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1、1,第7章 機(jī)器人路徑規(guī)劃,在機(jī)器人完成指定任務(wù)時，需要規(guī)劃機(jī)器人在空間中的期望運(yùn)動軌跡或者路徑。,路徑和軌跡是兩個相似但含義不同的概念，機(jī)器人運(yùn)動的路徑描述機(jī)器人的位姿隨空間的變化，而機(jī)器人運(yùn)動的軌跡描述機(jī)器人的位姿隨時間的變化。,所謂軌跡是指機(jī)器人每個自由度的位置、速度和加速度的時間歷程。,本章將介紹移動機(jī)器人路徑規(guī)劃和機(jī)械臂的軌跡規(guī)劃問題。,移動機(jī)器人路徑規(guī)劃,移動機(jī)器人路徑規(guī)劃的任務(wù): 已知機(jī)器人初始位姿、給定機(jī)器人的目標(biāo)位姿，在存在障礙的環(huán)境中規(guī)劃一條無碰撞、時間（能量）最優(yōu)的路徑。,若已知環(huán)境地圖，即已知機(jī)器人模型和障礙模型，可采用基于模型的路徑規(guī)劃。,若機(jī)器人在未知或動態(tài)環(huán)境中移

2、動，機(jī)器人需要向目標(biāo)移動、同時需要使用傳感器探測障礙，稱為基于傳感器的路徑規(guī)劃。,為了簡化問題描述，假定機(jī)器人為兩個自由度，即只考慮機(jī)器人的位置，不考慮其姿態(tài)。,2,,圖7-1障礙物擴(kuò)張法路徑規(guī)劃,任務(wù)是規(guī)劃一條路徑，使得機(jī)器人從起點(diǎn)達(dá)到目標(biāo)點(diǎn)（終點(diǎn)），同時不與環(huán)境中的障礙發(fā)生碰撞。,以平面全向移動機(jī)器人為例，假設(shè)機(jī)器人為半徑為r的圓形機(jī)構(gòu)。,首先，由于機(jī)器人可以全方向移動，所以可以忽略移動機(jī)器人的方向（姿態(tài)的自由度）。,其次，因為能用園表示機(jī)器人，所以可把障礙物沿徑向擴(kuò)張r的寬度，同時將機(jī)器人收縮成一個點(diǎn)（如圖7-1所示）。,因此，移動機(jī)器人路徑規(guī)劃可以簡化為在擴(kuò)張了障礙物的地圖上，點(diǎn)機(jī)器人

3、的路徑規(guī)劃問題。,3,人工勢場方法,人工勢場的基本思想是構(gòu)造目標(biāo)位置引力場和障礙物周圍斥力場共同作用下的人工勢場。,搜索勢函數(shù)的下降方向來尋找無碰撞路徑。,下面給出各種勢場的定義,目標(biāo)引力場,,(7-1),其中p是機(jī)器人位置，pgoal是目標(biāo)位置，K是引力常數(shù)。,圖7-2機(jī)器人受力示意圖,障礙物斥力場,(7-2),其中pobs是障礙物位置，d0表示障礙物的影響范圍，h是斥力常數(shù)。,根據(jù)（7-1）式，機(jī)器人受到的引力表示為,(7-3),4,圖7-2機(jī)器人受力示意圖,根據(jù)（7-2）式，機(jī)器人在障礙物的影響范圍內(nèi)受到的斥力表示為,,(7-4),可得機(jī)器人所受合力為：,Ftotal =Fatt + F

4、obs (7-5),這樣，我們就在環(huán)境地圖中定義了機(jī)器人的引力場,因此，機(jī)器人的路徑規(guī)劃問題被轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在引力場中的運(yùn)動問題。,而點(diǎn)在引力場中的運(yùn)動問題在物理學(xué)和數(shù)學(xué)中已經(jīng)研究得非常清楚，可以比較方便地進(jìn)行求解。,算法優(yōu)點(diǎn)：,簡單方便，可以實(shí)時規(guī)劃控制，并能考慮多個障礙，連續(xù)移動。,規(guī)劃的路徑比較平滑安全。,5,算法缺點(diǎn)：,規(guī)劃算法是局部最優(yōu)算法,復(fù)雜多障礙環(huán)境中可能出現(xiàn)局部極值點(diǎn)，即在非目標(biāo)點(diǎn)達(dá)到平衡狀態(tài)而停滯。,因而不能規(guī)劃出達(dá)到目標(biāo)點(diǎn)的路徑。,前面只介紹了基本的人工勢場方法。近年來，針對基本人工勢場方法的的不足，人們提出了許多改進(jìn)的人工勢場方法。,,圖7-3柵格法路徑規(guī)劃示意圖,柵格法

