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1、本章內容,2.1 空間點、直線、平面之間的位置關系,2.2 直線、平面平行的判定及其性質,2.3 直線、平面垂直的判定及其性質,第二章 小結,,第二章,點、直線、平面之間的位置關系,,,,立體幾何,2.3 直線、平面垂直的判定及其性質,2.3.1 直線與平面垂直的判定(第一課時),復習與提高,2.3.1 直線與平面垂直的判定(第二課時),2.3.2 平面與平面垂直的判定(第一課時),2.3.2 平面與平面垂直的判定(第二課時),第一課時,直線與平 面垂直的判定,2.3.1,返回目錄,1. 直線和平面垂直是怎樣定義的?,2. 用直線和平面垂直的判定定理證明線面垂直需要哪些條件?,問題 1. 在你

2、的感覺中, 直線和平面垂直是怎樣一種情況? 你能說出我們教室里直線與平面垂直的例子嗎? 你認為怎樣定義直線與平面垂直恰當?,如果直線 l 與平面 a 內的任意一條直線都垂直, 我們就說直線 l 與平面 a 互相垂直, 記作 la, 直線 l 叫做平面 a 的垂線, 平面 a 叫做直線 l 的垂面.,線面垂直是線面相交的一種特殊情況, 線面垂直, 有且只有一個公共點, 即交點, 這個交點叫做線面垂直的垂足.,直線與平面垂直的定義:,,1. 直線與平面垂直的定義,畫直線和水平平面垂直, 要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的橫邊垂直.,畫直線和豎直平面垂直, 要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的豎直

3、邊垂直.,問題2: 已知平面 a 和空間任意一點 P, 過點 P 能作 a 的幾條垂線? 為什么?,結論: 過空間任意一點, 有且只有一條直線和已知平面垂直.,,,如果有兩條, PAa, PBa,,只有一條.,垂足分別為 A, B.,則 PA, PB 確定的平面,與 a 相交于一直線 AB.,,A,B,于是 PAAB, PBAB,,則在平面PAB內過一點有兩條直線和已知直線垂直,,根據平面幾何知識, 這顯然不對.,,問題 3. (1) 請同學們用一塊三角板的一條直角邊放在桌面內, 另外一條直角邊不在桌面內, 請問這另一條直角邊與桌面垂直嗎? (2) 用一張有一定硬度的紙將一邊對折后又展開,

4、并將所折的邊放在桌面上, 看折痕是否垂直桌面? 有不垂直的可能嗎?,用定義判斷線面垂直不太方便, 怎樣有較方便的方法判斷線面垂直呢, 我們先看下面的問題.,當A、B、C 不共線時,,折痕DC垂直桌面;,當A、B、C 共線時,,折痕DC不一定垂直桌面.,2. 直線與平面垂直的判定,如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直, 那么這條直線垂直于這個平面.,符號表示:,la,,lb,,aa,,ba,,ab,,, la.,直線與平面垂直的判定定理:,,由線線垂直得線面垂直.,問題 4. 一旗桿高 8 m, 在它的頂端系兩條長10m 的繩子, 拉緊繩子并把它們的下端固定在地面上的兩點 ( 與旗桿腳不

5、在同一直線上). 如果這兩點與旗桿腳相距 6m, 那么旗桿就與地面垂直, 為什么?,如圖,,AB=8,,AC=AD=10,,BC=BD=6,,ABC和ABD的三邊,滿足勾股定理,, ABBC,,ABBD,,而 BC、BD在地面內,,C、B、D不在同一直線上,,即 BC, BD相交,,由線面垂直的判定定理知旗桿垂直于地面.,例 1. 如圖, 已知 ab, aa. 求證: ba.,,m,證明:,在 a 內任作兩相交直線 m、n,, aa,,ma,,, am, an,, ba,,, bm, bn,,又 m 與 n 相交,,, ba.,結論: 兩平行線中的一條垂直于一個平面, 那么另一條也垂直于這個平

6、面.,,n,na,,,練習(補充). 已知 PQ 是平面 a 的垂線段, PA 是平面 a 的斜線段, 直線 la. 求證: (1) 若 lPA, 則 lQA; (2) 若 lQA, 則 lPA.,證明:,(1),PQa, la.,PQl.,若 lPA,,, l平面PQA.,QA平面PQA,,,lQA.,練習(補充). 已知 PQ 是平面 a 的垂線段, PA 是平面 a 的斜線段, 直線 la. 求證: (1) 若 lPA, 則 lQA; (2) 若 lQA, 則 lPA.,證明:,(2),PQa, la.,PQl.,若 lQA,,, l平面PQA.,PA平面PQA,,,lP

7、A.,練習(補充). 已知 PQ 是平面 a 的垂線段, PA 是平面 a 的斜線段, 直線 la. 求證: (1) 若 lPA, 則 lQA; (2) 若 lQA, 則 lPA.,Q 為垂線段 PQ 的垂足.,A 為斜線段 PA 的斜足.,QA 為斜線 PA 在平面 a 上的射影.,有三條線:,平面的斜線,,斜線在平面上的射影,,平面內的一條直線 l.,結論:,如果 l 斜線, 則 l射影;,如果 l射影, 則 l斜線.,(三垂線定理),探究題. 如圖, 直四棱柱 ABCD-ABCD ( 側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱 ) 中, 底面四邊形ABCD 滿足什么條件時, ACBD?,分析

8、:,由題中定義知,,側棱 AA平面ABCD,,從而 AABD.,又要使 ACBD,,則需 BD平面AAC.,所以需在平面AAC內另找一條直線,容易考慮的是AC是否滿足?,要使ACBD, 四邊形ABCD需滿足:,BA=BC, 且DA=DC.,與BD垂直且與AA相交.,(改為如下的證明題, 請同學們給出證明),,如圖, 直四棱柱 ABCD-ABCD ( 側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱 ) 中, 已知 AB=BC, AD=DC, 求證: BDAC.,證明:,連結AC,,AB=BC ,,BDAC,,AA平面ABCD AABD,, BD平面AACC,,BDAC.,,(定義),,(判定),(定義),AD=

