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　常用邏輯用語與充要條件 【高考考情解讀】　1.本講在高考中主要考查集合的運算、充要條件的判定、含有一個量詞的命題的真假判斷與否定，常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何、數(shù)列等知識綜合在一起考查.2.試題以選擇題、填空題方式呈現(xiàn)，考查的基礎(chǔ)知識和基本技能，題目難度中等偏下． 1．命題的定義 用語言、符號或式子表達的，可以 判斷真假的陳述句叫做命題．其中判斷為真的語句叫真命題，判斷為假的語句叫假命題． 2． 四種命題及其關(guān)系 (1)原命題為“若p則q”，則它的逆命題為若q則p ；否命題為若┐p則┐q ；逆否命題為若┐q則┐p . (2)原命題與它的逆否命題等價；逆命題與它的否命題等價．四種命題中原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假，遇到復(fù)雜問題正面解決困難的，采用轉(zhuǎn)化為反面情況處理，即，可以轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假． 命題真假判斷的方法： (1)對于一些簡單命題，若判斷其為真命題需推理證明．若判斷其為假命題只需舉出一個反例． (2)對于復(fù)合命題的真假判斷應(yīng)利用真值表． (3)也可以利用“互為逆否命題”的等價性，判斷其逆否命題的真假． 3．充分條件與必要條件的定義 (1)若p?q且qp，則p是q的充分非必要條件． (2)若q?p且pq，則p是q的必要非充分條件． (3)若p?q且q?p，則p是q的充要條件． (4)若pq且qp，則p是q的非充分非必要條件． 設(shè)集合A＝{x|x滿足條件p}，B＝{x|x滿足條件q}，則有 (1)若A?B，則p是q的充分條件，若AB，則p是q的充分不必要條件； (2)若B?A，則p是q的必要條件，若BA，則p是q的必要不充分條件； (3)若A＝B，則p是q的充要條件； (4)若A?B，且B?A，則p是q的既不充分也不必要條件． 2．充分、必要條件的判定方法 (1)定義法，直接判斷若p則q、若q則p的真假． (2)傳遞法． (3)集合法：若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合B的形式出現(xiàn)，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則①若A?B，則p是q的充分條件；②若B?A，則p是q的必要條件；③若A＝B，則p是q的充要條件． (4)等價命題法：利用A?B與┐B?┐A，B?A與┐A?┐B，A?B與┐B?┐A的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運用等價法，利用原命題和逆否命題是等價的這個結(jié)論，有時可以準確快捷地得出結(jié)果，是反證法的理論基礎(chǔ)． 1． 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 (1)命題中的“且”、“或”、“非”叫作邏輯聯(lián)結(jié)詞． (2)簡單復(fù)合命題的真值表： p q ┐p ┐q p或q p且q ┐(p或q) ┐(p且q) ┐p或┐q ┐p且┐q 真 真 假 假 真 真 假 假 假 假 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 真 假 假 真 真 假 假 假 真 真 假 假 真 真 真 真 2. 全稱量詞與存在量詞 (1)常見的全稱量詞有“任意一個”“一切”“每一個”“任給”“所有的”等． (2)常見的存在量詞有“存在一個”“至少有一個”“有些”“有一個”“某個”“有的”等． 3． 全稱命題與特稱命題 (1)含有全稱量詞的命題叫全稱命題． (2)含有存在量詞的命題叫特稱命題． 4． 命題的否定 (1)全稱命題的否定是特稱命題；特稱命題的否定是全稱命題． (2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q. 注： 1． 邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”的含義 邏輯聯(lián)結(jié)詞中的“或”的含義，與并集概念中的“或”的含義相同．如“x∈A或x∈B”，是指：x∈A且x?B；x?A且x∈B；x∈A且x∈B三種情況．再如“p真或q真”是指：p真且q假；p假且q真；p真且q真三種情況． 2． 命題的否定與否命題 “否命題”是對原命題“若p，則q”的條件和結(jié)論分別加以否定而得到的命題，它既否定其條件，又否定其結(jié)論；“命題的否定”即“非p”，只是否定命題p的結(jié)論． 命題的否定與原命題的真假總是對立的，即兩者中有且只有一個為真，而原命題與否命題的真假無必然聯(lián)系． 3． 含一個量詞的命題的否定 全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題． 1．(2013·皖南八校)命題“若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是(　　) A．“若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” B．“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù)” C．“若一個數(shù)不是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” D．