱為第二類換元積分公式。 例9． 求 ， 解：令 ，，則 ，，因此有 例10． 求 ， 解：令 ，，則 ，，因此有 其中。用類似方法可得 例11． 求 解： 小結(jié)：本節(jié)主要學習了不定積分的第一類換元積分法和第二類換元積分法。第一類換元法也稱為“湊微分”的方法。第二類換元法主要介紹了三種三角代換，即或，與，分別適用于三類函數(shù)，與。“倒代換”也屬于第二類換元法。 一、 基本要求： 1、 熟悉不定積分的分部積分公式； 2、 掌握三種不同類型函數(shù)的分部積分法。 二、 授課內(nèi)容： §4-4 分部積分法 一、分部積分法 設(shè) ，，則有 或 兩端求不定積分，得 或 即 (3-1) 或 (3-2) 公式 (3-1) 或 (3-2) 稱為不定積分的分部積分公式。 例1． 求 解： 例2． 求 解： 注1：由例1和例2可以看出，當被積函數(shù)是冪函數(shù)與正弦（余弦）乘積或是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積，做分部積分時，取冪函數(shù)為，其余部分取為。 例3． 求 解： 例4． 求 解： 注2：由例3和例4可以看出，當被積函數(shù)是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)乘積或是冪函數(shù)與反三角函數(shù)函數(shù)乘積，做分部積分時，取對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為，其余部分取為。 例5． 求 解： 因此得 即 例6． 求 解： 令 ，則 ，，因此 小結(jié)：本節(jié)學習了不定積分的分部積分法。對兩類不同形式的被積函數(shù)給出了分部積分的參考原則，也討論了分部方法與換元方法結(jié)合使用的例題。 一、 基本要求： 1、 了解積分表的結(jié)構(gòu)； 2、 掌握積分的使用方法。 二、 授課內(nèi)容： §4-5　積分表的使用方法 1.在積分表中能直接查到的 例 1　查表求 解　被積函數(shù)含 a + bx 因式，在積分表(一)類中，查到公式 9 ， 當 a = 3，b = 2 時， 得 例 2　查表求 解　被積函數(shù)含 a + bsin x 因式，在積分表(十一)類中，查到公式 103 或 104，因為a = 5，b = 4， a2 > b2 . 所以用公式 103， 得 2.先進行變量代換，再查表 例 3　查表求 解　該積分在積分表中直接查不到，要進行變量代換， 令 3x = t， 于是有 上式右端積分的被積函數(shù)中有 在積分表(五)類中，查到公式 39，當 a = 2(x 相當于 t)時，得 代入原積分中，得 3.用遞推公式 例 4　查表求 解　被積函數(shù)中含三角函數(shù)，在積分表(十一)類中查到公式 97， 遞推公式為 當 n = 4 時，原積分為 等，都不能用初等函數(shù)表示. 第五章 小結(jié) 一、不定積分 定義 在區(qū)間I上，的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)，成為在區(qū)間I上的不定積分，記為。 如果為的一個原函數(shù)，則 ，（為任意常數(shù)） 由原函數(shù)與不定積分的概念可得： 16) 17) 18) 19) 20) 二、 不定積分的的基本公式及性質(zhì) 1、積分公式 1) (為常數(shù)) 2) () 3) 4) 5) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 2、不定積分的性質(zhì) 性質(zhì)1． 性質(zhì)2．，?。槌?shù)，） 三、積分法 1、直接積分法 2、換元積分法 （1）第一類換元積分法 （2）第二類換元積分法 3、分部積分法  THANKS !!! 致力為企業(yè)和個人提供合同協(xié)議，策劃案計劃書，學習課件等等 打造全網(wǎng)一站式需求 歡迎您的下載，資料僅供參考 -可編輯修改-