9、DC ,,,AAAC=A,,,AC 平面AACC,,,練習: (課本67頁),第 1、2 題.,練習: (課本69頁),1. 如圖, 在三棱錐 V-ABC中, VA=VC, AB=BC, 求證: VBAC.,練習: (課本67頁),證明:,,,,D,取 AC 邊的中點 D,,連接 VD, BD., VA=VC,,VDAC,,VB=BC,,BDAC,,, AC平面VDB,,而 VB平面VDB,,ACVB.,2. 過ABC所在平面 a 外一點 P, 作 POa, 垂足為 O, 連接 PA, PB, PC. (1) 若 PA=PB=PC, C=90, 則 O 是 AB 邊的 . (2)

10、 若 PA=PB=PC, 則 O 是ABC 的 心. (3) 若 PAPB, PBPC, PCPA, 則 O 是ABC的 心.,,,,解:,(1),如圖,,POa,,則POA=POB=POC=90,,又 PA=PB=PC,,POAPOBPOC,,得 OA=OB=OC,,又C=90,,直角三角形到三頂點的距離相等的點是斜邊的中點.,中點,2. 過ABC所在平面 a 外一點 P, 作 POa, 垂足為 O, 連接 PA, PB, PC. (1) 若 PA=PB=PC, C=90, 則 O 是 AB 邊的 . (2) 若 PA=PB=PC, 則 O 是ABC 的 心.

11、 (3) 若 PAPB, PBPC, PCPA, 則 O 是ABC的 心.,,,O,,,a,解:,(2),由(1)得 OA=OB=OC,,中點,到三角形三頂點的距離相等,外,的點是三角形的外心.,2. 過ABC所在平面 a 外一點 P, 作 POa, 垂足為 O, 連接 PA, PB, PC. (1) 若 PA=PB=PC, C=90, 則 O 是 AB 邊的 . (2) 若 PA=PB=PC, 則 O 是ABC 的 心. (3) 若 PAPB, PBPC, PCPA, 則 O 是ABC的 心.,,,O,,,a,解:,(3),中點,外,由 PAPB, PA

12、PC,,得 PA平面PBC,,PABC.,又由 POa 得 POBC,,于是得 BC平面POA,,BCAO.,同理可得 ABCO,,O 為ABC的垂心.,垂,練習: (課本69頁),如圖, 正方形 SG1G2G3中, E, F 分別是 G1G2, G2G3 的中點, D 是 EF的中點, 現(xiàn)在沿 SE, SF 及 EF 把這個正方形折成一個四面體, 使 G1, G2, G3 三點重合, 重合后的點記為 G, 則在四面體 S-EFG 中必有( ) (A) SGEFG所在平面 (B) SDEFG所在平面 (C) GFSEF所在平面 (D) GDSEF所在平面,,,,,,A,【課時

13、小結】,1. 線面垂直的定義,若直線 l 垂直平面 a 內的任意一直線, 則叫 la.,應用:,若 la, 則 l 垂直平面 a 內的任意一直線.,【課時小結】,2. 線面垂直的判定定理,如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直, 那么這條直線垂直于這個平面.,【課時小結】,3. 相關結論,過空間任意一點, 有且只有一條直線和已知平面垂直.,兩平行線中的一條垂直于一個平面, 那么另一條也垂直于這個平面.,如果平面內的一條直線垂直平面的斜線, 則這條直線垂直斜線在平面上的射影;,如果平面內的一條直線垂直平面的一條斜線在平面上的射影, 則這條直線垂直斜線.,習題 2.3,B 組,第 2、4 題

14、,習題 2.3,B 組,答: 能判定.,由 VA=VB, AD=BD 得,,VDAB.,又由VO平面 ABC 得,,VOAB.,于是得AB平面VOD,, OCD,, ABOD., ABCD,,而 AD=BD,,從而得 AC=BC.,4. 如圖, AB 是 O 的直徑, 點 C 是 O 上的動點, 過動點 C 的直線 VC 垂直于 O 所在平面, D, E 分別是 VA, VC 的中點. 試判斷直線 DE 與平面 VBC 的位置關系, 并說明理由.,解:,DE平面VBC.,由直徑所對的圓周角是直角得,ACBC.,又由 VC 垂直于 O 所在平面得,ACVC.,而 D, E 分別是 VA, VC

15、的中點得,DE//AC,, DE平面VBC., AC平面VBC.,第二課時,直線與平 面垂直的判定,2.3.1,返回目錄,1. 什么是斜線在平面上的射影?,2. 直線和平面所成的角是由哪些元素構成? 其范圍是多少?,3. 求直線和平面所成角的大小時, 應掌握哪些要點?,問題5. 如圖, 直線 l 與平面 a 斜交于一點 A, 過點 A 在平面 a 內作直線 l1, l2, l3, , 這些直線與直線 l 的夾角中, 你認為哪個角最小? 怎樣確定這個最小的角?,,P,,過 l 上任一點 P 作平面 a 的,O,垂線 PO, 垂足為 O, 連結 AO,,則PAO 就是那個最小的角.,,【直線和平面

16、所成的角】,問題5. 如圖, 直線 l 與平面 a 斜交于一點 A, 過點 A 在平面 a 內作直線 l1, l2, l3, , 這些直線與直線 l 的夾角中, 你認為哪個角最小? 怎樣確定這個最小的角?,,P,,O,一條直線 PA 和一個平面 a 相交, 但不垂直, 這條直線叫做這個平面的斜線, 其交點 A 叫做斜足. 過斜線,,上斜足以外的一點向平面引垂線 PO, 過垂足 O 和斜足 A 的直線 AO 叫斜線在平面上的射影. 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角, 叫做這條直線和這個平面所成的角.,【直線和平面所成的角】,POa = O,,PQa, Q 為垂足,,則 OQ 是 PO