5、,柵格法的基本思想：,將機(jī)器人工作空間劃分為多個簡單區(qū)域，稱為柵格。,若柵格內(nèi)沒有障礙物稱為自由柵格，否則稱障礙柵格。,將柵格編號，機(jī)器人路徑規(guī)劃就是搜索由起點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的自由柵格組成的連通域。,可以用柵格序號表示，再將柵格序號轉(zhuǎn)換成機(jī)器人空間的實(shí)際坐標(biāo)，令機(jī)器人按此路徑運(yùn)動。,圖7-3給出了柵格法路徑規(guī)劃的示意圖。,6,柵格法路徑規(guī)劃步驟：,1.建立柵格。將機(jī)器人和目標(biāo)點(diǎn)間區(qū)域劃分柵格，大小與機(jī)器人相關(guān)。,2.障礙地圖生成。標(biāo)注障礙柵格和自由柵格。,3.搜索無障礙最優(yōu)路徑，A(A*)搜索算法，遺傳算法，人工勢場，蟻群算法等。,優(yōu)點(diǎn)：,若存在最優(yōu)路徑，算法得當(dāng)一定可以得到問題最優(yōu)解。,有成熟的路

6、徑搜索算法使用。,缺點(diǎn)：,柵格粒度影響較大。劃分細(xì)時，存貯大和搜索時間長。,得到的是折線，需要光滑處理。,7,機(jī)械臂路徑規(guī)劃,在實(shí)際問題當(dāng)中，一般用工具坐標(biāo)系T相對工作臺坐標(biāo)系S的運(yùn)動來描述機(jī)械臂的運(yùn)動。,當(dāng)用工具坐標(biāo)系T相對工作臺坐標(biāo)系S的運(yùn)動來描述機(jī)械臂的路徑時，使得路徑規(guī)劃與具體的機(jī)械臂、末端執(zhí)行器和工件相分離。,這種規(guī)劃方法具有通用性，適合不同的機(jī)械臂和工具，同時也適用于運(yùn)動的工作臺（如傳送帶）。,在進(jìn)行機(jī)械臂路徑規(guī)劃時，經(jīng)常需要規(guī)劃運(yùn)動的細(xì)節(jié)，而不是簡單地指定期望的終端位姿。,例如，一個完整的操作由若干步組成，每一步的都有期望的位姿，或者在機(jī)械臂運(yùn)動過程中需要規(guī)避障礙等。,解決該問題

7、的方法是在規(guī)劃的路徑中增加一系列的中間點(diǎn)。,為了完成整個運(yùn)動，工具坐標(biāo)系必須通過中間點(diǎn)所描述的一系列過渡位姿。,稱路徑的起點(diǎn)、中間點(diǎn)和終點(diǎn)為路徑點(diǎn)。,通常都期望機(jī)械臂的運(yùn)動過程是平滑的，因此一般要求規(guī)劃的路徑是光滑的，至少具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，甚至要求二階導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的。,一階導(dǎo)數(shù)對應(yīng)機(jī)械臂的運(yùn)動速度，二階導(dǎo)數(shù)對應(yīng)加速度。,光滑性要求就是要使機(jī)械臂的運(yùn)動更加平穩(wěn)，避免突然的劇烈加速或者減速產(chǎn)生沖擊作用而影響機(jī)械臂的運(yùn)動精度并加劇機(jī)構(gòu)的磨損。,8,關(guān)節(jié)空間規(guī)劃方法,前面介紹了機(jī)械臂的期望運(yùn)動一般由指定的路徑點(diǎn)來描述，其中的每個點(diǎn)都代表工具坐標(biāo)系T相對工作臺坐標(biāo)系S的位姿。,我們可以采用第4章介紹的

8、逆運(yùn)動學(xué)方法獲得這些路徑點(diǎn)對應(yīng)的關(guān)節(jié)角度。,規(guī)定機(jī)械臂的關(guān)節(jié)同步運(yùn)動，即每個關(guān)節(jié)角都同時達(dá)到路徑點(diǎn)期望的角度。,上述規(guī)定就是在相鄰路徑點(diǎn)之間每個關(guān)節(jié)的運(yùn)行時間都是相等的。,這樣，我們可以獨(dú)立規(guī)劃每個關(guān)節(jié)的軌跡、關(guān)節(jié)之間沒有影響。,因此，機(jī)械臂軌跡規(guī)劃問題可以分解為n個獨(dú)立的單關(guān)節(jié)軌跡規(guī)劃問題。,單區(qū)間三次多項式插值,任務(wù)就是確定函數(shù)q (t)，使其在t =0時刻的值為關(guān)節(jié)角的初始位置，在t =tf時刻的值為關(guān)節(jié)角的目標(biāo)位置。,另外，一般要求在初始時刻和終止時刻關(guān)節(jié)的速度均為零。,因此，關(guān)節(jié)軌跡規(guī)劃在數(shù)學(xué)上就是滿足4個約束條件的函數(shù)插值問題。,多項式插值比較簡單，同時便于計算，因此常用來解決函數(shù)

