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______________________________________________________________________________________________________________ 小學四年級奧數舉一反三第1講至第40講全 目錄 第1講 找 規(guī) 律（一） 第2講 找 規(guī) 律（二） 第3講 簡 單 推 理 第4講 應用題（一） 第5講 算式謎（一） 第6講 算式謎（二） 第7講 最優(yōu)化問題 第8講 巧妙求和（一） 第9講 變化規(guī)律（一） 第10講 變化規(guī)律 第11講 錯中求解 第12講 簡單列舉 第13講 和倍問題 第14講 植樹問題 第15講 圖形問題 第16講 巧妙求和 第17講 數數圖形 第18講 數數圖形 第19講 應用題 第20講 速算與巧算 第二十一周 速算與巧算（二） 第二十二周 平均數問題 第二十三周 定義新運算 第二十四周 差倍問題 第二十五周 和差問題 第二十六周 巧算年齡 第二十七周 較復雜的和差倍問題 第二十八周 周期問題 第二十九周 行程問題（一） 第三十周 用假設法解題 第三十一周 還原問題 第三十二周 邏輯推理 第三十三周 速算與巧算（三） 第三十四周 行程問題（二） 第三十五周 容斥原理 第三十六周 二進制 第三十七周 應用題（三） 第三十八周 應用題（四） 第三十九周 盈虧問題 第四十周 數學開放題 第1講 找 規(guī) 律（一） 一、知識要點 觀察是解決問題的根據。通過觀察，得以揭示出事物的發(fā)展和變化規(guī)律，在一般情況下，我們可以從以下幾個方面來找規(guī)律： 1．根據每組相鄰兩個數之間的關系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數； 2．根據相隔的每兩個數的關系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數； 3．要善于從整體上把握數據之間的聯系，從而很快找出規(guī)律； 4．數之間的聯系往往可以從不同的角度來理解，只要言之有理，所得出的規(guī)律都可以認為是正確的。 二、精講精練 【例題1】 先找出下列數排列的規(guī)律，并根據規(guī)律在括號里填上適當的數。 1，4，7，10，（??? ），16，19 【思路導航】在這列數中，相鄰的兩個數的差都是3，即每一個數加上3都等于后面的數。根據這一規(guī)律，括號里應填的數為：10+3=13或16－3=13。 像上面按照一定的順序排列的一串數叫做數列。 練習1：先找出下列各列數的排列規(guī)律，然后在括號里填上適當的數。 （1）2，6，10，14，（??? ），22，26 （2）3，6，9，12，（??? ），18，21 （3）33，28，23，（??? ），13，（??? ），3 （4）55，49，43，（??? ），31，（??? ），19 （5）3，6，12，（??? ），48，（??? ），192 （6）2，6，18，（??? ），162，（??? ） （7）128，64，32，（??? ），8，（??? ），2 （8）19，3，17，3，15，3，（??? ），（??? ），11，3.. 【例題2】先找出下列數排列的規(guī)律，然后在括號里填上適當的數。1，2，4，7，（??? ），16，22 【思路導航】在這列數中，前4個數每相鄰的兩個數的差依次是1，2，3。由此可以推算7比括號里的數少4，括號里應填：7+4=11。經驗證，所填的數是正確的。 應填的數為：7+4=11或16-5=11。 練習2：先找出下列數排列的規(guī)律，然后在括號里填上適當的數。 （1）10，11，13，16，20，（??? ），31 （2）1，4，9，16，25，（??? ），49，64 （3）3，2，5，2，7，2，（??? ），（??? ），11，2 （4）53，44，36，29，（??? ），18，（??? ），11，9，8 （5）81，64，49，36，（??? ），16，（??? ），4，1，0 （6）28，1，26，1，24，1，（??? ），（??? ），20，1 （7）30，2，26，2，22，2，（??? ），（??? ），14，2 （8）1，6，4，8，7，10，（??? ），（??? ），13，14 【例題3】先找出規(guī)律，然后在括號里填上適當的數。 23，4，20，6，17，8，（??? ），（??? ），11，12 【思路導航】在這列數中，第一個數減去3的差是第三個數，第二個數加上2的和是第四個數，第三個數減去3的差是第五個數，第四個數加上2的和是第六個數……依此規(guī)律，8后面的一個數為：17-3=14，11前面的數為：8+2=10 練習3：先找出規(guī)律，然后在括號里填上適當的數。 （1）1，6，5，10，9，14，13，（??? ），（??? ） （2）13，2，15，4，17，6，（??? ），（??? ） （3）3，29，4，28，6，26，9，23，（?? ），（?? ），18，14 （4）21，2，19，5，17，8，（?? ），（?? ） （5）32，20，29，18，26，16，（?? ），（?? ），20，12 （6）2，9，6，10，18，11，54，（?? ），（?? ），13，486 （7）1，5，2，8，4，11，8，14，（?? ），（?? ） （8）320，1，160，3，80，9，40，27，（?? ），（?? ） 【例題4】在數列1，1，2，3，5，8，13，（?? ），34，55……中，括號里應填什么數？ 【思路導航】經仔細觀察、分析，不難發(fā)現：從第三個數開始，每一個數都等于它前面兩個數的和。