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【備考2014 志鴻優(yōu)化設(shè)計】2013版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題講練 專題四 歸納與猜想(含解析) 新人教版

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1、 專題四 歸納與猜想 歸納猜想問題指的是給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形,或是給出與圖形有關(guān)的操作、變化過程,要求通過觀察、分析、推理,探求其中所蘊涵的規(guī)律,進而歸納或猜想出一般性的結(jié)論,在解答過程中需要經(jīng)歷觀察、歸納、猜想、試驗、證明等數(shù)學(xué)活動,以加深學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)知識的理解,認(rèn)識數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系.在中考試卷中多以選擇題、填空題、解答題的形式出現(xiàn). 考向一 數(shù)字規(guī)律問題 數(shù)字規(guī)律問題,即按一定的規(guī)律排列的數(shù)之間的相互關(guān)系或大小變化規(guī)律的問題. 【例1】如圖,一個數(shù)表有7行7列,設(shè)aij表示第i行第j列上的數(shù)(其中i=1,2,3,…,j=1,2,3,…).例如:第5行

2、第3列上的數(shù)a53=7. 1 2 3 4  3 2  1 2 3 4 5 4 3 2 3 4 5 6 5 4 3 4 5 6 7 6 5 4 5 6 7 8 7 6 5 6 7 8 9 8 7 6 7 8 9 10 9 8 7 則(1)(a23-a22)+(a52-a53)=__________. (2)此數(shù)表中的四個數(shù)anp,ank,amp,amk,滿足(anp-ank)+(amk-amp)=__________. 解析:根據(jù)數(shù)表中數(shù)字排列規(guī)律,得a23=

3、4,a22=3, a52=6,a53=7, 所以(1)的答案是(4-3)+(6-7)=0. 對于(2)中四個數(shù)anp,ank,amp,amk,可以發(fā)現(xiàn)anp與ank為同一行的數(shù),且其差為第p個數(shù)與第k個數(shù)之差,同理amk與amp之差也為同行中第k個數(shù)與第p個數(shù)之差. 根據(jù)數(shù)表中數(shù)字排列規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)這兩個差互為相反數(shù),所以(anp-ank)+(amk-amp)=0. 答案:(1)0 (2)0 方法歸納 解答數(shù)字規(guī)律問題的關(guān)鍵是,仔細(xì)分析數(shù)表中或行列中前后各數(shù)之間的關(guān)系,從而發(fā)現(xiàn)其中所蘊涵的規(guī)律,利用規(guī)律解題. 考向二 數(shù)式規(guī)律問題 解答此類問題的常用方法是:(1)將所給每個數(shù)據(jù)化

4、為有規(guī)律的代數(shù)式或等式;(2)按規(guī)律順序排列這些式子;(3)將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用代數(shù)式或等式表示出來;(4)用題中所給數(shù)據(jù)驗證規(guī)律的正確性. 【例2】給出下列命題: 命題1:直線y=x與雙曲線y=有一個交點是(1,1); 命題2:直線y=8x與雙曲線y=有一個交點是; 命題3:直線y=27x與雙曲線y=有一個交點是; 命題4:直線y=64x與雙曲線y=有一個交點是; …… (1)請你閱讀、觀察上面命題,猜想出命題n(n為正整數(shù)); (2)請驗證你猜想的命題n是真命題. 解:(1)命題n:直線y=n3x與雙曲線y=有一個交點是; (2)將代入直線y=n3x得:右邊=n3×=n2,左

5、邊=n2, ∴左邊=右邊.∴點在直線y=n3x上. 同理可證:點在雙曲線y=上, ∴直線y=n3x與雙曲線y=有一個交點是. 方法歸納 此類問題要從整體上觀察各個式子的特點,猜想出式子的變化規(guī)律,并進行驗證. 對于本題來說,關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)變化的點的坐標(biāo)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,同時找出兩個函數(shù)的系數(shù)和橫坐標(biāo)的關(guān)系. 考向三 數(shù)形規(guī)律問題 根據(jù)一組圖形的排列,探究圖形變化所反映的規(guī)律,其中以圖形為載體的數(shù)字規(guī)律最為常見. 【例3】用同樣大小的小圓按下圖所示的方式擺圖形,第1個圖形需要1個小圓,第2個圖形需要3個小圓,第3個圖形需要6個小圓,第4個圖形需要10個小圓,按照這樣的規(guī)律擺

