《高中數(shù)學(xué) 2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第48講 圓的方程(含答案)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第48講 圓的方程(含答案)(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第48講 圓的方程
一、選擇題(共6小題)
1. 以點 2,?1 為圓心,2 為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ??
A. x+22+y?12=2 B. x+22+y?12=2
C. x?22+y+12=2 D. x?22+y+12=2
2. 【復(fù)習(xí)題B組】設(shè)圓的方程是 x?a2+y+b2=a2+b2 其中 a>0 及 b>0,給出下列三種說法:(1)該圓的圓心 a,b.(2)該圓過原點.(3)該圓與 x 軸相交于兩個不同點.其中 ??
A. 只有(1)與(2)正確 B. 只有(1)與(3)正確
C. 只有(2)與(3)正確 D. (1)、(2
2、)與(3)都正確
3. 方程 x?1=1?y?12 表示的曲線為 ??
A. 一個圓 B. 兩個圓 C. 半個圓 D. 兩個半圓
4. 若直線 x+y+a=0 是圓 x2+y2?2y=0 的一條對稱軸,則 a 的值為 ??
A. 1 B. ?1 C. 2 D. ?2
5. 已知 △ABC 的頂點坐標(biāo)分別是 A5,1,B1,1,C1,3,則 △ABC 的外接圓方程為 ??
A. x+32+y+22=5 B. x+32+y+22=20
C. x?32+y?22=20 D. x?32+y?22=5
6. 若過點 2,1 的圓與兩坐標(biāo)軸都相切,則
3、圓心到直線 2x?y?3=0 的距離為 ??
A. 55 B. 255 C. 355 D. 455
二、多選題(共1小題)
7. 已知圓 C 關(guān)于 y 軸對稱,經(jīng)過點 1,0 且被 x 軸分成兩段,弧長比為 1:2,則圓 C 的方程為 ??
A. x2+y+332=43 B. x2+y?332=43
C. x?32+y2=43 D. x+32+y2=43
三、填空題(共11小題)
8. 圓 x2+y2?x+y?1=0 的圓心坐標(biāo)是 ?.
9. 直線 ax+y+1=0 被圓 x2+y2?2ax+a=0 截得的弦長為
4、 2,則實數(shù) a 的值是 ? .
10. 已知圓 C 經(jīng)過 A5,1,B1,3 兩點,圓心在 x 軸上,則圓 C 的方程為 ?.
11. 若圓 x2+y2?4mx+2m?3y+4=0 被直線 2x?2y?3=0 所截得的弦最長,則實數(shù) m 的值為 ?.
12. 已知圓 O:x2+y2=5 和點 A1,2,則過點 A 且與圓 O 相切的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于 ?.
13. 直線 x?y?2=0 被圓 x?a2+y2=4 截得的弦長
5、為 22,則實數(shù) a 的值為 ??.
14. 過點 P?4,0 的直線 l 與圓 C:x?12+y2=5 相交于 A,B 兩點,若點 A 恰好是線段 PB 的中點,則直線 l 的方程為 ?.
15. 以點 2,?1 為圓心且與直線 3x+4y?7=0 相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ?.
16. 已知圓 O 過點 A0,0,B0,4,C1,1,點 D3,4 到圓 O 上的點的最小距離為 ?.
17. 已知實數(shù) x1,x2,y1,y2 滿足:x12+y12=1,x22+y22=1,x
6、1x2+y1y2=12,則 x1+y1?12+x2+y2?12 的最大值為 ?.
18. 已知 Ax1,y1,Bx2,y2 為圓 M:x2+y2=4 上的兩點,且 x1x2+y1y2=?12,設(shè) Px0,y0 為弦 AB 上一點,且 AP=2PB,則 3x0+4y0?10 的最小值為 ?.
四、解答題(共6小題)
19. 已知直線 l:x?y+2=0 與圓 C:x?a2+y?22=4 相交于 A,B 兩點.
(1)當(dāng) a=?2 時,求弦 AB 的垂直平分線方程;
(2)當(dāng)直線 l 被圓 C 所截得的弦長為 2
7、3 時,求實數(shù) a 的值.
20. 船只航行前方的河道上有一圓拱橋,在正常水位時,拱橋的最高點距水面 9?m,圓拱橋內(nèi)水面寬 18?m,船只在水面以上部分高為 6.5?m,船頂部寬為 4?m,船行無阻.近日水位暴漲了 2.7?m,船只已經(jīng)不能通過橋洞了,船員必須加重船載,降低船身,試問:船身至少降低多少,才能通過橋洞?(精確到 0.01?m)
21. (1)已知點 A?2,?5,B6,?1,求以線段 AB 為直徑的圓的方程;
(2)求圓心在直線 y=?x 上,且過兩點 A2,0,B0,?4 的圓的方程.
