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1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第二章習題 1　考慮為期一年的一張保險單，若投保人在投保一年內(nèi)意外死亡，則公司賠付20萬元，若投保人因其它原因死亡，則公司賠付5萬元，若投保人在投保期末自下而上，則公司無需傳給任何費用。若投保人在一年內(nèi)因意外死亡的概率為0.0002，因其它原因死亡的概率為0.0010，求公司賠付金額的分崣上。 解　設(shè)賠付金額為X，則X是一個隨機變量，取值為20萬，5萬，0，其相應的概率為0.0002；0.0010；0.9988，于是得分布律為 X 20（萬） 5萬 0 0.0002 0.0010 0.9988 2.（1）一袋中裝有5只球，編號為1,2，3,4，5

2、。在袋中同時取3只，以X表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律 （2）將一顆骰子拋擲兩次，以X表示兩次中得到的小的點數(shù)，試求X的分布律。 解?。?）在袋中同時取3個球，最大的號碼是3,4，5。每次取3個球，其總?cè)》ǎ?，若最大號碼是3，則有取法只有取到球的編號為1,2，3這一種取法。因而其概率為　 若最大號碼為4，則號碼為有1,2，4；1，3,4； 2，3，4共3種取法， 　其概率為 若最大號碼為5，則1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6種取法 其概率為　 一般地　，其中為最大號碼是的取法種類數(shù)，則隨機變量X的分布律為 X

3、 3 4 5 （2）將一顆骰子拋擲兩次，以X表示兩次中得到的小的點數(shù)，則樣本點為 　　S＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36個基本事件， X的取值為1,2，3,4，5,6， 最小點數(shù)為1，的共有11種，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1）， ； 最小點數(shù)為2的共有9種，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3）， 　　?。? 最小點數(shù)為3的共有7種，； 最小點數(shù)為4的共有5種，； 最小點數(shù)為5的共有3種，； 最小點數(shù)為6的共有1種， 于是其分布律為 　　1　　　　2　

4、　　　　3　　　　　4　　　　5　　　　6 　　 　　　　 　　 　　　　 　　 3　設(shè)在15只同類型的產(chǎn)品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品的次數(shù)， （1）求X的分布律； （2）畫出分布律的圖形。 解　從15只產(chǎn)品中取3次每次任取1只，取到次品的次數(shù)為0，1，2。在不放回的情形下， 從15只產(chǎn)品中每次任取一只取3次，其總的取法為： ， 其概率為　　 若取到的次品數(shù)為0，即3次取到的都是正品，其取法為　 其概率為　　 若取到的次品數(shù)為1，即有1次取正品，2次取到次品，其取法為　 其概率為　　 若取到的次品數(shù)為2，，其概

5、率為　 。 于是其分布律為　 X 0 1 2 （2）分布律圖形略。 4　進行重復獨立試驗，設(shè)每次試驗成功的概率為，失敗的概率為（）， （1）將試驗進行到出現(xiàn)一次成功為止，以X表示所需要的試驗次數(shù)，求X的分布律。（此時稱X服從以為參數(shù)的幾何分布。）。 （2）將試驗進行到出現(xiàn)次成功為止，以Y表示所需要的試驗次數(shù)，求Y的分布律。（此時稱Y服從以，為參數(shù)的巴斯卡分布或負二項分布。） 解?。?）X的取值為，對每次試驗而言，其概率或為1，或為所以其分布律為 　 1 2 3 4 … n … …

6、… (2)Y的取值為，對每次試驗而言，其概率或為1，或為所以其分布律為 … … … … 5.一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的窗子飛往了房間，它只能從開著的窗子飛出去，鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機的。 （1）以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X的分布律。 （2）戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試不多于一次。以Y表示這只聰明鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如房主所說的是確實的，試求Y的

7、分布律。 （3）求試飛次數(shù)X小于Y的概率；求試飛次數(shù)Y小于X的概率。 解?。?）X服從的幾何分布，其分布律為 　1　　　　2　　 3　　 … … (2)Y所有可能的取值為1,2，3. 方法一　 　　　　 　　　　 方法二　由于鳥飛向扇窗是隨機的，鳥飛出指定窗子的嘗試次數(shù)也是等可能的，即 　　　 即Y的分布律為 　1　　　 2　　　 3　　 　 (3) 　　 　　　　　　　 　　　　　 　　　　　 6.一大樓裝有5個同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明在