“若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負數(shù)” 解析　依題意得原命題的逆命題是：若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù)．選B. 2． (2012·湖北)命題“存在一個無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是(　　) A．任意一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)B．任意一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù) C．存在一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)D．存在一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù) 答案　B 解析 這是一個特稱命題，特稱命題的否定不僅僅要否定結(jié)論而且要將相應(yīng)的存在量詞“存在一個”改為全稱量詞“任意一個”，故選B。 2．已知a，b，c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是(　　) A．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2<3 B．若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2<3 C．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2≥3 D．若a2＋b2＋c2≥3，則a＋b＋c＝3 答案　A 解析　從“否命題”的形式入手，但要注意“否命題”與“命題的否定”的區(qū)別．命題的否命題是原命題的條件與結(jié)論分別否定后組成的命題，所以A正確． 【山東省臨沂市某重點中學(xué)2014屆高三9月月考】命題“若函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則.”的逆否命題是（ ） A．若，則函數(shù)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù) B．若，則函數(shù)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù) C．若，則函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù) D．若，則函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù) 命題“若x，y都是偶數(shù)，則x＋y也是偶數(shù)”的逆否命題是 (　　) A．若x＋y是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù) B．若x＋y是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù) C．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù) D．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù) 答案　C 解析　由于“x，y都是偶數(shù)”的否定表達是“x，y不都是偶數(shù)”，“x＋y是偶數(shù)”的否定表達是“x＋y不是偶數(shù)”，故原命題的逆否命題為“若x＋y不是偶數(shù)，則x，y不都是偶數(shù)”，故選C. 5．與命題“若a∈M，則b?M”等價的命題是(　　) A．若a?M，則b?M　　 B．若b?M，則a∈M C．若a?M，則b∈M D．若b∈M，則a?M 解析：因為原命題只與逆否命題是等價命題，所以只需寫出原命題的逆否命題即可．故選D. 答案：D 4． 下列命題中為真命題的是 (　　) A．命題“若x>y，則x>|y|”的逆命題 B．命題“若x>1，則x2>1”的否命題 C．命題“若x＝1，則x2＋x－2＝0”的否命題 D．命題“若x2>0，則x>1”的逆否命題 答案　A 解析　對于A，其逆命題：若x>|y|，則x>y，是真命題，這是因為x>|y|＝，必有x>y；對于B，否命題：若x≤1，則x2≤1，是假命題．如x＝－5，x2＝25>1；對于C，其否命題：若x≠1，則x2＋x－2≠0，因為x＝－2時，x2＋x－2＝0，所以是假命題；對于D，若x2>0，則x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命題的逆否命題是假命題，故選A. 2．已知命題p：?n∈N,2n＞1 000，則┐p為(　　)． A．?n∈N,2n≤1 000 B．?n∈N,2n＞1 000 C．?n∈N,2n≤1 000 D．?n∈N,2n＜1 000 解析　特稱命題的否定是全稱命題．即p：?x∈M，p(x)，則┐p：?x∈M，┐p(x)．故選A. 答案　A 4． (2012·湖北改編)命題“存在x0∈?RQ，x∈Q”的否定是 (　　) A．存在x0D∈/?RQ，x∈Q B．存在x0∈?RQ，xD∈/Q C．任意xD∈/?RQ，x3∈Q D．任意x∈?RQ，x3D∈/Q 答案　D 解析　“存在”的否定是“任意”，x3∈Q的否定是x3D∈/Q. 命題“存在x0∈?RQ，x∈Q”的否定是“任意x∈?RQ，x3D∈/Q”，故應(yīng)選D. 1． (2011·安徽)命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是 (　　) A．所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù) B．所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù) C．