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______________________________________________________________________________________________________________ 小學(xué)奧數(shù)-----排列組合教案 加法原理和乘法原理 ?排列與組合: 熟悉排列與組合問題。 運(yùn)用加法原理和乘法原理解決問題。在日常生活中我們經(jīng)常會(huì)遇到像下面這樣的兩類問題:問題一：從 A 地到 B 地，可以乘火車，也可以乘汽車或乘輪船。一天中，火車有 4 班，汽車 有 3 班，輪船有 2 班。那么從 A 地到 B 地共有多少種不同的走法？ 問題二：從甲村到乙村有兩條道路，從乙村去丙村有 3 條道路（如下圖）。從甲村經(jīng)乙村去丙村，共有多少種不同的走法？解決上述兩類問題就是運(yùn)用加法原理和乘法原理。 加法原理：完成一件工作共有N類方法。在第一類方法中有m1種不同的方法，在第二類方法中有m2種不同的方法，……，在第N類方法中有mn種不同的方法，那么完成這件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn種不同方法。 運(yùn)用加法原理計(jì)數(shù)，關(guān)鍵在于合理分類，不重不漏。要求每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏)。合理分類也是運(yùn)用加法原理解決問題的難點(diǎn)，不同的問題，分類的標(biāo)準(zhǔn)往往不同，需要積累一定的解題經(jīng)驗(yàn)。 乘法原理：完成一件工作共需N個(gè)步驟：完成第一個(gè)步驟有m1種方法，完成第二個(gè)步驟有m2種方法，…，完成第N個(gè)步驟有mn種方法，那么，完成這件工作共有m1×m2×…×mn種方法。 運(yùn)用乘法原理計(jì)數(shù)，關(guān)鍵在于合理分步。完成這件工作的N個(gè)步驟，各個(gè)步驟之間是相互聯(lián)系的，任何一步的一種方法都不能完成此工作，必須連續(xù)完成這N步才能完成此工作；各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中所采取的方法不同，則對(duì)應(yīng)的完成此工作的方法也不同。 這兩個(gè)基本原理是排列和組合的基礎(chǔ)，與教材聯(lián)系緊密（如四下《搭配的規(guī)律》），教學(xué)時(shí)要先通過生活中淺顯的實(shí)例，如購(gòu)物問題、行程問題、搭配問題等，幫助孩子理解兩個(gè)原理，再讓孩子學(xué)習(xí)運(yùn)用原理解決問題。 運(yùn)用兩個(gè)原理解決的都是比較復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題，在解題時(shí)要細(xì)心、耐心、有條理地分析問題。計(jì)數(shù)時(shí)要注意區(qū)分是分類問題還是分步問題，正確運(yùn)用兩個(gè)原理。靈活機(jī)動(dòng)地分層重復(fù)使用或綜合運(yùn)用兩個(gè)原理，可以巧妙解決很多復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題。小學(xué)階段只學(xué)習(xí)兩個(gè)原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。 【例題一】每天從武漢到北京去，有 4 班火車，2 班飛機(jī)，1 班汽車。請(qǐng)問：每天從武漢到北京去，乘坐這些交通工具共有多少種不同的走法？ 【解析】運(yùn)用加法原理，把組成方法分成三類：一類乘坐火車,二類乘坐飛機(jī),三類乘坐洗車. 解:4+2+1=7(種) 【例題二】用1角、2角和5角的三種人民幣（每種的張數(shù)沒有限制）組成1元錢，有多少種方法？ 【解析】運(yùn)用加法原理，把組成方法分成三大類： ①只取一種人民幣組成1元，有3種方法：10張1角；5張2角；2張5角。 ②取兩種人民幣組成1元，有5種方法：1張5角和5張1角；一張2角和8張1角；2張2角和6張1角；3張2角和4張1角；4張2角和2張1角。 ③取三種人民幣組成1元，有2種方法：1張5角、1張2角和3張1角的；1張5角、2張2角和1張1角的。 解:所以共有組成方法：3+5+2=10（種）。 【例題三】在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大的兩位數(shù)共有多少個(gè)？ 【解析】運(yùn)用加法原理，把組成的三位數(shù)分為九類：十位是9的有9個(gè)，十位是8的有8個(gè)，……十位是1的有1個(gè). 