6、下去,則第n個圖形需要小圓__________個(用含n的代數(shù)式表示). 解析:觀察圖形可知,第n個圖形比第(n-1)個圖形多n個小圓, 所以第n個圖形需要小圓1+2+3+…+n=n(n+1). 答案:n(n+1) 方法歸納 解決這類問題的關(guān)鍵是,仔細(xì)分析前后兩個圖形中基礎(chǔ)圖案的數(shù)量關(guān)系,從而發(fā)現(xiàn)其數(shù)字變化規(guī)律.具體地說,先根據(jù)圖形寫出數(shù)字規(guī)律,然后將每一個數(shù)字改寫為等式,再比較各等式的相同點和不同點,分析不同點(數(shù)字)與等式序號之間的關(guān)系,從而得到一般規(guī)律. 一、選擇題 1.如圖,六邊形ABCDEF是正六邊形,曲線FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六邊形的漸開線”,

7、其中,,,,,…的圓心依次按點A,B,C,D,E,F(xiàn)循環(huán),其弧長分別記為l1,l2,l3,l4,l5,l6….當(dāng)AB=1時,l2 011等于(  ) A. B. C. D. 2.在平面直角坐標(biāo)系中,正方形ABCD的位置如圖所示,點A的坐標(biāo)為(1,0),點D的坐標(biāo)為(0,2).延長CB交x軸于點A1,作正方形A1B1C1C;延長C1B1交x軸于點A2,作正方形A2B2C2C1,…,按這樣的規(guī)律進行下去,第2 011個正方形的面積為(  ) A.52 010 B.52 011 C.52 009 D.54 020 二、填空題 3.按

8、一定規(guī)律排列的一列數(shù),依次為1,4,7,….則第n個數(shù)是__________. 4.如圖(1),將一個正六邊形各邊延長,構(gòu)成一個正六角星形AFBDCE,它的面積為1;取△ABC和△DEF各邊中點,連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1,如圖(2)中陰影部分;取△A1B1C1和△D1E1F1各邊中點,連接成正六角星形A2F2B2D2C2E2,如圖(3)中陰影部分;如此下去…,則正六角星形A4F4B4D4C4E4的面積為__________. 5.如圖,在一單位為1的方格紙上,△A1A2A3,△A3A4A5,△A5A6A7,……,都是斜邊在x軸上、斜邊長分別為2,4,6,……的等腰直角三

9、角形.若△A1A2A3的頂點坐標(biāo)分別為A1(2,0),A2(1,-1),A3(0,0),則依圖中所示規(guī)律,A2 012的坐標(biāo)為__________. 三、解答題 6.觀察下列算式: ①1×3-22=3-4=-1 ②2×4-32=8-9=-1 ③3×5-42=15-16=-1 ④__________________________ …… (1)請你按以上規(guī)律寫出第4個算式; (2)把這個規(guī)律用含字母n(n為正整數(shù))的式子表示出來; (3)你認(rèn)為(2)中所寫出的式子一定成立嗎?并說明理由. 7.觀察圖形,解答問題: (1)按下表已填寫的形式填寫表中的空格: 圖

