《5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 同步練習(xí)（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 同步練習(xí)（含解析）（9頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 一、選擇題（共15小題） 1. 已知函數(shù) fx 在 x=x0 處連續(xù)，下列命題中正確的是 ?? A. 導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn) B. 如果在 x=x0 附近的左側(cè) f?x>0，右側(cè) f?x<0，那么 fx0 是極大值 C. 如果在 x=x0 附近的左側(cè) f?x>0，右側(cè) f?x<0，那么 fx0 是極小值 D. 如果在 x=x0 附近的左側(cè) f?x<0，右側(cè) f?x>0，那么 fx0 是極大值 2. 函數(shù) y=lnxx 的最大值為 ?? A. e?1 B. e C. e2 D. 103 3. 函數(shù) fx=x2l

2、nx 的減區(qū)間為 ?? A. 0,e B. ee,+∞ C. ?∞,ee D. 0,ee 4. 設(shè)函數(shù) fx=2x+lnx，則 ?? A. x=12 為 fx 的極大值點(diǎn) B. x=12 為 fx 的極小值點(diǎn) C. x=2 為 fx 的極大值點(diǎn) D. x=2 為 fx 的極小值點(diǎn) 5. 函數(shù) fx=3x?4x3，x∈0,1 的最大值是 ?? A. 12 B. ?1 C. 0 D. 1 6. 已知函數(shù) fx=2x?x2ex，則 ?? A. f2 是 fx 的極大值也是最大值 B. f2 是 fx 的極大值但不是最大值 C. f?2 是 f

3、x 的極小值也是最小值 D. fx 沒有最大值也沒有最小值 7. 已知函數(shù) fx=x3+ax2+a+6x+1 有極大值與極小值，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 ?? A. ?1,2 B. ?3,6 C. ?∞,?1∪2,+∞ D. ?∞,?3∪6,+∞ 8. 已知函數(shù) fx=?x3+ax2?x?1 在 ?∞,+∞ 上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ?? A. ?∞,?3∪3,+∞ B. ?3,3 C. ?∞,?3∪3,+∞ D. ?3,3 9. 若函數(shù) fx 在 0,+∞ 上可導(dǎo)，且滿足 fx＞xf?x，則一定有 ?? A. 函數(shù) Fx=f

4、xx 在 0,+∞ 上為增函數(shù) B. 函數(shù) Fx=fxx 在 0,+∞ 上為減函數(shù) C. 函數(shù) Gx=xfx 在 0,+∞ 上為增函數(shù) D. 函數(shù) Gx=xfx 在 0,+∞ 上為減函數(shù) 10. 已知 fx=lnx+axa≠0，則 ?? A. 當(dāng) a<0 時(shí)，fx 存在極小值 fa B. 當(dāng) a<0 時(shí)，fx 存在極大值 fa C. 當(dāng) a>0 時(shí)，fx 存在極小值 fa D. 當(dāng) a>0 時(shí)，fx 存在極大值 fa 11. 函數(shù) fx=3x?4x3x∈0,1 的最大值是 ?? A. 1 B. 12 C. 0 D. ?1 12. 若

5、函數(shù) fx=kx?lnx 在區(qū)間 1,+∞ 上單調(diào)遞增，則 k 的取值范圍是 ?? A. ?∞,?2 B. ?∞,?1 C. 2,+∞ D. 1,+∞ 13. 已知函數(shù) fx=x3+ax2+a+6x+1 有極大值和極小值，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ?? A. ?1,2 B. ?∞,?3∪6,+∞ C. ?3,6 D. ?∞,?1∪2,+∞ 14. 若關(guān)于 x 的不等式 e2x?alnx≥12a 恒成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ?? A. 0,2e B. ?∞,2e C. 0,2e2 D. ?∞,2e2 15. 已知 a>0 且 a≠1，若當(dāng) x≥

6、1 時(shí)，不等式 ax≥ax 恒成立，則 a 的最小值是 ?? A. e B. 1ee C. 2 D. ln2 二、填空題（共7小題） 16. 函數(shù) fx=2x3?3x2+10 的單調(diào)減區(qū)間為 ?． 17. 已知函數(shù) fx=x3+ax 在 R 上有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ?． 18. 某商場從生產(chǎn)廠家以每件 20 元購進(jìn)一批商品，若該商品每件的零售價(jià)為 p 元，銷量 Q（單位：件）與每件的零售價(jià) p（單位：元）有如下關(guān)系：Q=8300?170p?p2，則該商品每件的零售價(jià)定為

