2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第47講 兩條直線的位置關(guān)系(含解析)
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1、2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第47講 兩條直線的位置關(guān)系 一、選擇題(共9小題) 1. 若直線 kx+1?ky?3=0 和直線 k?1x+2k+3y?2=0 互相垂直,則 k= ?? A. ?3 或 ?1 B. 3 或 1 C. ?3 或 1 D. ?1 或 3 2. 過點(diǎn) P4,?1 且與直線 3x?4y+6=0 垂直的直線方程是 ?? A. 4x+3y?13=0 B. 4x?3y?19=0 C. 3x?4y?16=0 D. 3x+4y?8=0 3. 點(diǎn) 1,?1 到直線 x?y+1=0 的距離是 ?? A. 12 B. 32 C. 22 D. 3
2、22 4. 若兩條直線 ax+2y?1=0 與 3x?6y?1=0 垂直,則 a 的值為 ?? A. 4 B. ?4 C. 1 D. ?1 5. “直線 l1:2x+m+1y+4=0 與直線 l2:mx+3y?2=0 平行”是“m=2”的 ?? A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 6. 直線 l 的方程為 y=xtanα+2,則 ?? A. α 一定是直線的傾斜角 B. α 一定不是直線的傾斜角 C. 180°?α 一定是直線的傾斜角 D. α 不一定是直線的傾斜角 7. P 點(diǎn)在直
3、線 3x+y?5=0 上,且 P 點(diǎn)到直線 x?y?1=0 的距離為 2 ,則 P 點(diǎn)坐標(biāo)為 ?? A. 1,2 B. 2,1 C. 1,2 或 2,?1 D. 2,1 或 ?1,2 8. 已知 P 為直線 y=kx+b 上一動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn) P 與原點(diǎn)均在直線 x?y+2=0 的同側(cè),則 k,b 滿足的條件分別為 ?? A. k=1,b<2 B. k=1,b>2 C. k≠1,b<2 D. k≠1,b>2 9. 已知 P1a1,b1 與 P2a2,b2 是直線 y=kx+1(k 為常數(shù))上兩個(gè)不同的點(diǎn),則關(guān)于 x 和 y 的方程組 a1x+b1y=1,a2x+b2y
4、=1 的解的情況是 ?? A. 無論 k,P1,P2 如何,總是無解 B. 無論 k,P1,P2 如何,總有唯一解 C. 存在 k,P1,P2,使之恰有兩解 D. 存在 k,P1,P2,使之有無窮多解 二、多選題(共1小題) 10. 若兩平行直線 3x?2y?1=0,6x+ay+c=0 之間的距離為 21313,則實(shí)數(shù) c 的值是 ?? A. 2 B. ?4 C. 5 D. ?6 三、填空題(共6小題) 11. 已知直線 ax?2y?1=0 與直線 3x?y+1=0 垂直,則 a= ?. 12. 設(shè)直線 l1:
5、x?2y+2=0 的傾斜角為 α1,直線 l2:mx?y+4=0 的傾斜角為 α2,若 α2=α1+90°,則實(shí)數(shù) m= ?. 13. 已知 A2,0,B4,0,動(dòng)點(diǎn) P 滿足 ∣PA∣=22∣PB∣,則 P 到原點(diǎn)的距離為 ?. 14. 已知兩條直線 mx?y?2=0 和 m+2x?y+1=0 互相垂直,那么實(shí)數(shù) m= ?. 15. 已知 A1,0,B3,2,C0,4,點(diǎn) D 滿足 AB⊥CD,且 AD∥BC,則點(diǎn) D 的坐標(biāo)是 ?. 1
6、6. l1,l2 是分別經(jīng)過點(diǎn) A1,1,B0,?1 的兩條平行直線,當(dāng) l1,l2 間的距離最大時(shí),直線 l1 的方程是 ?. 四、解答題(共9小題) 17. 已知直線 l1:m?2x+m+2y+1=0,l2:m2?4x?my?3=0. (1)若 l1∥l2,求實(shí)數(shù) m 的值; (2)若 l1⊥l2,求實(shí)數(shù) m 的值. 18. 是否存在實(shí)數(shù) k, 使直線 l1:k?3x+4?ky+1=0 與直線 l2:2k?3x?2y+2?k=0 平行?若存在,求 k 的值;若不存在,請(qǐng)說明理由. 19. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,已知
7、 △ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A?3,2,B4,3,C?1,?2. (1)求 △ABC 中,BC 邊上的高線所在直線的方程;’ (2)求 △ABC 的面積. 20. 已知 △ABC 的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 A?2,1,B4,?3,且 △ABC 的垂心坐標(biāo)為 H0,2.分別求 BC,AC 邊所在的直線方程. 21. 已知點(diǎn) P2,?1. (1)求過點(diǎn) P 且與原點(diǎn)的距離為 2 的直線 l 的方程; (2)求過點(diǎn) P 且與原點(diǎn)的距離最大的直線 l 的方程,最大距離是多少? (3)是否存在過點(diǎn) P 且與原點(diǎn)的距離為 6 的直線?若存在,求出方程;若不存在,請(qǐng)說明理
8、由. 22. 設(shè)集合 M=l直線l與直線y=2x相交,且以交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為斜率,問: (1)點(diǎn) ?2,2 與 M 中哪條直線的距離最小? (2)設(shè) a 是正實(shí)數(shù),點(diǎn) P?2,a 與 M 中的直線距離的最小值記為 dmin,求:dmin 的解析式. 23. 在直線 l:3x?y?1=0 上求一點(diǎn) P,使得: (1)P 到 A4,1 和 B0,4 的距離之差最大; (2)P 到 A4,1 和 C3,4 的距離之和最小. 24. 已知直線 l:y=12x?1. (1)求點(diǎn) P3,4 關(guān)于 l 對(duì)稱的點(diǎn) Q; (2)求 l 關(guān)于點(diǎn) 2,3 對(duì)稱的直線方程.
