《自動(dòng)控制原理自學(xué)必備自動(dòng)控制.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《自動(dòng)控制原理自學(xué)必備自動(dòng)控制.ppt（67頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、,自動(dòng)控制原理,主講：吳仲陽,第四章 線性系統(tǒng)的時(shí)域分析,1 繪制根軌跡的兩個(gè)條件,2 繪制根軌跡的基本規(guī)則,3 參數(shù)根軌跡,退出,,,退出,,,根軌跡法概述 研究自動(dòng)控制系統(tǒng)的主要問題之一，是確定閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)、極點(diǎn)的分布與開環(huán)傳遞函數(shù)零點(diǎn)、極點(diǎn)的關(guān)系，其次是研究分析系統(tǒng)參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)特征根的影響。根軌跡是一種圖解法，它是根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)分布情況，用作圖法簡便的求得閉環(huán)系統(tǒng)的特征根與系統(tǒng)參數(shù)值（如開環(huán)增益）間的關(guān)系。,,,,退出,,,,,,,,,,退出,,,根軌跡法概述 研究自動(dòng)控制系統(tǒng)的主要問題之一，是確定閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)、極點(diǎn)的分布與開環(huán)傳遞函數(shù)零點(diǎn)、極點(diǎn)的關(guān)系，其次是研

2、究分析系統(tǒng)參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)特征根的影響。根軌跡是一種圖解法，它是根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)分布情況，用作圖法簡便的求得閉環(huán)系統(tǒng)的特征根與系統(tǒng)參數(shù)值（如開環(huán)增益）間的關(guān)系。,,,,退出,,,繪制根軌跡的兩個(gè)條件 當(dāng)系統(tǒng)的特征方程式為： 其中：“+”號(hào)對(duì)應(yīng)負(fù)反饋，“-”號(hào)對(duì)應(yīng)正反饋。將 式改寫成 式和式便是用來繪制反饋系統(tǒng)的根軌跡方 程。其中式為繪制負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡方程， 式為繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡方程。,,,,,, , , ,退出,,,另外，應(yīng)用根軌跡方程式和式繪制根軌 跡之前，需將開環(huán)傳遞函數(shù) G(s) 化成通過 極點(diǎn)與零點(diǎn)表達(dá)的標(biāo)

3、準(zhǔn)形式，即,,,式中：k繪制根軌跡的可變參數(shù)，稱為參變量； pj(j=1,2,,n) 為系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)； zi(i=1,2,,m) 為系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)；,退出,,,繪制根軌跡的兩個(gè)條件（續(xù)） 由式得： 式和式是負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡上每個(gè)點(diǎn)都 應(yīng)同時(shí)滿足的兩個(gè)公式。 由式得：,,, , , , ,退出,,,繪制根軌跡的兩個(gè)條件（續(xù)） 式和式是正反饋系統(tǒng)根軌跡上每個(gè) 點(diǎn)都應(yīng)同時(shí)滿足的兩個(gè)關(guān)系式。式 、式稱為幅值條件，式 、式 稱為相角條件。,,,退出,,,繪制根軌跡的兩個(gè)條件（續(xù)） 幅值條件和相角條件是用圖解法求系統(tǒng)特征 根的基本關(guān)系式，它表明當(dāng) s 平面的點(diǎn)在 同時(shí)

4、滿足這兩個(gè)條件時(shí)，就是所研究系統(tǒng)在 給定參數(shù)值（例如開環(huán)增益）下對(duì)應(yīng)的特征 根，所以，在 s 平面上系統(tǒng)的參數(shù)k從零到 無窮大變化時(shí)，凡是滿足相角條件的點(diǎn)所構(gòu) 成的圖形就是根軌跡圖。然后，根據(jù)幅值條 件定出這些點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值。 參數(shù)k可以是系統(tǒng)的開環(huán)增益，也可以是系 統(tǒng)的其它參量。,,,退出,,,繪制根軌跡的基本規(guī)則 反饋系統(tǒng)的根軌跡是根據(jù)根軌跡方程的相角 條件繪制的，但相角條件因?yàn)檎答伜拓?fù)反 饋而有兩個(gè)，于是對(duì)應(yīng)的根軌跡也有兩種形 式。按相角條件式繪制的根軌跡稱為 180根軌跡，而按照相角條件式繪制的 根軌跡稱為0根軌跡。,,,,退出,,,繪制180根軌跡的基本規(guī)則 （1）根軌跡的分支數(shù)