17、在平面 a,POQ 是斜線 PQ 與,平面 a 所成的角.,上的射影.,特例1: 如果直線垂直平面, 直線和平面所成的角為直角; 特例2: 如果直線和平面平行或在平面內, 就說直線和平面所成的角是0的角.,問題6. 已知直線 l1、l2 和平面 a 所成的角相等, 能否判斷 l1l2? 反之, 如果 l1l2, l1, l2 與平面a 所成的角是否相等?,如圖,,ABa, CDa,,AOB =COD.,而 AO 與 CO 不平行.,如圖,,ABCD,,AO1a, CO2a,,則 AO1CO2,,于是得BAO1=DCO2,,則在直角三角形中得ABO1=CDO2.,結論:,和同一平面所成的角相

18、等的兩條斜線不一定平行.,兩條平行線和同一個平面所成的角,一定相等.,例2. 如圖, 在正方體 ABCD-A1B1C1D1中, 求直線 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.,分析:,需在平面A1B1CD上,找到直線A1B的射影.,即需找過A1B上的點垂直,平面A1B1CD的直線.,,,O,而 BB1, BC不可能垂直平面A1C,,易看出對角線 BC1 有可能.,因為BC1B1C,,還容易看出BC1A1B1,,于是可連結BC1, 交B1C于O,,即A1O就是要找的射影.,BA1O就是所要求的線面角,,則可在RtBA1O中求.,例2. 如圖, 在正方體 ABCD-A1B1C1D1中, 求直線

19、A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.,解:,連結 BC1, 交 B1C 于 O,,則在正方形BCC1B1中, BC1B1C.,又A1B1平面BCC1B1,,得 A1B1BC1.,,,O,則 BC1平面A1B1CD, O為垂足.,得 A1O為A1B在平面A1B1C1D上的射影.,BA1O就是直線A1B和平面A1B1CD所成的角,,在 RtBA1O 中, A1B=BC1=2BO,,得BA1O=30.,直線 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角是30.,例2. 如圖, 在正方體 ABCD-A1B1C1D1中, 求直線 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.,求線面角的要點:,(1) 找斜線在

20、平面上的射影,,確定線面角.,(2) 構造含線面角的三角形,,,,O,通常構造直角三角形.,(3) 在三角形中求角的大小.,練習(補充),如圖, 在正方體 ABCD-A1B1C1D1中, (1) 求對角線 A1C 與平面 B1BCC1 所成角的正切值; (2) 求 AA1 與平面 A1BD 所成角的正切值.,解:,(1),A1C是平面B1BCC1的斜線,,A1B1是平面B1BCC1的垂線,,B1C是A1C在平面B1BCC1上的射影,,,則A1CB1為所求的線面角.,在RtA1B1C中,,即 A1C 與平面 B1BCC1 所成角的正切值為,練習(補充),O,如圖, 在正方體 ABCD-A1B1C

21、1D1中, (1) 求對角線 A1C 與平面 B1BCC1 所成角的正切值; (2) 求 A1A 與平面 A1BD 所成角的正切值.,解:,(2),取 BD 的中點 O,,連結 AO, A1O,,過點 A 作 AEA1O, 垂足為 E.,,AB=AD, A1B=A1D,,,,,E,BDAO, BDA1O,,則 BD平面A1AO,,得 BDAE.,,,由得AE平面A1BD.,A1E是A1A在平面A1BD上的射影,,O,,,,,E,則 AA1E 為所求的線面角.,在 RtA1AO 中,,即 A1A 與平面 A1BD所成角的正切值為,【課時小結】,1. 直線和平面所成的角,(1) 平面的斜線與平面所

22、成的角,斜線與射影的夾角(銳角).,(2) 平面的垂線與平面所成的角為90.,(3) 平面的平行線或在平面內的直線與 平面所成的角為0.,斜線和平面所成的角是斜線和平面內所有直線所成角中最小的.,兩條平行線和同一個平面所成的角相等.,【課時小結】,2. 求線面角的要點,(1) 找斜線在平面上的射影, 確定線面角.,(2) 構造含角的三角形, 用三角函數(shù)求解.,練習(補充),2. 已知三棱錐的三條側棱長都等于 2, 底面是等邊三角形, 側棱與底面所的角為60, 求三棱錐的體積.,1. 若一直線與平面所成的角為 則此直線與該平面內任一直線所成的角的取值范圍是 .,1. 若一直線與平面所成

23、的角為 則此直線與該平面內任一直線所成的角的取值范圍是 .,解:,如圖,,直線AB是直線PC在平面 a 內的射影,,直線 PC 與平面 a 內的直線,所成的角中,,PCA最小,,直角最大.,則PC與平面內任一直線所成的角的范圍是,2. 已知三棱錐的三條側棱長都等于 2, 底面是等邊三角形, 側棱與底面所成的角為60, 求三棱錐的體積.,O,,,解:,作PO底面ABC, 垂足為O,,如圖,, O 為底面正三角形的中心,,則PAO=PBO=PCO=60,,PA=PB=PC=2.,,,得 RtPOARtPOBRtPOC,,于是得 OA=OB=OC.,得 AO=1,,,底面ABC的高AE=,E

24、,則 BC=2BE=,棱錐的體積為,,3. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中, 直線A1B與平面BC1D1所成的角為 .,,解:,平面BC1D1就是平面ABC1D1,,如圖,,,E,連結A1D, 交AD1于E,,則A1EAD1,,A1EAB,,, A1E平面ABC1D1,,,連結BE,,則A1BE就是A1B與平面BC1D1所成的角,,設正方體的棱長為a,,在RtA1ED中,,A1BE=30.,30,2.3.2,平面與平面垂直的判定,第一課時,返回目錄,1. 什么叫二面角?,2. 二面角的大小是由什么確定的? 求二面角的大小的關鍵是什么?,問題 1. 當我們要求別人將一扇門(如教室門)

