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高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題講座 平面幾何基礎(chǔ)知識(shí)（基本定理、基本性質(zhì)） 1． 勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）（廣義勾股定理）(1)銳角對(duì)邊的平方，等于其他兩邊之平方和，減去這兩邊中的一邊和另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍．　(2)鈍角對(duì)邊的平方等于其他兩邊的平方和，加上這兩邊中的一邊與另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍． 2． 射影定理（歐幾里得定理） 3． 中線定理（巴布斯定理）設(shè)△ABC的邊BC的中點(diǎn)為P，則有； 中線長(zhǎng)：． 4． 垂線定理：． 高線長(zhǎng)：． 5． 角平分線定理：三角形一個(gè)角的平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例． 如△ABC中，AD平分∠BAC，則；（外角平分線定理）． 角平分線長(zhǎng)：（其中為周長(zhǎng)一半）． 6． 正弦定理：，（其中為三角形外接圓半徑）． 7． 余弦定理：． 8． 張角定理：． 9． 斯特瓦爾特(Stewart)定理：設(shè)已知△ABC及其底邊上B、C兩點(diǎn)間的一點(diǎn)D，則有AB2·DC+AC2·BD－AD2·BC＝BC·DC·BD． 10． 圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角相等，等于圓心角的一半．（圓外角如何轉(zhuǎn)化？） 11． 弦切角定理：弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角． 12． 圓冪定理：（相交弦定理：垂徑定理：切割線定理（割線定理）：切線長(zhǎng)定理：） 13． 布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC⊥BD，自對(duì)角線的交點(diǎn)P向一邊作垂線，其延長(zhǎng)線必平分對(duì)邊． 14． 點(diǎn)到圓的冪：設(shè)P為⊙O所在平面上任意一點(diǎn)，PO=d，⊙O的半徑為r，則d2－r2就是點(diǎn)P對(duì)于⊙O的冪．過(guò)P任作一直線與⊙O交于點(diǎn)A、B，則PA·PB= |d2－r2|．“到兩圓等冪的點(diǎn)的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線，如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個(gè)結(jié)論．這條直線稱為兩圓的“根軸”．三個(gè)圓兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)稱為三圓的“根心”．三個(gè)圓的根心對(duì)于三個(gè)圓等冪．當(dāng)三個(gè)圓兩兩相交時(shí)，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點(diǎn)． 15． 托勒密（Ptolemy）定理：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線之積等于兩組對(duì)邊乘積之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命題成立) ．（廣義托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD． 16． 蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中點(diǎn)，弦CD、EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，CF、DE交AB于P、Q，求證：MP=QM． 17． 費(fèi)馬點(diǎn)：定理1等邊三角形外接圓上一點(diǎn)，到該三角形較近兩頂點(diǎn)距離之和等于到另一頂點(diǎn)的距離；不在等邊三角形外接圓上的點(diǎn)，到該三角形兩頂點(diǎn)距離之和大于到另一點(diǎn)的距離．定理2 三角形每一內(nèi)角都小于120°時(shí)，在三角形內(nèi)必存在一點(diǎn)，它對(duì)三條邊所張的角都是120°，該點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離和達(dá)到最小，稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”，當(dāng)三角形有一內(nèi)角不小于120°時(shí)，此角的頂點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)． 18． 拿破侖三角形：在任意△ABC的外側(cè)，分別作等邊△ABD、△BCE、△CAF，則AE、AB、CD三線共點(diǎn)，并且AE＝BF＝CD，這個(gè)命題稱為拿破侖定理． 