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2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第44講 空間向量的概念(含答案)

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1、2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第44講 空間向量的概念 一、選擇題(共7小題) 1. 下列說(shuō)法正確的是 ?? A. 若 a=b,則 a,b 的長(zhǎng)度相同,方向相同或相反 B. 若向量 a 與向量 b 互為相反向量,則 a=b C. 如果兩個(gè)向量平行,則兩個(gè)向量相等 D. 在四邊形 ABCD 中,一定有 AB+AD=AC 2. 若 a=x,?1,3,b=2,y,6,且 a∥b,則 ?? A. x=1,y=?2 B. x=1,y=2 C. x=12,y=?2 D. x=?1,y=?2 3. 已知點(diǎn) B 是點(diǎn) A3,4,?2 在 xOy 平面上的射影,則

2、 OB 等于 ?? A. 3,4,0 B. 25 C. 5 D. 13 4. 下面關(guān)于空間向量的說(shuō)法正確的是 ?? A. 若向量 a,b 平行,則 a,b 所在直線平行 B. 若向量 a,b 所在直線是異面直線,則 a,b 不共面 C. 若 A,B,C,D 四點(diǎn)不共面,則向量 AB,CD 不共面 D. 若 A,B,C,D 四點(diǎn)不共面,則向量 AB,AC,AD 不共面 5. 如圖,在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,M 為 A1C1 的中點(diǎn).若 AB=a,AA1=c,BC=b,則下列向量與 BM 相等的是 ?? A. ?12a+12b+c B.

3、 12a+12b+c C. ?12a?12b+c D. 12a?12b+c 6. 如圖,在四面體 ABCD 中,設(shè) G 是 CD 的中點(diǎn),則 AB+12BD+BC 等于 ?? A. AD B. BG C. CD D. AG 7. 對(duì)于空間任意一點(diǎn) O 和不共線的三點(diǎn) A,B,C,有 OP=xOA+yOB+zOCx,y,z∈R,則 x+y+z=1 是 P,A,B,C 四點(diǎn)共面的 ?? A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 二、多選題(共2小題) 8. 已知點(diǎn) P 是平行四邊形 ABCD 所在

4、的平面外一點(diǎn),如果 AB=2,?1,?4,AD=4,2,0,AP=?1,2,?1.下列結(jié)論正確的有 ?? A. AP⊥AB B. AP⊥AD C. AP 是平面 ABCD 的一個(gè)法向量 D. AP∥BD 9. 已知 ABCD?-A1B1C1D1 為正方體,下列說(shuō)法中正確的是 ?? A. A1A+A1D1+A1B12=3A1B12 B. A1C?A1B1?A1A=0 C. 向量 AD1 與向量 A1B 的夾角是 60° D. 正方體 ABCD?-A1B1C1D1 的體積為 AB?AA1?AD 三、填空題(共6小題) 10. 若 a,b,c

5、 為空間的一個(gè)基底,則下列各組向量中一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是 ?? ① a,a+b,a?b ② b,a+b,a?b ③ c,a+b,a?b ④ a+b,a?b,a+2b 11. 空間直角坐標(biāo)系中,兩平面 α 與 β 分別以 n1=2,1,1 與 n2=0,2,1 為其法向量,若 α∩β=l,則直線 l 的一個(gè)方向向量為 ?(寫(xiě)出一個(gè)方向向量的坐標(biāo)). 12. 已知向量 a=2,?3,5 與向量 b=3,λ,152 平行,則實(shí)數(shù) λ= ?. 13. 設(shè)向量 a=x,4,3,b=3,

6、?2,y,且 a∥b,則 xy= ?. 14. 已知點(diǎn) A,B,C 的坐標(biāo)分別為 0,1,0,?1,0,?1,2,1,1,點(diǎn) P 的坐標(biāo)是 x,0,y,若 PA⊥平面ABC,則點(diǎn) P 的坐標(biāo)是 ?. 15. 已知空間向量 a,b,c,化簡(jiǎn) 12a+2b?3c+523a?12b+23c?3a?2b+c= ?. 四、解答題(共12小題) 16. 如圖,在平行六面體 ABCD?A?B?C?D? 中,E,F(xiàn) 分別是棱 B?C?,CD 的中點(diǎn),設(shè) AB=a,AD=b,AA?=c,用