5、 根軌跡在s平面上的分支數(shù)等于控制系統(tǒng)特征方程 的階數(shù)n，換句話說，根軌跡的分支數(shù)與閉環(huán)極 點(diǎn)的數(shù)目相同。,,,,,,,,退出,,,（2）根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn) 根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終于開環(huán)零點(diǎn)。如果開 環(huán)極點(diǎn)數(shù)目n 大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)目m 時(shí)，則有 n-m 條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)處。,,,,,,,,,退出,,,（3）根軌跡的連續(xù)性與對(duì)稱性 根軌跡是連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸的曲線。,,,,退出,,,（4）實(shí)軸上的根軌跡 實(shí)軸上根軌 跡是那些在 其右側(cè)的開 環(huán)實(shí)極點(diǎn)數(shù) 與開環(huán)實(shí)零 點(diǎn)數(shù)的總數(shù) 為奇數(shù)的線 段。簡記為 “奇是偶不是”。,,,,,退出,,,（5）根軌跡的漸近線 如果控制系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)書m 少于開環(huán)極

6、點(diǎn)數(shù)n 時(shí)，漸近線有n-m 條，這些漸近線在實(shí)軸上交于 一點(diǎn)。漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)為 漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為,,,,退出,,,,,,,,退出,,,,,,,,,做長除法并取高次項(xiàng)，得,,,,,退出,,,,,,,,,,,,,,,,退出,,,（6）根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)（分離點(diǎn)與會(huì)合 點(diǎn)）根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)（分離點(diǎn)與會(huì)合 點(diǎn)）是當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,,,,退出,,,根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)是下述方程的根 （11） 或分離點(diǎn)d為下述方程的解 （12） 說明：若在實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的開環(huán)極點(diǎn)或兩個(gè)相鄰的 開環(huán)零點(diǎn)之間的區(qū)域?yàn)楦壽E區(qū)間，則在這

7、區(qū)間內(nèi)至 少有一個(gè)分離點(diǎn)。分離點(diǎn)方程的解并不都是分離點(diǎn)的 坐標(biāo)，若為實(shí)分離點(diǎn)，則應(yīng)位于實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間 內(nèi)，若為復(fù)分離點(diǎn)，則應(yīng)滿足2k的相角條件。,,,,退出,,,,,,退出,,,,,,退出,,,,,,退出,,,,,,,退出,,,（7）根軌跡復(fù)數(shù)極點(diǎn)（或零點(diǎn)）的 出射角（或入射角） 根軌跡離開復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線方向與實(shí) 軸正方向的夾角稱為出射角，而其進(jìn)入 開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方 向的夾角稱為入射角。,,,,退出,,,,,,退出,,,出射角為 （簡記“加零去余極”） 入射角為 （簡記為“加極去余零”） 式中： 所考慮的極點(diǎn)的出射； 所考慮的零點(diǎn)的入射角。,,,,退出

8、,,,（8）根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 根軌跡與虛軸交點(diǎn)說明該系統(tǒng)有部分根是純虛 根 ，因此，將 代入 特征方程式就可得出實(shí)部和虛部方程組： （15） 從方程組中解出 就是根軌跡與虛軸交點(diǎn)坐 標(biāo)，同時(shí)還可以求出與此交點(diǎn)相應(yīng)參數(shù) k 的臨界 值kc 。 說明：如果根軌跡與虛軸有交點(diǎn)，則勞斯計(jì)算表 中必出現(xiàn)全為零行，由輔助方程確定交點(diǎn)，進(jìn)而 求得kc 。,,,,,,,,退出,,,（9）閉環(huán)極點(diǎn)的和與積 設(shè)閉環(huán)控制系統(tǒng)的特征方程式為 假設(shè)它的根為 則 根據(jù)代數(shù)方程根與系數(shù)間的關(guān)系，可得,,,,,,,,退出,,,（10）開環(huán)增益K 的求取