9、 25. 已知三條直線:l1:2x?y+a=0a>0;l2:4x?2y?1=0;l3:x+y?1=0,且 l1 與 l2 間的距離是 7510. (1)求 a 的值; (2)能否找到一點(diǎn) P,使 P 同時(shí)滿足下列三個(gè)條件: ①點(diǎn) P 在第一象限; ②點(diǎn) P 到 l1 的距離是點(diǎn) P 到 l2 的距離的 12; ③點(diǎn) P 到 l1 的距離與點(diǎn) P 到 l3 的距離之比是 2:5. 若能,求點(diǎn) P 的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說明理由. 答案 1. C 【解析】因?yàn)橹本€ kx+1?ky?3=0 和直線 k?1x+2k+3y?2=0 互相垂直, 所以 kk?1+1?k
10、2k+3=0, 解得 k=1 或 k=?3. 2. A 【解析】因?yàn)閮芍本€垂直,直線 3x?4y+6=0 的斜率為 34, 所以所求直線的斜率 k=?43, 則直線方程為 y??1=?43x?4, 化簡得 4x+3y?13=0. 3. D 【解析】點(diǎn) 1,?1 到直線 x?y+1=0 的距離是:∣1??1+1∣12+?12=32=322. 4. A 【解析】因?yàn)閮蓷l直線 ax+2y?1=0 與 3x?6y?1=0 垂直, 所以 ?a2×?3?6=?1,解得 a=4. 5. B 【解析】“直線 l1:2x+m+1y+4=0 與直線 l2:mx+3y?2=0 平
11、行”?“m=2 或 m=?3”. “m=2”?“直線 l1:2x+m+1y+4=0 與直線 l2:mx+3y?2=0 平行”, “直線 l1:2x+m+1y+4=0 與直線 l2:mx+3y?2=0 平行”是“m=2”的必要不充分條件. 6. D 【解析】y=xtanα+2 中斜率為 tanα,但 α 并不一定為傾斜角. 7. C 【解析】設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為 x,5?3x,則 P 點(diǎn)到直線 x?y?1=0 的距離 d=∣x?5?3x?1∣2=4x?62=2, 所以 ∣2x?3∣=1,所以 x=1 或 x=2.所以 P 點(diǎn)坐標(biāo)為 1,2 或 2,?1. 8. A 【解析】設(shè)
12、點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 x0,kx0+b,于是 0?0+22?x0?kx0+b+22>0, 即 1?kx0?b+2>0 對(duì)任意實(shí)數(shù) x0 均成立,于是有 1?k=0,且 ?b+2>0. 9. B 【解析】P1a1,b1 與 P2a2,b2 是直線 y=kx+1(k 為常數(shù))上兩個(gè)不同的點(diǎn),直線 y=kx+1 的斜率存在,所以 k=b2?b1a2?a1,即 a1≠a2,并且 b1=ka1+1,b2=ka2+1, 所以 a2b1?a1b2=ka1a2?ka1a2+a2?a1=a2?a1. a1x+b1y=1,???①a2x+b2y=1,???② ① ×b2? ② ×b1 得:a1b2?
