2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第56講 排列與組合(含解析)
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1、2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第56講 排列與組合 一、選擇題(共8小題) 1. 從 4 雙不同的鞋中任取出 4 只,結(jié)果都不成雙的取法種數(shù)為 ?? A. 24 B. 16 C. 44 D. 24×16 2. 9 個(gè)人平均分 3 組,甲、乙必在一組,則不同的分組方法的種數(shù)為 ?? A. 70 B. 140 C. 280 D. 840 3. 算籌是在珠算發(fā)明以前我國(guó)獨(dú)創(chuàng)并且有效的計(jì)算工具,為我國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了很大貢獻(xiàn).在算籌計(jì)數(shù)法中,以“縱式”和“橫式”兩種方式來(lái)表示數(shù)字,如圖: 表示多位數(shù)時(shí),個(gè)位用縱式,十位用橫式,百位用縱式,千位用橫式,以此類
2、推,遇零則置空,如圖: 如果把 5 根算籌以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃胂旅娴谋砀裰?,那么可以表示的三位?shù)的個(gè)數(shù)為 ?? A. 46 B. 44 C. 42 D. 40 4. 把 4 個(gè)不同的黑球,4 個(gè)不同的紅球排成一排,要求黑球、紅球分別在一起,不同的排法種數(shù)是 ?? A. A88 B. A44A44 C. A44A44A22 D. 以上都不對(duì) 5. 有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù),甲需 2 人承擔(dān),乙、丙各需 1 人承擔(dān),從 10 人中選派 4 人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù),不同的選法有 ?? A. 1260 種 B. 2025 種 C. 2520 種 D. 5040 種
3、
6. 全班 48 名學(xué)生坐成 6 排,每排 8 人,排法總數(shù)為 P;排成前后兩排,每排 24 人,排法總數(shù)為 Q,則有 ??
A. P>Q B. P=Q C. P 4、
二、多選題(共1小題)
9. 已知集合 M=1,?2,3,N=?4,5,6,?7,從 M,N 這兩個(gè)集合中各選一個(gè)元素分別記作 a,b.則下列說(shuō)法正確的有 ??
A. ba 表示不同的正數(shù)的個(gè)數(shù)是 6
B. ba 表示不同的比 1 小的數(shù)的個(gè)數(shù)是 6
C. a,b 表示 x 軸上方不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 6
D. a,b 表示 y 軸右側(cè)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 6
三、填空題(共11小題)
10. 將 2 個(gè)相同的紅球和 2 個(gè)相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四個(gè)盒子里,其中甲、乙盒子均最多可放入 2 個(gè)球,丙、丁盒子均最多可放入 1 個(gè)球,且不同顏色的球不能放入同 5、一個(gè)盒子里,共有 ?種不同的放法.
11. 圓周上有 12 個(gè)不同的點(diǎn),過(guò)其中任意兩點(diǎn)作弦,這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ?.
12. 在一塊并排 10 壟的田地中,選擇 2 壟分別種植 A,B 兩種作物,每種作物種植 1 壟.為有利于作物生長(zhǎng),要求 A,B 兩種作物的間隔不小于 6 壟,則不同的選壟方法共有 ? 種.
13. C22+C32+C42+?+C112= ?.(用數(shù)字作答)
14. 甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念 6、.要求老師必須站在正中間,且甲同學(xué)不與老師相鄰,則不同的站法種數(shù)為 ?.
15. 從 4 名男同學(xué),3 名女同學(xué)中選 3 名同學(xué)組成一個(gè)小組,要求其中男、女同學(xué)都有,則共有 ? 種不同的選法.(用數(shù)字作答)
16. 回文數(shù)是指從左到右與從右到左都一樣的正整數(shù),如 22,121,3443,94249 等,則在所有四位數(shù)中,回文數(shù)的個(gè)數(shù)是 ?.
17. 安排 3 名支教教師去 4 所學(xué)校任教,每校至多 2 人,則不同的分配方案共有 ?種.