22. 某高速公路隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路,其截面由一段圓弧和一
8、個長方形構(gòu)成(如圖所示).已知隧道總寬度 AD 為 63?m,行車道總寬度 BC 為 211?m,側(cè)墻 EA,F(xiàn)D 高為 2?m,弧頂高 MN 為 5?m.
(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,求圓弧所在的圓的方程;
(2)為保證安全,要求行駛車輛頂部(設(shè)為平頂)與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有 0.5?m.請計算車輛通過隧道的限制高度是多少.
23. 已知,以點 Ct,2t 為圓心的圓與 x 軸交于 O,A 兩點,與 y 軸交于 O,B 兩點.
(1)求證:S△AOB 為定值;
(2)設(shè)直線 y=?2x+4 與圓 C 交于點 M,N,若 OM=ON,求圓 C 的方程.
9、
24. 已知直線 l:y=x+m 與圓 C:x2+y2?2x+4y?4=0 相交于 A,B 不同兩點.
(1)求 m 的取值范圍;
(2)設(shè)以 AB 為直徑的圓經(jīng)過原點,求直線 l 的方程.
答案
1. C
2. C
3. D
【解析】原式平方后,得 x?12+y?12=1,x≥1.
當(dāng) x≥1 時,x?12+y?12=1;
當(dāng) x≤?1 時,x+12+y?12=1,如圖.
4. B
【解析】由題意可得,直線過圓心.
由 x2+y2?2y=0,得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2+y?12=1,則圓心 0,1,將圓心坐標(biāo)代入直線 x+y+a=0 可得
10、a=?1.
5. D
【解析】由 △ABC 的頂點坐標(biāo)分別是 A5,1,B1,1,C1,3,
可得 AB⊥CB,故 △ABC 的外接圓的圓心為斜邊 AC 的中點 3,2,
半徑為 12AC=12?5?12+1?32=5,
故圓的方程為 x?32+y?22=5.
6. B
【解析】由于圓上的點 2,1 在第一象限,若圓心不在第一象限,
則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交,不合乎題意,所以圓心必在第一象限.
設(shè)圓心的坐標(biāo)為 a,a,則圓的半徑為 a.
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x?a2+y?a2=a2.
由題意可得 2?a2+1?a2=a2,
可得 a2?6a+5=0,解得 a=1 或
11、a=5,
所以圓心的坐標(biāo)為 1,1 或 5,5,
圓心 1,1 到直線 2x?y?3=0 的距離均為 d1=2×1?1?35=255;
圓心 5,5 到直線 2x?y?3=0 的距離均為 d2=2×5?5?35=255.
圓心到直線 2x?y?3=0 的距離均為 d=?25=255.
所以,圓心到直線 2x?y?3=0 的距離為 255.
7. A, B
【解析】由已知圓心在 y 軸上,且被 x 軸所分劣弧所對圓心角為 2π3,設(shè)圓心 0,a,半徑為 r,則 rsinπ3=1,rcosπ3=a,解得 r=23,即 r2=43,a=33,即 a=±33,故圓 C 的方程為
12、 x2+y±332=43.
8. 12,?12
【解析】圓 x2+y2?x+y?1=0,即 x?122+y+122=32,故該圓的圓心為 12,?12.
9. ?2
【解析】圓 x2+y2?2ax+a=0 可化為 x?a2+y2=a2?a ,
所以圓心為:a,0,半徑為:a2?a ,
圓心到直線的距離為:d=a2+1a2+1=a2+1 ,
因為直線 ax+y+1=0 被圓 x2+y2?2ax+a=0 截得的弦長為 2 ,
所以 a2+1+1=a2?a
所以 a=?2
10. x?22+y2=10
【解析】設(shè)所求圓 C 的方程為 x?a2+y2=r2,
13、把所給兩點坐標(biāo)代入方程得
5?a2+12=r2,1?a2+32=r2, 解得 a=2,r2=10,
所以所求圓 C 的方程為 x?22+y2=10.
11. 1
【解析】圓 x2+y2?4mx+2m?3y+4=0 的圓心坐標(biāo)為 2m,?m+32,
因為圓 x2+y2?4mx+2m?3y+4=0 被直線 2x?2y?3=0 所截得的弦最長,
所以圓心在直線上,
所以 4m+2m?3?3=0,
所以 m=1.
12. 254
【解析】因為點 A1,2 在圓 x2+y2=5 上,故過點 A 的圓的切線方程為 x+2y=5,令 x=0 得 y=52,令 y=0 得 x=
14、5,
故 SΔ=12×52×5=254.