7、 a,b,c 表示下列向量: (1)A?C. (2)B?D. (3)A?F. (4)EF. 17. 已知 a=2,1,?2,b=5,?4,3,c=?8,4,1. (1)求證:a⊥b. (2)設(shè) a 與 c 的夾角為 θ,求 cosθ. 18. 如圖,兩個(gè)正方形 ABCD 、 ABEF 相交一個(gè)鈍二面角,M 、 N 分別是 BD 、 AE 上不與端點(diǎn) B 、 E 重合的點(diǎn).若 AN=MD.求證:MN∥平面BCE. 19. 如圖所示,若 P 為平行四邊形 ABCD 所在平面外一點(diǎn),點(diǎn) H 為 PC 上的點(diǎn),且 PHHC=12,點(diǎn) G 在 AH

8、上,且 AGAH=m.若 G,B,P,D 四點(diǎn)共面,求 m 的值. 20. 在長(zhǎng)方體 ABCD?A′B′C′D′ 中,G 是三角形 ACD′ 的重心,求證:D,G,B′ 三點(diǎn)在同一直線上. 21. 如圖,在平行六面體 ABCD?A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是邊長(zhǎng)為 1 的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°. (1)求線段 AC1 的長(zhǎng); (2)求異面直線 AC1 與 A1D 所成角的余弦值. 22. 已知正方體 ABCD?A1B1C1D1 的棱長(zhǎng)為 a,E,F(xiàn) 分別是線段 AD1,DB 上的點(diǎn),且 AE=BF.

9、(1)求異面直線 AD 與 EF 所成的角; (2)當(dāng) E 在什么位置時(shí),EF 取得最小值?并求出 EF 的最小值. 23. 如圖所示的長(zhǎng)方體 ABCD?A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是邊長(zhǎng)為 2 的正方形,O 為 AC 與 BD 的交點(diǎn),BB1=2,M 是線段 B1D1 的中點(diǎn).求證: (1)BM∥平面D1AC; (2)D1O⊥平面AB1C. 24. 如圖,在四棱錐 PABCD 中,底面 ABCD 是邊長(zhǎng)為 a 的正方形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且 PA=PD=22AD,設(shè) E,F(xiàn) 分別為 PC,BD 的中點(diǎn).求證: (1)EF∥平面PAD;

10、 (2)平面PAB⊥平面PDC. 25. 如圖,在四棱錐 P?-ABCD 中,底面 ABCD 是邊長(zhǎng)為 a 的正方形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且 PA=PD=22AD,設(shè) E,F(xiàn) 分別為 PC,BD 的中點(diǎn).求證: (1)EF∥平面PAD; (2)平面PAB⊥平面PDC. 26. 如圖,已知直三棱柱 ABC?A1B1C1,在底面 △ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱 AA1=2,M,N 分別是 A1B1,A1A 的中點(diǎn). (1)求 BN 的模; (2)求 cosBA1,CB1 的值; (3)求證:A1B⊥C1M. 27. 如

11、圖,在正方體 ABCD?A1B1C1D1 中,E 為 BB1 的中點(diǎn). (1)求證:BC1∥平面AD1E; (2)求直線 AA1 與平面 AD1E 所成角的正弦值. 答案 1. B 【解析】選項(xiàng) A,a=b 與方向無(wú)關(guān); 選項(xiàng) C,兩個(gè)相等向量要大小相等,方向相同; 選項(xiàng) D,四邊形若為空間四邊形,AB,AD,AC 有可能不共面. 2. A 3. C 4. D 【解析】我們可以通過(guò)平移將空間中任意兩個(gè)向量平移到一個(gè)平面內(nèi),因此空間任意兩個(gè)向量都是共面的,故B,C都不正確.由向量平行與直線平行的區(qū)別,可知A不正確.因?yàn)?AB,AC,AD 是空間中共端點(diǎn)