9、 對(duì)應(yīng)根軌跡上每一點(diǎn)系統(tǒng)參數(shù)，可按下式計(jì)算： 開環(huán)傳遞函數(shù)在繪制根軌跡中的標(biāo)準(zhǔn)式為,,,,,,,退出,,,開環(huán)增益的定義為 ,得 開環(huán)效益可按式（18）到式（21）按需求求取,,,,,,,退出,,,例題：1.(教材例4-4)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡。,,,退出,,,,,退出,,,解： 1.按規(guī)則1，由于上述系統(tǒng)的特征方程的最高 階次為四，因此其根軌跡有四個(gè)分支。 2.按規(guī)則2，根軌跡的四個(gè)分支起始于四個(gè)開 環(huán)極點(diǎn)，即 當(dāng)k時(shí)，它們均伸向無窮遠(yuǎn)。 因?yàn)?開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m0，nm4。 3.按規(guī)則3，根軌跡的四個(gè)分支連續(xù)且對(duì)稱于 實(shí)軸。,,,退出

10、,,,4.作出開環(huán)零，極點(diǎn)分布圖如圖所示。按規(guī)則4， 對(duì)該系統(tǒng)來說，實(shí)軸上屬于根軌跡的線段，只能 是0 2.73。 5.按規(guī)則5，可由式，即 來求根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)，本題只有分離點(diǎn)，用 湊試法求得分離點(diǎn)-2.05。,,,退出,,,退出,,,6.按規(guī)則6，該系統(tǒng)當(dāng)k時(shí)，由于nm4， 則漸近線共有四條。這些漸近線與實(shí)軸正方向 的夾角由公式 求得為 這些漸近線與實(shí)軸 的交點(diǎn)坐標(biāo)，可由公式： 求得， 代入已知數(shù)據(jù)，求得 ，漸近線與實(shí)軸 的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1.18，j 0)。,,,,,,,,,,,,,,,,退出,,,7.按規(guī)則7，根軌跡離開開環(huán)復(fù)極點(diǎn)的出射角按 式(421)求，代入已

11、知數(shù)據(jù)，得 由根軌跡的對(duì)稱性可直接得出 。 8.按規(guī)則8，將sj代進(jìn)系統(tǒng)的特征方程得 從而得實(shí)部方程，虛部方程分別為,,,,,,,,,,,,,,,,,,,退出,,,,,,,,,,9.按規(guī)則9，由式(424)，得 由式(425)，得 10.按規(guī)則10，由于給定系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，故應(yīng)用式(418)，得 代入數(shù)據(jù)得 至此，即可繪出大致根軌跡。,,,,,,,,,退出,,,繪制0根軌跡的基本規(guī)則 繪制0根軌跡需按相角條件式（8）繪制，因 此，它與繪制180根軌跡不同之處表現(xiàn)在和相 角條件有關(guān)的一些基本規(guī)則上。具體來說，在繪 制180根軌跡的基本規(guī)則（4）、（5）、（7）、 （8）上二者將有所不同，需作如

12、下修正： 繪制0度根軌跡的基本規(guī)則為： （4）實(shí)軸上的根軌 實(shí)軸上的根軌跡是那些在其右側(cè)的開環(huán)實(shí)極點(diǎn)與 開環(huán)實(shí)零點(diǎn)的總數(shù)為偶數(shù)的線段，注意零屬于偶 數(shù)。（簡稱為偶是奇不是）,,,,,退出,,,（5）根軌跡的漸近線 如果控制系統(tǒng)得開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m少于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n 時(shí)，漸近線共有n-m條，這些漸近線在實(shí)軸上交 于一點(diǎn)。 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為,,,,,退出,,,（7）根軌跡的入射角與出射角 始于開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的0根軌跡的出射角 和止 于開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)的0根軌跡的入射角 分別按 下式計(jì)算，即,,,,,退出,,,（8）根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 繪制180根軌跡的10條規(guī)則，除上述四條