8、任一時刻每個設(shè)備被使用的概率為0.1，問在同一時刻 （1）恰有2個設(shè)備被使用的概率是多少？ （2）至少有3個設(shè)備被使用的概率是多少？ （3）至多有3個設(shè)備被使用的概率是多少？ （4）至少有1個設(shè)備被使用的概率是多少？ 解　設(shè)對每個設(shè)備的觀察為一次試驗，則試驗次數(shù)為5且各次試驗相互獨立，于是 （1）恰有2個設(shè)力被使用，即： （2）至少有3個設(shè)備被使用，即： 　　　　　　　　　 （3）至多有3個設(shè)備被使用，即： 　　　　　　 （4）至少有一個設(shè)備被使用，即 7　設(shè)事件A在每次試驗中發(fā)生的概率為0.3，A發(fā)生不少于3次時指示燈發(fā)出信號， （1）進行5次重復獨立試

9、驗，求指示燈發(fā)出信號的概率； （2）進行7次重復獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率。 解　設(shè)A發(fā)生的次數(shù)為X，則，，設(shè)B“指示燈發(fā)出信號” 　?。?）　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 或　 同理可得?。?） 或　 8.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6，0.7，今各投3次，求（1）兩人投中的次數(shù)相等的概率；（2）甲比乙投中次數(shù)多的概率。 解　記甲投中的次數(shù)為X，乙投中的次數(shù)為Y，則，， 　　　　　 　　　　　 　　　　　 　　　　　 　　同理， 　　　　　 　　　　　 　　　　　 若記A為事件“兩人投中次數(shù)相等”，B為事件“甲比乙投中的次數(shù)多”，則

10、 　　 　　　　　 　　　　　 　又　 所以　 　　　　 　　　 　　　　 　　　　 9.有一大批產(chǎn)品，其驗收方案如下，先作第一次檢驗：從中任取10件，經(jīng)檢驗無次品，接受這批產(chǎn)品，次品大于2拒收；否則作第二次檢驗，其做法是從中再任取5件，僅當5件中無次品時接受這批產(chǎn)品。若產(chǎn)品的次品率為10%，求 （1）這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗就能接受的概率。 （2）需作第二次檢驗的概率。 （3）這批產(chǎn)品按第二次檢驗的標準被接受的概率。 （4）這批產(chǎn)品在第一次檢驗未能作決定且第二次檢驗時被通過的概率。 （5）這批產(chǎn)品被接受的概率 解　設(shè)X為“第一次檢驗出的次品

11、數(shù)”，Y為“第二次檢驗出的次品數(shù)”，則 ， （1）這批產(chǎn)品第一次檢驗后接收，即沒有發(fā)現(xiàn)次品，也就是X＝0，而 （2）需作第二次檢驗，即第一次檢驗發(fā)現(xiàn)次品數(shù)為1或2件： 　　　　　　　 （3）這批產(chǎn)品按第二次檢驗的標準接收，即在第二次取出的5件產(chǎn)品中沒有次品： （4）　這批產(chǎn)品在第一次檢驗未能作決定且第二次檢驗時被通過，即： ?。▋墒录嗷オ毩ⅲ? 　　　　　　　　　　　　 （5） 　　　　. 10.有甲、乙兩種味道和顏色都極為相似的名酒各4杯，如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗成功一次。 （1）某人隨機地去猜，問他試驗成功一次的概率是多少？ （2

12、）某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒，他連續(xù)試驗10次，成功3次，試推斷他是猜對的，還是他確有區(qū)分的能力（設(shè)各次試驗是相互獨立的） 解?。?）可看作是古典概型問題，總挑法數(shù)為，則成功一次的挑法為，于是試驗成功一次的概率的為. （2）設(shè)成功的次數(shù)為X，則 因為能成功3次的概率特別小，所以可以認為他確有區(qū)分的能力。 11　盡管在幾何教科書已經(jīng)講過僅用直尺和園規(guī)三等分任意角是還可能的，但是每一年總是有一些“發(fā)明者”撰寫關(guān)于僅用園規(guī)和直尺將角三等分的文章。設(shè)某地區(qū)每年撰寫此類文章的篇數(shù)X服從參數(shù)為6的泊松分布，求明年沒有此類文章的概率。 解　泊松分布　　 　　當時，明年沒有此類文章，即，于