根據這一規(guī)律，括號里應填的數為：8+13=21或34－13=21 上面這個數列叫做斐波那切（意大利古代著名數學家）數列，也叫做“兔子數列”。 練習4：先找出規(guī)律，然后在括號里填上適當的數。 （1）2，2，4，6，10，16，（?? ），（?? ） （2）34，21，13，8，5，（?? ），2，（?? ） （3）0，1，3，8，21，（?? ），144 （4）3，7，15，31，63，（?? ），（?? ） （5）33，17，9，5，3，（?? ） （6）0，1，4，15，56，（?? ） （7）1，3，6，8，16，18，（?? ），（?? ），76，78 （8）0，1，2，4，7，12，20，（?? ） 【例題5】下面每個括號里的兩個數都是按一定的規(guī)律組合的，在□里填上適當的數。 （8，4）（5，7）（10，2）（□，9） 【思路導航】經仔細觀察、分析，不難發(fā)現：每個括號里的兩個數相加的和都是12。根據這一規(guī)律，□里所填的數應為：12－9=3 練習5：下面括號里的兩個數是按一定的規(guī)律組合的，在□里填上適當的數。 （1）（6，9）（7，8）（10，5）（□，） （2）（1，24）（2，12）（3，8）（4，□） （3）（18，17）（14，10）（10，1）（□，5） （4）（2，3）（5，9）（7，13）（9，□） （5）（2，3）（5，7）（7，10）（10，□） （6）（64，62）（48，46）（29，27）（15，□） （7）（100，50）（86，43）（64，32）（□，21） （8）（8，6）（16，3）（24，2）（12，□） 第2講 找 規(guī) 律（二） 一、知識要點 對于較復雜的按規(guī)律填數的問題，我們可以從以下幾個方面來思考： 1.對于幾列數組成的一組數變化規(guī)律的分析，需要我們靈活地思考，沒有一成不變的方法，有時需要綜合運用其他知識，一種方法不行，就要及時調整思路，換一種方法再分析； 2.對于那些分布在某些圖中的數，它們之間的變化規(guī)律往往與這些數在圖形中的特殊位置有關，這是我們解這類題的突破口。 3.對于找到的規(guī)律，應該適合這組數中的所有數或這組算式中的所有算式。 二、精講精練 【例題1】根據下表中的排列規(guī)律，在空格里填上適當的數。 【思路導航】經仔細觀察、分析表格中的數可以發(fā)現：12+6=18，8+7=15，即每一橫行中間的數等于兩邊的兩個數的和。依此規(guī)律，空格中應填的數為：4+8=12。 練習1：找規(guī)律，在空格里填上適當的數。 【例題2】根據前面圖形中的數之間的關系，想一想第三個圖形的括號里應填什么數？ 【思路導航】經仔細觀察、分析可以發(fā)現前面兩個圈中三個數之間有這樣的關系：5×12÷10=6??? 4×20÷10=8 根據這一規(guī)律，第三個圈中右下角應填的數為：8×30÷10=24. 練習2：根據前面圖形中數之間的關系，想一想第三個圖形的空格里應填什么數。 （1） ???? ???? （2） ???????? （3） ???????? 【例題3】先計算下面一組算式的第一題，然后找出其中的規(guī)律，并根據規(guī)律直接寫出后幾題的得數。12345679×9=??? ?? ???? 12345679×18=12345679×54=??????? ? 12345679×81= 【思路導航】題中每個算式的第一個因數都是12345679，它是有趣的“缺8數”，與9相乘，結果是由九個1組成的九位數，即：111111111。不難發(fā)現，這組題得數的規(guī)律是：只要看每道算式的第二個因數中包含幾個9，乘積中就包含幾個111111111。 因為：12345679×9=111111111 所以：12345679×18=12345679×9×2=222222222 12345679×54=12345679×9×6=666666666? 12345679×81=12345679×9×9=999999999. 練習3：找規(guī)律，寫得數。 （1） 1+0×9=???? 2+1×9=???? 3+12×9= ? 4+123×9=????? 9+12345678×9= （2） 1×1=?????? 11×11=???? 111×111=?? 111111111×111111111= （3）19+9×9=??? 118+98×9=??? 1117+987×9=11116+9876×9=????? ?? 111115+98765×9= 【例題4】找規(guī)律計算。（1） 81－18=（8－1）×9=7×9=63 （2） 72—27=（7－2）×9=5×9=45 （3） 63－36=（□－□）×9=□×9=□ 【思路導航】經仔細觀察、分析可以發(fā)現：一個兩位數與交換它的十位、個位數字位置后的兩位數相減，只要用十位與個位數字的差乘9，所得的積就是這兩個數的差。 練習4： 1．利用規(guī)律計算。（1）53－35?? （2）82－28?? （3）92－29 ?（4）61－16?? （5）95－59 2．找規(guī)律計算。（1） 62+26=（6+2）×11=8×11=88（2） 87+78=（8+7）×11=15×11=165（3） 54+45=（□+□）×11=□×11=□【例題5】計算（1）26×11??? （2）38×11 【思路導航】一個兩位數與11相乘，只要把這個兩位數的兩個數字的和插入這兩個數字中間，就是所求的積。（1） 26×11=2（2+6）6=286（2） 38×11=3（3+8）8=418 注意：如果兩個數字的和滿十，要向前一位進一。 練習5：計算下面各題。