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1、第2課時 指數(shù)冪及運(yùn)算,一、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,0,沒有意義,判斷：(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)只要根式有意義，都能化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.( ) (2)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 可以理解為 個a相乘.( ) (3)0的任何指數(shù)冪都等于0.( ),提示：(1)正確.引入分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之后,任何有意義的根式都能 化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式, 即 (2)錯誤.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 不可以理解為 個a相乘.事實(shí)上，它 是根式的一種新寫法. (3)錯誤.因?yàn)?的負(fù)指數(shù)冪無意義，所以此說法是錯誤的. 答案：(1) (2) (3),二、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) (1)aras=____(a0,r,sQ). (2)(ar)s=___

2、(a0,r,sQ). (3)(ab)r=____(a0,b0,rQ).,ar+s,ars,arbr,思考：在有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)中，為什么要規(guī)定a0? 提示：(1)若a=0，0的負(fù)數(shù)指數(shù)冪無意義, (ab)r=arbr，當(dāng)r0時不成立，a0. (2)若a0，(ar)s=ars也不一定成立,如 a0時不成立.因此規(guī)定a0.,三、無理數(shù)指數(shù)冪 無理數(shù)指數(shù)冪a(a0,是無理數(shù))是一個確定的_____,有理 數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對于無理數(shù)指數(shù)冪_________. 思考：為什么在規(guī)定無理數(shù)指數(shù)冪的意義時，必須規(guī)定底數(shù) 是正數(shù)？ 提示：底數(shù)大于零是必要的，否則會造成混亂，如a=-1,則 (-1)是1還是

3、-1就無法確定了，規(guī)定后就清楚了.,實(shí)數(shù),同樣適用,【知識點(diǎn)撥】 1.“三角度”理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (1)角度一：與根式的關(guān)系. 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是根式的另一種寫法，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可以相 互轉(zhuǎn)化. (2)角度二：底數(shù)的取值范圍. 由分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義知a0， 可能會有意義.當(dāng) 有意義 時可借助定義將底數(shù)化為正數(shù)，再進(jìn)行運(yùn)算.,(3)角度三：運(yùn)算性質(zhì). 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)形式上與整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)完全一樣.記憶有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)的口訣是：乘相加，除相減，冪相乘.,2.關(guān)于指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的四點(diǎn)說明 (1)無理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是有理數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)的推廣. (2)運(yùn)算性質(zhì)的形式要掌握，它是化簡的基礎(chǔ).

4、 (3)運(yùn)算性質(zhì)可以逆用.如amn=(am)n=(an)m(a0). (4)要會用文字語言來敘述運(yùn)算性質(zhì).,3.對無理數(shù)指數(shù)冪的理解 (1)無理數(shù)可以作為指數(shù)，并且它的結(jié)果是一個實(shí)數(shù). (2)無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實(shí)數(shù)，所以能進(jìn)行指數(shù)的運(yùn)算，也能進(jìn)行冪的運(yùn)算，有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，同樣也適用于無理數(shù)指數(shù)冪.類比有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以得到無理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).對任意的實(shí)數(shù)r,s,均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：aras=ar+s(a0,r,sR). (ar)s=ars(a0,r,sR). (ab)r=arbr(a0,b0,rR).,類型 一 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化 【典型例題】 1.下列互化中正確

5、的是( ) A. (x0) B. (y<0) C. (x,y0) D. 2.將 化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式是______.,【解題探究】1.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的底數(shù)a0時成立嗎？如何處理？ 2.根式中的根指數(shù)和被開方數(shù)(式)的指數(shù)與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪有怎樣的對應(yīng)關(guān)系？,探究提示： 1.由分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義知a0， 可能會有意義，當(dāng) 有意 義時可借助定義將底數(shù)化為正數(shù),再進(jìn)行運(yùn)算，如 等. 2.根指數(shù) 分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)(式)的指數(shù) 分?jǐn)?shù)指 數(shù)的分子.,【解析】1.選C. 故選項(xiàng)A不正確；選項(xiàng)B中，y<0， 故 選項(xiàng)B也不正確； 故選項(xiàng)D不正確. 2. 答案：,【互動探究】若將