12、 A 但不共面的三條線段,所以向量 AB,AC,AD 不共面. 5. A 【解析】因?yàn)?M 是 A1C1 的中點(diǎn), 所以 BM=AM?AB=AA1+A1M?AB=AA1?AB+12A1C1=AA1?AB+12AC=AA1?AB+12AB+BC=AA1?12AB+12BC=?12a+12b+c. 故選A. 6. D 7. C 8. A, B, C 【解析】對(duì)于A,AB?AP=2×?1+?1×2+?4×?1=0, 所以 AP⊥AB,即 AP⊥AB,A正確; 對(duì)于B,AP?AD=?1×4+2×2+?1×0=0, 所以 AP⊥AD,即 AP⊥AD,B正確;

13、 對(duì)于C,由 AP⊥AB,且 AP⊥AD, 得出 AP 是平面 ABCD 的一個(gè)法向量,C正確; 對(duì)于D,由 AP 是平面 ABCD 的法向量,得出 AP⊥BD,則D錯(cuò)誤. 9. A, B 【解析】由向量的加法得到:A1A+A1D1+A1B1=A1C. 因?yàn)?A1C2=3A1B12, 所以 A1C2=3A1B12, 所以A正確; 因?yàn)?A1B1?A1A=AB1,AB1⊥A1C, 所以 A1C?AB1=0,故B正確; 因?yàn)?△ACD1 是等邊三角形, 所以 ∠AD1C=60°,又 A1B∥D1C, 所以異面直線 AD1 與 A1B 所成的角為 60°, 但是向量 AD

14、1 與向量 A1B 的夾角是 120°,故 C 不正確; 因?yàn)?AB⊥AA1, 所以 AB?AA1=0, 故 AB?AA1?AD=0,因此 D 不正確. 10. ③ 11. 12,1,?2 【解析】設(shè)直線 l 的一個(gè)方向向量為 d=x,y,z, 依題意可知 d⊥n1,d⊥n2, 所以 2x+y+z=0,2y+z=0, 令 y=1,則 z=?2,x=12,所以 d=12,1,?2. 12. ?92 【解析】因?yàn)橄蛄?a=2,?3,5 與向量 b=3,λ,152 平行, 所以 23=?3λ=5152, 所以 λ=?92. 13. 9 14. ?1,0

15、,2 【解析】PA=?x,1,?y,AB=?1,?1,?1,AC=2,0,1. 因?yàn)?PA⊥平面ABC,所以 PA⊥AB,PA⊥AC, 即 PA?AB=x+y?1=0,PA?AC=?2x?y=0, 所以 x=?1,y=2,故點(diǎn) P 的坐標(biāo)是 ?1,0,2. 15. 56a+92b?76c 【解析】根據(jù)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算法則可知, 原式=12a+b?32c+103a?52b+103c?3a+6b?3c=56a+92b?76c. 16. (1) a+b?c. ??????(2) ?a+b?c. ??????(3) 12a+b?c. ??????(4) ?12a+1

16、2b?c. 17. (1) 因?yàn)?a?b=0. ??????(2) ?1427. 18. 設(shè) AN=MD=λAE=λBD0<λ<1, 則 MD=λBD,AN=λAE, 所以 MN=MD+DN=MD+DA+AN=λBD+DA+λAE=λBC+BE+DA 因?yàn)?DA=?BC, 所以 MN=λ?1BC+λBE. 由 BC 、 BE 不共線,所以 MN 與 BC,BE 共面. 因?yàn)?MN?平面BCE,所以 MN∥平面BCE. 19. 連接 BD,BG, 因?yàn)?AB=PB?PA,AB=DC, 所以 DC=PB?PA, 因?yàn)?PC=PD+DC, 所以 PC=PD+P

17、B?PA=?PA+PB+PD, 因?yàn)?PHHC=12, 所以 PH=13PC, 所以 PH=13?PA+PB+PD=?13PA+12PB+13PD, 又因?yàn)?AH=PH?PA, 所以 AH=?43PA+13PB+13PD, 因?yàn)?AGAH=m, 所以 AG=mAH=?4m3PA+m3PB+m3PD, 所以 BG=1?4m3PA+m3?1PB+m3PD, 又因?yàn)?G,B,P,D 四點(diǎn)共面, 所以 1?4m3=0,解得 m=34. 20. 以 D′ 為原點(diǎn),經(jīng)過(guò) D′ 的三條棱為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系.得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo) Aa,0,c,C0,b,c,B′