25、開大點, 或開小點時, 用什么來度量, 使開門的人能準確地按要求開門?,如圖, 兩個平面相交, 常要研究交成的角的大小, 這就需要引入二面角.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,【1】二面角,從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角. 這條直線叫做二面角的棱, 這兩個半平面叫做二面角的面.,如圖,,記作 二面角 a-l-b,,或 二面角 a-AB-b,,二面角 P-l-Q,,二面角 P-AB-Q.,,【2】二面角的平面角,要研究和度量二面角的大小, 我們把它轉化成從一點出發(fā)的兩條射線的夾角.,以二面角的棱上任意一點為端點, 在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線, 這兩條

26、射線所成的角叫做二面角的平面角.,如圖,,以棱 l 上任一點O為端點,,在半平面 a 內作OAl,,在半平面 b 內作OBl,,則AOB就是二面角a-l-b 的平面角.,AOB的大小就是二面角 a-l-b 的大小.,二面角的大小就由它的平面角確定.,A,B,O,,,,,,,,,,衛(wèi)星軌道平面,,,,,68.5,我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的傾角是68.5.,,赤道平面,,即衛(wèi)星軌道平面與赤道,平面所成的二面角是68.5.,問題 2. 如圖, ABC和DBC是空間的兩個等邊三角形, ABD和ACD是二面角 A-BC-D的平面角嗎? 如果不是, 你能找出它的一個平面角嗎?,答: ABD和ACD都不

27、是二面角A-BC-D的平面角, 因為它們的邊與二面角的棱BC不垂直.,取BC的中點E, 連結AE、DE,, AED就是二面角A-BC-D的平面角.,則AEBC, DEBC,,,E,,,,問題3. 如圖, 正方體 ABCD-A1B1C1D1 的棱長為 a, 怎樣計算二面角 A1-BD-C1 的大小.,解:,取 BD 的中點 O,,連結 A1O, C1O.,A1B=A1D, C1B=C1D,,,,O,A1OBD, C1OBD,,則A1OC1 就是二面角,A1-BD-C1 的平面角.,連結 A1C1.,,可算出 A1C1O 的邊A1C1, A1O, C1O.,以后學了余弦定理即可解得A1OC1.,,

28、E,也可作A1C1的高OE, 在直角三角形中求角.,例(補充). 如圖, 在四棱錐 P-ABCD 中, AB//DC, ABBC, PC平面ABCD, PC=CB=BA=2, DC=4, 求二面角P-AD-C 的正切值.,分析:,目標:,在平面 PAD 內找 AD 的垂線,,在平面 ABCD 內找 AD 的垂線.,憑直觀, 考查圖中已有的角,,找二面角P-AD-C 的平面角.,線, 點等.,PD, CDAD 否?,不垂直.,PA, BAAD 否?,BA與AD不垂直.,則考慮連結 AC,,,得ACD=45,,如果ACAD,,需CDA=45.,在底面梯形中可求得CDA=45.,例(補充). 如圖,

29、 在四棱錐 P-ABCD 中, AB//DC, ABBC, PC平面ABCD, PC=CB=BA=2, DC=4, 求二面角P-AD-C 的正切值.,解:,PC=CB=BA=2, DC=4,,ABCE 是正方形.,E,取 DC 的中點 E, 連結 AE, AC.,得 AEDC, AE=DE,,ADAC.,PC平面ABCD,,,則 ADE=45.,PCAD.,,ABBC,,又ACD=45,,則 AD平面 PAC,,得 ADPA.,則PAC為二面角,P-AD-C 的平面角.,在底面求得 AC=,tanPAC=,,練習(補充),2. 30 的二面角的一個半平面內有一點 P, 這點到棱的距離為 h,

30、求點 P 到另一個半平面的距離.,1. 在正方體ABCD-ABCD中, 求二面角 A-BC-B的正切值.,,G,解:,連接 BC交 BC 于 G,,連結AG,,ABBC,,則 BGBC.,得 BCAG.,BC平面ABG.,,AGB 為二面角 A-BC-B 的平面角.,在RtABG中,,則 BG =,設 AB=1,,2. 30 的二面角的一個半平面內有一點 P, 這點到棱的距離為 h, 求點 P 到另一個半平面的距離.,解:,PQl 于Q,,作 POb, Ob,,連結 OQ.,則 PQO=30.,PQO是二面角的平面角.,在RtPOQ中,,PO=,則 PQl.,O,如圖,,二面角a-l-b 是3

31、0.,Pa,,PQ=h., l平面 POQ,,即點 P 到 b 的距離是,則 lOQ.,【課時小結】,1. 二面角,從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角. 這條直線叫做二面角的棱, 這兩個半平面叫做二面角的面.,【課時小結】,2. 二面角的平面角,以二面角的棱上任意一點為端點, 在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線, 這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.,二面角的大小由它的平面角確定.,AOB 是二面角 a-l-b 的平面角.,【課時小結】,3. 求二面角的大小,(1) 找到二面角的兩個半平面與棱.,(2) 找二面角的平面角.,在兩個半平面內找垂直于棱的直線, 垂足為棱上同一點

32、.,常用到線線垂直與線面垂直轉換.,(3) 通常在直角三角形中求平面角的大小.,習題 2.3,A 組,第 4、7 題.,4. 如圖, 三棱錐 V-ABC中, VA=VB=AC=BC=2, AB= VC=1, 試畫出二面角 V-AB-C 的平面角, 并求它的度數(shù).,解:,取AB的中點D,,連接 VD, CD,,,,,D,而 VA=VB=AC=BC=2,,VDAB, CDAB,,則VDC就是二面角V-AB-C的平面角.,而,則由勾股定理求得 VD=CD=1,,又 VC=1,,VCD是等邊三角形, VDC=60,,即二面角 V-AB-C 的大小為60.,7. 如圖, 正方體ABCD-ABCD中平

