《一元微積分學PPT標準課件-35-第35講一階微分方程.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《一元微積分學PPT標準課件-35-第35講一階微分方程.ppt（38頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 一元微積分學,大 學 數 學（一）,第三十講 一元微積分的應用(六),腳本編寫：劉楚中,教案制作：劉楚中,, 微積分在物理中的應用,第七章 常微分方程,本章學習要求：,了解微分方程、解、通解、初始條件和特解的概念. 了解下列幾種一階微分方程：變量可分離的方程、齊次方 程、一階線性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟練掌握分離變量法和一階線性方程的解法. 會利用變量代換的方法求解齊次方程和伯努利方程. 知道下列高階方程的降階法：,了解高階線性微分方程階的結構，并知道高階常系數齊線 性微分方程的解法. 熟練掌握二階常系數齊線性微分方程的解法. 掌握自由項（右端）為多項式、指數

2、函數、正弦函數、余 弦函數以及它們的和或乘積的二階常系數非齊線性微分方 程的解法.,第二節(jié) 一階微分方程,,變量代換,,變量代換,變量分離,,常數變易,,變量代換,,,變量代換,,變量代換,變量分離,,常數變易,,變量代換,,一、變量可分離方程,如果一階微分方程可以化為下列形式：,則稱原方程為變量可分離的方程。,運用積分方法即可求得變量可分離方程的通解：,其中C 為積分后出現的任意常數。,解,原方程即,對上式兩邊積分，得原方程的通解,解,對上式兩邊積分，得原方程的通解,隱函數形式,經初等運算可得到原方程的通解為,你認為做完了沒有？,原方程的解為,解,兩邊同時積分，得,故所求通解為,你認為還需要

3、討論嗎？為什么？,解,原方程即,兩邊積分，得,故通解為,曲線族的包絡。,,,二、齊次方程,,變量代換,代入原方程，得,解,于是，原方程化為,兩邊積分，得,即,,,三、可化為齊次方程的方程,,,變量代換,變量代換,三、可化為齊次方程的方程,,,變量代換,變量代換,解,于是，原方程變?yōu)?聯立方程組,,解之，得,兩邊積分，得,即,,,,變量代換,,變量代換,變量分離,,常數變易,,變量代換,,,,,四、一階線性微分方程,形如,的方程稱為一階線性微分方程。,方程稱為一階齊線性方程。,方程稱為一階非齊線性方程。,,習慣上，稱,為方程,所對應的齊方程。,,一階齊線性方程的解,運用分離變量法，得,兩邊積分，

4、得,故,,的解存在，且唯一，其通解為,解,故該一階齊線性方程的通解為,套公式！,解,先求此一階齊線性方程的通解：,故該初值問題的解為,,變量代換,,變量代換,變量分離,,常數變易,,變量代換,,,,,,一階非齊線性方程的解,比較兩個方程：,請問，你有什么想法？,請問，你有什么想法？,,行嗎 ?!,,故,即,上式兩邊積分，求出待定函數,解,所以，方程的通解為,解,原方程可以改寫為,這是一個以 y 為自變量的一階非齊線性方程，其中,故原方程的通解為,,變量代換,,變量代換,變量分離,,常數變易,,變量代換,,,,,,,五、伯努利方程,形如,的方程稱為伯努利方程。,代入伯努利方程后，可將其化為一階線性微分方程,于是，原方程的通解為,,,解,故,從而，原方程的通解為,,,變量代換,,變量代換,變量分離,,常數變易,,變量代換,,,,,,,,,變量代換,,變量代換,變量分離,,常數變易,,變量代換,,解,原方程即,于是，原方程化為,運用分離變量法，解得,故原方程的通解為,