13、是明年沒有此類文章的概率 12　一電話總機每分鐘收到的呼喚次數(shù)X服從參數(shù)為4的泊松分布。求 （1）某一分鐘恰有8次的概率。 （2）某一分鐘呼喚次數(shù)大于3的概率。 解?。?）當，時，某一分鐘恰有8次的概率 （2）當時，某一分鐘呼喚次數(shù)大于3的概率 　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 13.某一公安局在長度為的時間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為的泊松分布，而與時間間隔的起點無關(guān)（時間以小時計）。 （1）求某一天中午12時至下午3時沒有收到緊急呼救的概率； （2）求某一天中午2時至下午5時至少收到1次緊急的概率。 解　因為，所以

14、（1）某一天中午12時至下午3時，即，則，對應的泊松分布為 ，， 從而某一天中午12時至下午3時沒有收到緊急呼救的概率 　　　　 （2）求某一天中午2時至下午5時，即，，對應的泊松分布為 ，， 從而某一天中午2時至下午5時至少收到1次緊急的概率 （查表時），于是　 方法二　　. 14　某人家中在時間間隔（小時）內(nèi)接到電話的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布。 　（1）若他外出計劃用時10分鐘，問其間有電話鈴響一次的概率是多少？ ?。?）若他希望外出時沒有電話的概率至少為0.5，問他外出應控制最長的時間是多少？ 解?。?）若他外出計劃用時10分鐘，則， 　　其間有電話鈴響一次的概

15、率 　　　 （2）若他希望外出時沒有電話的概率至少為0.5，即，時 　　　，即　， 　　　　， 或 （min） 15　保險公司承保了5000張相同年齡，為期一年的保險單每人一份。在合同的有效期內(nèi)若投保人死亡，則需賠付3萬元。設(shè)在一年內(nèi)，該年齡段的死亡率為0.0015，且各投保人是否死亡是相互獨立。求保險公司對這批投保人的賠付總額不超過30萬元的概率（利用泊松定理計算。） 解　設(shè)在合同有效期內(nèi)死亡的投保人為隨機變量X，根據(jù)題設(shè)條件知死亡的投保人不超過10人，即，因此這可以看作是，的二項分布，其概率為　　　　 應用泊松定理，此時， 　　　　　?。ú楸淼茫?.8622。 1

16、6　有一繁忙的汽車站，每天有大量的汽車通過。設(shè)一輛汽車在一天的某段時間內(nèi)出事故的概率為0.0001，在某天的該時間段內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故的車輛數(shù)不小于2的概率是多少？（利用泊松定理計算） 解　設(shè)在該時間段內(nèi)出事故的汽車數(shù)為隨機變量X，則這可以看作是，的二項分布，其概率為 　　　　　 設(shè)，泊松定理，（查表：，） 　　　　＝0.0047。 17?。?）設(shè)X服從（0－1）分布，其分布律為（），求X的分布函數(shù)并作圖形。 　?。?）求第2題（1）中隨機變量的分布函數(shù)。 解?。?）　當時，； 當時，，則； 當　，，，則 　　　　　　　 即　　　?。▓D形略）。 （2）第2

17、題（1）“在袋中同時取3個球，最大的號碼是3,4，5X的分布律為 X 3 4 5 其分布函數(shù)為 18 在區(qū)間上任意投擲一個質(zhì)點，以X表示這個質(zhì)點的坐標。設(shè)這個質(zhì)點落在區(qū)間上上中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比例。試求X的分布函數(shù)。 解　當時，； 　　當時，，其中為常數(shù)， 特別地當時，質(zhì)點落在區(qū)間上上中任意小區(qū)間內(nèi)的概率為1，所以，即　，所以當時， ； 當時，，綜合得 　　。 19.以X表示某商店從早晨開始營業(yè)直到第一個顧客到達的等待時間（以分計），X的分布函數(shù)是 求下述概率： （1）p{至多3分鐘}；（2）p{至少4分鐘}；（3）p