存在一個不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù) D．存在一個能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù) 答案　D 解析　由于全稱命題的否定是特稱命題，本題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”是全稱命題，其否定為特稱命題“存在一個能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)”． 2． (2012·遼寧改編)已知命題p：對任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)≥0，則┐p是(　　) A．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0 B．對任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0 C．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0 D．對任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0 答案　C 解析　┐p：存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0. 2． (2012·安徽)命題“存在實數(shù)x，使x>1”的否定是 (　　) A．對任意實數(shù)x，都有x>1 B．不存在實數(shù)x，使x≤1 C．對任意實數(shù)x ，都有x≤1 D．存在實數(shù)x，使x≤1 答案　C 解析　利用特稱命題的否定是全稱命題求解． “存在實數(shù)x，使x>1”的否定是“對任意實數(shù)x，都有x≤1”．故選C. 11．給出以下三個命題： ①若ab≤0，則a≤0或b≤0； ②在△ABC中，若sin A＝sin B，則A＝B； ③在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，則方程有實數(shù)根． 其中原命題、逆命題、否命題、逆否命題全都是真命題的是(　　) A．① B．② C．③ D．②③ 答案　(1)A　(2)B 解析　(1)不等式2x2＋x－1>0的解集為，故由x>?2x2＋x－1>0，但2x2＋x－1>0D?/x>，故選A. (2) 在△ABC中，由正弦定理得sin A＝sin B?a＝b?A＝B.故選B. 6． 下列結(jié)論： ①若命題p：存在x∈R，tan x＝1；命題q：對任意x∈R，x2－x＋1>0.則命題“p且┐q”是假命題； ②已知直線l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，則l1⊥l2的充要條件是＝－3； ③命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題：“若x≠1，則x2－3x＋2≠0”． 其中正確結(jié)論的序號為________． 答案?、佗? 解析　①中命題p為真命題，命題q為真命題，所以p且┐q為假命題，故①正確； ②當b＝a＝0時，有l(wèi)1⊥l2，故②不正確；③正確．所以正確結(jié)論的序號為①③. 5． 下列命題中正確命題的序號是________． ①若ac2>bc2，則a>b； ②若sin α＝sin β，則α＝β； ③“實數(shù)a＝0”是“直線x－2ay＝1和直線2x－2ay＝1平行”的充要條件； ④若f(x)＝log2x，則f(|x|)是偶函數(shù)． 答案?、佗邰? 解析　對于①，ac2>bc2，c2>0，∴a>b正確；對于②，sin 30°＝sin 150°D?/30°＝150°，所以②錯誤；對于③，l1∥l2?A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a?a＝0且A1C2≠A2C1，所以③對；對于④顯然對． 6． 已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實數(shù)m的取值范圍為________． 答案　[3,8) 解析　因為p(1)是假命題，所以1＋2－m≤0， 解得m≥3；又因為p(2)是真命題，所以4＋4－m>0， 解得m<8.故實數(shù)m的取值范圍是3≤m<8. 以下命題是真命題的序號是________． (1)“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)也是奇函數(shù)”的逆命題； (2)“若x，y是偶數(shù)，則x＋y也是偶數(shù)”的否命題； (3)“正三角形的三個內(nèi)角均為60°”的否命題； (4)“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的逆否命題； 【解析】　對于(4)，只需證明原命題為真，∵a＋b＋c＝3，∴(a＋b＋c)2＝9. ∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝9，從而3(a2＋b2＋c2)≥9，∴a2＋b2＋c2≥3成立． 【答案】　(1)(3)(4) 2． 下列命題中正確的是 (　　) A．若命題p為真命題，命題q為假命題，則命題“p∧q”為真命題 B．“sin α＝”是“α＝”的充分不必要條件 C．l為直線，α，β為兩個不同的平面，若l⊥β，α⊥β，則l∥α D．命題“?x∈R,2x>0”的否定是“?x0∈R,2x0≤0” 答案　D 解析　對A，只有當p，q全是真命題時，p∧q為真；對B，sin α＝?α＝2kπ＋或2kπ＋，k∈Z，故“sin α＝”是“α＝”的必要不充分條件；對C，l⊥β，α⊥β?l∥α或l?α；對D，全稱命題的否定是特稱命題，故選D. 15．