7、 ? 元時(shí)，總利潤最大． 19. 已知函數(shù) fx=x3+2x，若 f1+flog1a3>0（a>0 且 a≠1），則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ?． 20. 若函數(shù) fx=x3+bx2+cx+2 在 x=1 時(shí)有極值 6，則 b= ?；c= ?． 21. 函數(shù) fx=∣3x?x3∣ 在 ?2,2 上的最大值是 ?． 22. 若定義在 R 上的函數(shù) fx 滿足 fx+f?x<1 且 f0=3，則不等式 fx>2ex+1（其中 e

8、 為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為 ?． 三、解答題（共6小題） 23. 已知函數(shù) fx=x3?3x． （1）求函數(shù) fx 的單調(diào)區(qū)間； （2）求函數(shù) fx 在區(qū)間 ?1,3 上的最大值和最小值． 24. 求函數(shù) y=13x3?4x+4 的極值． 25. 已知函數(shù) fx=lnx?sinx+axa>0． （1）若 a=1，求證：當(dāng) x∈1,π2 時(shí)，fx<2x?1； （2）若 fx 在 0,2π 上有且僅有 1 個極值點(diǎn)，求 a 的取值范圍． 26. 已知 a 是實(shí)數(shù)，函數(shù) fx=x2x?a，求 fx 在區(qū)間 0,2 上

9、的最大值． 27. 已知函數(shù) fx=ax3+bx2+cx 在 x=1 和 x=?1 處有極值，且 f1=?1，求 a，b，c 的值，并求出相應(yīng)的極值． 28. 已知函數(shù) fx=ax2?1?lnx，a∈R． （1）討論 fx 的單調(diào)性； （2）求實(shí)數(shù) a 的取值范圍，使得 fx>asinx?1+1x?e1?x 在區(qū)間 1,+∞ 內(nèi)恒成立（e=2.71828? 為自然對數(shù)的底數(shù)）． 答案 1. B 【解析】根據(jù)極值的概念，在 x=x0 附近的左側(cè) f?x>0，函數(shù)單調(diào)遞增；在 x=x0 附近的右側(cè) f?x<0，函數(shù)單調(diào)遞減， 所以 fx0 為極大值． 2

10、. A 【解析】令 y′=lnx?x?lnx?x?x2=1?lnxx2=0 ，則 x=e ， 當(dāng) x>e 時(shí)，y?<0 ， 當(dāng) 00 ， 所以當(dāng) x=e 時(shí)，函數(shù)有極大值，極大值為 1e ， 因?yàn)楹瘮?shù)在定義域內(nèi)只有—個極值，所以 ymax=1e . 3. D 4. D 【解析】函數(shù) fx 的定義域?yàn)?0,+∞，f?x＝?2x2+1x=x?2x2，當(dāng) x=2 時(shí)，f?x=0；當(dāng) x>2 時(shí)，f?x>0，函數(shù) fx 為增函數(shù)；當(dāng) 0

11、析】由題意得 f?x=2?2xex+2x?x2ex=2?x2ex，當(dāng) ?20，函數(shù) fx 單調(diào)遞增；當(dāng) x2 時(shí)，f?x<0，函數(shù) fx 單調(diào)遞減，所以 fx 在 x=2 處取得極大值，在 x=?2 處取得極小值，又 f2=22?1e2>0，f?2=2?2?1e?2<0，當(dāng) x→+∞ 時(shí)，fx→?∞，當(dāng) x→?∞ 時(shí)，fx→0，所以 fx 無最小值，有最大值，且 f2 是 fx 的極大值，也是最大值． 7. D 8. B 【解析】由 fx=?x3+ax2?x?1，得到 f′x=?3x2+2ax?1，因?yàn)樵??∞,+∞ 上是單調(diào)函數(shù)，所以 f′x=

12、?3x2+2ax?1≤0 在 ?∞,+∞ 恒成立，則 Δ=4a2?12≤0??3≤a≤3．所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍是：?3,3． 9. B 【解析】因?yàn)?fx>xf?x，構(gòu)造函數(shù) y=fxx，其導(dǎo)數(shù)為 y?=xf?x?fxx2<0， 由此知函數(shù) y=fxx 在 0,+∞ 上是減函數(shù)． 10. C 【解析】f?x=1x?ax2=x?ax2，當(dāng) a>0 時(shí)，令 f?x>0，解得 x>a，令 f?x<0，解得 00，fx 在 0,+∞ 上遞增，無極值． 11.

