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1、 《保險精精算學》筆筆記：多元生生命函數數 第一節(jié)?? 多元元生命函函數簡介介 一、多元元生命函函數的定定義：涉涉及多個個生命剩剩余壽命命的函數數。 二、多元元生命函函數的作作用 養(yǎng)老金給給付場合合 n???????????? 合伙伙人聯(lián)保保場合 n遺產稅稅的計算算場合 三、多元元剩余壽壽命的聯(lián)聯(lián)合分布布 1、? 聯(lián)合密密度函數數 2、? 聯(lián)合分分布函數數 3、? 聯(lián)合生生存函數數 4、? 邊際生生存函數數 第二節(jié)?? 多元元生命狀狀況 ??? 一、連連生狀況況 1、? 連生狀狀況定義義 （1）定定義：當當所有成成員都活活著時的的狀況，稱稱為

2、連生生狀況。當當有一個個成員死死亡時，連連生狀況況就結束束了。簡簡記連生生狀況為為： （2）連連生狀況況剩余壽壽命的定定義： （3）連連生狀況況剩余壽壽命的性性 質：連生生狀況的的剩余壽壽命的實實質上就就是 個個生命的的最小次次序統(tǒng)計計量 2、? 兩個體體連生狀狀況的生生命函數數 （1）分分布函數數 （2）生生存函數數 特別：兩兩個體剩剩余壽命命獨立場場合 （3）密密度函數數 特別：兩兩個體剩剩余壽命命獨立場場合 （4）死死亡效力力函數 特別：兩兩個體剩剩余壽命命獨立場場合 （5）兩兩個體至至少有一一個在第第 年內內死亡的的概率

3、 （6）連連生狀況況整值剩剩余壽命命為 的的概率 （7）剩剩余壽命命的期望望 二、最后后生存狀狀況 1、? 最后生生存狀況況的定義義 （1）定定義：只只要至少少有一個個成員活活著時的的狀況，稱稱為最后后生存狀狀況。當當所有的的成員都都死亡時時，最后后生存狀狀況就結結束了。簡簡記最后后生存狀狀況為：： （2）最最后生存存狀況剩剩余壽命命的定義義： （3）最最后生存存狀況剩剩余壽命命的性 質：最后后生存狀狀況的剩剩余壽命命的實質質上就是是 個生生命的最最大次序序統(tǒng)計量量 2、? 多生命命狀況剩剩余壽命命的關系系 （1） （2） （3） （4）

4、 3、兩個個體最后后生存狀狀況的生生命函數數 （1）分分布函數數 等價公式式 （2）生生存函數數 等價公式式 （3）密密度函數數 等價公式式 （4）死死亡效力力函數 （5）最最后生存存狀況整整值剩余余壽命為為 的概概率 等價公式式 （6）剩剩余壽命命期望 4、聯(lián)合合生命狀狀態(tài)剩余余壽命協(xié)協(xié)方差分分析 第三節(jié)?????????? 聯(lián)合合生命模模型 一、 簡簡介 聯(lián)合生命命模型分分為兩類類：Coommoon SShocck 模模型和CCopuulass模型。 Commmon Shoock 模型假假定個體體之間的的剩余

5、壽壽命隨機機變量相相互獨立立的模型型。這種種模型假假定有時時與現(xiàn)實實情況不不符，但但易于分分析。 Copuulass模型假假定個體體之間的的剩余壽壽命隨機機變量不不獨立的的模型。這這種模型型假定更更符合實實際情況況，但不不易于分分析。 我們主要要研究簡簡單的CCommmon Shoock 模型。 二、 CCommmon Shoock 模型 1、定義義：如果果有 滿滿足 且有一個個Commmonn Shhockk 隨機機變量 ，它獨獨立于 ，且服服從指數數生存函函數 令 則 2、聯(lián)合合生命狀狀況分析析 記 則 （1）邊邊際生存存函數為為

6、 （2）連連生狀況況剩余壽壽命生存存函數為為 （3）最最后生存存狀況剩剩余壽命命生存函函數為 特別， 獨立時時，等價價于 。 第四節(jié)?? 人壽壽保險與與生存年年金 一、聯(lián)合合生命狀狀況躉繳繳純保費費的確定定 1、? 躉繳純純保費的的確定原原理 2、? 聯(lián)合多多生命狀狀況躉繳繳純保費費的確定定 （1）???????? 連生狀狀況 （2）???????? 最后生生存狀況況 二、聯(lián)合合生命狀狀況生存存年金的的確定 1、? 生存年年金確定定原理 2、? 聯(lián)合生生命狀況況生存年年金的確確定 （1）連連生狀況況 （2）最最后生存存狀況

7、 三、 連連生狀況況合最后后死亡狀狀況的關關系 四、 繼繼承年金金 1、? 繼承年年金的定定義：在在聯(lián)合生生命狀態(tài)態(tài)中，只只有在其其中一個個生命（vv）死亡亡之后，另另一個生生命（uu）才能能開始獲獲得年金金。這種種年金叫叫做繼承承年金，簡簡記為 。 2、? 終身繼繼承年金金 3、? 定期繼繼承年金金 第五節(jié)?? 在特特殊死亡亡律假定定下求值值 一、Goompeerz 和Maakehham假假定 1、? Gommperrz假定定下 尋找能替替代連生生狀態(tài)的的單個生生命狀態(tài)態(tài) ，即即 已知在GGompperzz假定下下有 ，則則在兩生生命獨立立假定下下有 由這個等等式可求求出 ，于于是 2、? Makkehaam假定定下 由于Maakehham假假定的死死亡效力力函數含含有常數數項，所所以無法法用單個個生命狀狀態(tài)替換換連生狀狀態(tài)，但但是可以以考慮用用兩個同同年齡的的連生狀狀態(tài) 作作替換，即即 已知在MMakeehamm假定下下有 ，則則在兩生生命獨立立假定下下有 由這個等等式可求求出 ，于于是 二、均勻勻分布假假定 ??? 在均勻勻分布假假定下，躉躉繳純保保費和生生存年金金具有單單生命狀狀態(tài)下近近似的性性質