（1）27×11????????????????? （2）32×11（3） 39×11?????????? ????? （4）46×11（5）92×11????????????? ??? （6）98×11 第3講 簡 單 推 理 一、知識要點 解答推理問題，要從許多條件中找出關鍵條件作為推理的突破口。推理要有條理地進行，要充分利用已經得出的結論，作為進一步推理的依據。 二、精講精練 【例題1】 一包巧克力的重量等于兩袋餅干的重量，4袋牛肉干的重等于一包巧克力的重量，一袋餅干等于幾袋牛肉干的重量？ 【思路導航】根據“一包巧克力的重量=兩袋餅干的重量”與“4袋牛肉干的重量=一包巧克力的重量”可推出：兩袋餅干的重量=4袋牛肉干的重量。因此，一袋餅干的重量=兩袋牛肉干的重量。 練習1： （1）一只菠蘿的重量等于4根香蕉的重量，兩只梨子的重量等于一只菠蘿的重量，一只梨子的重量等于幾根香蕉的重量？ （2）3包巧克力的重量等于兩袋糖的的重量，12袋牛肉干的重量等于3包巧克力的重量，一袋糖的重量等于幾袋牛肉干的重量？ （3）一只小豬的重量等于6只雞的重量，3只雞的重量等于4只鴨的重量。一只小豬的重量等于幾只鴨的重量？ 【例題2】一頭象的重量等于4頭牛的重量，一頭牛的重量等于3匹小馬的重量，一匹小馬的重量等于3頭小豬的重量。一頭象的重量等于幾頭小豬的重量？ 【思路導航】根據“一頭象的重量等于4頭牛的重量”與“一頭牛的重量等于3匹小馬的重量”可推出：“一頭象的重量等于12匹小馬的重量”，而“一匹小馬的重量等于3頭小豬的重量”，因此，一頭象的重量等于36頭小豬的重量。 練習2： （1）一只西瓜的重量等于兩個菠蘿的重量，1個菠蘿的重量等于4個蘋果的重量，1個蘋果的重量等于兩個橘子的重量。1只西瓜的重量等于幾個橘子的重量？ （2）一頭牛一天吃草的重量和一只兔子9天吃草的重量相等，也和6只羊一天吃草的重量相等。已知一頭牛每天吃青草18千克，一只兔子和一只羊一天共吃青草多少千克？ （3）一只小豬的重量等于6只雞的重量，3只雞的重量等于4只鴨的重量，兩只鴨的重量等于6條魚的重量。問：兩只小豬的重量等于幾條魚的重量？ 【例題3】根據下面兩個算式，求○與□各代表多少？○＋○＋○=18 ○＋□=10 【思路導航】在第一個算式中，3個○相加的和是18，所以○代表的數是：18÷3=6，又由第二個算式可求出□代表的數是：10－6=4. 練習3： （1）根據下面兩個算式，求□與△各代表多少？ □＋□＋□＋□=32 △ －□=20 （2）根據下面兩個算式，求○與□各代表多少？○＋○＋○=15 ○＋○＋□＋□＋□=40 （3）根據下面兩個算式，求○與△各代表多少？○－△=8 △＋△＋△=○ 【例題4】根據下面兩個算式，求○與△各代表多少？ △－○=2 ○＋○＋△＋△＋△=56 【思路導航】由第一個算式可知，△比○多2；如果將第二個算式的○都換成△，那么5個△=56＋2×2，△=12，再由第一個算式可知，○=12－2=10. 練習4： （1）根據下面兩個算式求□與○各代表多少？ □－○=8 □＋□＋○＋○=20 （2）根據下面兩個算式，求△與○各代表多少？ △＋△＋△＋○＋○=78 △＋△＋○＋○＋○=72 （3）根據下面兩個算式，求△與□各代表多少？ △＋△＋△－□－□=12 □＋□＋□－△－△=2 【例題5】甲、乙、丙三人分別是一小、二小和三小的學生，在區(qū)運動會上他們分別獲得跳高、跳遠和壘球冠軍。已知：二小的是跳遠冠軍；一小的不是壘球冠軍，甲不是跳高冠軍；乙既不是二小的也不是跳高冠軍。問：他們三個人分別是哪個學校的？獲得哪項冠軍？ 【思路導航】由“二小的是跳遠冠軍”可知壘球、跳高冠軍是一小或三小的；因為“一小的不是壘球冠軍”，所以一小一定是跳高冠軍，三小的是壘球冠軍；由“甲不是跳遠冠軍”，“乙既不是二小的也不是跳高冠軍”可知，一小的甲是跳高冠軍，二小的丙是跳遠冠軍，三小的乙是壘球冠軍。 練習5： （1）有三個女孩穿著嶄新的連衣裙去參加游園會。一個穿花的，一個穿白的，一個穿紅的。但不知哪一個姓王、哪一個姓李、哪一個姓劉。只知道姓劉的不喜歡穿紅的，姓王的既不是穿紅裙子，也不是穿花裙子。你能猜出這三個女孩各姓什么嗎？ （2）小兔、小貓、小狗、小猴和小鹿參加100米比賽，比賽結束后小猴說：“我比小貓跑得快。”小狗說：“小鹿在我前面沖過終點線?！毙⊥谜f：“我們的名次排在小猴前面，小狗在后面?！闭埜鶕鼈兊幕卮鹋懦雒?。 （3）五個女孩并排坐著，甲坐在離乙、丙距離相等的座位上，丁坐在離甲、丙距離相等的座位上，戌坐在她兩個姐姐之間。請問誰是戌的姐姐？ 第4講 應用題（一） 一、知識要點 解答應用題時，必須認真審題，理解題意，深入細致地分析題目中數量間的關系，通過對條件進行比較、轉化、重新組合等多種手段，找到解題的突破口，從而使問題得以順利解決。 二、精講精練 【例題1】 某玩具廠把630件玩具分別裝在5個塑料箱和6個紙箱里，1個塑料箱與3個紙箱裝的玩具同樣多。每個塑料箱和紙箱各裝多少件玩具？ 【思路導航】如果玩具全部裝在塑料箱或全部裝在紙箱里，那么可以求出一個紙箱或一個塑料箱裝多少件。因為3個紙箱與一個塑料箱裝的同樣多，所以6個紙箱與2個塑料箱裝的同樣多。這樣，5個塑料箱裝的玩具件數和7個塑料箱裝的就同樣多。由此，可求出一個塑料箱裝多少件。 練習1： （1）百貨商店運來300雙球鞋分別裝在2個木箱和6個紙箱里。如果兩個紙箱同一個木箱裝的球鞋同樣多，每個木箱和每個紙箱各裝多少雙球鞋？ （2）新華小學買了兩張桌子和5把椅子，共付款195元。已知每張桌子的價錢是每把椅子的4倍，每張桌子多少元？ （3）王叔叔買了3千克荔枝和4千克桂圓，共付款156元。已知5千克荔枝的價錢等于2千克桂圓的價錢。每千克荔枝和每千克桂圓各多少元？ 【例題2】一桶油，連桶重180千克，用去一半油后，連桶還有100千克。問：油和桶各重多少千克？ 【思路導航】原來油和桶共重180千克，用去一半油后，連桶還有100千克，說明用去的一半油的重是180－100=80（千克），一桶油的重量就是80×2=160（千克），油桶的重量就是180－160=20（千克）。 