33、面ABCD與正方體的其他各個面所成二面角的大小分別是多少?,解:,與上底面所成二面角,的平面角是,BCB,=45.,與下底面所成二面角的,平面角是,CB C,=45.,與前面所成二面角的,平面角是,BBC,=45.,與后面所成二面角的,平面角是,BCC,=45.,平面AC過左、右面的垂線AB,,所以與左、右面成90的二面角.,2.3.2,平面與平面垂直的判定,第二課時,返回目錄,1. 平面與平面垂直是怎樣定義的?,2. 兩平面垂直的判定定理的內容是什么? 證明兩平面垂直需要哪些條件?,平面角是直角的二面角叫做直二面角.,問題3. 觀察教室中的物體, 哪些二面角是直二面角?,【3】兩個平面垂直的

34、定義,一般地, 兩個平面相交, 如果它們所成的二面角是直二面角, 就說這兩個平面互相垂直.,,,,平面 a 與平面 b 垂直, 記作: ab.,畫兩個平面垂直, 一般應把直立平面的豎邊畫成和水平平面的橫邊垂直.,,,,,,a,a,問題3. 請同學們用一支鉛筆垂直于你坐的桌面,再用書面或硬紙板緊靠鉛筆, 請問: 書面與桌面構成直二面角嗎? 書面與桌面是否垂直?,兩個平面垂直的判定定理:,一個平面過另一個平面的垂線, 則這兩個平面垂直.,符號表示:,la,,l b,,, ba.,【4】兩個平面垂直的判定,,例3. 如圖, AB是O的直徑, PA垂直于O所在的平面, C 是圓周上不同于 A, B 的

35、任意一點. 求證:平面 PAC平面 PBC.,解:,AB是O的直徑,,又C是O上的點,, ACBC,,又 PA圓面,,BC圓面,, PA BC,,得 BC平面PAC,,而 BC平面PBC,,,平面PBC平面PAC.,探究題. 如圖, 已知AB平面BCD, BCCD,你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直, 為什么?,過AB的平面與底面垂直:,平面ABC平面BCD,,平面ABD平面BCD.,又 BCCD,,而由AB平面BCD得 CDAB,,,CD平面ABC,,過CD的平面垂直平面ABC:,平面ACD平面ABC,,平面BCD平面ABC (上面已有).,練習: (補充),證明:, ABC-A1B1C1是

36、直三棱柱,,BCCC1.,又ACB=90 BCAC,,, BC平面A1ACC1.,,平面 A1BC平面A1ACC1.,BC平面A1BC,,2. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中, E, F 分別是AB, A1A 的中點. 求證: 平面 BCF平面B1C1E.,證明:,E, F 分別是 AB,,A1A 的中點.,在正方形 ABB1A1中,, B1C1 平面BAA1B1,, B1C1BF.,由得 BF平面B1C1E,,,平面 BCF平面B1C1E.,BF 平面BAA1B1,,BF平面BCF,,B1EBF.,,,,【課時小結】,1. 兩平面垂直的定義,2. 兩平面垂直的判定定理,兩個平面相交成直

37、二面角時, 稱這兩個平面互相垂直.,一個平面過另一個平面的垂線, 則這兩個平面垂直.,習題 2.3,A 組,第 1、3、6 題.,B 組,第 1 題.,習題 2.3,A 組,1. 判斷下列命題是否正確, 正確的說明理由, 錯誤的舉例說明: (1) 平面 a平面 b, 平面 b平面 g 平面 a平面 g; (2) 平面 a //平面 a1, 平面 b //平面 b1, 平面 a平面 b 平面 a1平面 b1.,解:,(1) 錯, 如圖.,(2) 對.,ab,,a //a1,,,a1b;,b //b1,,,a1b1.,解:,平面 VBA 平面 VBC.,其理由:,由VAB=VAC= 90

38、得,VA平面ABC,,則 VABC,,又ABC=90, 即 ABBC,,BC平面VBA,,而 BC平面VBC,,平面 VBC 平面 VBA.,6. 求證: 如果共點的三條直線兩兩垂直, 那么它們中每兩條直線確定的平面也兩兩垂直.,,,,已知: PAPB, PAPC, PBPC.,求證: 平面PAB平面PBC, 平面PAB平面PAC, 平面PBC 平面PAC.,,,,P,A,B,C,證明:, PAPB, PAPC,, PA平面PBC.,而 PA平面PAB,,PA平面PAC,, 平面PAB平面PBC,,平面PAC平面PBC.,同理可證平面PAB平面PAC.,B 組,證明:,在正方體中,,底面 AB

39、CD 是正方形,,所以 ACBD.,又因為側棱垂直底面,,所以 AABD.,于是得 BD平面 AACC.,而 BD平面ABD,,平面 ABD平面 AACC.,2.3.3,2.3.4,返回目錄,1. 直線與平面垂直的性質定理是什么? 在什么條件下得到什么結論?,2. 兩平面垂直的性質定理是什么? 在什么條件下得到什么結論?,問題 1. 長方體的側棱是否都與底面垂直? 這些側棱是怎樣的位置關系? 請同時豎兩支垂直于桌面的鉛筆, 這兩支鉛筆又有怎樣的位置關系?,如圖, l1a， l2 a，垂足分別為A、B.,如果 l1 l2,,那么過垂足 A 可另作一直線 ml2,,于是 ma.,過 l1與 m 作

40、平面 ba = c,,則 l1c, mc.,那么在平面 b 內過一點 A 就有兩直線與 c 垂直,,顯然不可能, 即 l1 l2不能成立, 只有 l1//l2.,,m,,c,2.3.3 直線與平面垂直的性質,垂直于同一個平面的兩條直線平行.,由線面垂直得線線平行.,線面垂直的性質定理:,,符號表示:,l1a,,l2a,,, l1//l2.,例(補充). 已知一條直線 l 和一個平面 a 平行, 求證: 直線 l 上各點到平面 a 的距離 (到 a 的垂線段長)相等.,,,,a,l,A,B,b,證明:,過 l上任意兩點 A、B 作,AAa, BBa, 垂足為A、B,,則 AABB,,由AA、BB