18、{3分鐘至4分鐘}；（4）p{至多3分鐘或至少4分鐘}；（5）p{恰好2.5分鐘}。 解?。?） （2） （3） 　　 （4） 　　　 （5） 20　設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為 （1）求，，； （2）求概率密度。 解?。?）注意對連續(xù)型隨機變量而言，，其中是任意實數(shù)。 （2）因為，應用分段函數(shù)求導數(shù)的方法，得概率密度為 21　設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為 （1） （2） 求X的分布函數(shù)，并畫出（2）中和的圖形。 解?。?）當時，； 　　　　當時， ； 　　　同理，　當時， 所以　　 （2）同理可得　， 即　　　　　 22.（1）由統(tǒng)計物理

19、學知，分子運動的速度的絕對值X服從馬克斯韋爾（Maxwall）分布，其概率密度為 　　　　　　 其中，，為Boltzmann常數(shù)，T為絕對溫度，是分子的質(zhì)量。試確定常數(shù)A。 （2）研究了英格蘭在1875～1951年間，在礦山發(fā)生導致10人或10人以上死亡的事故的頻繁程度，得知相繼兩次事故之間的時間（以日計）服從指數(shù)分布，其概率密度為 　　 求分布函數(shù)，并求概率。 解?。?）由密度函數(shù)的性質(zhì) 有　 ?。ㄗ⒁猓海? 故　　　　　. （2）當時， 當時， . 故　　　　。 　　　　　　　　 或　　. 23　某種型號的器件的壽命X（以小時計）具有概

20、率密度 　　　　 現(xiàn)有一大批這種器件（設(shè)各器件損壞與否相互獨立），任取5只，問其中至少有2只的壽命大于1500小時的概率是多少？ 解?。á。┫惹筮@種器件的壽命大于1500小時的概率： 　　　　。 　?。áⅲ┣笕稳?只，至少有2件的壽命大于1500小時的概率 設(shè)Y＝“器件的壽命大于1500小時”，則。 　　。 24.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務的時間X（min）服從指數(shù)分布，其概率密度為 　　　　　 某顧客在窗口等待服務，若超過10分鐘，他就離開。他一個月要到銀行5次。以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律，并求。 解　(ⅰ)該顧客在窗口未等到服務

21、而離開的概率為 　　　　　　 　　　　　　　 (ⅱ)顧客未行到服務而離開銀行的次數(shù)的概率 由已知條件可知，，故 　　　　　， 　　　　　. 25　設(shè)K在區(qū)間（0,5）服從均勻分布，求的方程有實根的概率。 解　因為K的分布密度為 　　　　　　　 　　　而方程有實根，即其判別式 　　　　　　 即　，解得　或。 因為K在（0，5）內(nèi)服從均勻分布，所以只有在區(qū)間（0，5）內(nèi)，所以所給方程有實根的概率為 　　　。 26.設(shè)，求（1），，，；（2）確定使得。 解?。?） 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　

22、 　　　　　　　　 　　　　　　　　 . （2）因為，由得 　　　 即　　　　 所以　　　　。 　　　　　　　　　　　 27.某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮壓，以mm-Hg計）服從。在該地區(qū)任選一18歲的女青年，測量她的血壓X （1）求，； （2）確定最小的，使 解?。?） 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　 （2）要使，必須，即 ， 亦即　　　　　 故　　，或， 即最小的值為129.74。 28　由某機器生產(chǎn)的螺栓的長度（）cm服從參數(shù)，的正態(tài)分布。規(guī)定長度在10.05±0.12內(nèi)為合格品，求一為不合格品的概率。 解?。ǚ?/p>

23、法一）設(shè)的長度為X，則，一個螺栓不合格，即　或。其概率為　，而 　 　　　　　　 　　　　　　 所以　 （方法二） 設(shè)A＝“螺栓合格”，則 　 所以不合格的概率為　。 29　一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X（以小時計）服從參數(shù)為，的正態(tài)分布，若要求，允許最大為多少？ 解　 　　　　　　　　　　　 得　，查表知 所以，最大為。 30　設(shè)在一電路中，電阻兩端的電壓V服從，今獨立測量了5次，試確定有2次測量值落在區(qū)間［118，122］之外的概率。 解　（?。┣鬁y量值落在區(qū)間［118，122］之外的概率 設(shè)A＝“測量值X落在區(qū)間［118，122］之內(nèi)”則 　　　　 　