13、a2b1x=b2?b1,即 a1?a2x=b2?b1. 所以方程組有唯一解.故選B. 10. A, D 【解析】依題意知,63=a?2≠c?1,解得 a=?4,c≠?2,即直線 6x+ay+c=0 可化為 3x?2y+c2=0, 又兩平行線之間的距離為 21313, 所以 c2+132+?22=21313,解得 c=2或?6. 11. ?23 【解析】因?yàn)橹本€ ax?2y?1=0 與直線 3x?y+1=0 垂直, 所以 3a+?2×?1=0,解得 a=?23. 12. ?2 【解析】因?yàn)?α2=α1+90°, 故 tanα2=?1tanα1=?2,
14、 所以 m=?2. 13. 22 【解析】設(shè) P 坐標(biāo)為 x,y,由題意可知 x?22+y2=22x?42+y2,化簡得 x2+y2=8, 所以 P 到原點(diǎn)的距離為 x2+y2=22. 14. ?1 【解析】由兩直線垂直得 mm+2+1=0,解得 m=?1. 15. 10,?6 【解析】設(shè) Dx,y,由已知得 kAB=23?1=1,kBC=4?20?3=?23, 顯然直線 CD,AD 的斜率都存在,kCD=y?4x,kAD=yx?1. 因?yàn)?AB⊥CD,AD∥BC, 所以 kAB?kCD=?1,kAD=kBC, 所以 1×y?4x=?1,yx?1=?23,
15、解得 x=10,y=?6, 即 D10,?6. 16. x+2y?3=0 【解析】當(dāng)兩條平行直線與 A 、 B 兩點(diǎn)連線垂直時(shí),兩條平行直線間的距離最大. 因?yàn)?A1,1 、 B0,?1,所以 kAB=?1?10?1=2, 所以當(dāng) l1,l2 間的距離最大時(shí),直線 l1 的斜率為 k=?12, 所以當(dāng) l1,l2 間的距離最大時(shí),直線 l1 的方程是 y?1=?12x?1,即 x+2y?3=0. 17. (1) (方法一) 因?yàn)?l1∥l2, 所以 m?2?m=m+2m2?4, 解得 m=2 或 m=?1 或 m=?4, 驗(yàn)證知兩直線不重合, 所以 m=2 或
16、m=?1 或 m=?4 時(shí),l1∥l2. (方法二) 當(dāng) l1 斜率不存在,即 m=?2 時(shí),代入直線方程,知 l1⊥l2; 當(dāng) l2 斜率不存在,即 m=0 時(shí),代入直線方程,知 l1 與 l2 既不平行又不垂直; 當(dāng) l1,l2 斜率存在,即 m≠0,m≠?2 時(shí), 可求 l1,l2 的斜率分別為 k1=?m?2m+2,k2=m2?4m,截距分別為 b1=?1m+2,b2=?3m, 若 l1∥l2,由 k1=k2,b1≠b2,解得 m=2 或 m=?1 或 m=?4; 綜上,當(dāng) m=2 或 m=?1 或 m=?4 時(shí),l1∥l2. ??????(2) (方法一) 因?yàn)?l
17、1⊥l2, 所以 m?2m2?4+?mm+2=0, 解得 m=?2 或 m=1 或 m=4. (方法二) 若 l1⊥l2,由 k1k2=?1,解得 m=1 或 m=4. 綜上,當(dāng) m=?2 或 m=1 或 m=4 時(shí),l1⊥l2. 18. k=3或5. 19. (1) 因?yàn)橹本€ BC 的斜率 kBC=3+24+1=1, 所以 BC 邊上的高線的斜率 k=?1, 所以 BC 邊上的高線所在直線的方程為 y?2=?x+3, 即 x+y+1=0. ??????(2) 因?yàn)?B4,3,C?1,?2, 所以 ∣BC∣=?2?32+?1?42=52. 由 B4,3,C?1,?2
18、,得到直線 BC 的方程為 x?y?1=0, 所以點(diǎn) A 到直線 BC 的距離 d=∣?3?2?1∣2=32, 所以 S△ABC=12×52×32=15. 20. 設(shè) Cx,y,則 CH⊥AB,AH⊥BC, y?2x=32,y+3x?4=?2?x=67,y=237, 直線 BC 的方程為 y=?2x+5,直線 AC 的方程為 y=45x+135. 21. (1) 過點(diǎn) P 的直線 l 與原點(diǎn)的距離為 2,而點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 2,?1,顯然,過點(diǎn) P2,?1 且垂直于 x 軸的直線滿足條件, 此時(shí)直線 l 的斜率不存在,其方程為 x=2. 若斜率存在,設(shè) l 的方程為 y+
19、1=kx?2, 即 kx?y?2k?1=0. 由已知得 ∣?2k?1∣k2+1=2, 解得 k=34. 此時(shí) l 的方程為 3x?4y?10=0. 綜上可得直線 l 的方程為 x=2 或 3x?4y?10=0. ??????(2) 作圖可得過點(diǎn) P 與原點(diǎn) O 的距離最大的直線是過點(diǎn) P 且與 PO 垂直的直線,如圖所示. 由 l⊥OP,得 klkOP=?1, 所以 kl=?1kOP=2. 由直線方程的點(diǎn)斜式,得 y+1=2x?2, 即 2x?y?5=0. 所以直線 2x?y?5=0 是過點(diǎn) P 且與原點(diǎn) O 的距離最大的直線,最大距離為 ∣?5∣5=5. ????