以△ABC的三條邊分別向外作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙C1 、⊙A1 、⊙B1的圓心構(gòu)成的△——外拿破侖的三角形，⊙C1 、⊙A1 、⊙B1三圓共點(diǎn)，外拿破侖三角形是一個(gè)等邊三角形；△ABC的三條邊分別向△ABC的內(nèi)側(cè)作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙C2 、⊙A2 、⊙B2的圓心構(gòu)成的△——內(nèi)拿破侖三角形，⊙C2 、⊙A2 、⊙B2三圓共點(diǎn)，內(nèi)拿破侖三角形也是一個(gè)等邊三角形．這兩個(gè)拿破侖三角形還具有相同的中心． 19． 九點(diǎn)圓（Nine point round或歐拉圓或費(fèi)爾巴赫?qǐng)A）：三角形中，三邊中心、從各頂點(diǎn)向其對(duì)邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，這九個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，九點(diǎn)圓具有許多有趣的性質(zhì),例如: （1）三角形的九點(diǎn)圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半; （2）九點(diǎn)圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點(diǎn); （3）三角形的九點(diǎn)圓與三角形的內(nèi)切圓,三個(gè)旁切圓均相切〔費(fèi)爾巴哈定理〕． 20． 歐拉（Euler）線：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上． 21． 歐拉（Euler）公式：設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R2－2Rr． 22． 銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和． 23． 重心：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，并且各中線被這個(gè)點(diǎn)分成2：1的兩部分； 重心性質(zhì)：（1）設(shè)G為△ABC的重心，連結(jié)AG并延長(zhǎng)交BC于D，則D為BC的中點(diǎn)，則； （2）設(shè)G為△ABC的重心，則； （3）設(shè)G為△ABC的重心，過(guò)G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，過(guò)G作PF∥AC交AB于P，交BC于F，過(guò)G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，則； （4）設(shè)G為△ABC的重心，則 ①； ②； ③（P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)）； ④到三角形三頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)是重心，即最??； ⑤三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)是重心；反之亦然（即滿足上述條件之一，則G為△ABC的重心）． 24． 垂心：三角形的三條高線的交點(diǎn)； 垂心性質(zhì)：（1）三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2倍； （2）垂心H關(guān)于△ABC的三邊的對(duì)稱點(diǎn)，均在△ABC的外接圓上； （3）△ABC的垂心為H，則△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓； （4）設(shè)O，H分別為△ABC的外心和垂心，則． 25． 內(nèi)心：三角形的三條角分線的交點(diǎn)—內(nèi)接圓圓心，即內(nèi)心到三角形各邊距離相等； 內(nèi)心性質(zhì)：（1）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，則I到△ABC三邊的距離相等，反之亦然； （2）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，則； （3）三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點(diǎn)到另兩頂點(diǎn)的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若平分線交△ABC外接圓于點(diǎn)K，I為線段AK上的點(diǎn)且滿足KI=KB，則I為△ABC的內(nèi)心； （4）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心， 平分線交BC于D，交△ABC外接圓于點(diǎn)K，則； （5）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，I在上的射影分別為，內(nèi)切圓半徑為，令，則①；②；③． 26． 外心：三角形的三條中垂線的交點(diǎn)——外接圓圓心，即外心到三角形各頂點(diǎn)距離相等； 外心性質(zhì)：（1）外心到三角形各頂點(diǎn)距離相等； （2）設(shè)O為△ABC的外心，則或； （3）；（4）銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和． 27． 