13、作相 應(yīng)的修改外，其余六條對(duì)繪制0根軌跡完全適 用。,,退出,,,例題2.(教材例4-5) 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡。,,,,,解： 1.按規(guī)則1，由于該系統(tǒng)的特征方程為 代入已知數(shù)據(jù)，整理得 特征方程的最高階次是4，因此根軌跡有四條分支。 2.按規(guī)則2，由于根軌跡的四個(gè)分支起 始于四個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，即 當(dāng)k時(shí)，它們均伸向無窮遠(yuǎn)，這是因?yàn)閚m4的緣故。,退出,,,,,,,3.按規(guī)則3，根軌跡四個(gè)分支連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸。 4.作出開環(huán)零，極點(diǎn)分布圖如圖所示。按規(guī)則4， 對(duì)該系統(tǒng)來說，實(shí)軸上屬于根軌跡的線段只能是， 1，、1，4、4，三個(gè)線段， 注意，零被認(rèn)為是偶數(shù)。

14、,退出,,,,,,,退出,,,退出,,,5.按規(guī)則5，根軌跡分離點(diǎn)的坐標(biāo)可按下式計(jì) 算，即 代入數(shù)據(jù)整理得 應(yīng)用湊試法最后得分離點(diǎn)坐標(biāo)為(2.225，j0)。,,,,,,,,,,,,,退出,,,6.按規(guī)則6，該系統(tǒng)當(dāng)k時(shí)，根軌跡的漸近線共有4條。這是因?yàn)閚m4。上述四條漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 它們與實(shí)軸正方向的夾角為,,,,,,,,,,,,,退出,,,,,,,7.沒有復(fù)極點(diǎn)、零點(diǎn)，故不用求入射角與出射角。 8.按規(guī)則8，求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。 控制系統(tǒng)的特征方程是 令 得 實(shí)部方程，虛部方程分別為 解虛部方程得 (不符合題意)；將 代入實(shí)部方程得k16不符合題意，因此，根軌跡

15、與虛軸無交點(diǎn)。,,,,,,,,,退出,,,,,,,9.按規(guī)則9，閉環(huán)極點(diǎn)之和為 之積為 10.按規(guī)則10，由于無，其相應(yīng)的無。至此，即可繪出大致根軌跡圖。,,,,,,,,,退出,,,例題3.(教材習(xí)題4-12)已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。,,退出,,,,解：將上式所示開環(huán)傳遞函數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式，得 將上式代入 （負(fù)反饋）， 得根軌跡方程為 上式說明本系統(tǒng)的根軌跡方程為正反饋的根軌跡方程，該系統(tǒng)的根軌跡必須按0根軌跡的繪制規(guī)則繪制。注意：這種現(xiàn)象只有非最小相位系統(tǒng)中才可能出現(xiàn)，故在繪制非最小相位系統(tǒng)的根軌跡 圖時(shí)，需特別小心。,退出,,,,1.按規(guī)則1，由于本系統(tǒng)得特征方程為 知

16、本系統(tǒng)根軌跡有兩個(gè)分支。 2.按規(guī)則2，根軌跡起始于 ，終止于 及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。 3.按規(guī)則3，根軌跡連續(xù)且對(duì)稱實(shí)軸。 4.按規(guī)則4，做出開環(huán)零、極點(diǎn)分布圖如圖所 示。按規(guī)則4（偶是奇不是）知，根軌跡在實(shí) 軸上的線段為（2）及（0-4）。,退出,,,5.按規(guī)則5，漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為 漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為 即漸近線與實(shí)軸正方向重合。 6.按規(guī)則6， 由 得 其中，a1為會(huì)合點(diǎn)坐標(biāo)，a2為分離點(diǎn)坐標(biāo)。,,退出,,,7.按規(guī)則7，因無復(fù)數(shù)極點(diǎn)與零點(diǎn)，故不需求出出射角與入射角 8.按照規(guī)則8，求與虛軸交點(diǎn)及臨界參變量。令 代入特征方程，得 解得： 9.按規(guī)則9，有閉環(huán)極點(diǎn)之