解: 共有：1+2+3+……+9=45(個(gè)) 【例題四】各數(shù)位的數(shù)字之和是24的三位數(shù)共有多少個(gè)？ 【解析】一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，最大只能是9，24可分拆為：24=9+9+6； 24=9+8+7；24=8+8+8。運(yùn)用加法原理，把組成的三位數(shù)分為三大類： ①由9、9、8三個(gè)數(shù)字可組成3個(gè)三位數(shù)：998、989、899； ②由9、8、7三個(gè)數(shù)字可組成6個(gè)三位數(shù)：987、978、897、879、798、789； ③由8、8、8三個(gè)數(shù)字可組成1個(gè)三位數(shù)：888。 解:所以組成三位數(shù)共有：3+6+1=10（個(gè)）。 【例題五】有一批長(zhǎng)度分別為1，2，3，4，5，6，7和8厘米的細(xì)木條若干，從中選取適當(dāng)?shù)?根木條作為三條邊可以圍成多少個(gè)不同的三角形？ 【解析】圍三角形的依據(jù)：三根木條能圍成三角形，必須滿足任意兩邊之和大于第三邊。要滿足這個(gè)條件，需要且只需要兩條較短邊的和大于最長(zhǎng)邊就可以了。 這道題的計(jì)數(shù)比較復(fù)雜，需要分層重復(fù)運(yùn)用加法原理。 根據(jù)三角形三邊長(zhǎng)度情況，我們先把圍成的三角形分為兩大類： 第一大類：圍成三角形的三根木條，至少有兩根木條等長(zhǎng)（包括三根等長(zhǎng)的）。 由題目條件，圍成的等腰三角形腰長(zhǎng)可以為1、2、3、4、5、6、7、8厘米，根據(jù)三角形腰長(zhǎng)，第一大類又可以分為8小類，三邊長(zhǎng)依次是： ①腰長(zhǎng)為1的三角形1個(gè)：1、1、1。 ②腰長(zhǎng)為2的三角形3個(gè)：2、2、1；2、2、2；2、2、3。 ③腰長(zhǎng)為3的三角形5個(gè)：3、3、1；3、3、2；3、3、3；3、3、4；3、3、5。 ④腰長(zhǎng)為4的三角形7個(gè)：4、4、1；4、4、2；……4、4、7。 ⑤腰長(zhǎng)為5的三角形8個(gè)：5、5、1；5、5、2；……5、5、8。 同理，腰長(zhǎng)為6、7、8厘米的三角形都是8個(gè)。 第一大類可圍成的不同的三角形：1+3+5+7+8×4=48（個(gè)）。 第二大類：圍成三角形的三根木條，任意兩根木條的長(zhǎng)度都不同。 根據(jù)最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度，我們?cè)侔训诙箢悋傻娜切畏譃槲逍☆悾ㄗ铋L(zhǎng)邊不可能為是3厘米、2厘米、1厘米）： ①最長(zhǎng)邊為8厘米的三角形有9個(gè)，三邊長(zhǎng)分別為：8、7、6；8、7、5；8、7、4；8、7、3；8、7、2；8、6、5；8、6、4；8、6、3；8、5、4。 ②最長(zhǎng)邊為7厘米的三角形有6個(gè)，三邊長(zhǎng)分別為：7、6、5；7、6、4；7、6、3；7、6、2；7、5、4；7、5、3。 ③最長(zhǎng)邊為6厘米的三角形有4個(gè)，三邊長(zhǎng)分別為：6、5、4；6、5、3；6、5、2；6、4、3。 ④最長(zhǎng)邊為5厘米的三角形有2個(gè)，三邊長(zhǎng)分別為：5、4、3；5、4、2。 ⑤最長(zhǎng)邊為4厘米的三角形有1個(gè)，三邊長(zhǎng)為：4、3、2。 第二大類可圍成的不同的三角形：9+6+4+2+1=22（個(gè)）。 所以，這一題共可以圍成不同的三角形：48+22=70（個(gè)）。 【例題六】一把鑰匙只能開一把鎖，現(xiàn)在有10把鑰匙和10把鎖全部都搞亂了，最多要試驗(yàn)多少次才能全部配好鎖和相應(yīng)的鑰匙？ 【解析】要求“最多”多少次配好鎖和鑰匙，就要從最糟糕的情況開始考慮：第1把鑰匙要配到鎖，最多要試9次（如果9次配對(duì)失敗，第10把鎖就一定是這把鑰匙，不用再試）；同理，第2把鑰匙最多要試8次；……第9把鎖最多試1次，最好一把鎖不用試。 解: 最多試驗(yàn)次數(shù)為：9+8+7……+2+1=45（次）。 【例題七】如圖,從甲地到乙地有三條路,從乙地到丙地有三條路,從丙地到丁地有四條路,從甲地到丙地有二條路。問：甲地到丁地共有多少種走法？ 乙 甲 丙 丁 【解析】從甲地到乙地的走法分兩大類：一大類從甲地直接到達(dá)乙地，二大類是經(jīng)過乙地和丙地到達(dá)丁地，用加法原理。第二大類中，從甲地到丁地走法分三步，第一步，從甲地到乙地，第二步，從乙地到丙地，第三步，從丙地到丁地，用乘法原理。 ①、第一大類從甲地到丁地有2條路，用加法原理有2種走法。 ②、第二大類從甲地到丁地分三步完成，用乘法原理。第一步，從甲地到乙地，有3條路，用加法原理有3種走法。