13、 A 【解析】f?x=3?12x2， 令 f?x=0，則 x=?12（舍去）或 x=12， f0=0，f1=?1， f12=32?12=1， 所以 fx 在 0,1 上的最大值為 1． 12. D 【解析】f?x=k?1x=kx?1x，且 x>0， 由題意可知當(dāng) x>1 時(shí)，f?x≥0，即得 kx?1≥0，解得 x≥1k（k<0 時(shí)不滿足）， 因?yàn)楹瘮?shù) fx 在區(qū)間 1,+∞ 上單調(diào)遞增，所以 1k≤1，解得 k≥1． 13. B 【解析】因?yàn)?f?x=3x2+2ax+a+6，由已知可得 f?x=0 有兩個不相等的實(shí)根． 所以 Δ=4a2?4×3a+6>0，即

14、 a2?3a?18>0． 所以 a>6 或 a0 時(shí)，fx=e2x?alnx 的導(dǎo)數(shù)為 f?x=2e2x?ax， 由于 y=2e2x?ax 在 0,+∞ 遞增， 設(shè) f?x=0 的根為 m，即有 a=2me2m， 當(dāng) 0m 時(shí)，f?x>0，fx 遞增， 可得 x=m 處 fx 取得極小值，且為最小值 e2m?alnm， 由題

15、意可得 e2m?alnm≥12a，即 a2m?alnm≥12a， 化為 m+2mlnm≤1，設(shè) gm=m+2mlnm，g?m=1+21+lnm， 當(dāng) m=1 時(shí)，g1=1，m>1 時(shí)，g?m>0，gm 遞增， 可得 m+2mlnm≤1 的解為 00 且 a≠1，當(dāng) x≥1 時(shí)，不等式 ax≥ax 恒成立， 所以 ax?1≥x，兩邊取自然對數(shù)，得：x?1lna≥lnx， 令 px=lnx?x?1lna，則 x≥1 時(shí)，px≤0， 因?yàn)?p?x=1x?lna， 當(dāng) lna<

16、0，即 a∈0,1 時(shí)，p?x>0，px 遞增， 當(dāng) x≥1 時(shí)，px≥p1=0，與 px≤0 矛盾； 當(dāng) lna>0，即 a∈1,+∞ 時(shí)，令 p?x=0，得 x=1lna， x∈0,1lna，p?x>0，px 遞增； x∈1lna,+∞，p?x<0，px 遞減． 若 1lna>1，即 a∈1,e，當(dāng) x∈1,1lna 時(shí)，px 遞增，px≥p1=0，矛盾； 若 1lna≤1，即 a∈e,+∞，當(dāng) x∈1,+∞ 時(shí)，px≤p1=0，成立． 綜上，a 的取值范圍是 e,+∞． 故 a 的最小值是 e． 16. 0,1 【解析】令 f?x=6x2?6x<0，解得

17、 00， 所以 fx 在 R 上單調(diào)遞增， 因此由 f1+flog1a3>0，得 f1>?flog1a3=?f?loga3=floga3，即 1>loga3． 當(dāng) a>1 時(shí)，a>3；當(dāng) 0loga3 恒成立． 故實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 0,1∪3,+∞． 20. ?6，9 21. 2 【解析

18、】容易判斷此函數(shù)為 ?2,2 上的偶函數(shù)，故只需考慮函數(shù) fx=∣3x?x3∣ 在 0,2 上的最大值即可． 因?yàn)?fx=3x?x3,0≤x≤3,x3?3x,3

19、?x?1， 因?yàn)?fx+f?x<1，所以 fx+f?x?1<0， 所以 g?x<0，所以 y=gx 在定義域上單調(diào)遞減， 因?yàn)?exfx>ex+2，所以 gx>2， 又因?yàn)?g0=e0f0?e0=3?1=2，所以 gx>g0，所以 x<0． 23. （1） 因?yàn)?fx=x2?3x，所以 f?x=3x2?3． 令 f?x=0，解得 x1=?1，x2=1． 隨著 x 的變化，f?x，fx 變化情況如下表： x?∞,?1?1?1,111,+∞f?x+0?0+fx↗極大值↘極小值↗ 所以，函數(shù) fx 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ?∞,?1 和 1,+∞，單調(diào)遞減區(qū)間為 ?1,1． ?

