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1、第五章 相似矩陣及二次型,定義1,內(nèi)積,第一節(jié) 向量的內(nèi)積 一、內(nèi)積的定義及性質(zhì),內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì),長(zhǎng)度，,定義2,二、向量的長(zhǎng)度及性質(zhì),長(zhǎng)度的基本性質(zhì),內(nèi)積性質(zhì)(iv),(1)(非負(fù)性),(2)(齊次性),(3) (三角不等式),數(shù)乘的長(zhǎng)度 = 數(shù)的絕對(duì)值乘長(zhǎng)度,許瓦茲不等式和夾角,許瓦茲不等式:,定義3. 非零n維向量,規(guī)定為:,解:,,注意:,,,,三、向量的正交性及其性質(zhì),證明,,,問(wèn)題: 線性無(wú)關(guān)的向量組是否為正交組?,例1 已知三維向量空間中兩個(gè)向量,正交，試求 使 構(gòu)成三維空間的一個(gè)正交 基., 向量空間的正交基,即,解之得,由上可知 構(gòu)成三維空間的一個(gè)正交基.,則有,

2、解, 規(guī)范正交基,例如,同理可知, 求規(guī)范正交基的方法,第二步：?jiǎn)挝换? 取,解 先正交化，,取,以上所討論的正交規(guī)范基的求法, 通常稱為施密特(Schmidt)正交化過(guò)程.,再單位化，,得正交規(guī)范向量組如下,例3,解,把基礎(chǔ)解系正交化，即為所求亦即取,,1. 定義6,2. 簡(jiǎn)單性質(zhì),,四、正交矩陣,行,則稱A 為n 階正交矩陣.,結(jié)論,方法一、 用定義 方法二、 用結(jié)論,正交,3. 正交矩陣的判定,方法二.,P 的行向量是單位向量.,P 的行向量?jī)蓛烧?,解.,方法一.,例4 設(shè) A 為正交陣，B 為與 A 同階的對(duì)稱陣，求,解,由條件知,則任意兩個(gè)變換后的向量 y1 , y2 的內(nèi)積:

3、,4、正交變換,定義,正交變換。,正交變換不改變向量的內(nèi)積和線段的長(zhǎng)度,旋轉(zhuǎn)變換是 正交變換,鏡面反射,是正交變換,2. 特征值與特征向量,一、特征值和特征向量的概念,二、特征值和特征向量的計(jì)算方法,三、特征值和特征向量的性質(zhì),方程組:,一、特征值和特征向量的概念,稱為 A 的特征陣.,行列式:,特征多項(xiàng)式.,稱為A的特征方程.,定義8.,存在 n 維非零列向量 X , 使,,特征值.,特征向量.,特征向量非零。,注意：,如對(duì),及,則數(shù),是矩陣 A 特征值,,是矩陣 A 的對(duì)應(yīng)于特征值 2 的特征向量,有,(1).,,,證明:,X0.,,按定義,,非零解.,,,,,根據(jù)定義8，式可寫(xiě)成:,,二

4、、特征值和特征向量的計(jì)算方法,(2). 在復(fù)數(shù)范u圍內(nèi), n 階方陣有n 個(gè)特征值.,例1. 求對(duì)角方陣,0,0,的特征值.,解:,0,0,求方陣A的特征值和特征向量的步驟：,，它們就是A的全部特征值,（2） 分別把A的每個(gè)特征值,代入方程組,得到,分別求出它們的基礎(chǔ)解系：,則所有向量,解 （1） 求特征值,由,（2）求特征向量,對(duì)于,即：,也即,所以對(duì)應(yīng)的特征向量可取為：,因此屬于特征值3的全部特征向量為,對(duì)于,即,也即,所以對(duì)應(yīng)的特征向量可取為：,其中 k 取遍所有非零數(shù) .,例 求A 的特征向量,解 求特征值,求特征向量,對(duì)于,,即：,由于系數(shù)矩陣的秩為2，故基礎(chǔ)解系只有一個(gè),非零解，解

5、得,其中 k 取遍所有非零數(shù),解 求特征值,所以A的特征值為,求特征向量,得,作為基礎(chǔ)解系，于是A的全部特征向量為,取單位向量組,這個(gè)方程組的系數(shù)矩陣是零矩陣，所以任意n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都是它的基礎(chǔ)解系，,例4,證,已知矩陣,題,在求行列式時(shí)特別有用,A 可逆 特征值均不為零,2. 特征值的和、積公式,題.設(shè)矩陣A和B有相同的特征值，其中 求a,b的值,3. 特征值與矩陣運(yùn)算的關(guān)系,重要的公式,1,40,A+3E 的特征值：4, 2, 5,例5,利用特征值求行列式,4 , 1 , 4 .,題,證,定理 4,,三、特征向量的相關(guān)性,再左乘 A, ，,左乘 A,定理3.,定理5,線性無(wú)關(guān)。,,其行列式為范德蒙行列式,例,證,由題知,反證,同一特征值的特征向量的線性組合仍是這一特征值的特征向量,分屬不同特征值的特征向量的線性組合不是特征向量,