第二步，從乙地到丙地，有3條路，用加法原理有3種走法。第三步，從丙地到丁地，有4條路，用加法原理有4種走法。根據(jù)乘法原理，第二大類共有3×3×4＝36種走法。 ③、用加法原理，從甲地到乙地共有2＋36＝38種走法。 解：2+3×3×4＝38（種） 【例題七】某人到食堂去買飯菜，食堂里有4種葷菜，3種蔬菜，2種湯。他要各買一樣，共有多少種不同的買法？ 【解析】運(yùn)用乘法原理，把買飯菜分為三步走： 第一步：選湯有2種方法。 第二步：選葷菜有4種方法。 每種選湯方法對(duì)應(yīng)的都有4種選葷菜的方法，湯和葷菜共有2個(gè)4種，即8種不同的搭配方法。 第三步：選蔬菜有3種方法。 葷菜和湯有8種不同的搭配方法，每種搭配方法，對(duì)應(yīng)的都有3種選蔬菜的方法與其二次搭配，共有8個(gè)3種，即24種不同搭配方法。 如下圖所示 ?解：共有不同的買法：2×4×3=24（種）。 【例題八】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師要求同學(xué)們用 0、1、2、3 這四個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)，請(qǐng)問： （1）可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ （2）可以組成多少個(gè)不相等的三位數(shù)？ 【解析】組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)要求千位、十位、個(gè)位上的數(shù)字不同，數(shù)位之間是互相聯(lián)系的，用乘法原理。完成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的組成，分三步。第一步，看千位有多少種放法，0不能放首位，1、2、3任一個(gè)都可以放，有3種放法。第二步，看十位有多少種放法，四個(gè)數(shù)字千位放了一個(gè)，還剩三個(gè)，有3種放法。第三步，看個(gè)位有多少種放法，四個(gè)數(shù)字千位、十位各放了一個(gè)，還剩二個(gè)，有2種放法。 解： （１）3×3×2=18（個(gè)） 不相等的三位數(shù)，可以看出各數(shù)位上的數(shù)字是能重復(fù)的。要完成數(shù)的組合應(yīng)該分三步：第一步，看千位有多少種放法，0不能放首位，1、2、3任一個(gè)都可以放，有3種放法。第二步，看十位有多少種放法，四個(gè)數(shù)字都可以放，有4種放法。第三步，看個(gè)位有多少種放法，四個(gè)數(shù)字都可以放，有4種放法，有4種放法。 解：（2）3×4×4=48（個(gè)） 【例題九】小新、阿呆等七個(gè)同學(xué)照像，分別求出在下列條件下有多少種站法？ （1）七個(gè)人排成一排； （2）七個(gè)人排成一排，小新必須站在中間. （3）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須有一人站在中間. （4）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須都站在兩邊. （5）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆都沒有站在邊上. （6）七個(gè)人站成兩排，前排三人，后排四人. （7）七個(gè)人站成兩排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。 【解析】（1）七個(gè)人排成一排要有序的分步進(jìn)行，第一步，七個(gè)人每人都可以站第一位，7選7叫全選，有7種選法，也就是完成七個(gè)人排成一排的第一步。第二步，七人已選出一人站到第一位，還剩六人，有6種選法。同理，第三步有5種選法。第四步有4種選法。第五步有3種選法。第六步有2種選法。第七步有1種選法。 解：根據(jù)乘法原理得：7×6×5×4×3×2×1＝5040（種） 注：用排列公式寫作：（種）。 （2）確定小新站中間，只要考慮六人站一排的排列問題。只需排其余6個(gè)人站剩下的6個(gè)位置。分六步，第一步6種選法、第二步5種選法、第三步4種選法、第四步3種選法、第五步2種選法、第六步1種選法。 解：根據(jù)乘法原理得：6×5×4×3×2×1＝720（種） 注：用排列公式寫作：（種）. （3）先確定中間的位置站誰(shuí)，有2種選法。再排剩下的6個(gè)位置。 解：根據(jù)乘法原理得：（6×5×4×3×2×1）×2＝1440（種） 注：用排列公式寫作：2×=1440(種)． （4）先排兩邊，再排剩下的5個(gè)位置，其中兩邊的小新和阿呆還可以互換位置． 如圖可知，小新和阿呆站兩邊位置是2選2，有2×1＝2種選法。