20、?????（2） 因?yàn)楹瘮?shù) fx 在區(qū)間 ?1,1 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 1,3 上單調(diào)遞增， 又 f?1=2，f1=?2，f3=18， 所以，函數(shù) fx 在區(qū)間 ?1,3 上的最大值為 18，最小值為 ?2． 24. 因?yàn)?y?=x2?4，令 y?=0 得 x1=?2，x2=2． 當(dāng) x 變化時(shí)，y?，y 的變化情況如下表： x?∞,?2?2?2,222,+∞y?+0?0+y↗283↘?43↗ 所以當(dāng) x=?2 時(shí)，函數(shù)有極大值，極大值為 283， 當(dāng) x=2 時(shí)，函數(shù)有極小值，極小值為 ?43． 25. （1） 當(dāng) a=1 時(shí)，fx=lnx?sinx+x． 令 gx=

21、fx?2x?1=lnx?sinx?x+1，x∈1,π2， 則 g?x=1x?cosx?1=1?xx?cosx<0， 所以 gx 在 1,π2 上單調(diào)遞減， 故 gx0 與函數(shù) y=cosx，x∈0,π2 的圖象只有一個交點(diǎn)， 所以 12π+a

22、 f?x=0，解得 x1=0，x2=2a3． ①當(dāng) 2a3≤0，即 a≤0 時(shí)，fx 在 0,2 上單調(diào)遞增，從而 fxmax=f2=8?4a． ②當(dāng) 2a3≥2，即 a≥3 時(shí)，fx 在 0,2 上單調(diào)遞減，從而 fxmax=f0=0． ③當(dāng) 0<2a3<2，即 02. 27. 由題意得 f?x=3ax2+2bx+c． 因?yàn)?fx 在 x=1 和 x=?1 處有極值，且 f1=?1， 所以 f??1=0

23、,f?1=0,f1=?1, 所以 3a?2b+c=0,3a+2b+c=0,a+b+c=?1, 所以 a=12,b=0,c=?32, 所以 fx=12x3?32x， 所以 f?x=32x2?32=32x+1x?1， 所以在 ?∞,?1，1,+∞ 上，f?x>0，函數(shù)為增函數(shù)； 在 ?1,1 上，f?x<0，函數(shù)為減函數(shù)， 所以當(dāng) x=?1 時(shí)，fx 有極大值，為 f?1=1； 當(dāng) x=1 時(shí)，fx 有極小值，為 f1=?1． 28. （1） 因?yàn)?fx=ax2?1?lnx，x∈0,+∞， 所以 f?x=2ax?1x=2ax2?1x， 當(dāng) a≤0 時(shí)，f?x<0， 所

24、以 fx 在 x∈0,+∞ 上單調(diào)遞減， 當(dāng) a>0 時(shí)，令 f?x=0，則 x=2a2a， 令 f?x>0，則 x>2a2a， 令 f?x<0，則 0asinx?1+1x?e1?x 在區(qū)間 1,+∞ 內(nèi)恒成立， 則 ax2?1?lnx?asinx?1?1x+e1?x>0 在區(qū)間 1,+∞ 內(nèi)恒成立， 令 gx=ax2?1?lnx?asinx?1?1x+e1?x， 則只需 gx>0 在 x∈1,+∞ 內(nèi)恒成立即可， 因?yàn)?g1=a12?1?ln1

25、?asin1?1?11+e1?1=0， 所以 g?1≥0 必須恒成立． g?x=2ax?1x?acosx?1+1x2?e1?x，g?1=2a?11?acos1?1+112?e1?1≥0， 所以 a≥1． 令 Fx=g?x=2ax?1x?acosx?1+1x2?e1?x， 當(dāng) a≥1 時(shí)， F?x=2a+1x2+asinx?1?2x3+e1?x≥2+1x2+sinx?1?2x3+e1?x=1+sinx?1+x3+x?2x3+e1?x, 因?yàn)?x∈1,+∞， 所以 x3+x?2>0，1+sinx?1≥0，e1?x>0， 所以 F?x 在 x∈1,+∞，a≥1 時(shí)恒大于 0． 所以 Fx 在 x∈1,+∞ 上單調(diào)遞增， 所以 Fx>F1=a?1≥0， 故 gx 在 x∈1,+∞ 上單調(diào)遞增，gx>g1=0， 所以 gx 在 x∈1,+∞ 上恒大于 0， 所以 a≥1． 故實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 1,+∞． 第9頁（共9 頁）