6、題2變?yōu)? 又如何化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的 形式呢？ 【解析】,【拓展提升】根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律 (1)根指數(shù) 分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母， 被開方數(shù)(式)的指數(shù) 分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子. (2)在具體計(jì)算時,通常會把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,然 后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解題.,【變式訓(xùn)練】 等于( ) A. B. C. D.2 【解析】選C.,類型 二 利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值 【典型例題】 1.計(jì)算： =______. 2.化簡：,【解題探究】1.對于指數(shù)冪中指數(shù)、底數(shù)是負(fù)數(shù)，或是小數(shù)的應(yīng)如何化簡？ 2.對于根式中含有多重根號的題目應(yīng)如何處理? 探究提示： 1.負(fù)指數(shù)化成正指

7、數(shù)，小數(shù)指數(shù)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)，底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì). 2.含有多重根號的題目，可以由內(nèi)到外逐一化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，邊運(yùn)算邊化簡；或都先化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再進(jìn)行冪的運(yùn)算.,【解析】1.原式= 答案： 2.原式=,【拓展提升】 1.冪的運(yùn)算的常規(guī)方法 (1)化負(fù)指數(shù)冪為正指數(shù)冪; (2)化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪; (3)化小數(shù)為分?jǐn)?shù)進(jìn)行運(yùn)算. 2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及根式化簡結(jié)果的具體要求 利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式計(jì)算時，結(jié)果可化為根式形式或保留分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式，但結(jié)果不能既有根式又有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能同時含有分母和負(fù)指數(shù).,【

8、變式訓(xùn)練】化簡 【解析】原式=,類型 三 指數(shù)冪運(yùn)算的條件求值 【典型例題】 1.x-2+x2= 且x1，則x2-x-2的值為( ) A.2或-2 B.-2 C. D.2 2.已知x+y=12，xy=9x，且x

9、= 2.由x+y=12及xy=9x得x(12-x)=9x， 所以 或 當(dāng) 時， 當(dāng) 時，,【拓展提升】條件等式求值的原則和方法技巧 (1)原則：對于條件等式的求值問題，可以把所要求的式子先進(jìn)行變形，找出與條件等式的聯(lián)系，然后求值. 也可以先對條件加以變形，使它與所要求的式子的聯(lián)系更加明顯，從整體上把握代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，然后求值. (2)方法技巧：乘法公式在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪當(dāng)中的應(yīng)用及“整體代換”的技巧、換元思想.,【變式訓(xùn)練】已知 =0，求yx的值. 【解題指南】解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件，求出x,y的值. 【解析】由 =0得，|x-1|+|y+3|=0，所以 x=1，y=-

10、3，yx=(-3)1=-3.,根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的應(yīng)用 【典型例題】 1. 從小到大的排列順序?yàn)開_____. 2在 中最大的數(shù)是______.,【解析】1. 121<123<125， 即 答案： 2 所以最大的數(shù)是 答案：,【拓展提升】根式大小比較的一般方法 (1)根指數(shù)相同時，不論根指數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，根式的大小取決于被開方數(shù)的大小. (2)根指數(shù)不同時，應(yīng)先化成統(tǒng)一的根指數(shù)，再進(jìn)行大小比較.,【易錯誤區(qū)】根式化簡時忽視符號致誤 【典例】化簡 =( ) A. B. C.(a-1)4 D.,【解析】選B.要使原式有意義，則a-10.,【類題試解】化

11、簡： =______. 【解析】由 知,-a0,a0,故a-10， 所以 答案：,【誤區(qū)警示】,【防范措施】 1.注意隱含條件的挖掘 要關(guān)注條件中有無隱含條件，在出現(xiàn)根式時，要注意是否是偶次方根，被開方數(shù)是否符合要求，如本例中是四次方根，則必須(a-1)30，即a-10. 2.準(zhǔn)確應(yīng)用公式和性質(zhì) 對于公式和性質(zhì)要記住且要記準(zhǔn).如本例根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化公式，以及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).,1若a0，且m,n為整數(shù)，則下列各式中正確的是( ) A.aman= B.aman=am+n C.(am)n=am+n D.1-an=a0-n 【解析】選B.同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，所以aman=am+n正確.,2. 可化為( ) A. B. C. D. 【解析】選A.當(dāng)根式化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪時，注意分子與分母，,3.若10 x=3,10y=4,則10 x-y=______. 【解析】 答案：,4. 的值是______. 【解析】 答案：,5.求值： (1) (2),【解析】(1) (2),