練習2： （1）一筐梨，連筐重38千克，吃去一半后，連筐還有20千克。問：梨和筐各重多少千克？ （2）一筐蘋果，連筐共重35千克，先拿一半送給幼兒園小朋友，再拿剩下的一半送給一年級小朋友，余下的蘋果連筐重11千克。這筐蘋果重多少千克？ （3）一只油桶里有一些油，如果把油加到原來的2倍，油桶連油重38千克；如果把油加到原來的4倍，這里油和桶共重46千克。原來油桶里有油多少千克？ 【例題3】有5盒茶葉，如果從每盒中取出200克，那么5盒剩下的茶葉正好和原來4盒茶葉的重量相等。原來每盒茶葉有多少克？ 【思路導航】由條件“每盒取出200克，5盒剩下的茶葉正好和原來4盒茶葉重量相等”可以推出，拿出的200×5=1000（克）茶葉正好等于原來的5－4=1（盒）茶葉的重量。 練習3： （1）有6筐梨子，每筐梨子個數相等，如果從每筐中拿出40個，6筐梨子剩下的個數總和正好和原來兩筐的個數相等。原來每筐有多少個？ （2）在5個木箱中放著同樣多的橘子。如果從每個木箱中拿出60個橘子，那么5個木箱中剩下的橘子的個數的總和等于原來兩個木箱里橘子個數的和。原來每個木箱中有多少個橘子？ （3）某食品店有5箱餅干，如果從每個箱子里取出20千克，那么5個箱子里剩下的餅干正好等于原來3箱餅干的重量。原來每個箱子里裝多少千克餅干？ 【例題4】一個木器廠要生產一批課桌。原計劃每天生產60張，實際每天比原計劃多生產4張，結果提前一天完成任務。原計劃要生產多少張課桌？ 【思路導航】這道題的關鍵是要求出工作時間。因為實際比原計劃提前1天完成任務，這就相當于把原計劃最后1天的任務平均分到前面的幾天去做，正好分完。實際比原計劃每天多生產4張，所以實際生產的天數是60÷4=15天，原計劃生產的天數是15＋1=16天。所以原計劃要生產60×16=960張。 練習4： （1）電視機廠接到一批生產任務，計劃每天生產90臺，可以按期完成。實際每天多生產5臺，結果提前1天完成任務。這批電視機共有多少臺？ （2）小明看一本故事書，計劃每天看12頁，實際每天多看8頁，結果提前2天看完。這本故事書有多少頁？ （3）修一條公路，計劃每天修60米，實際每天比計劃多修15米，結果提前4天修完。一共修了多少米？ 【例題5】有兩盒圖釘，甲盒有72只，乙盒有48只，從甲盒拿出多少只放入乙盒，才能使兩盒中的圖釘相等？ 【思路導航】由條件可知，甲盒比乙盒多72－48=24只。要盒兩盒中的圖釘相等，只要把甲盒比乙盒多的24只圖釘平均分成2份，取其中的1份放入乙盒就行了。所以應拿出24÷2=12只。 練習5： （1）有兩袋面粉，第一袋面粉有24千克，第二袋面粉有18千克。從第一袋中取出幾千克放入第二袋，才能使兩袋中的面粉重量相等？ （2）有兩盒圖釘，甲盒有72只，乙盒有48只。每次從甲盒中拿4只放到乙盒，拿幾次才能使兩盒相等？ （3）有兩袋糖，一袋是68粒，另一袋是20粒。每次從多的一袋中拿出6粒放到少的一袋里，拿幾次才能使兩袋糖同樣多？ 第5講 算式謎（一） 一、知識要點 “算式謎”一般是指那些含有未知數字或缺少運算符號的算式。解決這類問題，可以根據已學過的知識，運用正確的分析推理方法，確定算式中的未知數字和運用符號。由于這類題目的解答過程類似全平時進行的猜謎語游戲，所以，我們把這類題目稱為“算式謎題”。 解答算式謎問題時，要先仔細審題，分析數據之間的關系，找到突破口，逐步試驗，分析求解，通常要運用倒推法、湊整法、估值法等。 二、精講精練 【例題1】 在下面算式的括號里填上合適的數。 【思路導航】根據題目特點，先看個位：7＋5=12，在和的個位（ ）中填2，并向十位進一；再看十位，（ ）+4+1的和個位是1，因此，第一個加數的（ ）中只能填6，并向百位進1；最后來看百位、千位，6+（ ）+1的和的個位是2，第二個加數的（ ）中只能填5，并向千位進1；因此，和的千位（ ）中應填8。 練習1：（1）在括號里填上合適的數。 （2）在方框里填上合適的數。 ????? （3）下面的豎式里，有4個數字被遮住了，求豎式中被蓋住的4個數字的和。 【例題2】下面各式中“巨”、“龍”、“騰”、“飛”分別代表不同的數字，相同的漢字代表相同的數字。當它們各代表什么數字時，下列的算式成立。 【思路導航】先看個位，3個“飛”相加的和的個位數字是1，可推知“飛”代表7；再看十位，3個“騰”相加，再加上個位進來的2，所得的和的個位是0，可推知“騰”代表6；再看百位，兩個“龍”相加，加上十位進上來的2，所得和的個位是0，“龍”可能是4或9，考慮到千位上的“巨”不可能為0，所以“龍”只能代表4，“巨”只能代表1。 練習2： 【例題3】下面各式中的“兵”、“炮”、“馬”、“卒”各代表0—9這十個數字中的某一個，相同的漢字代表相同的數字。這些漢字各代表哪些數字？ 【思路導航】這道題應以“卒”入手來分析?！白洹焙汀白洹毕嗉雍偷膫€位數字仍然是“卒”，這個數字只能是0。確定“卒”是0后，所有是“卒”的地方，都是0。注意到百位上是“兵”+“兵”=“卒”，容易知道“兵”是5，“車”是1；再由十位上的情況可推知“馬”是4，進而推得“炮”是2。 練習3： 【例題4】將0、1、2、3、4、5、6這七個數字填在圓圈和方格內，每個數字恰好出現一次，組成一個整數算式。 ○×○=□=○÷○ 【思路導航】要求用七個數字組成五個數，這五個數有三個是一位數，有兩個是兩位數。顯然，方格中的數和被除數是兩位數，其他是一位數。 0和1不能填入乘法算式，也不能做除數。由于2×6=12（2將出現兩次），2×5=10（經試驗不合題意），2×4=8（7個數字中沒有8），2×3=6（6不能成為商）。因此，0、1、2只能用來組成兩位數。經試驗可得：3×4=12=6=÷5. 練習4：（1）將0、1、3、5、6、8、9這七個數字填在圓圈和方筐里，每個數字恰好出現一次組成一個整數算式。 ○×○=□=○÷○ （2）填入1、2、3、4、7、9，使等式成立。 □÷□=□÷□ （3）用1、2、3、7、8這五個數字可以列成一個算式：（1+3）×7=28。請你用0、1、2、3、4、6這六個數字列成一個算式。 【例題5】把“＋、－、×、÷”分別放在適當的圓圈中（運算符號只能用一次），并在方框中填上適當的數，使下面的兩個等式成立。36○0○15=15 21○3○5=□ 【思路導航】先從第一個等式入手，等式右邊是15，與等式左邊最后一個數15相同，因為0+15=15，所以，只要使36與0的運算結果為0就行。顯然，36×0+15=15 因為第一個等式已填“×”、“+”，在第二個等式中只有“－”、“÷”可以填，題目要求在方框中填整數，已知3不能被5整除，所以“÷”只能填在21與3之間，而3與5之間填“－”。 練習5：（1）把“＋、－、×、÷”分別填入下面的圓圈中，并在方框中填上適當的整數，使下面每組的兩個等式成立。 ① 9○13○7=100 14○2○5=□ ② 17○6○2=100 5○14○7=□ （2）將1～9這九個數字填入□中（每個數字只能用一次），組成三個等式。 □＋□=□ □－□=□ □×□=□ 第6講 算式謎（二） 一、知識要點 解決算式謎題，關鍵是找準突破口，推理時應注意以下幾點： 1．認真分析算式中所包含的數量關系，找出隱蔽條件，選擇有特征的部分作出局部判斷； 2．利用列舉和篩選相結合的方法，逐步排除不合理的數字； 3．試驗時，應借助估值的方法，以縮小所求數字的取值范圍，達到快速而準確的目的； 4．算式謎解出后，要驗算一遍。 二、精講精練 【例題1】 在下面的方框中填上合適的數字。 【思路導航】由積的末尾是0，可推出第二個因數的個位是5；由第二個因數的個位是5，并結合第一個因數與5相乘的積的情況考慮，可推出第一人個因數的百位是3；由第一個因數為376與積為31□□0，可推出第二個因數的十數上是8。題中別的數字就容易填了。 練習1： 在□里填上適當的數。 【例題2】在下面方框中填上適合的數字。 【思路導航】由商的十位是1，以及1與除數的乘積的最高位是1可推知除數的十位是1。由第一次除后余下的數是1，可推知被除數的十位只可能是7、8、9。如果是7，除數的個位是0，那么最后必有余數；如果被除數是8，除數的個位就是1，也不能除盡；只有當被除數的十位是9時，除數的個位是2時，商的個位為6，正好除盡。完整的豎式是： 練習2：在□內填入適當的數字，使下列除法豎式成立。 【例題3】下面算式中的a、b、c、d這四個字母各代表什么數字？ 【思路導航】因為四位數abcd乘9的積是四位數，可知a是1；d和9相乘的積的個位是1，可知d只能是9；因為第二個因數9與第一個因數百位上的數b相乘的積不能進位，所以b只能是0（1已經用過）；再由b=0，可推知c=8。 練習3： 花= 紅 = 柳 = 綠 = 華 = 羅 = 庚 = 金 = 杯 = 盼 = 望 = 祖 = 國 = ??? 早 = 日 = 統(tǒng) = 一 =????? 求下列各題中每個漢字所代表的數字。 【例題4】在1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數字中間加上“＋、－”兩種運算符號，使其結果等于100（數字的順序不能改變）。 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 【思路導航】先湊出與100比較接近的數，再根據需要把相鄰的幾個數組成一個數。 比如：123與100比較接近，所以把前三個數字組成123，后面的數字湊出23就行。因為45與67相差22，8與9相差1，所以得到一種解法：123＋45－67＋8－9=100 再比如：89與100比較接近，78與67正好相差11，所此可得另一種解法：123＋45－67＋8－9=100. 練習4：：（1）在下面等號左邊的數字之間添上一些加號，使其結果等于99（數字的順序不能改變）。 8 7 6 5 4 3 2 1 = 99 （2）一個乘號和七個加號添在下面的算式中合適的地方，使其結果等于100（數字的順序不能改變）。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 （3）添上適當的運算符號和括號，使下列等式成立。 1 2 3 4 5 = 100 【例題5】在下面的式子里添上括號，使等式成立。 7×9＋12÷3－2 = 23 【思路導航】采用逆推法，從最后一步運算開始考慮。假如最后一步是用前面計算的結果減2，那么前面式子的運算結果應等25，又因為25×3=75，而前面7×9＋12又正好等于75，所以，應給前面兩步運算加括號。 （7×9＋12）÷3－2 = 23 練習5： 1.在下面的式子里添上括號，使等式成立。 （1）7×9＋12÷3－2 = 75（2）7×9＋12÷3－2 = 47（3）88＋33－11÷11×2 = 5 2.在1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數字中間加上“＋、－”兩種運算符號，使其結果等于100（數字的順序不能改變）。 第7講 最優(yōu)化問題 一、知識要點 在日常生活和生產中，我們經常會遇到下面的問題：完成一件事情，怎樣合理安排才能做到用的時間最少，效果最佳。這類問題在數學中稱為統(tǒng)籌問題。我們還會遇到“費用最省”、“面積最大”、“損耗最小”等等問題，這些問題往往可以從極端情況去探討它的最大（?。┲?，這類問題在數學中稱為極值問題。以上的問題實際上都是“最優(yōu)化問題”。 二、精講精練 【例題1】 用一只平底鍋煎餅，每次只能放兩個，剪一個餅需要2分鐘（規(guī)定正反面各需要1分鐘）。問煎3個餅至少需要多少分鐘？ 【思路導航】先將兩個餅同時放入鍋中一起煎，一分鐘后兩個餅都熟了一面，這時可將一個取出，另一個翻過去，再放入第三個。又煎了一分鐘，將兩面都熟的那個取出，把第三個翻過去，再將第一個放入煎，再煎一分鐘就會全部煎好。