41、確定平面, 設為b,,,得 ba =AB,, la,,l b,,, lAB,, AA=BB (兩平行線間的平行線段相等),,即 l 上任意兩點到平面 a 的距離相等.,問題2. 設直線 a, b 分別在正方體ABCD-ABCD中兩個不同的平面內, 欲使 a//b, a, b 應滿足什么條件?,分別滿足下面的條件都可以:,(1) a, b 同垂直于一個面.,,(2) a, b 同平行一條棱.,(3) 用一個平面截相對的兩個,面所得的交線即為 a, b.,b,b,,,,,a,a,,b,a,如圖,,練習: (課本71頁),第 1、2 題.,練習: (課本71頁),1. 判斷下列命題是否正確, 正確的

42、在括號內劃“”, 錯誤的劃 “”. (1) 垂直于同一條直線的兩個平面互相平行. ( ) (2) 垂直于同一個平面的兩條直線互相平行. ( ) (3) 一條直線在平面內, 另一條直線與這個平面垂直, 則這兩條直線互相垂直. ( ),,,,,2. 已知直線 a, b 和平面 a, 且 ab, aa, 則 b 與 a 的位置關系是 .,平行或在 a 內,b,b,a,a,分析:,借助長方體模型.,,,,//a,a,問題 1. 請同學們在一塊硬紙板 (或書面) 上畫一條垂直于某邊的直線 l, 再將硬紙板 (或書面) 與桌面垂直, 并使這邊在桌面內. 請問,

43、你畫的直線 l 與桌面是什么位置關系? 為什么?,,C,如圖,,在 a 內過點 D 作,CDAB,,則l DC是二面角 a-AB-b,的平面角.,ba,,平面角應是直角,,則得 lCD., la.,2.3.4 平面與平面垂直的性質,又 lAB,,,兩平面垂直的性質定理:,兩個平面垂直, 則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直.,符號表示:,ab,,ab = m,,lm,,l a,,, lb.,,問題 2. 如圖, ab, 點 Pa, PQb. 請問, PQ是否一定在 a 內? 你能說出理由嗎?,R,l,PQ一定在 a 內.,其理由:,設 ab =l,,過點 P 作 PRl, Rl,,,,

44、 ab,,, PRb,, 過一點有且只有一條直線和一個平面垂直,, PQ與PR重合為同一條直線,,即 PQ 必在 a 內.,例4. 已知平面 a, b , ab, 直線 a 滿足 ab, aa, 試判斷直線 a 與平面 a 的位置關系.,m,解:, ab,,設 ab =m,,在 a 內作 bm,, bb., ab,,, ab,,ba,,aa,,,aa.,,即直線 a 與平面 a 互相平行.,問題: (課本76頁探究),已知平面 a, b, 直線 a, 且 ab, ab = AB, a//a, aAB, 能判斷直線 a 與平面 b 的位置關系嗎?,,,解:,b,a//a,,g,過 a 作平面 g

45、a = b,,則 a//b.,而 aAB,,則 bAB,,而 ab, 交線是 AB,,bb,,則 ab.,兩平面垂直, 平行于一平面的直線垂直于另一平面.,練習: (課本73頁),第 1、2 題.,1. 下列命題中錯誤的是( ) (A) 如果平面 a平面 b, 那么平面 a 內所有直線都垂直于平面 b (B) 如果平面 a平面 b, 那么平面 a 內一定存在直線平行于平面 b (C) 如果平面 a 不垂直于平面 b, 那么平面 a 內一定不存在直線垂直于平面 b (D) 如果平面 a平面 g, 平面 b平面 g, ab = l, 那么lg,練習: (課本77頁),,,,,,(

46、D)選項的證明看 “習題2.3” 第 5 題.,A,2. 已知兩個平面垂直, 下列命題 一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線. 一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面內的無數(shù)條直線. 一個平面內的任一條直線必垂直于另一個平面. 過一個平面內任意一點作交線的垂線, 則此垂線必垂直于另一個平面. 其中正確的個數(shù)是 ( ) (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0,另一個平面內垂直于前一個平面的無數(shù)條直線.,B,,,,,,,【課時小結】,1. 直線與平面垂直的性質定理,垂直于同一個平面的兩條直線平行.,由線面垂直得線線平行.,能推得線線平行的有

47、:, 公理4., 線面平行的性質定理., 面面平行的性質定理., 線面垂直的性質定理.,【課時小結】,2. 平面與平面垂直的性質定理,兩個平面垂直, 則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直.,兩平面垂直, 平行于一平面的直線垂直于另一平面.,習題 2.3,A 組,第 2、5、8、9 題.,B 組,第 3 題.,習題 2.3,A 組,2. 已知平面 a, b, g, 且 ag, b //g, 求證 ab.,證明:,在 g 內作直線 am,,aa., ag,,過 a 作平面 db = b,, bg,, a//b,,b b,,, ba.,b,如圖, 設 a 與 g 的交線為 m,,m,而 aa

48、.,,ba.,5. 已知平面 a, b, g 滿足 ag, bg, ab = l. 求證 lg.,l,證明:,如圖,,設 ag =m, bg =n.,取 Pg, Pm, Pn,,m,n,P,,,,A,B,作 PAm, PBn., ag, bg,, PAa, PBb.,又 ab =l,, PAl, PBl.,PAg, PBg,,PAPB = P,,, lg.,,,,8. 如圖, m, n 是兩條相交直線, l1, l2 是與 m, n 都垂直的兩條直線, 且直線 l 與 l1, l2 都相交, 求證: 1=2.,證明:, l1m,,l1n,, mn=O,, m、n 確定的平面, 設為 a,, l