18、a,b,0,D0,0,c,AC 的中點(diǎn) Ea2,b2,c. 因?yàn)?D′G=23D′E, 所以得 Ga3,b3,2c3, 可得 DB′=a,b,?c,DG=a3,b3,?c3=13DB′, 所以 D,G,B′ 共線. 21. (1) 設(shè) AB=a,AD=b,AA1=c,則 a=b=1,c=2, a?b=0,c?a=c?b=2×1×cos120°=?1. 因?yàn)?AC1=AC+CC1=AB+AD+AA1=a+b+c, 所以 AC1=a+b+c=a+b+c2=a2+b2+c2+2a?b+b?c+c?a=12+12+22+20?1?1=2. 所以線段 AC1 的長(zhǎng)為 2. ?

19、?????(2) 設(shè)異面直線 AC1 與 A1D 所成的角為 θ, 則 cosθ=cosAC1,A1D=AC1?A1DAC1A1D. 因?yàn)?AC1=a+b+c,A1D=b?c, 所以 AC1?A1D=a+b+c?b?c=a?b?a?c+b2?c2=0+1+12?22=?2, A1D=b?c2=b2?2b?c+c2=12?2×?1+22=7. 所以 cosθ=AC1?A1DAC1A1D=∣?2∣2×7=147, 所以異面直線 AC1 與 A1D 所成角的余弦值為 147. 22. (1) 如圖,作 EH⊥DD1 于點(diǎn) H,F(xiàn)G⊥CD 于點(diǎn) G,連接 HG. 易證 △

20、EHD1≌△FGD, 所以 EH=FG, 又因?yàn)?EH∥AD∥FG, 所以四邊形 EFGH 是平行四邊形, 所以 EF∥HG. 又在正方體中,AD⊥平面CDD1C1,故得 AD⊥HG,即 AD 與 EF 所成的角為 90°. ??????(2) 設(shè) EF=GH=y,D1H=DG=x(0≤x≤a),則 DH=a?x. 所以 y=a?x2+x2=2x?a22+a22, 當(dāng) x=a2 時(shí),即 E 是 AD1 中點(diǎn)時(shí),EF 取最小值 22a. 23. (1) 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 則點(diǎn) O1,1,0,D10,0,2, 所以 OD1=?1,?1,2. 又點(diǎn) B2,2

21、,0,M1,1,2, 所以 BM=?1,?1,2, 所以 OD1=BM. 又因?yàn)?OD1 與 BM 不共線, 所以 OD1∥BM. 又 OD1?平面D1AC,BM?平面D1AC, 所以 BM∥平面D1AC. ??????(2) 連接 OB1,點(diǎn) B12,2,2,A2,0,0,C0,2,0. 因?yàn)?OD1?OB1=?1,?1,2?1,1,2=0, OD1?AC=?1,?1,2??2,2,0=0, 所以 OD1⊥OB1,OD1⊥AC, 即 OD1⊥OB1,OD1⊥AC. 又 OB1∩AC=O,OB1,AC?平面AB1C, 所以 D1O⊥平面AB1C. 24. (1)

22、如圖,取 AD 的中點(diǎn) O,連接 OP,OF. 因?yàn)?PA=PD, 所以 PO⊥AD. 因?yàn)?側(cè)面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以 PO⊥平面ABCD. 又 O,F(xiàn) 分別為 AD,BD 的中點(diǎn), 所以 OF∥AB. 又四邊形 ABCD 是正方形, 所以 OF⊥AD. 因?yàn)?PA=PD=22AD, 所以 PA⊥PD,OP=OA=a2. 以 O 為原點(diǎn),OA,OF,OP 所在直線分別為 x 軸,y 軸,z 軸建立空間直角坐標(biāo)系, 則 Aa2,0,0,F(xiàn)0,a2,0,D?a2,0,0, P0,0,a2,Ba2,a,0,C?a2,a,0.