旁心：一內(nèi)角平分線與兩外角平分線交點(diǎn)——旁切圓圓心；設(shè)△ABC的三邊令，分別與外側(cè)相切的旁切圓圓心記為，其半徑分別記為． 旁心性質(zhì)：（1）（對(duì)于頂角B，C也有類似的式子）； （2）； （3）設(shè)的連線交△ABC的外接圓于D，則（對(duì)于有同樣的結(jié)論）； （4）△ABC是△IAIBIC的垂足三角形，且△IAIBIC的外接圓半徑等于△ABC的直徑為2R． 28． 三角形面積公式： ，其中表示邊上的高，為外接圓半徑，為內(nèi)切圓半徑，． 29． 三角形中內(nèi)切圓，旁切圓和外接圓半徑的相互關(guān)系： 30． 梅涅勞斯（Menelaus）定理：設(shè)△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線和一條不經(jīng)過(guò)它們?nèi)我豁旤c(diǎn)的直線的交點(diǎn)分別為P、Q、R則有 ．（逆定理也成立） 31． 梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理1：設(shè)△ABC的∠A的外角平分線交邊CA于Q，∠C的平分線交邊AB于R，∠B的平分線交邊CA于Q，則P、Q、R三點(diǎn)共線． 32． 梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理2：過(guò)任意△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P、Q、R，則P、Q、R三點(diǎn)共線． 33． 塞瓦(Ceva)定理：設(shè)X、Y、Z分別為△ABC的邊BC、CA、AB上的一點(diǎn)，則AX、BY、CZ所在直線交于一點(diǎn)的充要條件是··=1． 34． 塞瓦定理的應(yīng)用定理：設(shè)平行于△ABC的邊BC的直線與兩邊AB、AC的交點(diǎn)分別是D、E，又設(shè)BE和CD交于S，則AS一定過(guò)邊BC的中點(diǎn)M． 35． 塞瓦定理的逆定理：（略） 36． 塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理1：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，三角形的三條高線交于一點(diǎn)，三角形的三條角分線交于一點(diǎn)． 37． 塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理2：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)R、S、T，則AR、BS、CT交于一點(diǎn)．　 38． 西摩松（Simson）定理：從△ABC的外接圓上任意一點(diǎn)P向三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線作垂線，設(shè)其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，（這條直線叫西摩松線Simson line）． 39． 西摩松定理的逆定理：（略） 40． 關(guān)于西摩松線的定理1：△ABC的外接圓的兩個(gè)端點(diǎn)P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點(diǎn)在九點(diǎn)圓上． 41． 關(guān)于西摩松線的定理2（安寧定理）：在一個(gè)圓周上有4點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，再作其余一點(diǎn)的關(guān)于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點(diǎn)． 42． 史坦納定理：設(shè)△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點(diǎn)P，這時(shí)關(guān)于△ABC的點(diǎn)P的西摩松線通過(guò)線段PH的中心． 43． 史坦納定理的應(yīng)用定理：△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)和△ABC的垂心H同在一條（與西摩松線平行的）直線上．這條直線被叫做點(diǎn)P關(guān)于△ABC的鏡象線． 44． 牛頓定理1：四邊形兩條對(duì)邊的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)和兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，三點(diǎn)共線．這條直線叫做這個(gè)四邊形的牛頓線． 45． 牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線． 46． 笛沙格定理1：平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長(zhǎng)線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線． 47． 笛沙格定理2：相異平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長(zhǎng)線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線． 48． 波朗杰、騰下定理：設(shè)△ABC的外接圓上的三點(diǎn)為P、Q、R，則P、Q、R關(guān)于△ABC交于一點(diǎn)的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2) ． 