17、和閉環(huán)極點(diǎn)之積 10.按規(guī)則10，由于給定系統(tǒng)為型系統(tǒng)，故根據(jù)上面求得的各項(xiàng)數(shù)據(jù)，繪制的給定系統(tǒng)的根軌跡如上圖所示。從上圖可見，當(dāng)00.5時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定工作。,退出,,,退出,,,參數(shù)根軌跡 在繪制系統(tǒng)的根軌跡時(shí)，并非只能以開環(huán)增益為 可變參量，實(shí)際上對(duì)繪制根軌跡所選的參數(shù)可按 需要加以選擇，并稱以非開環(huán)增益為可變參數(shù)繪 制的根軌跡成為反饋系數(shù)的參數(shù)根軌跡。 反饋系統(tǒng)參數(shù)根軌跡的繪制步驟是，首先將系統(tǒng) 的特征方程 整理成如下形式 的根軌跡方程，即,,,,,,退出,,,式中 以s 和參數(shù)X 為自變量的開環(huán) 傳遞函數(shù)； X 非開環(huán)增益的參變量； 不含參變量X 的復(fù)變

18、量s 的多 項(xiàng)式，其中s 最高次冪項(xiàng)的系數(shù)需 化成+1，即需將化成開環(huán) 傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，即,,,,退出,,,其次，根據(jù)式（27）右側(cè)是-1，按繪制180根 軌跡規(guī)則繪制，式（27）右側(cè)是+1按照0根軌 跡規(guī)則繪制。同繪制以開環(huán)增益為參變量的普通 根軌跡一樣，來繪制參變量是x=0的參數(shù)根 軌跡。下面舉例消化如下： 例題4.(教材例4-9)已知系統(tǒng)的特征方程為 ，試畫出以a為參變量的根軌跡圖，并求出使阻 尼比為0.5時(shí)a 的值。,,,退出,,,解： 1.恰當(dāng)處理 用 去除特征方程的兩邊得 即 其中 2.按繪制180根軌跡規(guī)則，繪制參量根軌跡 (1)按規(guī)則

19、1，由于特征方程最高階次為3，因此 其根軌跡有三個(gè)分支。,,,,,,,,,退出,,,(2)按規(guī)則2，根軌跡的三個(gè)分支連續(xù)且對(duì)稱于實(shí) 軸。 (3)按規(guī)則3，根軌跡的三個(gè)分支起始于三個(gè)開環(huán) 極點(diǎn)，即 。由于m0，當(dāng)a 時(shí)，三條根軌跡分別趨向無窮遠(yuǎn)。 (4)作出開環(huán)零，極點(diǎn)分布圖如圖所示，按規(guī)則 4，整個(gè)負(fù)實(shí)軸都是根軌跡上的點(diǎn)。 (5)按規(guī)則5，求根軌跡的會(huì)合點(diǎn)。由,,,,,,,,,退出,,,退出,,,(6)按規(guī)則6，根軌跡的漸近線有nm3條。其與實(shí)軸的交點(diǎn)是( ，0)，其中 與實(shí)軸正方向的夾角是 (7)沒有復(fù)極點(diǎn)，復(fù)零點(diǎn)，故不用求入射角與出 射角。,,,,,,,退出,,,(7)沒有復(fù)極點(diǎn)，復(fù)零點(diǎn)，故不用求入射角與出 射角。 (8)按規(guī)則8，求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，將s j 代入特征方程得 得實(shí)部，虛部方程分別為 因此，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)是2j。,,,,,,,,,,退出,,,3.求 時(shí)，a 的值 由于 由相角條件，結(jié)合圖420 得 則 。因此，OCD為直角三角形，OD2 則OC1，OA0.5，AC0.866。C點(diǎn)坐標(biāo)為， 0.50.866 j 由幅值條件,,,,,,,,退出,,,,,,,,,,