9、插值問題。滿足4個約束條件的多項式函數(shù)插值函數(shù)是三次多項式。,9,位置約束：,(7-8),速度約束：,(7-9),關(guān)節(jié)角軌跡可以用三次多項式表示為：,,(7-10),關(guān)節(jié)角速度和加速度軌跡可以表示為：,,(7-11),把四個約束條件式(7-8)和式(7-9)代入到式(7-10)和式(7-11)得：,,(7-12),其解為：,滿足約束條件的三次多項式：,,例7-1 假設(shè)一個具有單旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)單自由度機(jī)器人，處于靜止?fàn)顟B(tài)時，關(guān)節(jié)角q =15o。期望在2秒內(nèi)平滑移動到關(guān)節(jié)角q =75o的目標(biāo)位置，并在目標(biāo)位置處于靜止?fàn)顟B(tài)。求滿足約束條件的三次多項式，并畫出關(guān)節(jié)角位置、速度和加速度隨時間變化的曲線。,10

10、,解：tf =2，位置和速度約束分別為：,代入到 (7-14)式得關(guān)節(jié)角軌跡：,關(guān)節(jié)角速度和加速度軌跡為：,,圖7-4關(guān)節(jié)角位置、速度和加速度隨時間變化的曲線,可以看出，起點(diǎn)和終點(diǎn)的角度值等于指定角度，且速度為零，加速度線性變化。,11,具有中間點(diǎn)的三次多項式插值,一般情況下，機(jī)械臂需要連續(xù)經(jīng)過若干中間點(diǎn)，因此需要建立滿足這些約束的插值函數(shù)。若仍然采用三次多項式插值函數(shù)，則必須采用分段插值方法。,即在相鄰路徑點(diǎn)組成的每個區(qū)間內(nèi)進(jìn)行三次多項式插值，同時要求在兩段曲線的連接處滿足一定的光滑條件。比較簡單的做法是，指定中間點(diǎn)關(guān)節(jié)角的位置和速度，這樣每個區(qū)間可以獨(dú)立進(jìn)行插值計算。,這樣與單區(qū)間三次多項

11、式插值基本類似，只是(7-9)式的速度約束一般不為零，而是指定的速度：,,滿足約束條件的三次多項式系數(shù)的解,,例7-2假設(shè)一個具有單旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)單自由度機(jī)器人，起始點(diǎn)和終止點(diǎn)速度為零，且位置滿足 q0 =15o，qf =45o。設(shè)置一個中間點(diǎn)，位置和速度分別為 qm =75o和 。,假設(shè)兩段區(qū)間的長度均為2秒。求滿足約束條件的分段三次多項式，并畫出關(guān)節(jié)角位置、速度和加速度隨時間變化的曲線。,12,解：先計算起始點(diǎn)到中間點(diǎn)的三次多項式。其中tf =2，位置和速度約束分別為：,關(guān)節(jié)角軌跡：,關(guān)節(jié)角速度和加速度軌跡為：,中間點(diǎn)到終止點(diǎn)的關(guān)節(jié)角軌跡：,關(guān)節(jié)角速度和加速度軌跡為：,13,具有拋物

12、線擬合的線性插值,連接相鄰兩個路徑點(diǎn)的最簡單曲線是直線，因此希望采用線性插值，但線性插值在連接點(diǎn)處速度不連續(xù)。,獲得速度連續(xù)光滑曲線的方法是在直線段兩端采用拋物線擬合段。因為拋物線是二次函數(shù)，所以在擬合段內(nèi)加速度為常數(shù)。,假設(shè)兩端拋物線擬合段的加速度數(shù)值相等（符號相反），如圖所示，滿足條件的解不唯一，但每個解都是關(guān)于時間中點(diǎn)tm和位置中點(diǎn)qm對稱的。,拋物線和直線的連接點(diǎn)處的速度相同，而整個直線段內(nèi)速度是常值，所以,其中qb是tb時刻的角度值， 是擬合段加速度值， 是直線段速度值。,(7-18),(7-19),將(7-19)式代入到(7-18)式，并且注意到tm=t/2，qm=(q0+qf)/