13. 0 或 4
14. x±3y+4=0
15. x?22+y+12=1
16. 5
17. 3+2
18. 10?52
【解析】由題設(shè)可得:AP=x0?x1,y0?y1,PB=x2?x0,y2?y0,
因為 AP=2PB,
所以 x0?x1=2x2?x0,y0?y1=2y2?y0,
即 3x0=x1+2x2,3y0=y1+2y2,
所以 9x02+y02=x1+2x22+y1+2y22=x12+y12+4x22+y22+4x1x2+y1y2.
因為 Ax1,y1,Bx2,y2 為圓 M:x2+y2=4 上
15、的兩點,
且 x1x2+y1y2=?12,
所以 9x02+y02=4+4×4?2=18,即 x02+y02=2,
所以點 P 的軌跡為圓 x2+y2=2,
又 3x0+4y0?10=5×3x0+4y0?1032+42,
其幾何意義為圓 x2+y2=2 上一點到直線 3x+4y?10=0 的距離的 5 倍,
又因為圓 x2+y2=2 的圓心 0,0 到直線 3x+4y?10=0 的距離
d=?1032+42=2,
所以圓 x2+y2=2 上一點到直線 3x+4y?10=0 的距離的最小值 d?r=2?2,
所以 3x0+4y0?10=5×3x0+4y0?1032+42≥52
16、?2=10?52.
19. (1) x+y=0.
??????(2) a=±2.
20. 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,
由題意,得 A9,?9.
設(shè) B2,y1?9
17、為 77?2.7<6.5,
所以船要通過橋洞,船身至少需要降低約 6.5+2.7?77≈0.43m.
21. (1) 已知點 A?2,?5,B6,?1,則以線段 AB 為直徑的圓的圓心為 2,?3 、半徑為 AB2=1282+42=25,故它的方程為 x?22+y+32=20.
??????(2) 由圓心在直線 y=?x 上,可設(shè)圓的圓心為 Ca,?a,再根據(jù)圓過兩點 A2,0,B0,?4,可得 CA=CB,即 a?22+?a2=a2+?a+42,
所以 a=3,圓心為 3,?3 、半徑為 CA=a?22+?a2=10,故要求的圓的方程為 x?32+y+32=10.
22. (1)
18、方法一:
以 EF 所在直線為 x 軸,以 MN 所在直線為 y 軸,以 1?m 為單位長度建立直角坐標(biāo)系,
則有 E?33,0,F(xiàn)33,0,M0,3.
由于所求圓的圓心在 y 軸上,所以設(shè)圓的方程為 x?02+y?b2=r2.
因為 F33,0,M0,3 都在圓上,
所以 332+b2=r2,02+3?b2=r2.
解得 b=?3,r2=36.
所以圓的方程為 x2+y+32=36.
方法二:
以 EF 所在直線為 x 軸,以 MN 所在直線為 y 軸,以 1?m 為單位長度建立直角坐標(biāo)系.
設(shè)所求圓的圓心 G,半徑為 r,則點 G 在 y 軸上.
在 Rt△G
19、OE 中,OE=33,GE=r,OG=r?3.
由勾股定理 r2=332+r?32 解得 r=6.
則圓心坐標(biāo)為 0,3.
圓的方程為 x2+y+32=36.
??????(2) 設(shè)限高為 h,作 CP⊥AD,交圓于點 P,則 CP=h+0.5.
將點 P 的坐標(biāo) x=11 代入圓的方程得 112+y+32=36,得 y=2 或 y=?8(舍去).
所以 h=CP?0.5=y+DF?0.5=2+2?0.5=3.5?m.
答:車輛的限制高度為 3.5?m.
23. (1) 因為 ∠AOB=90°,所以 Ct,2t 為 AB 中點,
所以 A2t,0,B0,4t,所以 S△AOB
20、=122t×4t=4.
??????(2) 因為 OM=ON,所以 O 在線段 MN 的中垂線上,所以 OC⊥MN,
所以 kOC?kMN=?1,所以 2tt×?2=?1,所以 t=±2,
所以圓心 C2,1或?2,?1,r=OC=5,
經(jīng)驗證,當(dāng)圓心 C 為 ?2,?1 時,直線 y=?2x+4 與圓 C 相離.
所以圓 C 的方程為 x?22+y?12=5.
24. (1) 由 y=x+m,x2+y2?2x+4y?4=0 得 2x2+2m+1x+m2+4m?4=0,
因為直線 l:y=x+m 與圓 C:x2+y2?2x+4y?4=0 相交于 A,B 不同兩點,
所以 Δ
21、=4m+12?8m2+4m?4>0,
解得 ?3?32