49． 波朗杰、騰下定理推論1：設(shè)P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點(diǎn)，若P、Q、R關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)，則A、B、C三點(diǎn)關(guān)于△PQR的的西摩松線交于與前相同的一點(diǎn)． 50． 波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點(diǎn)是A、B、C、P、Q、R六點(diǎn)任取三點(diǎn)所作的三角形的垂心和其余三點(diǎn)所作的三角形的垂心的連線段的中點(diǎn)． 51． 波朗杰、騰下定理推論3：考查△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于△ABC的西摩松線，如設(shè)QR為垂直于這條西摩松線該外接圓的弦，則三點(diǎn)P、Q、R的關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)． 52． 波朗杰、騰下定理推論4：從△ABC的頂點(diǎn)向邊BC、CA、AB引垂線，設(shè)垂足分別是D、E、F，且設(shè)邊BC、CA、AB的中點(diǎn)分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點(diǎn)在同一個(gè)圓上，這時(shí)L、M、N點(diǎn)關(guān)于關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)． 53． 卡諾定理：通過(guò)△ABC的外接圓的一點(diǎn)P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線． 54． 奧倍爾定理：通過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)引互相平行的三條直線，設(shè)它們與△ABC的外接圓的交點(diǎn)分別是L、M、N，在△ABC的外接圓上取一點(diǎn)P，則PL、PM、PN與△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線． 55． 清宮定理：設(shè)P、Q為△ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點(diǎn)，P點(diǎn)的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、W，這時(shí)，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線． 56． 他拿定理：設(shè)P、Q為關(guān)于△ABC的外接圓的一對(duì)反點(diǎn)，點(diǎn)P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、W，這時(shí)，如果QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線．（反點(diǎn)：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長(zhǎng)線的兩點(diǎn)，如果OC2=OQ×OP 則稱P、Q兩點(diǎn)關(guān)于圓O互為反點(diǎn)） 57． 朗古來(lái)定理：在同一圓周上有A1、B1、C1、D1四點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，在圓周取一點(diǎn)P，作P點(diǎn)的關(guān)于這4個(gè)三角形的西摩松線，再?gòu)腜向這4條西摩松線引垂線，則四個(gè)垂足在同一條直線上． 58． 從三角形各邊的中點(diǎn)，向這條邊所對(duì)的頂點(diǎn)處的外接圓的切線引垂線，這些垂線交于該三角形的九點(diǎn)圓的圓心． 59． 一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n－1個(gè)點(diǎn)的重心，向該圓周的在其余一點(diǎn)處的切線所引的垂線都交于一點(diǎn)． 60． 康托爾定理1：一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n－2個(gè)點(diǎn)的重心向余下兩點(diǎn)的連線所引的垂線共點(diǎn)． 61． 康托爾定理2：一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N兩點(diǎn)，則M和N點(diǎn)關(guān)于四個(gè)三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個(gè)的兩條西摩松線的交點(diǎn)在同一直線上．這條直線叫做M、N兩點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線． 62． 康托爾定理3：一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線交于一點(diǎn)．這個(gè)點(diǎn)叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點(diǎn)． 63． 