所以，煎3個餅至少需要3分鐘。 練習1： 1.烤面包時，第一面需要2分鐘，第二面只要烤1分鐘，即烤一片面包需要3分鐘。小麗用來烤面包的架子，一次只能放兩片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分鐘？ 2.用一只平底鍋烙大餅，鍋里只能同時放兩個。烙熟大餅的一面需要3分鐘，現在要烙3個大餅，最少要用幾分鐘？ 3.小華用平底鍋烙餅，這只鍋同時能放4個大餅，烙一個要用4分鐘（每面各需要2分鐘）?？尚∪A烙6個大餅只用了6分鐘，他是怎樣烙的？ 【例題2】媽媽讓小明給客人燒水沏茶。洗水壺需要1分鐘，燒開水需要15分鐘，洗茶壺需要1分鐘，洗茶杯需要1分鐘。要讓客人喝上茶，最少需要多少分鐘？ 【思路導航】經驗表明，能同時做的事，盡量同時做，這樣可以節(jié)省時間。水壺不洗，不能燒開水，因此，洗水壺和燒開水不能同時進行。而洗茶壺、洗茶杯和拿茶葉與燒開水可以同時進行。 根據以上的分析，可以這樣安排：先洗水壺用1分鐘，接著燒開水用15分鐘，同時洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉，水開了就沏茶，共需要16分鐘。 練習2： 1.小虎早晨要完成這樣幾件事：燒一壺開水需要10分鐘，把開水灌進熱水瓶需要2分鐘，取奶需要5分鐘，整理書包需要4分鐘。他完成這幾件事最少需要多少分鐘？ 2.小強給客人沏茶，燒開水需要12分鐘，洗茶杯要2分鐘，買茶葉要8分鐘，放茶葉泡茶要1分鐘。為了讓客人早點喝上茶，你認為最合理的安排，多少分鐘就可以了？ 3.在早晨起床后的1小時內，小欣要完成以下事情：疊被3分鐘，洗臉刷牙8分鐘，讀外語30分鐘，吃早餐10分鐘，收碗擦桌5分鐘，收聽廣播30分鐘。最少需要多少分鐘？ 【例題3】五（1）班趙明、孫勇、李佳三位同學同時到達學校衛(wèi)生室，等候校醫(yī)治病。趙明打針需要5分鐘，孫勇包紗布需要3分鐘，李佳點眼藥水需要1分鐘。衛(wèi)生室只有一位校醫(yī)，校醫(yī)如何安排三位同學的治病次序，才能使三位同學留在衛(wèi)生室的時間總和最短？ 【思路導航】校醫(yī)應該給治療時間最短的先治病，治療時間長的最后治療，才能使三位同學在衛(wèi)生室的時間總和最短。這樣，三位同學留在衛(wèi)生室的時間分別是：李佳1分鐘，趙1+3=4分鐘，趙明1+3+5=9分鐘。時間總和是1+4+9=14分鐘。 練習3： 1．甲、乙、丙三人分別拿著2個、3個、1個熱水瓶同時到達開水供應點打熱水。熱水龍頭只有一個，怎樣安排他們打水的次序，可以使他們打熱水所花的總時間最少？ 2．甲、乙、丙三人到商場批發(fā)部洽談業(yè)務，甲、乙、丙三人需要的時間分別是10分鐘、16分鐘和8分鐘。怎樣安排，使3人所花的時間最少？最少時間是多少？ 3．甲、乙、丙、丁四人同時到一水龍頭處用水，甲洗托把需要3分鐘，乙洗抹布需要2分鐘，丙洗衣服需要10分鐘，丁用桶注水需要1分鐘。怎樣安排四人用水的次序，使他們所花的總時間最少？最少時間是多少？ 【例題4】用18厘米長的鐵絲圍成各種長方形，要求長和寬的長度都是整厘米數。圍成的長方形的面積最大是多少？ 【思路導航】根據題意，圍成的長方形的一條長與一條寬的和是18÷2=9厘米。顯然，當長與寬的差越小，圍成的長方形的面積越大。又已知長和寬的長度都是整厘米數，因此，當長是5厘米，寬是4厘米時，圍成的長方形的面積最大：5×4=20平方厘米。 練習4： 1.用長26厘米的鐵絲圍成各種長方形，要求長和寬的長度都是整厘米數，圍成的長方形的面積最大是多少？ 2.一個長方形的周長是20分米，它的面積最大是多少？ 3.一個長方形的面積是36平方厘米，并且長和寬的長度都是整厘米數。這個長方形的周長最長是多少厘米？ 【例題5】用3～6這四個數字分別組成兩個兩位數，使這兩個兩位數的乘積最大。 【思路導航】解決這個問題應考慮兩點：（1）盡可能把大數放在高位；（2）盡可能使兩個數的差最小。所以應把6和5這兩個數字放在十位，4和3放在個位。根據“兩個因數的差越小，積越大”的規(guī)律，3應放在6的后面，4應放在5的后面。63×54=3402. 練習5： 1.用1～4這四個數字分別組成兩個兩位數，使這兩個兩位數的乘積最大。 2.用5～8這四個數字分別組成兩個兩位數，使這兩個兩位數的乘積最大。 3.用3～8這六個數字分別組成兩個三位數，使這兩個三位數的乘積最大。 第8講 巧妙求和（一） 一、知識要點 若干個數排成一列稱為數列。數列中的每一個數稱為一項。其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項，數列中項的個數稱為項數。 從第二項開始，后項與其相鄰的前項之差都相等的數列稱為等差數列，后項與前項的差稱為公差。 在這一章要用到兩個非常重要的公式：“通項公式”和“項數公式”。 通項公式：第n項=首項+（項數－1）×公差 項數公式：項數=（末項－首項）÷公差＋1 二、精講精練 【例題1】 有一個數列：4，10，16，22.…，52.這個數列共有多少項？ 【思路導航】容易看出這是一個等差數列，公差為6，首項是4，末項是52.要求項數，可直接帶入項數公式進行計算。 項數=（52－4）÷6＋1=9，即這個數列共有9項。 練習1： 1.等差數列中，首項=1.末項=39，公差=2.這個等差數列共有多少項？ 2.有一個等差數列：2.5，8，11.…，101.這個等差數列共有多少項？ 3.已知等差數列11.16，21.26，…，1001.這個等差數列共有多少項？ 【例題2】有一等差數列：3.7，11.15，……，這個等差數列的第100項是多少？ 【思路導航】這個等差數列的首項是3.公差是4，項數是100。要求第100項，可根據“末項=首項+公差×（項數－1）”進行計算。 第100項=3+4×（100－1）=399. 