其余五個(gè)位置站法：第一位5種選法、第二位4種選法、第三位3種選法、第四位2種選法、第五位1種選法。 其余5人所站位置 小新和阿呆所站位置 2 1 1 2 4 3 5 解：根據(jù)乘法原理得：（5×4×3×2×1）×（2×1）＝240（種） 注：用排列公式寫作： (種)． （5）先排兩邊，從除小新、阿呆之外的5個(gè)人中選2人，也就是邊上的兩個(gè)位置5人去站，第一個(gè)位置有5種選法，第二個(gè)位置有4種選法，根據(jù)乘法原理得：5×4＝20（種）。再排剩下的5個(gè)人，有5×4×3×2×1＝120（種）。 解：根據(jù)乘法原理得：20×120＝2400（種） 注：用排列公式寫作：（種）. （6）七個(gè)人排成一排時(shí)，7個(gè)位置就是各不相同的．現(xiàn)在排成兩排，不管前后排各有幾個(gè)人，7個(gè)位置還是各不相同的，所以本題實(shí)質(zhì)就是7個(gè)元素的全排列． 解：根據(jù)乘法原理得：7×6×5×4×3×2×1＝5040（種） 注：用排列公式寫作：（種）. （7）可以分為兩類情況：“小新在前，阿呆在后”和“小新在后，阿呆在前”，兩種情況是對(duì)等的，所以只要求出其中一種的排法數(shù)，再乘以2即可．排隊(duì)問題，一般先考慮特殊情況再去全排列。 解：根據(jù)乘法原理得：4×3×（5×4×3×2×1）×2＝2880(種) 注：用排列公式寫作：4×3××2=2880(種)． 【例題十】用1、2、3、4、5、6可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的個(gè)位是5的三位數(shù)？ 【解析】個(gè)位數(shù)字已知，問題變成從個(gè)元素中取個(gè)元素的排列問題，三位數(shù)的個(gè)位已確定為5，那么，1、2、3、4、6可以任意選擇十位或百位，百位有5種選法，十位有4種選法。如圖： 5種選法 4種選法 1種選法 5 千位 百位 個(gè)位 解：根據(jù)乘法原理得：5×4＝20（種） 注：用排列公式解題：已知，，根據(jù)排列數(shù)公式，一共可以組成(個(gè))符合題意的三位數(shù)。 【例題十一】用、、、、這五個(gè)數(shù)字，不許重復(fù)，位數(shù)不限，能寫出多少個(gè)3的倍數(shù)？ 【解析】按位數(shù)來(lái)分類考慮：首先要知道3的倍數(shù)的數(shù)的各位數(shù)值之和的規(guī)律:各位數(shù)值之和為3的倍數(shù),則這個(gè)數(shù)是3的倍數(shù). ⑴ 一位數(shù)只有個(gè)； ⑵ 兩位數(shù)：由與，與，與，與四組數(shù)字組成，每一組可以組成(個(gè))不同的兩位數(shù)，共可組成(個(gè))不同的兩位數(shù)； ⑶ 三位數(shù)：由，與；，與；，與；，與四組數(shù)字組成，每一組可以組成(個(gè))不同的三位數(shù)，共可組成(個(gè))不同的三位數(shù)； ⑷ 四位數(shù)：可由，，，這四個(gè)數(shù)字組成，有(個(gè))不同的四位數(shù)； ⑸ 五位數(shù)：可由，，，，組成，共有(個(gè))不同的五位數(shù)． 解：根據(jù)加法原理得：一共有(個(gè))能被整除的數(shù)，即的倍數(shù)． 【例題十二】某管理員忘記了自己小保險(xiǎn)柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個(gè)非數(shù)碼組成，且四個(gè)數(shù)碼之和是，那么確保打開保險(xiǎn)柜最多要試幾次？ 【解析】用排除法分析：四個(gè)非數(shù)碼之和等于9的組合數(shù)位上不能有9、8、7數(shù)字，否則，其和大于9。首先，從合題意的大數(shù)6尋找有1，1，1，6一種組合；從5尋找有1，1，2，5一各組合；從4尋找有1，1，3，4；1，2，2，4；二種組合；從3尋找有1，2，3，3；2，2，2，3二種組合；從1、2分析其和小于9；因此分析得共有六種。第一種中，可以組成多少個(gè)密碼呢？只要考慮的位置就可以了，可以任意選擇個(gè)位置中的一個(gè)，其余位置放，共有種選擇；第二種中，先考慮放，有種選擇，再考慮的位置，可以有種選擇，剩下的位置放，共有(種)，選擇同樣的方法，可以得出第三、四、五種都各有種選擇．最后一種，與第一種的情形相似，的位置有種選擇，其余位置放，共有種選擇． 解：根據(jù)加法原理得：一共可以組成(個(gè))不同的四位數(shù)，即確保能打開保險(xiǎn)柜最多要試次． 【例題十三】?jī)蓪?duì)三胞胎喜相逢，他們圍坐在桌子旁，要求每個(gè)人都不與自己的同胞兄妹相鄰，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少種不同的坐法？ 