18. 7、 8 人排成前后兩排,前排 3 人后排 5 人,甲、乙在后排,且不相鄰的排法有幾種 ?.
19. 如圖,機(jī)器人亮亮沿著單位網(wǎng)格從 A 地移動(dòng)到 B 地,每次只移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度,則亮亮從點(diǎn) A 移動(dòng)到點(diǎn) B 最近的走法共有 ?種.
20. C22+C32+?+C102= ?.
四、解答題(共7小題)
21. 有 8 名學(xué)生排成一排,求分別滿足下列條件的排法種數(shù),要求列式并給出計(jì)算結(jié)果.
(1)甲不在兩端;
(2)甲、乙相鄰;
(3)甲、乙、丙三人兩兩不得相鄰;
8、(4)甲不在排頭,乙不在排尾.
22. 判斷下列問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題.
(1)若集合 A=a,b,c,d,則集合 A 的含有 3 個(gè)元素的子集有多少個(gè)?
(2)某鐵路線上有 4 個(gè)車站,則這條鐵路線上需準(zhǔn)備多少種車票?
(3)從 7 本不同的書(shū)中取出 5 本給某同學(xué);
(4)三個(gè)人去做 5 種不同的工作,每人做 1 種,有多少種分工方法?
(5)把 3 本相同的書(shū)分給 5 個(gè)學(xué)生,每人最多得一本,有多少種分配方法?
23. 計(jì)算:
(1)C200198;
(2)C1782+C178175;
(3)C63÷C85;
(4)Cn+1n÷Cnn?2.
9、
24. 6 本不同的書(shū),按下列要求各有多少種不同的選法:
(1)分給甲、乙、丙三人,每人兩本;
(2)分為三份,每份兩本;
(3)分為三份,一份一本,一份兩本,一份三本;
(4)分給甲、乙、丙三人,一人一本,一人兩本,一人三本;
(5)分給甲、乙、丙三人,每人至少一本.
25. 求證:
(1)P2nn?P3nn=P3n2n;
(2)Pn+1m?Pnm=mPnm?1.
26. 試確定下列問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題.
(1)3 本不同的書(shū)借給甲、乙、丙 3 名學(xué)生,每人 1 本,有多少種不同的借法?
(2)從 10 本書(shū)中任意取 5 本贈(zèng)送給 1 名學(xué)生 10、,有多少種不同的送法?
(3)從 15 人中選 3 人去參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,有多少種不同的選法?
(4)從 15 人中選 3 人分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽,有多少種不同的選法?
27. 同室 4 人各寫一張賀年卡,先集中起來(lái),然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡,求 4 張賀年卡不同的分配方式有多少種?
答案
1. B
2. A
3. B
【解析】按每一位算籌的根數(shù)分類一共有 15 種情況,如下:5,0,0,4,1,0,4,0,1,3,2,0,3,1,1,3,0,2,2,3,0,2,2,1,2,1,2,2,0,3,1,4,0,1,3,1,1,2,2,1,1,3, 11、1,0,4,
2 根以上的算籌可以表示兩個(gè)數(shù)字,運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理,
則上述情況能表示的三位數(shù)字個(gè)數(shù)分別為:
2,2,2,4,2,4,4,4,4,4,2,2,4,2,2,
根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,5 根算籌能表示的三位數(shù)字個(gè)數(shù)為
2+2+2+4+2+4+4+4+4+4+2+2+4+2+2=44.
4. C
5. C
【解析】第一步,從 10 人中選派 2 人承擔(dān)任務(wù)甲,有 C102 種選派方法;
第二步,從余下的 8 人中選派 1 人承擔(dān)任務(wù)乙,有 C81 種選派方法;
第三步,再?gòu)挠嘞碌?7 人中選派 1 人承擔(dān)任務(wù)丙,有 C71 種選派方法.