23、因?yàn)?E 為 PC 的中點(diǎn), 所以 E?a4,a2,a4. 易知平面 PAD 的一個(gè)法向量為 OF=0,a2,0. 因?yàn)?EF=a4,0,?a4, 且 OF?EF=0,a2,0?a4,0,?a4=0, 所以 EF∥平面PAD. ??????(2) 因?yàn)?PA=a2,0,?a2,CD=0,?a,0, 所以 PA?CD=a2,0,?a2?0,?a,0=0, 所以 PA⊥CD, 所以 PA⊥CD. 又 PA⊥PD,PD∩CD=D, 所以 PA⊥平面PDC. 又 PA?平面PAB, 所以 平面PAB⊥平面PDC. 25. (1) 如圖,取 AD 的中點(diǎn) O,連接 OP,OF

24、. 因?yàn)?PA=PD, 所以 PO⊥AD. 因?yàn)?側(cè)面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO?平面PAD, 所以 PO⊥平面ABCD. 又 O,F(xiàn) 分別為 AD,BD 的中點(diǎn), 所以 OF∥AB. 又 ABCD 是正方形, 所以 OF⊥AD. 因?yàn)?PA=PD=22AD, 所以 PA⊥PD,OP=OA=a2. 以 O 為原點(diǎn),OA,OF,OP 所在直線分別為 x 軸,y 軸,z 軸建立空間直角坐標(biāo)系, 則 Aa2,0,0,F(xiàn)0,a2,0,D?a2,0,0, P0,0,a2,Ba2,a,0,C?a2,a,0. 因?yàn)?E 為 PC 的中點(diǎn),

25、所以 E?a4,a2,a4. 易知平面 PAD 的一個(gè)法向量為 OF=0,a2,0, 因?yàn)?EF=a4,0,?a4, 且 OF?EF=0,a2,0?a4,0,?a4=0, 又因?yàn)?EF?平面PAD, 所以 EF∥平面PAD. ??????(2) 因?yàn)?PA=a2,0,?a2,CD=0,?a,0, 所以 PA?CD=a2,0,?a2?0,?a,0=0, 所以 PA⊥CD, 所以 PA⊥CD. 又 PA⊥PD,PD∩CD=D,PD,CD?平面PDC, 所以 PA⊥平面PDC. 又 PA?平面PAB, 所以 平面PAB⊥平面PDC. 26. (1) 如圖,以點(diǎn) C 作為坐

26、標(biāo)原點(diǎn) O,CA,CB,CC1 所在直線分別為 x 軸,y 軸,z 軸,建立空間直角坐標(biāo)系. 由題意得 B0,1,0,N1,0,1, 所以 BN=1?02+0?12+1?02=3. ??????(2) 由題意得 A11,0,2,B0,1,0,C0,0,0,B10,1,2, 所以 BA1=1,?1,2,CB1=0,1,2, BA1?CB1=3,BA1=6,CB1=5, 所以 cosBA1,CB1=BA1?CB1BA1CB1=3010. ??????(3) 由題意得 C10,0,2,M12,12,2, A1B=?1,1,?2,C1M=12,12,0, 所以 A1B?C1M

27、=?12+12+0=0, 所以 A1B⊥C1M,即 A1B⊥C1M. 27. (1) 如圖所示. 在正方體 ABCD?A1B1C1D1 中,AB∥A1B1 且 AB=A1B1,A1B1∥C1D1 且 A1B1=C1D1, 所以 AB∥C1D1 且 AB=C1D1, 所以四邊形 ABC1D1 為平行四邊形,則 BC1∥AD1, 因?yàn)?BC1?平面AD1E,AD1?平面AD1E, 所以 BC1∥平面AD1E. ??????(2) 以點(diǎn) A 為坐標(biāo)原點(diǎn),AD,AB,AA1 所在直線分別為 x,y,z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 A?xyz. 設(shè)正方體 ABCD?A1B1C1D1 的棱長(zhǎng)為 2, 則 A0,0,0,A10,0,2,D12,0,2,E0,2,1, AD1=2,0,2,AE=0,2,1, 設(shè)平面 AD1E 的法向量為 n=x,y,z, 由 n?AD1=0,n?AE=0, 得 2x+2z=02y+z=0, 令 z=?2,則 x=2,y=1,則 n=2,1,?2 . cosn,AA1=n?AA1n?AA1=?43×2=?23 . 因此,直線 AA1 與平面 AD1E 所成角的正弦值為 23. 第15頁(yè)(共15 頁(yè))

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