【解析】第一個(gè)位置在個(gè)人中任選一個(gè)，有(種)選法，第二個(gè)位置在另一胞胎的人中任選一個(gè)，有(種)選法．同理，第，，，個(gè)位置依次有2，2，1，1種選法．如圖： 6選1 3選3 2選2 2選2 1選1 1選1 6 3 2 2 1 1 甲乙胞 乙胞 甲胞 乙胞 甲胞 乙胞 解：根據(jù)乘法原理得：6×3×2×2×1×1＝72（種） 注：用排列公式寫作：(種)。 【例題十四】一種電子表在6時(shí)24分30秒時(shí)的顯示為6:24：30，那么從8時(shí)到9時(shí)這段時(shí)間里，此表的5個(gè)數(shù)字都不相同的時(shí)刻一共有多少個(gè)? 【解析】設(shè)A:BC:DE是滿足題意的時(shí)刻，有A為8，B、D應(yīng)從0，1，2，3，4，5這6個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)不同的數(shù)字，所以有6×5=30種選法，而C、E應(yīng)從剩下的7個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)不同的數(shù)字，所以有7×6=42種選法.如圖： 7選2 A B C D E 1 6 7 5 6 確定為8 6選2 解：根據(jù)乘法原理得：所以共有×=1260種選法。從8時(shí)到9時(shí)這段時(shí)間里，此表的5個(gè)數(shù)字都不相同的時(shí)刻一共有1260個(gè)。 【例題十五】一個(gè)六位數(shù)能被11整除，它的各位數(shù)字非零且互不相同的．將這個(gè)六位數(shù)的6個(gè)數(shù)字重新排列，最少還能排出多少個(gè)能被11整除的六位數(shù)? 【解析】設(shè)這個(gè)六位數(shù)為，則有、的差為0或11的倍數(shù)．且a、b、c、d、e、f均不為0，任何一個(gè)數(shù)作為首位都是一個(gè)六位數(shù)。先考慮a、c、e偶數(shù)位內(nèi)，b、d、f奇數(shù)位內(nèi)的組內(nèi)交換，有×=36種順序； 再考慮形如這種奇數(shù)位與偶數(shù)位的組間調(diào)換，也有×=36種順序。所以，用均不為0的a、b、c、d、e、f最少可排出36+36=72個(gè)能被11整除的數(shù)(包含原來(lái)的)。所以最少還能排出72-1=71個(gè)能被11整除的六位數(shù)。 【例題十六】已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行的手工制作比賽中，決出了第一至第五名的名次．甲、乙兩名參賽者去詢問成績(jī)，回答者對(duì)甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍．”對(duì)乙說：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的．”從這個(gè)回答分析，5人的名次排列共有多少種不同的情況？ 【解析】這道題乍一看不太像是排列問題，這就需要靈活地對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化．仔細(xì)審題，已知“甲和乙都未拿到冠軍”，而且“乙不是最差的”，也就等價(jià)于人排成一排，甲、乙都不站在排頭且乙不站在排尾的排法數(shù)，因?yàn)橐业南拗谱疃?，所以先排乙，有種排法，再排甲，也有種排法，剩下的人隨意排，有(種)排法． 解：根據(jù)乘法原理得：一共有(種)不同的排法。 【例題十七】名男生，名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法： ⑴ 甲不在中間也不在兩端； ⑵ 甲、乙兩人必須排在兩端； ⑶ 男、女生分別排在一起； ⑷ 男女相間． 【解析】⑴ 先排甲，個(gè)位置除了中間和兩端之外的個(gè)位置都可以，有種選擇，剩下的個(gè)人隨意排，也就是個(gè)元素全排列的問題， 有(種)選擇． 解：根據(jù)乘法原理得：共有(種)排法． ⑵ 甲、乙先排，有(種)排法；剩下的個(gè)人隨意排，有 (種)排法． 解：根據(jù)乘法原理得：共有(種)排法． ⑶ 分別把男生、女生看成一個(gè)整體進(jìn)行排列，有(種)不同排列方法，再分別對(duì)男生、女生內(nèi)部進(jìn)行排列，分別是個(gè)元素與個(gè)元素的全排列問題，分別有(種)和(種)排法． 解：根據(jù)乘法原理得：共有(種)排法． ⑷ 先排名男生，有(種)排法，再把名女生排到個(gè)空檔中，有(種)排法． 解：根據(jù)乘法原理得：一共有(種)排法。 【例題十八】一臺(tái)晚會(huì)上有個(gè)演唱節(jié)目和個(gè)舞蹈節(jié)目．