10、① 圖② 圖③ 三個角上 三個數(shù)的積 1×(-1)× 2=-1 (-3)×(-4)× (-5)=-60 三個角上 三個數(shù)的和 1+(-1)+ 2=2 (-3)+(-4)+ (-5)=-12 積與和的商 -2÷2=-1 (2)請用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求出圖④中的數(shù)y和圖⑤中的數(shù)x. 8.(1)△ABC是一張等腰直角三角形紙板,∠C=90°,AC=BC=2.要在這張紙板中剪出一個盡可能大的正方形,有甲、乙兩種剪法(如圖1),比較甲、乙兩種剪法,哪種剪法所得的正方形面積更大?請說明理由. 圖1 圖2 圖3 (2)

11、圖1中甲種剪法稱為第1次剪取,記所得的正方形面積為S1;按照甲種剪法,在余下的△ADE和△BDF中,分別剪取正方形,得到兩個相同的正方形,稱為第2次剪取,并記這兩個正方形面積和為S2(如圖2),則S2=__________. (3)按(1)(2)的方法,再在余下的四個三角形中,分別剪取正方形,得到四個相同的正方形,稱為第3次剪取,并記這四個正方形的面積和為S3(如圖3);繼續(xù)操作下去…,則第10次剪取時,S10=__________.求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面積和. 參考答案 專題提升演練 1.B 可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律:每段弧的度數(shù)都等于60°,Kn-1Kn的半徑為n,所以l2

12、011==. 2.D 由題意知,OA=1,OD=2,DA=,∴AB=AD=,利用互余關(guān)系證得△DOA∽△ABA1,∴=,∴BA1=AB=,∴A1B1=A1C=AB=,同理,A2B2=A1B1=2,一般地AnBn=n,第2 011個正方形的面積為(A2 010B2 010)2=54 020,故選D. 3.3n-2 思路一:將數(shù)列看成1+3×0,1+3×1,1+3×2,…,1+3×(n-1),所以第n個數(shù)是1+3×(n-1),即3n-2. 思路二:將數(shù)列看成3×1-2,3×2-2,3×3-2,…,3×n-2,所以第n個數(shù)是3n-2. 4. 因為A1,B1分別是EF,F(xiàn)D的中點,所以A1B1

13、=ED.因為正六角星形A1F1B1D1C1E1∽正六角星形AFBDCE,所以正六角星形A1F1B1D1C1E1的面積:正六角星形AFBDCE的面積=2=.所以正六角星形A1F1B1D1C1E1的面積=.同理正六角星形A2F2B2D2C2E2的面積:正六角星形A1F1B1D1C1E1的面積=2=,所以正六角星形A2F2B2D2C2E2的面積=×=2.如此下去…,則正六角星形A4F4B4D4C4E4的面積等于4=. 5.(2,1 006) 6.解:(1)4×6-52=24-25=-1; (2)n(n+2)-(n+1)2=-1; (3)一定成立.理由: 因為n(n+2)-(n+1)2=n2

14、+2n-(n2+2n+1)=n2+2n-n2-2n-1=-1,故(2)中的式子一定成立. 7.解:(1)圖②:(-60)÷(-12)=5, 圖③:(-2)×(-5)×17=170, (-2)+(-5)+17=17, 170÷10=17. (2)圖④:5×(-8)×(-9)=360, 5+(-8)+(-9)=-1, y=360÷(-12)=-30, 圖⑤:=-3,解得x=-2. 8.解:(1)如圖甲,由題意得AE=DE=EC,即EC=1,S正方形CFDE=1.如圖乙,設(shè)MN=x,則由題意,得AM=MQ=PN=NB=MN=x, ∴3x=2,解得x=. ∴S正方形PNMQ=2=. 又∵1>, ∴甲種剪法所得的正方形的面積更大. (2)S2=. (3)S10=. 解法1:探索規(guī)律可知:Sn=. 剩余三角形的面積和為2-(S1+S2+…+S10)=2-=. 解法2:由題意可知, 第1次剪取后剩余三角形面積和為2-S1=1=S1. 第2次剪取后剩余三角形面積和為S1-S2=1-==S2. 第3次剪取后剩余三角形面積和為S2-S3=-==S3. … 第10次剪取后剩余三角形面積和為S9-S10=S10=. 6

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