根據(jù)分步乘法計(jì) 12、數(shù)原理知,選法有 C102?C81?C71=2520 種.
6. B
7. C
8. C
【解析】20?n21?n?100?n=100?n!20?n!=A10081.
9. B, C
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,若 a,b 均為正,共有 2×2=4 個(gè),若 a,b 均為負(fù),共有 1×2=2 個(gè),但 63=?4?2,所以共有 5 個(gè),所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)B,若 ba 為正,顯然均比 1 大,所以只需 ba 為負(fù)即可,共有 2×2+1×2=6 個(gè),所以選項(xiàng)B正確;
對(duì)于選項(xiàng)C,要使 a,b 表示 x 軸上方的點(diǎn),只需 b 為正即可,共有 2×3=6 個(gè),所以選項(xiàng)C正確 13、;
對(duì)于選項(xiàng)D,要使 a,b 表示 y 軸右側(cè)的點(diǎn),只需 a 為正即可,共有 2×4=8 個(gè),所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
10. 20
【解析】丙,丁→0,0:A22=2;
丙,丁→1,0:C21C21=4;
丙,丁→0,1:C21C21=4;
丙,丁→1,1:A222+2不同色+C21同色=10.
故共有:2+4+4+10=20 種.
11. C124
【解析】?jī)蓷l直線相交有且只有一個(gè)交點(diǎn),任意一個(gè)凸四邊形在圓內(nèi)的交點(diǎn)即為兩條對(duì)角線的交點(diǎn),有且只有一個(gè).而要得到一個(gè)四邊形,需要從 12 個(gè)點(diǎn)中取出 4 個(gè)點(diǎn),共有 C124 個(gè),即有 C124 個(gè)交點(diǎn).
12. 14、12
【解析】先考慮 A 種植在左邊的情況,有 3 類.A 種植在最左邊一壟上時(shí),B 有 3 種不同的種植方法;A 種植在左邊第二壟上時(shí),B 有 2 種不同的種植方法;A 種植在左邊第三壟上時(shí),B 只有 1 種種植方法;又 B 在左邊種植的情況與 A 相同,故有 2×3+2+1=12 種不同的選壟方法.
13. 220
14. 12
15. 30
16. 90
17. 60
18. 8640
【解析】根據(jù)題意,分 2 步進(jìn)行分析:
①,在除甲乙之外的 6 人中任選 3 人,與甲乙一起排在后排,
由于甲乙不能相鄰,則有 C63×A33×A42=1440 種情況;
15、
②,將剩下的三人全排列,安排在前排,有 A33=6 種情況,
則有 1440×6=8640 種排法.
19. 80
【解析】分三步:① 從 A 到 C,亮亮要移動(dòng)兩步,一步是向右移動(dòng)一個(gè)單位,一步是向上移動(dòng)一個(gè)單位,此時(shí)有 C21 種走法;
②從 C 到 D,亮亮要移動(dòng)六步,其中三步是向右移動(dòng),三步是向上移動(dòng),此時(shí)有 C63 種走法;
③從 D 到 B,由①可知有 C21 種走法.
由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,共有 C21C63C21=80 種不同的走法.
20. 165
【解析】由組合數(shù)的性質(zhì)可得,
C22+C32+?+C102=C33+C32+?+C102=C43+C 16、42+?+C102=C113=11×10×93×2×1=165.
21. (1) 假設(shè) 8 個(gè)人對(duì)應(yīng) 8 個(gè)空位,甲不站兩端,有 6 個(gè)位置可選,則其他 7 個(gè)人對(duì)應(yīng) 7 個(gè)位置,故有:6A77=30240 種情況.
??????(2) 把甲乙兩人捆綁在一起看作一個(gè)復(fù)合元素,再和另外 6 人全排列,故有 2A77=10080 種情況;
??????(3) 把甲乙丙 3 人插入到另外 5 人排列后所形成的 6 個(gè)空中的三個(gè)空,故有 A55A63=14400 種情況;
??????(4) 利用間接法,用總的情況數(shù)減去甲在排頭、乙在排尾的情況數(shù),再加上甲在排頭同時(shí)乙在排尾的情況,故有 17、 A88?2A77+A66=30960 種情況.