49、1a,,同理, l2a,, l1l2,,又直線 l 與 l1、l2 都相交,, 1=2.,9. 求證: 兩條平行線和同一個平面所成的角相等.,如果兩平行線中的一條垂直平面, 則另一條也垂直這個平面, 它們與平面所成的角都等于90.,證明:,如果兩平行線中的一條與平面所成的角是 0, 則另一條平行平面或在平面內,,即另一條與平面所成的角也是 0.,當兩平行線是平面的斜線時, 如圖,,E,已知: ABa=B, CDa=D, ABCD.,分別過AB、CD上的點,E、F 作 EMa, 垂足為M,,FNa, 垂足為N.,,,N,M,F,且得 EMFN,,又 ABCD,,,BEM=DFN,,于是在兩直角三

50、角形中可得EBM=FDN,,則MB、ND分別是EB、FD在,即兩平行線與平面 a 所成的角相等.,9. 求證: 兩條平行線和同一個平面所成的角相等.,證明:,求證: AB, CD 與 a 所成的角想等.,平面 a 內的射影.,,,B 組,3. 求證: 三個兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直.,已知, 如圖, ab, ag, bg, ab =AO, ag = BO, bg =CO.,求證: AOBO, AOCO, BOCO.,證明:,取點 Pg, PBO, PCO,,E,F,作 PEBO, PFCO,, ga, ga = BO,,gb, gb = CO,, PEa, PFb.,而 AOa, AOb,

51、, PEAO, PFAO,,則 AOg,,又 BOg, COg,,,P,,,,,AOBO, AOCO.,又 ba, ba = AO,,COb,,, COa,,BOa,,,COBO.,復習,提高,與,,返回目錄,1. 線面垂直的定義,定義可用于推證線線垂直.,如果直線 l 與平面 a 內的任意一條直線都垂直, 就說直線 l 與平面 a 互相垂直.,2. 線面垂直的判定,兩平行線中的一條垂直于一個平面, 另一條也垂直這個平面.,如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直, 那么這條直線垂直于這個平面.,過空間任意一點, 有且只有一條直線和已知平面垂直.,3. 三垂線定理,如果平面內的一條直線垂直

52、平面的斜線, 則這條直線垂直斜線在平面上的射影;,如果平面內的一條直線垂直平面的一條斜線在平面上的射影, 則這條直線垂直斜線.,4. 直線和平面所成的角,平面的斜線和斜線在平面上的射影的夾角.,要點:,(1) 由線面垂直找射影;,(2) 在三角形中計算.,特例:,(1) 線面垂直, 線面角為90.,(2) 線面平行或在其內, 線面角為0.,5. 直線與平面垂直的性質,垂直于同一個平面的兩條直線平行.,由線面垂直得線線平行.,6. 二面角,從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角. 這條直線叫做二面角的棱, 這兩個半平面叫做二面角的面.,7. 二面角的平面角,以二面角的棱上任意一點為端點

53、, 在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線, 這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.,二面角的大小由它的平面角確定.,AOB 是二面角 a-l-b 的平面角.,8. 兩平面垂直的定義與判定,定義:,判定:,兩個平面相交成直二面角時, 稱這兩個平面互相垂直.,一個平面過另一個平面的垂線, 則這兩個平面垂直.,9. 兩平面垂直的性質,兩個平面垂直, 則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直.,兩平面垂直, 平行于一平面的直線垂直于另一平面.,例題選講,返回目錄,例 1. 如圖, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分別是AB、PC的中點, 若PDA=45. 求證: MN平面PCD.,分

54、析:,需證MN垂直PCD三邊中的兩邊.,若 MN平面PCD,,注意 N 是 PC 的中點,,則 MN 必是 PC 的中垂線.,即考慮 MP=MC.,于是思考是否PAMCBM,,由此可得 MNPC.,又如此思考 MN 是否是 AB 的中垂線,,即 NA=NB 是否成立?,NA, NB分別是RtPAC和RtPBC斜邊PC的中線,,,,,,NA=NB 即可成立.,,例 1. 如圖, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分別是AB、PC的中點, 若PDA=45. 求證: MN平面PCD.,證明:,PA矩形ABCD, PDA=45,,連結 PM, CM,,PAD是等腰直角三角形.,則 PA=AD

55、=BC.,又 M 是 AB 的中點得 AM=BM,,得 RtPAMRtCBM,,MP=MC.,而 N 是 PC 的中點,, MNPC.,,,,,,,,,,,,由 PA矩形ABCD, 得PAC 是直角三角形.,由 CBAB, CBPA, 得PBC 是直角三角形.,則 AN, BN 是兩直角三角形斜邊 PC 的中線,,AN=BN,,得 MN 是 AB 的中垂線,, MNAB.,由 AB//DC, 得 MNDC.,,由得 MN平面 PCD.,例 1. 如圖, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分別是AB、PC的中點, 若PDA=45. 求證: MN平面PCD.,,其他思考:,,,,E,思考

56、一:,證 MNPC 同上.,要證 MNDC, 可作PCD,的中位線 NE.,證 DC平面 NEM, 即可證得 DCMN.,例 1. 如圖, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分別是AB、PC的中點, 若PDA=45. 求證: MN平面PCD.,其他思考:,F,思考二:,將 MN 平移到平面 PAD 內,,即取 PD 中點 F,,可證得 AF//MN.,只需證 AF平面 PCD, 即得 MN平面PCD.,,,,,,,,,,,,,P,A,B,C,D,M,N,,,例 1. 如圖, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分別是AB、PC的中點, 若PDA=45. 求證: MN平面PCD

57、.,其他思考:,思考三:,將原圖補形為長方體.,可證 MN//BC1, BC1平面PDCB1,,,,,,,,,,,B1,即得 MN平面 PCD.,側面B1BCC1是正方形.,,C1,平面PCD是其對角面.,例 2. 如圖, ABC 和DBC 是空間的兩個等邊三角形, E 是 BC 的中點. 點 A 在平面 DBC 內的射影是否在 DE 上? 為什么?,ABC 和DBC 是等邊三角形,,AEBC, DEBC,,E 是 BC 的中點.,其理由如下:,則 BC平面AED,,得平面DBC平面AED.,則 AF平面DBC .,點 A 在平面 DBC 內的射影在 DE 上.,答: 一定在 DE上.,平面D

