10、2x2?1x6 的展開式中，通項公式為 Tr+1=C6r?2x26?r??1xr=C6r?26?r??1r?x12?5r2，令 12?5r2=7，解得 r=2，
所以含 x7 項的系數(shù)是 C62?24??12=240．
2. A
3. C
【解析】2x?1x5 的展開式的通項為 Tr+1=C5r?2x5?r??1xr=?1r?25?r?C5r?x5?3r2，令 5?3r2=1，得 r=1．
所以 x 的系數(shù)為 ?24×C51=?80．
4. C
【解析】x?1x9 的展開式中通項公式為：Tr+1=C9rx9?r?1xr=?1rC9rx9?2r．
令 9?2r=3，得 r
11、=3，所以 x3 的系數(shù)為 ?C93=?84．
5. D
【解析】已知 a=log23?log34=lg3lg2?lg4lg3=log24=2，
則 ax+1x26=2x+1x26 的展開式的通項公式為 Tr+1=C6r?26?r?x6?3r，
令 6?3r=0，求得 r=2，
可得展開式中的常數(shù)項為 C62?24=240．
6. A 【解析】因為 n=6，所以二項展開式中共有 7 項，
所以第四項的二項式系數(shù)最大，
所以 m=C63=20，
根據(jù)二項展開式的通項公式可得 n=C62?22=60，
所以 nm=6020=3．
7. C
【解析】Tr+1=C24rx
12、24?r?13xr=C24rx24?r2?x?r3=C24rx12?56r，
所以 r=0，6，12，18，24 時，x 的冪指數(shù)為整數(shù)．
8. C
【解析】x6+1xxn 的展開式的項為 Tr+1=Cnrx6n?r? 1xxr=Cnrx6n?152r，由 6n?152r=0 得，n=54r，又 n 為正整數(shù)，所以當 r=4 時，n 的最小值為 5．
9. D
【解析】在展開式中，令 x=2，得 3+32+33+?+3n=a0?a1+a2?a3+?+?1nan，
即 a0?a1+a2?a3+?+?1nan=31?3n1?3=323n?1．
10. C
【解析】1+1x2
13、1+x6 展開式中含 x2 的項為 1?C62x2+1x2?C64x4=30x2，故 x2 前系數(shù)為 30．
11. B， C
【解析】由題意知 Sn=2n，令 x=0，得 a0=?1n，
令 x=1，得 a0+a1+a2+?+an=2n，
所以 Tn=2n??1n．
12. A， C， D
【解析】對任意實數(shù) x，有
2x?39=a0+a1x?1+a2x?12+a3x?13+?+a9x?19=?1+2x?19,
所以 a2=?C92×22=?144，故A正確；
故令 x=1，可得 a0=?1，故B不正確；
令 x=2，可得 a0+a1+a2+?+a9=1
14、，故C正確；
令 x=0，可得 a0?a1+a2+??a9=?39，故D正確．
13. 70
【解析】Tr+1=C8rxy8?r?yxr=?1rC8ry2r?8x8?3r2，
令 8?3r2=2，解得 r=4，
所以展開式中 x2 的系數(shù)為 ?14C84=70．
14. 21
15. 10x?12
16. 160
【解析】x+y+z6=x+y+zx+y+z?x+y+z，相當于 6 個括號中有三個括號選的是 x，即 C63x3，其余三個括號選 y 或 z，即 y+z3，又此展開式的系數(shù)和為 23，所以系數(shù)之和為 C63×23=160．
17. 5
【解析】
15、x?23xn 展開式的第 4 項為 T3+1=Cn3?xn?3??23x3=?23?Cn3?xn?32?1，
令 n?32?1=0，解得 n=5，
所以 n 的值是 5．
18. 4n?1
19. ?1
20. ?160
【解析】Tr+1=C6r2x6?r?1xr=C6r26?r?1rx3?r，令 3?r=0，得 r=3，所以 T4=?C63×23=?160．
21. 3
【解析】?1+3C111?9C112+27C113????310C1110+311=?1+311=211=2048=2045+3，它除以 5 余數(shù)為 3．