康托爾定理4：一個(gè)圓周上有A、B、C、D、E五點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個(gè)康托爾點(diǎn)在一條直線上．這條直線叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線． 64． 費(fèi)爾巴赫定理：三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切． 65． 莫利定理：將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形．這個(gè)三角形常被稱作莫利正三角形． 66． 布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對(duì)的頂點(diǎn)A和D、B和E、C和F，則這三線共點(diǎn)． 67． 帕斯卡（Paskal）定理：圓內(nèi)接六邊形ABCDEF相對(duì)的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或延長(zhǎng)線的）交點(diǎn)共線． 68． 阿波羅尼斯（Apollonius）定理：到兩定點(diǎn)A、B的距離之比為定比m：n（值不為1）的點(diǎn)P，位于將線段AB分成m：n的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D為直徑兩端點(diǎn)的定圓周上．這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓． 69． 庫(kù)立奇*大上定理：（圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓）圓周上有四點(diǎn)，過(guò)其中任三點(diǎn)作三角形，這四個(gè)三角形的九點(diǎn)圓圓心都在同一圓周上，我們把過(guò)這四個(gè)九點(diǎn)圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓． 70． 密格爾（Miquel）點(diǎn)： 若AE、AF、ED、FB四條直線相交于A、B、C、D、E、F六點(diǎn)，構(gòu)成四個(gè)三角形，它們是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，則這四個(gè)三角形的外接圓共點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為密格爾點(diǎn)． 71． 葛爾剛（Gergonne）點(diǎn)：△ABC的內(nèi)切圓分別切邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F，則AE、BF、CD三線共點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為葛爾剛點(diǎn)． 72． 歐拉關(guān)于垂足三角形的面積公式：O是三角形的外心，M是三角形中的任意一點(diǎn)，過(guò)M向三邊作垂線，三個(gè)垂足形成的三角形的面積，其公式： ． 平面幾何的意義 就個(gè)人經(jīng)驗(yàn)而言，我相信人的智力懵懂的大門獲得開悟往往緣于一些不經(jīng)意的偶然事件． 羅素說(shuō)過(guò)：“一個(gè)人越是研究幾何學(xué)，就越能看出它們是多么值得贊賞．”我想羅素之所以這么說(shuō)，是因?yàn)槠矫鎺缀卧?jīng)救了他一命的緣故． 天知道是什么緣故，這個(gè)養(yǎng)尊處優(yōu)的貴族子弟鬼迷心竅，想要自殺來(lái)結(jié)束自己那份下層社會(huì)人家的孩子巴望一輩子都?jí)虿坏降男腋Ｉ睿谏系趸蛘吣ú弊又?，頭戴假發(fā)的小子想到做最后一件事情，那就是了解一下平面幾何到底有多大迷人的魅力．而這個(gè)魅力是之前他的哥哥向他吹噓的．估計(jì)他的哥哥將平面幾何與人生的意義攪和在一起向他做了推介，不然萬(wàn)念俱灰的的頭腦怎么會(huì)在離開之前想到去做最后的光顧？而羅素真的一下被迷住了，厭世的念頭因?yàn)槌龄嫌谄矫鎺缀味坏?，最后竟被遺忘了． 羅素畢竟是羅素．平面幾何對(duì)于我的意義只是發(fā)掘了一個(gè)成績(jī)本來(lái)不錯(cuò)的中學(xué)生的潛力，為我解開了智力上的扭結(jié)；而在羅素那里，這門知識(shí)從一開始就使這個(gè)未來(lái)的偉大的懷疑論者顯露了執(zhí)拗的本性．他反對(duì)不加考察就接受平面幾何的公理，在與哥哥的反復(fù)爭(zhēng)論之后，只是他的哥哥使他確信不可能用其他的方法一步步由這樣的公理來(lái)構(gòu)建龐大的平面幾何的體系的以后，他才同意接受這些公理． 公元前334年，年輕的亞歷山大從馬其頓麾師東進(jìn)，短短的時(shí)間就建立了一個(gè)從尼羅河到印度河的龐大帝國(guó)．隨著他的征服，希臘文明傳播到了東方，開始了一個(gè)新的文明時(shí)代即“希臘化時(shí)代”，這時(shí)希臘文明的中心也從希臘本土轉(zhuǎn)移到了東方，準(zhǔn)確地說(shuō)，是從雅典轉(zhuǎn)移到了埃及的亞歷山大城．正是在這個(gè)城市，誕生了“希臘化時(shí)代”最為杰出的科學(xué)成就，其中就包括歐幾里德的幾何學(xué)．因?yàn)樗某删停矫鎺缀我脖唤凶鳌皻W氏幾何”． “歐氏幾何”以它無(wú)與倫比的完美體系一直被視為演繹知識(shí)的典范，哲學(xué)史家更愿意把它看作是古代希臘文化的結(jié)晶．