58、BC平面AED=DE,,作AFDE, 垂足為F,,,,,(面面垂直的性質),(面面垂直的判定),,,,F,,,例 3. 如圖, 四棱錐ABCD 的各條棱長都等于 a, E 是 AD 的中點. (1) 求這個棱錐的高; (2) 求CE與平面BCD所成角的正弦.,解:,取 BC 的中點 F,,得 BCAF, BCDF,, BC平面AFD,,則平面BCD平面AFD.,,F,(1),,O,作 AODF, 垂足為O,,則 AO平面 BCD.,AO 是三棱錐 ABCD 的高.,,,RtAOBRtAOCRtAOD,,得 OB=OC=OD,,O是BCD的重心,,即棱錐的高為,,例 3. 如圖, 四棱錐

59、ABCD 的各條棱長都等于 a, E 是 AD 的中點. (1) 求這個棱錐的高; (2) 求CE與平面BCD所成角的正弦.,解:,作 EHDF, 垂足為 H,,則 EH平面BCD,, CH 是 CE 在平面 BCD 上的射影,,ECH 即為所求的線面角.,,F,H,,(2),,O,,,,例 4. 如圖, 四棱錐 S-ABCD 的底面是邊長為 1 的正方形, SD 垂直于底面 ABCD, SB= 求面SAD與面 SBC 所成二面角的大小.,分析:,,,,,,,,,要找二面角的平面角,,需找到構成二面角的棱.,由 SD正方形 ABCD 面,,可聯(lián)想一個幾何體,長方體.,于是補形如圖.,

60、A,B,C,則所求二面角的棱即是AS.,AAB 即是它的一個平面角.,例 4. 如圖, 四棱錐 S-ABCD 的底面是邊長為 1 的正方形, SD 垂直于底面 ABCD, SB= 求面SAD與面 SBC 所成二面角的大小.,解:,ABCD 是正方形,,SD底面ABCD.,則可補形為如圖的長方體,,SAAA, SAAB,,AAB 就是平面 SAD 與,平面 SBC 所成二面角的平面角.,正方形 ABCD 的邊長為 1,,在 RtSDB 中求得 SD=1.,則所構成的幾何體是正方體.,AAB =45,,即所求二面角的大小為45.,返回目錄,(共8題),練,習,題,1. 給出下列命題: 垂直于同

61、一直線的兩平面平行. 垂直于同一平面的兩平面平行. 垂直于同一平面的兩直線平行. 垂直于同一直線的兩直線平行. 其中正確命題的序號有 .,,,,,,,的反例,的反例,,,2. 已知直線 m, n 和平面a, b 滿足 mn, ma, ab, 則 ( ) (A) n b (B) n//b, 或 nb (C) na (D) n//a, 或 na,,n,情形 1,,D,排除 A, C.,情形 2,,排除 B.,,,,,,,,3. 如圖, AB 是 O 的直徑, C 是圓上一點, 空間直線 PCBC. 求證: BC平面 PAC.,證明:,AB 是 O 的直徑,,C 是

62、圓上一點,, BCAC,, BC平面 PAC.,BCPC,,PCAC=C,,,證明:,SA=AB, E 是 SB 的中點,,AESB,,SA正方形 ABCD 所在平面,, BCSA, BCAB,,得 BC平面 SAB,,BCAE,,,,由得AE平面SBC,,AESC.,同理可證AFSC.,SC平面 AEF.,5. 如圖, 在正方體 ABCD-A1B1C1D1中, 求證: 對角線 B1D平面 A1C1B.,證明:,在正方體中,,得 DD1 A1C1.,連結 B1D1, 得 A1C1 B1D1,,于是 A1C1平面B1D1D,,同理, 連結 B1C,,從而得 BC1B1D.,B1D平面A1C1B.

63、,,, A1C1B1D.,DD1平面 A1B1C1D1,,可得 BC1平面B1CD,,,,6. 如圖, 在正方體 ABCD-A1B1C1D1 中, E、F分別是 AB、BB1 的中點, 求證: 平面 ADF 平面A1ED1.,證明:,在正方形A1ABB1中,,A1AEABF.,得AA1E=BAF,,又A1AF=AFB,,則A1GA=90.,G,設 AFA1E=G,,A1EAF.,又 DA平面 A1ABB1,,A1EDA.,A1E平面ADF,,則平面A1ED1平面ADF.,AA1E+A1AF=BAF+AFB=90.,,G,解:,,7. 如圖, 在長方體 ABCD-ABCD 中, AB= BB=B

64、C=2, 求二面角 A-BC-B 的大小.,連接 BC, 交BC于G,,則在正方形 BBCC中, BCBC.,又由 AB平面 BBCC 得,ABBC.,BC平面ABG,,得 BCAG.,則AGB 為二面角 A-BC-B 的平面角.,由 BB=BC=2, 得,ABG 是等腰直角三角形,,AGB=45,,即二面角 A-BC-B 的大小為45.,(1),證明:,PA底面ABCD,, BDPA.,底面 ABCD 為菱形,, BDAC.,則 BD平面 PAC,,BDPC.,連結 EO,,PA=2, PE=2EC,,則得,COECPA,,,于是得,則CEO=CAP=90,,PCOE,,則在 RtPAC中可得,,,,由得,PC平面BED.,(2),解:,二面角 A-PB-C 為90,, 平面PAB平面PBC.,作 AGPB 于 G,,則 AG平面PBC,, BCAG.,又 BCPA,, BC平面PAB,,AD//平面PBC,,,得DPH=30., BCAB,,,G,得ABCD是正方形.,則得 AB=2,,,,,H,作 DH平面PBC于H.,又求得,即 PD 與平面 PBC,所成的角為30.,完,完,