20、??(3) 由(2)可知,過點(diǎn) P 不存在到原點(diǎn)的距離超過 5 的直線,因此不存在過點(diǎn) P 且到原點(diǎn)的距離為 6 的直線.
22. (1) 設(shè)直線 l:y?2k=kx?k,即 kx?y+k2?k=0,
點(diǎn) ?2,2 到 l 的距離 d=?2k?2+2k?k21+k2=k2+21+k2=1+k2+11+k2≥2,
當(dāng)且僅當(dāng) 1+k2=1,即 k=0 時(shí),取到最小值 2,此時(shí) l 為 y=0.
??????(2) P 到 l 的距離 d=k2+a1+k2=1+k2+a?11+k2,
令 t=1+k2∈1,+∞,則 dt=t+a?1t,t∈1,+∞.
當(dāng) a?1≤0,即 0
21、dt 在 t∈1,+∞ 上單調(diào)遞增,dmin=d1=a;
當(dāng) 01,即 a>2 時(shí),dt 在 t∈1,+∞ 上先減后增,當(dāng) t=a?1 時(shí),取到最小值,dmin=da?1=2a?1.
綜上,dmin=a,02.
23. (1) 如圖,
設(shè)點(diǎn) B 關(guān)于 l 的對(duì)稱點(diǎn) B? 的坐標(biāo)為 a,b,則 kBB??kl=?1,
即 3?b?4a=?1.
所以 a+3b?12=0.???①
又由于線段 BB? 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 a2,b+42,且在直線 l 上,
22、所以 3?a2?b+42?1=0,即 3a?b?6=0.???②
解 ①② 得 a=3,b=3,
所以 B?3,3.
于是 AB? 的方程為 y?13?1=x?43?4,即 2x+y?9=0.
解 3x?y?1=0,2x+y?9=0, 得 x=2,y=5.
即 l 與 AB? 的交點(diǎn)坐標(biāo)為 2,5,
故 P 點(diǎn)坐標(biāo)為 2,5.
??????(2) 如圖,
設(shè) C 關(guān)于 l 的對(duì)稱點(diǎn)為 C?,求出 C? 的坐標(biāo)為 35,245.
所以 AC? 所在直線的方程為 19x+17y?93=0,
從而可得 AC? 和 l 的交點(diǎn)坐標(biāo)為 117,267,
故 P 點(diǎn)坐標(biāo)為 1 23、17,267.
24. (1) 設(shè)點(diǎn) Qx0,y0,由于 PQ⊥l,且 PQ 的中點(diǎn)在 l 上,
有 y0?4x0?3=?2,y0+42=12?x0+32?1, 解得 x0=295,y0=?85,
所以點(diǎn) Q295,?85.
??????(2) 在 l 上任取一點(diǎn),如 M0,?1,則點(diǎn) M 關(guān)于點(diǎn) 2,3 對(duì)稱的點(diǎn)為 N4,7.
因?yàn)樗笾本€過點(diǎn) N 且與 l 平行,
所以方程為 y?7=12x?4,即 x?2y+10=0.
25. (1) 直線 l2:2x?y?12=0,所以兩條平行直線 l1 與 l2 間的距離為 d=?a??1222+?12=7510,
所以 a+125 24、=7510,即 a+12=72,又 a>0,解得 a=3.
??????(2) 假設(shè)存在點(diǎn) P,設(shè)點(diǎn) Px0,y0.
若點(diǎn) P 滿足條件②,則點(diǎn) P 在與 l1,l2 平行的直線 l?:2x?y+c=0 上,
且 c?35=12×c+125,即 c=132?或?116,
所以直線 l? 的方程為 2x0?y0+132=0 或 2x0?y0+116=0;
若點(diǎn) P 滿足條件③,由點(diǎn)到直線的距離公式,
有 2x0?y0+35=25×x0+y0?12,
即 2x0?y0+3=x0+y0?1,所以 x0?2y0+4=0 或 3x0+2=0;
由于點(diǎn) P 在第一象限,所以 3x0+2=0 不可能,
聯(lián)立方程得 2x0?y0+132=0,x0?2y0+4=0, 解得 x0=?3,y0=12(舍去);
聯(lián)立方程得 2x0?y0+116=0,x0?2y0+4=0, 解得 x0=19,y0=3718.
所以存在點(diǎn) P19,3718 同時(shí)滿足三個(gè)條件.
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