求： ⑴ 當(dāng)個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí)，有多少不同的安排節(jié)目的順序？ ⑵ 當(dāng)要求每個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少安排個(gè)演唱節(jié)目時(shí)，一共有多少不同的安排節(jié)目的順序？ 【解析】⑴ 先將個(gè)舞蹈節(jié)目看成個(gè)節(jié)目，與個(gè)演唱節(jié)目一起排，則是個(gè)元素全排列的問題，有(種)方法．第二步再排個(gè)舞蹈節(jié)目，也就是個(gè)舞蹈節(jié)目全排列的問題，有(種)方法． 解：根據(jù)乘法原理得：一共有(種)方法． ⑵ 首先將個(gè)演唱節(jié)目排成一列(如下圖中的“□”)，是個(gè)元素全排列的問題，一共有(種)方法．×□×□×□×□×□×□×第二步，再將個(gè)舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或個(gè)演唱節(jié)目之間(即上圖中“×”的位置)，這相當(dāng)于從個(gè)“×”中選個(gè)來(lái)排，一共有(種)方法． 解：根據(jù)乘法原理得：一共有(種)方法。 【例題十九】⑴從1，2，…，8中任取3個(gè)數(shù)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，共有多少個(gè)？（只要求列式） ⑵從8位候選人中任選三位分別任團(tuán)支書，組織委員，宣傳委員，共有多少種不同的選法？ ⑶3位同學(xué)坐8個(gè)座位，每個(gè)座位坐1人，共有幾種坐法？ ⑷8個(gè)人坐3個(gè)座位，每個(gè)座位坐1人，共有多少種坐法？ ⑸一火車站有8股車道，停放3列火車，有多少種不同的停放方法？ ⑹8種不同的菜籽，任選3種種在不同土質(zhì)的三塊土地上，有多少種不同的種法？ 【解析】⑴按順序，有百位、十位、個(gè)位三個(gè)位置，8個(gè)數(shù)字（8個(gè)元素）取出3個(gè)往上排，有種． ⑵3種職務(wù)3個(gè)位置，從8位候選人（8個(gè)元素）任取3位往上排，有種． ⑶3位同學(xué)看成是三個(gè)位置，任取8個(gè)座位號(hào)（8個(gè)元素）中的3個(gè)往上排（座號(hào)找人），每確定一種號(hào)碼即對(duì)應(yīng)一種坐法，有種． ⑷3個(gè)坐位排號(hào)1，2，3三個(gè)位置，從8人中任取3個(gè)往上排（人找座位），有種． ⑸3列火車編為1，2，3號(hào)，從8股車道中任取3股往上排，共有種． ⑹土地編1，2，3號(hào)，從8種菜籽中任選3種往上排，有種。 【例題二十】某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個(gè)階段進(jìn)行，第一階段：將參加比賽的48名選手分成8個(gè)小組，每組6人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第二階段：將8個(gè)小組產(chǎn)生的前2名共16人再分成個(gè)小組，每組人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第三階段：由4個(gè)小組產(chǎn)生的個(gè)第名進(jìn)行場(chǎng)半決賽和場(chǎng)決賽，確定至名的名次．問：整個(gè)賽程一共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？ 【解析】第一階段中，每個(gè)小組內(nèi)部的個(gè)人每人要賽一場(chǎng)，組內(nèi)賽場(chǎng)，共個(gè)小組，有場(chǎng)；第二階段中，每個(gè)小組內(nèi)部人中每人賽一場(chǎng)，組內(nèi)賽場(chǎng)，共個(gè)小組，有場(chǎng)；第三階段賽場(chǎng)． 解：根據(jù)乘法原理得：整個(gè)賽程一共有場(chǎng)比賽。 【例題二十一】由數(shù)字1，2，3組成五位數(shù)，要求這五位數(shù)中1，2，3至少各出現(xiàn)一次，那么這樣的五位數(shù)共有________個(gè)。(2007年“迎春杯”高年級(jí)組決賽) 【解析】這是一道組合計(jì)數(shù)問題．由于題目中僅要求，，至少各出現(xiàn)一次，沒有確定，，出現(xiàn)的具體次數(shù)，所以可以采取分類枚舉的方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，也可以從反面想，從由組成的五位數(shù)中，去掉僅有個(gè)或個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)即可． (法1)分兩類：⑴，，中恰有一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)次，這樣的數(shù)有(個(gè))；⑵，，中有兩個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)次，這樣的數(shù)有(個(gè))．