13、2可以得到以下關(guān)系式,,t是期望運(yùn)行時間。,通常先選擇加速度，在計算時間 tb,14,具有中間點(diǎn)的三次樣條插值,那么能否得到不需要指定中間點(diǎn)的速度，同時在整個運(yùn)行時間內(nèi)位置、速度和加速度都是連續(xù)的插值函數(shù)？,前面介紹的具有中間點(diǎn)的三次多項式插值方法需要指定中間點(diǎn)的速度，同時在中間點(diǎn)處的加速度不連續(xù)。,答案是肯定的，方法就是采用樣條插值技術(shù)。,下面針對關(guān)節(jié)角軌跡規(guī)劃問題，給出常用的三次樣條插值函數(shù)的定義。,在機(jī)械臂運(yùn)行區(qū)間0, tf上取n+1個時間節(jié)點(diǎn),0=t0

14、次樣條插值函數(shù)q(t)，滿足以下條件：,1）q(ti)=qi，i=0,1,2,,n。,2）在每個子區(qū)間ti, ti+1上，q(ti)是三次多項式。,3）q(t)在整個運(yùn)行區(qū)間0, tf上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。,從上面的定義可以發(fā)現(xiàn)，樣條插值函數(shù)q(t)是分段三次多項式，即在每個子區(qū)間上都是一個三次多項式。,確定樣條插值函數(shù)q(t)只需要n+1個路徑點(diǎn)qi值，而不需要其導(dǎo)數(shù)(速度)值，且在整個機(jī)械臂運(yùn)行時間內(nèi)樣條插值函數(shù)q(t)的二階導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的。,15,三次樣條插值函數(shù)q(t)的存在性,因為每個區(qū)間都是一個三次多項式，因此有4個未知量，有n個子區(qū)間，所以未知量個數(shù)共有4n 個。,每個區(qū)間兩個端點(diǎn)

15、的函數(shù)值是事先指定的，所以有2n 個約束，,n-1個中間點(diǎn)處的一階和二階導(dǎo)數(shù)（速度和加速度）連續(xù)，所以有2(n-1) 個約束。,約束的個數(shù)為,2n+2(n-1)=4n -2,因此，單從三次樣條插值函數(shù)q(t)的定義不能唯一確定函數(shù)本身。,對于機(jī)械臂軌跡規(guī)劃問題，一般要求初始點(diǎn)和終止點(diǎn)的速度（一階導(dǎo)數(shù)）為零，恰好補(bǔ)充兩個約束條件。因此，三次樣條插值函數(shù)q(t)可以唯一確定。,,,下面以具有一個中間點(diǎn)的關(guān)節(jié)角軌跡規(guī)劃問題為例驗證三次樣條插值方法，假定兩段區(qū)間的長度均為tf，指定中間點(diǎn)關(guān)節(jié)角的位置。兩段函數(shù)假設(shè)為,解為：,,16,例7-3假設(shè)一個具有單旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)單自由度機(jī)器人，起始點(diǎn)和終止點(diǎn)速度為零，

16、且位置滿足 q0 =15o，qf =45o。設(shè)置一個中間點(diǎn)，位置為qm =75o。假設(shè)兩段區(qū)間的長度均為2秒。求滿足約束條件的三次樣條插值多項式，并畫出關(guān)節(jié)角位置、速度和加速度隨時間變化的曲線。,17,笛卡爾空間規(guī)劃方法,前面介紹的關(guān)節(jié)空間規(guī)劃方法可以保證機(jī)械臂能夠達(dá)到中間點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)。但是連接這些點(diǎn)的中間路徑在笛卡爾空間可能是非常復(fù)雜的，其復(fù)雜程度取決于機(jī)械臂的運(yùn)動學(xué)結(jié)構(gòu)。,如果我們關(guān)心機(jī)械臂在笛卡爾空間的整個路徑，而不僅僅是關(guān)鍵點(diǎn)，如期望工具直線運(yùn)動、畫圓等，就需要采用笛卡爾空間規(guī)劃方法。,在笛卡爾空間規(guī)劃路徑要比在關(guān)節(jié)空間規(guī)劃路徑困難，所以除非必要，一般均采用關(guān)節(jié)空間路徑規(guī)劃方法。,由于機(jī)械臂驅(qū)動能力總是有限的，所以對關(guān)節(jié)的速度和加速度需要進(jìn)行限制。,若規(guī)劃的軌跡不滿足要求，可以通過增加運(yùn)行時間的方法來減小關(guān)節(jié)的速度和加速度。,18,