練習2： 1.一等差數列，首項=3.公差=2.項數=10，它的末項是多少？ 2.求1.4，7，10……這個等差數列的第30項。 3.求等差數列2.6，10，14……的第100項。 【例題3】有這樣一個數列：1.2.3.4，…，99，100。請求出這個數列所有項的和。 【思路導航】如果我們把1.2.3.4，…，99，100與列100，99，…，3.2.1相加，則得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每個小括號內的兩個數的和都是101.一共有100個101相加，所得的和就是所求數列的和的2倍，再除以2.就是所求數列的和。 1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 上面的數列是一個等差數列，經研究發(fā)現，所有的等差數列都可以用下面的公式求和： 等差數列總和=（首項+末項）×項數÷2 這個公式也叫做等差數列求和公式。 練習3： 計算下面各題。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60 【例題4】求等差數列2，4，6，…，48，50的和。 【思路導航】這個數列是等差數列，我們可以用公式計算。 要求這一數列的和，首先要求出項數是多少：項數=（末項－首項）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25 首項=2.末項=50，項數=25 等差數列的和=（2+50）×25÷2=650. 練習4： 計算下面各題。 （1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 （3）9+18+27+36+…+261+270 【例題5】計算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99） 【思路導航】容易發(fā)現，被減數與減數都是等差數列的和，因此，可以先分別求出它們各自的和，然后相減。 進一步分析還可以發(fā)現，這兩個數列其實是把1 ～ 100這100個數分成了奇數與偶數兩個等差數列，每個數列都有50個項。因此，我們也可以把這兩個數列中的每一項分別對應相減，可得到50個差，再求出所有差的和。 （2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99） =（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99） =1+1+1+…+1 =50 練習5： 用簡便方法計算下面各題。 （1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994） （2）（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999） （3）（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998） 第9講 變化規(guī)律（一） 一、知識要點 和、差的規(guī)律見下表（m≠0） 一個加數（a） 另一個加數（b） 和（c） ±m(xù) 不變 ±m(xù) 不變 ±m(xù) ±m(xù) ±m(xù) m 不變 被減數（a） 減數（b） 差（c） ±m(xù) 不變 ±m(xù) 不變 ±m(xù) m ±m(xù) ±m(xù) 不變 二、精講精練 【例題1】 兩個數相加，一個加數增加9，另一個加數減少9，和是否發(fā)生變化？ 【思路導航】一個加數增加9，假如另一個加數不變，和就增加9；假如一個加數不變，另一個加數減少9，和就減少9；和先增加9，接著又減少9，所以不發(fā)生變化。 練習1： 1.兩個數相加，一個數減8，另一個數加8，和是否變化？ 2.兩個數相加，一個數加3.另一個數也加3.和起什么變化？ 3.兩個數相加，一個數減6，另一個數減2.和起什么變化？ 【例題2】兩個數相加，如果一個加數增加10，要使和增加6，那么另一個加數應有什么變化？ 【思路導航】一個加數增加10，假如另一個加數不變，和就增加10?，F在要使和增加6，那么另一個加數應減少10－6=4。 練習2： 1.兩個數相加，如果一個加數增加8，要使和增加15，另一個加數應有什么變化？ 2.兩個數相加，如果一個加數增加8，要使和減少15，另一個加數應有什么變化？ 3.兩個數相加，如果一個加數減少8，要使和減少8，另一個加數應有什么變化？ 【例題3】兩數相減，如果被減數增加8，減數也增加8，差是否起變化？ 【思路導航】被減數增加8，假如減數不變，差就增加8；假如被減數不變，減數增加8，差就減少8。兩個數的差先增加8，接著又減少8，所以不起什么變化。 練習3： 1.兩數相減，被減數減少6，減數也減少6，差是否起變化？ 2.兩數相減，被減數增加12.減數減少12.差起什么變化？ 3.兩數相減，被減數減少10，減數增加10，差起什么變化？ 【例題4】兩數相乘，如果一個因數擴大8倍，另一個因數縮小2倍，積將有什么變化？ 【思路導航】如果一個因數擴大8倍，另一個因數不變，積將擴大8倍；如果一個因數不變，另一個因數縮小2倍，積將縮小2倍。積先擴大8倍又縮小2倍，因此，積擴大了8÷2=4倍。 練習4： 1.兩數相乘，如果一個因數縮小4倍，另一個因數擴大4倍，和是否起變化？ 2.兩數相乘，如果一個因數擴大3倍，另一個因數縮小12倍，積將有什么變化？ 3.兩數相乘，如果一個因數擴大3倍，另一個因數擴大6倍，積將有什么變化？ 【例題5】兩數相除，如果被除數擴大4倍，除數縮小2倍，商將怎樣變化？ 【思路導航】如果被除數擴大4倍，除數不變，商就擴大4倍；如果被除數不變，除數縮小2倍，商就擴大2倍。商先擴大4倍，接著又擴大2倍，商將擴大4×2=8倍。 