符合題意的五位數(shù)共有(個(gè))． (法2)從反面想，由，，組成的五位數(shù)共有個(gè)，由，，中的某個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)共有個(gè)，由，，中的某個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)共有個(gè)，所以符合題意的五位數(shù)共有(個(gè))。 【例題二十二】個(gè)人圍成一圈，從中選出兩個(gè)不相鄰的人，共有多少種不同選法？ 【解析】(法1)乘法原理．按題意，分別站在每個(gè)人的立場(chǎng)上，當(dāng)自己被選中后，另一個(gè)被選中的，可以是除了自己和左右相鄰的兩人之外的所有人，每個(gè)人都有種選擇，總共就有種選擇，但是需要注意的是，選擇的過程中，會(huì)出現(xiàn)“選了甲、乙，選了乙、甲”這樣的情況本來(lái)是同一種選擇，而卻算作了兩種，所以最后的結(jié)果應(yīng)該是()(種)． (法2)排除法．可以從所有的兩人組合中排除掉相鄰的情況，總的組合數(shù)為，而被選的兩個(gè)人相鄰的情況有種，所以共有(種)。 【例題二十三】8個(gè)人站隊(duì)，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間（不一定相鄰），小慧和大智不能相鄰，小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共有多少種？ 【解析】冬冬要站在小悅和阿奇的中間，就意味著只要為這三個(gè)人選定了三個(gè)位置，中間的位置就一定要留給冬冬，而兩邊的位置可以任意地分配給小悅和阿奇． 小慧和大智不能相鄰的互補(bǔ)事件是小慧和大智必須相鄰 小光和大亮必須相鄰，則可以將兩人捆綁考慮 只滿足第一、三個(gè)條件的站法總數(shù)為：（種） 同時(shí)滿足第一、三個(gè)條件，滿足小慧和大智必須相鄰的站法總數(shù)為：（種） 因此同時(shí)滿足三個(gè)條件的站法總數(shù)為：（種）。 【例題二十四】小明有10塊大白兔奶糖,從今天起,每天至少吃一塊.那么他一共有多少種不同的吃法? 【解析】我們將10塊大白兔奶糖從左至右排成一列,如果在其中9個(gè)間隙中的某個(gè)位置插入“木棍”,則將lO塊糖分成了兩部分。我們記從左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…，如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒： ○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．不難知曉,每一種插入方法對(duì)應(yīng)一種吃法,而9個(gè)間隙,每個(gè)間隙可以插人也可以不插入,且相互獨(dú)立，故共有29=512種不同的插入方法,即512種不同的吃法。 【例題二十五】某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有個(gè)成人和個(gè)兒童要分乘這些游船，為安全起見，有兒童乘坐的游船上必須至少有個(gè)成人陪同，那么他們?nèi)顺俗@三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？ 【解析】由于有兒童乘坐的游船上必須至少有個(gè)成人陪同，所以兒童不能乘坐船． ⑴若這人都不乘坐船，則恰好坐滿兩船，①若兩個(gè)兒童在同一條船上，只能在船上，此時(shí)船上還必須有個(gè)成人，有種方法；②若兩個(gè)兒童不在同一條船上，即分別在兩船上，則船上有個(gè)兒童和個(gè)成人，個(gè)兒童有種選擇，個(gè)成人有種選擇，所以有種方法．故人都不乘坐船有種安全方法； ⑵若這人中有人乘坐船，這個(gè)人必定是個(gè)成人，有種選擇．其余的個(gè)成人與個(gè)兒童，①若兩個(gè)兒童在同一條船上，只能在船上，此時(shí)船上還必須有個(gè)成人，有種方法，所以此時(shí)有種方法；②若兩個(gè)兒童不在同一條船上，那么船上有個(gè)兒童和個(gè)成人，此時(shí)個(gè)兒童和個(gè)成人均有種選擇，所以此種情況下有種方法；故人中有人乘坐船有種安全方法．所以，共有種安全乘法． 【例題二十六】從名男生，名女生中選出人參加游泳比賽．在下列條件下，分別有多少種選法？ ⑴恰有名女生入選；⑵至少有兩名女生入選；⑶某兩名女生，某兩名男生必須入選； ⑷某兩名女生，某兩名男生不能同時(shí)入選；⑸某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人。 【解析】⑴恰有名女生入選，說明男生有人入選，應(yīng)為種； ⑵要求至少兩名女生人選，那么“只有一名女生入選”和“沒有女生入選”都不符合要求．運(yùn)用包含與排除的方法，從所有可能的選法中減去不符合要求的情況： ； ⑶人必須入選，則從剩下的人中再選出另外人，有種； ⑷從所有的選法種中減去這個(gè)人同時(shí)入選的種： ． ⑸分三類情況：人無(wú)人入選；人僅有人入選；人中有人入選，共：。 【例題二十七】在10名學(xué)生中，有5人會(huì)裝電腦，有3人會(huì)安裝音響設(shè)備，其余2人既會(huì)安裝電腦，又會(huì)安裝音響設(shè)備，今選派由人組成的安裝小組，組內(nèi)安裝電腦要人，安裝音響設(shè)備要人，共有多少種不同的選人方案？ 【解析】按具有雙項(xiàng)技術(shù)的學(xué)生分類： ⑴ 兩人都不選派，有(種)選派方法； ⑵ 兩人中選派人，有種選法．而針對(duì)此人的任務(wù)又分兩類： 若此人要安裝電腦，則還需人安裝電腦，有(種)選法，而另外會(huì)安裝音響設(shè)備的人全選派上，只有種選法．由乘法原理，有(種)選法； 若此人安裝音響設(shè)備，則還需從人中選人安裝音響設(shè)備，有(種)選法，需從人中選人安裝電腦，有(種)選法．由乘法原理，有(種)選法．根據(jù)加法原理，有(種)選法；綜上所述，一共有(種)選派方法． ⑶ 兩人全派，針對(duì)兩人的任務(wù)可分類討論如下： ①兩人全安裝電腦，則還需要從人中選人安裝電腦，另外會(huì)安裝音響設(shè)備的人全選上安裝音響設(shè)備，有(種)選派方案； ②兩人一個(gè)安裝電腦，一個(gè)安裝音響設(shè)備，有(種)選派方案； ③兩人全安裝音響設(shè)備，有(種)選派方案．根據(jù)加法原理，共有(種)選派方案．綜合以上所述，符合條件的方案一共有(種)． 【例題二十八】有11名外語(yǔ)翻譯人員，其中名是英語(yǔ)翻譯員，名是日語(yǔ)翻譯員，另外兩名英語(yǔ)、日語(yǔ)都精通．從中找出人，使他們組成兩個(gè)翻譯小組，其中人翻譯英文，另人翻譯日文，這兩個(gè)小組能同時(shí)工作．問這樣的分配名單共可以開出多少?gòu)垼? 【解析】針對(duì)兩名英語(yǔ)、日語(yǔ)都精通人員(以下稱多面手)的參考情況分成三類： ⑴ 多面手不參加，則需從名英語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇，需從名日語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇．由乘法原理，有種選擇． ⑵ 多面手中有一人入選，有種選擇，而選出的這個(gè)人又有參加英文或日文翻譯兩種可能：如果參加英文翻譯，則需從名英語(yǔ)翻譯員中再選出人，有種選擇，需從名日語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇．由乘法原理，有種選擇；如果參加日文翻譯，則需從名英語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇，需從名日語(yǔ)翻譯員中再選出名，有種選擇．由乘法原理，有種選擇．根據(jù)加法原理，多面手中有一人入選，有種選擇． ⑶ 多面手中兩人均入選，對(duì)應(yīng)一種選擇，但此時(shí)又分三種情況： ①兩人都譯英文；②兩人都譯日文；③兩人各譯一個(gè)語(yǔ)種．情況①中，還需從名英語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇．需從名日語(yǔ)翻譯員中選人，種選擇．由乘法原理，有種選擇．情況②中，需從名英語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇．還需從名日語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇．根據(jù)乘法原理，共有種選擇．情況③中，兩人各譯一個(gè)語(yǔ)種，有兩種安排即兩種選擇．剩下的需從名英語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇，需從名日語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇．由乘法原理，有種選擇．根據(jù)加法原理，多面手中兩人均入選，一共有種選擇．綜上所述，由加法原理，這樣的分配名單共可以開出張．  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