22. 135
【解析】根據(jù)題意先確定
16、 2 個人位置不變，共有 C62=15 種選擇．
再確定 4 個人坐 4 個位置，但是不能坐原來的位置，共有 3×3×1×1=9 種選擇，
故不同的坐法有 15×9=135．
23. 240
【解析】因為 x2+2x6，其二項式展開通項：
Tr+1=C6r?x26?r?2xr=C6r?x12?2r2r?x?r=C6r2r?x12?3r．
當 12?3r=0，解得 r=4．
所以 x2+2x6 的展開式中常數(shù)項是：C64?24=C62?16=15×16=240．
24. 10
【解析】因為 x+2x25 的展開式的通項公式為 Tr+1=C5rx5?r2x2r=C5r?2r
17、?x5?3rr=0,1,2,3,4,5．
令 5?3r=2，解得 r=1．所以 x2 的系數(shù)為 C51×2=10．
25. 64
26. （1） 求二項展開式中各項系數(shù)之和，相當于去掉展開式中的未知字母 x，這可由賦值法令 x=1 實現(xiàn)．則 a0+a1+a2+?+a7=3+17=16384.???①
??????（2） 若要求二項展開式中奇數(shù)項系數(shù)之和，可由賦值法令 x=?1，
則 a0?a1+a2?a3+??a7=?3+17=?128.???②
將①，②兩式相加得：2a0+a2+a4+a6=16384?128=16256，
則 a0+a2+a4+a6=8128．
18、??????（3） 將①，②兩式相減得：2a1+a3+a5+a7=16384+128=16512，
則 a1+a3+a5+a7=8256．
27. （1） 令 y=x+1，則 1?x53+2x9=2?y51+2y9=a0y14+a1y13+?+a14．
39=19683．
??????（2） 39+352．
28. （1） 由已知 n=10，Tr+1=C10rx310?r?1x2r=C10r?1rx30?5r，
令 30?5r=0，則 r=6，
所以不含 x 項為 C106?16=210．
??????（2） n=11,12,13．
??????（3） n=7,8,9,10
19、,11．
29. （1） 由已知得 Cnn?2+Cnn?1+Cnn=Cn2+Cn1+Cn0=nn?12+n+1=67，
整理得 n2+n?132=0，即 n+12n?11=0，解得 n=11 或 n=?12（舍去）．
則 12x+2xn=12x+2x11，其展開式中二項式系數(shù)最大的項為第 6 項和第 7 項，
即 T6=C115×126x?6×25x52=231x?72，
T7=C116×125x?5×26x3=924x?2．
??????（2） 12x+2xn 的展開式的通項為 Tr+1=Cnr12n?rx?n?r2rxr2=Cnr22r?nx3r?2n2r=0,1,?,n．
20、
設第 r+1 項為常數(shù)項，則有 3r?2n2=0，即 n=32r，
所以 8<32r<12，即 513
21、公式為：Tr+1=C2019r?x2019?r?3r．
因為 ak 是 an，an?1，?，a1，a0 中的最大項，所以有：
ak≥ak+1,ak≥ak?1?C20192019?k?32019?k≥C20192018?k?32018?k,C20192019?k?32019?k≥C20192020?k?32020?k?k≥504,k≤505?504≤k≤505．
因此 k=504 或 k=505．
31. S=C271+C272+?+C2727=227?1=89?1=9?19?1=C90×99?C91×98+?+C98×9?C99?1=9C90×98?C91×97+?+C98?2=9C90×98?C91×97+?+C98?1+7,
顯然上式括號內的數(shù)是正整數(shù)．
故 S 被 9 除的余數(shù)為 7．
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高中數(shù)學 2023屆大一輪復習 第57講 二項式定理（含答案）