22. (1) 因?yàn)榧?A 的任一個(gè)含 3 個(gè)元素的子集與元素順序都無(wú)關(guān),
所以它是組合問(wèn)題.
??????(2) 因?yàn)檐嚻迸c起點(diǎn)、終點(diǎn)順序有關(guān),
例如“甲 → 乙”與“乙 → 甲”的車票不同,
所以它是排列問(wèn)題.
??????(3) 因?yàn)閺?7 本不同的書(shū)中取出 5 本給某同學(xué),
取出的 5 本書(shū)并不考慮書(shū)的順序,
所以它是組合問(wèn)題.
??????(4) 因?yàn)閺?5 種不同的工作中選出 3 種,
按一定順序分給三個(gè)人去做,
所以它是排列問(wèn)題.
??????(5) 因?yàn)?3 本書(shū)是相同的,把 3 本書(shū)無(wú)論分給哪三個(gè)人都 18、不需要考慮順序,
所以它是組合問(wèn)題.
23. (1) C200198=C2002=19900.
??????(2) C1782+C178175=C1782+C1783=939929.
??????(3) C63÷C85=C63÷C83=20÷56=514.
??????(4) Cn+1n÷Cnn?2=Cn+11÷Cn2=2n+1nn?1.
24. (1) 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到:C62C42C22=90(種).
??????(2) 分給甲、乙、丙三人,每人兩本有 C62C42C22 種方法,這個(gè)過(guò)程可以分兩步完成:第一步分為三份,每份兩本,設(shè)有 x 種方法;第二步再將這三份分給甲、 19、乙、丙三名同學(xué)有 P33 種方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得:C62C42C22=xP33,
所以 x=C62C42C22P33=15.
因此分為三份,每份兩本一共有 15 種方法.
??????(3) 這是“不均勻分組”問(wèn)題,一共有 C61C52C33=60(種)方法.
??????(4) 在(3)的基礎(chǔ)上在進(jìn)行全排列,
所以一共有 C61C52C33P33=360(種)方法.
??????(5) 可以分為三類情況:①“2,2,2 型”即(1)中的分配情況,有 C62C42C22=90(種)方法;
②“1,2,3 型”即(4)中的分配情況,有 C61C52C33P33=360(種)方 20、法;
③“1,1,4 型”,有 C64P33=90(種)方法.
所以一共有 90+360+90=540(種)方法.
25. (1) 左邊=2n!2n?n!?3n!3n?n!=3n!2n?n!=右邊.
??????(2) 左邊=n+1!n+1?m!?n!n?m!=n+1!?n!n+1?mn+1?m!=n!mn+1?m!=右邊.
26. (1) P33=6.
??????(2) C105=252.
??????(3) C153=455.
??????(4) P153=2730.
27. 解法1:設(shè) 4 人A、B、C、D寫的賀年卡分別是a、b、c、d,當(dāng)A拿賀年卡b,則B可拿a、c、d中的任何一個(gè),即B拿a,C拿d,D拿c或B拿c,D拿a,C拿d或B拿d,C拿a,D拿c,所以A拿b時(shí)有 3 種不同的分配方式.同理,A拿c、d時(shí)也各有 3 種不同的分配方式.由加法原理,4 張賀年卡共有 3+3+3=9 種分配方式.
解法2:讓 4 人A、B、C、D依次拿 1 張別人送出的賀年卡.如果A先拿有 3 種取法,此時(shí)寫被A拿走的那張賀年卡的人也有 3 種不同的取法.接下來(lái),剩下的兩個(gè)人都各只有一種取法.由乘法原理,4 張賀年卡不同的分配方式有 3×3×1×1=9 種.
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