給出下列四個命題： ①命題“若α＝β，則cos α＝cos β”的逆否命題； ②“?x0∈R，使得x－x0>0”的否定是：“?x∈R，均有x2－x<0”； ③命題“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要條件； ④p：a∈{a，b，c}，q：{a}?{a，b，c}，p且q為真命題． 其中真命題的序號是________．(填寫所有真命題的序號) 答案?、佗? 解析　對①，因命題“若α＝β，則cos α＝cos β”為真命題， 所以其逆否命題亦為真命題，①正確； 對②，命題“?x0∈R，使得x－x0>0”的否定應(yīng)是： “?x∈R，均有x2－x≤0”，故②錯； 對③，因由“x2＝4”得x＝±2， 所以“x2＝4”是“x＝－2”的必要不充分條件，故③錯； 對④，p，q均為真命題，由真值表判定p且q為真命題，故④正確10．給出下列命題： ①?x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立； ②若log2x＋logx2≥2，則x>1； ③“若a>b>0且c<0，則>”的逆否命題； ④若p且q為假命題，則p，q均為假命題． 其中真命題是 (　　) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 答案　A 解析　①中不等式可表示為(x－1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可變?yōu)閘og2x＋≥2，得x>1；③中由a>b>0，得<，而c<0，所以原命題是真命題，則它的逆否命題也為真；④由p且q為假只能得出p，q中至少有一個為假，④不正確． 12．給出下列命題： ①原命題為真，它的否命題為假； ②原命題為真，它的逆命題不一定為真； ③一個命題的逆命題為真，它的否命題一定為真； ④一個命題的逆否命題為真，它的否命題一定為真； ⑤“若m>1，則mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集為R”的逆命題． 其中真命題是________．(把你認為正確命題的序號都填在橫線上) 解析：原命題為真，而它的逆命題、否命題不一定為真，互為逆否命題同真同假，故①④錯誤，②③正確．又因為不等式mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集為R， 由??m>1. 故⑤正確． 答案：②③⑤ 3．設(shè)x，y∈R，則“x2＋y2≥9”是“x>3且y≥3”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析 結(jié)合圖形與性質(zhì)，從充要條件的判定方法入手．如圖： x2＋y2≥9表示以原點為圓心，3為半徑的圓上及圓外的點，當x2＋y2≥9時，x>3且y≥3并不一定成立，當x＝2，y＝3時，x2＋y2≥9，但x>3且y≥3不成立；而x>3且y≥3時，x2＋y2≥9一定成立，故選B. 一個命題的否命題、逆命題、逆否命題是根據(jù)原命題適當變更條件和結(jié)論后得到的形式上的命題，解這類試題時要注意對于一些關(guān)鍵詞的否定，如本題中等于的否定是不等于，而不是單純的大于、也不是單純的小于．進行充要條件判斷實際上就是判斷兩個命題的真假，這里要注意斷定一個命題為真需要進行證明，斷定一個命題為假只要舉一個反例即可． 4．“a>0”是“|a|>0”的(　　) A．充分不必要條件　　B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　因為|a|>0?a>0或a<0，所以a>0?|a|>0，但|a|>0a>0，所以a>0是|a|>0的充分不必要條件，故選A. 5．0＜x＜5是不等式|x－2|＜4成立的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　由|x－2|<4，得－2”是“2x2＋x－1>0”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 3． (2013·福建)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“A?B”的 (　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　a＝3時A＝{1,3}，顯然A?B. 但A?B時，a＝2或3.所以A正確． 6． (2013·陜西)設(shè)a，b為向量，則“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的 (　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　C 解析　由|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，則有cos〈a，b〉＝±1. 即〈a，b〉＝0或π，所以a∥b.由a∥b，得向量a與 b同向或反向，所以〈a，b〉＝0或π，所以|a·b|＝|a||b|. 　(1)已知p：－42. 8． 已知p：?x∈R，mx2＋2≤0，q：?x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q為假命題，則實數(shù)m的取值范圍是 (　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－1,1] 答案　A 解析　∵p∨q為假命題，∴p和q都是假命題． 由p：?x∈R，mx2＋2≤0為假命題， 由綈p：?x∈R，mx2＋2>0為真命題， ∴m≥0. ① 由q：?x∈R，x2－2mx＋1>0為假命題， 得綈q：?x∈R，x2－2mx＋1≤0為真命題， ∴Δ＝(－2m)2－4≥0?m2≥1?m≤－1或m≥1. ② 由①和②得m≥1，故選A. 第 11 頁 共 11 頁