它由人類理性不可辯駁的幾個(gè)極其簡(jiǎn)單的“自明性公理”出發(fā)，通過(guò)嚴(yán)密的邏輯推理，演繹出一連串的定理，這些在結(jié)構(gòu)上緊密依存的定理和作為基礎(chǔ)的幾個(gè)公理一起構(gòu)筑了一個(gè)龐大的知識(shí)體系．世間事物的簡(jiǎn)潔之美無(wú)出其右． ★費(fèi)馬點(diǎn)：法國(guó)著名數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬曾提出關(guān)于三角形的一個(gè)有趣問(wèn)題：在三角形所在平面上，求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最?。藗兎Q這個(gè)點(diǎn)為“費(fèi)馬點(diǎn)”．這是一個(gè)歷史名題，近幾年仍有不少文獻(xiàn)對(duì)此介紹． ★拿破侖三角形：讀了這個(gè)題目，你一定覺得很奇怪．還有三角形用拿破侖這個(gè)名子來(lái)命名的呢！拿破侖與我們的幾何圖形三角形有什么關(guān)系？ 少年朋友知道拿破侖是法國(guó)著名的軍事家、政治家、大革命的領(lǐng)導(dǎo)者、法蘭西共和國(guó)的締造者，但對(duì)他任過(guò)炮兵軍官，對(duì)與射擊、測(cè)量有關(guān)的幾何等知識(shí)素有研究，卻知道得就不多了吧！ 史料記載，拿破侖攻占意大利之后，把意大利圖書館中有價(jià)值的文獻(xiàn)，包括歐幾里德的名著《幾何原本》都送回了巴黎，他還對(duì)法國(guó)數(shù)學(xué)家提出了“如何用圓規(guī)將圓周四等分”的問(wèn)題，被法國(guó)數(shù)學(xué)家曼徹羅尼所解決．據(jù)說(shuō)拿破侖在統(tǒng)治法國(guó)之前，曾與法國(guó)大數(shù)學(xué)家拉格朗日及拉普拉斯一起討論過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題．拿破侖在數(shù)學(xué)上的真知灼見竟使他們驚服，以至于他們向拿破侖提出了這樣一個(gè)要求：“將軍，我們最后有個(gè)請(qǐng)求，你來(lái)給大家上一次幾何課吧！” 你大概不會(huì)想到拿破侖還是這樣一位有相當(dāng)造詣的數(shù)學(xué)愛好者吧！不少幾何史上有名的題目還和拿破侖有著關(guān)聯(lián)，他曾經(jīng)研究過(guò)的三角形稱為“拿破侖三角形”，而且還是一個(gè)很有趣的三角形． 在任意△ABC的外側(cè)，分別作等邊△ABD、△BCE、△CAF，則AE、AB、CD三線共點(diǎn)，并且AE＝BF＝CD，如下圖．這個(gè)命題稱為拿破侖定理． 以△ABC的三條邊分別向外作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙ 、⊙ 、⊙ 、的圓心構(gòu)成的△ ——外拿破侖的三角形．⊙ 、⊙ 、⊙ 三圓共點(diǎn)，外拿破侖三角形是一個(gè)等邊三角形，如下圖． △ABC的三條邊分別向△ABC的內(nèi)側(cè)作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙ 、⊙ 、⊙ 的圓心構(gòu)成的△ ——內(nèi)拿破侖三角形⊙ 、⊙ 、⊙ 三圓共點(diǎn)，內(nèi)拿破侖三角形也是一個(gè)等邊三角形．如下圖． 由于外拿破侖三角形和內(nèi)拿破侖三角形都是正三角形，這兩個(gè)三角形還具有相同的中心．少年朋友，你是否驚訝拿破侖是一位軍事家、政治家，同時(shí)還是一位受異書籍、熱愛知識(shí)的數(shù)學(xué)家呢？拿破侖定理、拿破侖三角形及其性質(zhì)是否更讓你非常驚訝、有趣呢？ ★歐拉圓：三角形三邊的中點(diǎn),三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)〔連結(jié)三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線段的中點(diǎn)〕九點(diǎn)共圓〔通常稱這個(gè)圓為九點(diǎn)圓〔nine－point circle〕,或歐拉圓,費(fèi)爾巴哈圓. 九點(diǎn)圓是幾何學(xué)史上的一個(gè)著名問(wèn)題,最早提出九點(diǎn)圓的是英國(guó)的培亞敏.俾幾〔Benjamin Beven〕,問(wèn)題發(fā)表在1804年的一本英國(guó)雜志上.第一個(gè)完全證明此定理的是法國(guó)數(shù)學(xué)家彭賽列〔1788－1867〕.也有說(shuō)是1820－1821年間由法國(guó)數(shù)學(xué)家熱而工〔1771－1859〕與彭賽列首先發(fā)表的.一位高中教師費(fèi)爾巴哈〔1800－1834〕也曾研究了九點(diǎn)圓,他的證明發(fā)表在1822年的《直邊三角形的一些特殊點(diǎn)的性質(zhì)》一文里,文中費(fèi)爾巴哈還獲得了九點(diǎn)圓的一些重要性質(zhì)〔如下列的性質(zhì)3〕,故有人稱九點(diǎn)圓為費(fèi)爾巴哈圓. 九點(diǎn)圓具有許多有趣的性質(zhì),例如: 1.三角形的九點(diǎn)圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半; 2.九點(diǎn)圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點(diǎn); 3.三角形的九點(diǎn)圓與三角形的內(nèi)切圓,三個(gè)旁切圓均相切〔費(fèi)爾巴哈定理〕. 第12頁(yè)