練習5： 1.兩數相除，被除數擴大30倍，除數縮小5倍，商將怎樣變化？ 2.兩數相除，被除數縮小12倍，除數縮小2倍，商將怎樣變化？ 3.兩數相除，除數擴大6倍，要使商擴大3倍，被除數應怎樣變化？ 第10講 變化規(guī)律 一、知識要點 乘、除變化規(guī)律見下表（m≠0） 被乘數（a） 乘數（b） 積（c） ×÷m 不變 ×÷m 不變 ×÷m ×÷m ×÷m ÷×m 不變 被除數（a） 除數（b） 商（c） ×÷m 不變 ×÷m 不變 ×÷m ÷×m ×÷m ×÷m 不變 我們學習了和、差、積、商的變化規(guī)律，這一周，我們利用這些規(guī)律來解決一些較簡單的問題。 二、精講精練 【例題1】 兩數相減，被減數減少8，要使差減少12.減數應有什么變化？ 【思路導航】被減數減少8，假如減數不變，差也減少8；現在要使差減少12.減數應增加12－8=4。 練習1： 1.兩數相減，如果被減數增加6，要使差增加15，減數應有什么變化？ 2.兩數相減，如果被減數增加20，要使差減少12.減數應有什么變化？ 3.兩數相減，減數減少9，要使差增加16，被減數應有什么變化？ 【例題2】兩個數相除，商是8，余數是20，如果被除數和除數同時擴大10倍，商是多少？余數是多少？ 【思路導航】兩數相除，被除數和除數同時擴大相同的倍數，商不變，余數擴大相同的倍數。所以商是8，余數是20×10=200。 練習2： 1.兩數相除，商是6，余數是30，如果被除數和除數同時擴大10倍，商是多少？余數是多少？ 2.兩個數相除，商是9，余數是3。如果被除數和除數同時擴大120倍，商是多少？余數是多少？ 3.兩個數相除，商是8，余數是600。如果被除數和除數同時縮小100倍，商是多少？余數是多少？ 【例題3】兩數相乘，積是48。如果一個因數擴大2倍，另一個因數縮小3倍，那么積是多少？ 【思路導航】一個因數擴大2倍，積擴大2倍；另一個因數縮小3倍，積縮小3倍。所以最后的積是48×2÷3=32。 練習3： 1.兩數相乘，積是20。如果一個因數擴大3倍，另一個因數縮小4倍，那么積是多少？ 2.兩數相除，商是19。如果被除數擴大20倍，除數縮小4倍，那么商是多少？ 3.兩數相除，商是27。如果被除數擴大12倍，除數擴大6倍，那么商是多少？ 【例題4】小華在計算兩個數相加時，把一個加數個位上的1錯誤地寫成7，把另一個加數十位上的3錯誤地寫成8，所得的和是1996。原來兩個數相加的正確答案是多少？ 【思路導航】根據題意，一個加數個位上的1被寫成了7，這樣錯寫一個加數比原來增加了6；另一個加數十位上的3寫成8，增加了50。這樣，所得的結果就比原來增加了6+50=56。所以，原來兩數相加的正確答案是：1996－（6＋56）=1940。 練習4： 1.小明在計算加法時，把一個加數十位上的0錯寫成8，把另一個加數個位上的6錯寫成9，所得的和是532。正確的和是多少？ 2.小強在計算加法時，把一個加數十位上的7錯寫成1.把個位上的8錯寫成0，所得的和是285。正確的和是多少？ 3.小亮在計算加法時，把一個加數個位上的5錯寫成3.把另一個加數十位上的3錯寫成8，所得的和是650。正確的和是多少？ 【例題5】王霞在計算題時，由于粗心大意，把被減數個位上的3錯寫成5，把十位上的6錯寫成0，這樣算得差是189。正確的差是多少？ 【思路導航】根據題意，被減數個位上的3寫成5，因此增加了2；十位上的6寫成0，因此減少60。這樣錯寫的被減數比原來減少了60－2=58。因為減數不變，根據差的變化規(guī)律，正確的差要比錯誤的差多50。正確的差是：189＋58=247。 練習5： 1.小軍在做題時，把被減數個位上的3錯寫成8，把十位上的0錯寫成6，這樣算得的差是198。正確的差是多少？ 2.小剛在做題時，把減數個位上的9錯寫成6，把十位上的3錯寫成8，這樣算得的差是268。正確的差是多少？ 3.小紅在做題時，把被減數十位上的0錯寫成8，把減數個位上的8錯寫成3.這樣算得的差是632。正確的差是多少？ 第11講 錯中求解 一、知識要點 在加、減、乘、除式的計算中，如果粗心大意將算式中的一些運算數或符號抄錯，就會導致計算結果發(fā)生錯誤。這一周，我們就來討論怎樣利用錯誤的答案求出正確的結論。 二、精講精練 【例題1】小玲在計算除法時，把除數65寫成56，結果得到的商是13.還余52。正確的商是多少？ 【思路導航】要求出正確的商，必須先求出被除數是多少。我們可以先抓住錯誤的得數，求出被除數：13×56＋52=780。所以，正確的商是：780÷65=12。 練習1： 1.小星在計算除法時，把除數87錯寫成78，結果得到的商是5，余數是45。正確的商應該是多少？ 2.甜甜和蜜蜜在用同一個數做被除數。甜甜用12去除，蜜蜜用15去除，甜甜得到的商是32還余6，蜜蜜計算的結果應該是多少？ 3.小虎在計算除法時，把被除數1250寫成1205，結果得到的商是48，余數是5。正確的商應該是多少？ 【例題2】小芳在計算除法時，把除數32錯寫成320，結果得到商是48。正確的商應該是多少？ 【思路導航】根據題意，把除數32改成320擴大到原來的10倍，又因為被除數不變，根據商的變化規(guī)律，正確的商應該是錯誤商的10倍。所以正確的商應該是48×10=480。 練習2： 1.小麗在計算除法時，把除數530末尾的0漏寫了，得到的商是40。正確的商應該是多少？ 2.小馬在計算除法時，把被除數1280誤寫成12800，得到的商是32。正確的商應該是多少？ 3.小欣在計算除法時，把被除數420錯寫成240，結果得到商是48。正確的商應該是多少？ 【例題3】小冬在計算有余數的除法時，把被除數137錯寫成173.這樣商比原來多了3.而余數正好相同。正確的商和余數是多少？ 【思路導航】因為被除數137被錯寫成了173.被除數比原來多了173－137=36，又因為商比原來多了3.而且余數相