24、　　　　　　　　　　　 所以測量值落在區(qū)間［118，122］的概率為　 （2）求在5次獨立測量中有2次測量值區(qū)間［118，122］之外的概率 設(shè)測量值落在區(qū)間之外的次數(shù)為Y，則 故所求的概率為　 31　某人上班，自家中去辦公樓要經(jīng)過一交通指示燈。這一指示燈有80%的時間亮紅燈，此時他在指示燈旁等待直到綠燈亮，等待時間在區(qū)間［0，30］（秒）服從均勻分布。以表示他等待的時間，求的分布函數(shù)，畫出的圖形。并問是否為連續(xù)型隨機變量？是否為離散型隨機變量？（要說明理由）。 解?。?）求隨機變量的分布函數(shù) 若他到達交通指示燈旁時亮綠燈，則其等待時間； 若他到達交通指示燈旁時亮紅燈，

25、則等待時間 設(shè)＝“指示燈亮綠燈”，對于固定的，由全概率公式，有 　　 其中　，（即該人到達指示燈旁時亮綠燈，當然他可以過去，也即他等待的時間為0，在［0.30］秒）內(nèi)）； （等待時間在［0.30］內(nèi)均勻分布）。當時，，當時，（亮紅燈的時間為80%） 所以時， 　　當時 于是的分布函數(shù)的分布函數(shù)為 　　　 （ⅱ）（圖形略）?！? （ⅲ）說明隨機變量的 由于分布函數(shù)在處不連續(xù)，故隨機變量不是連續(xù)型隨機變量，又因為不存在一個可列的點集，使得在這個集上的取值的概率為1，故也不是離散型隨機變量。這樣的隨機變量稱為混合型隨機變量。 32　設(shè)，都是概率密度函數(shù)，求證 　　　，（） 也

26、是一個密度函數(shù)。 解　要證明一個函數(shù)是密度函數(shù)，主要是要驗證。 　　因為　，， 所以　 　　　　　 即　也是一個概率密度函數(shù)。 　　　　　 33　設(shè)隨機變量的分布律為 　　　 　?。?　　　?。?　　　　　0　　　　　1　　　　　　3 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 求的分布律。 解　的取值為0,1，4,9，故其分布律為 　　0　　　　1　　　　4　　　　　　9 　　　　　　　　　　　 34.設(shè)隨機變量X在（0,1）上服從均勻分布。（1）求的概率密度；（2）求的概率密度。 解　由題設(shè)知，X的概率密度為 　　　　　 （1） 　

27、　　　　　 由積分函數(shù)的求導法則，得　， 所以　　。 （2）由得，，由定理得的概率密度為 　　　　　 或　因為，知，即的取值必為非負，故當時，是不可能事件，所以 ， 當時， 　　 　　　　　 　　　　　 　　　　　 從而　　　　 故　　　　. 35　設(shè)，求 （1）的概率密度。 （2）求的概率密度。 （3）求的概率密度。 解?。?）因為　，所以不取負值，故當時， 又當時，由有 所以　　　 （2）因為　，即在［1，＋∞］內(nèi)取值。所以當時，； 當時，注意到， 　　 故當時，　 　　　　　　　　　　 或　 　　　　　 故當時， 　　

28、　　　　　　　 所以，。 （3）因為，所以當時，； 當時，由于，有 　　 　　　　　　 因此，當時時， 故的概率密度為 　　 36?。?）設(shè)隨機變量的概率密度為，，求的概率密度。 　?。?）設(shè)隨機變量的概率密度為 　　　　　　 　　　求的概率密度。 解　（1）由解得反函數(shù)，且， 由定理：代入得 　　　　　 （2）因為，所以當時，； 　　當時， 　　　　　　　　　　　 　　所以　　， 　　　故　　。 37.設(shè)隨機變量的概率密度為 　　　　 求的概率密度。 解　因為在上，，則當時，，當時， 　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 則概率密度為 　　　　. 38.設(shè)電流I是一個隨機變量，它均勻分布在9A～11A之間。若此電流通過2歐的電阻，在其上消耗的功率。求W的概率密度。 解　由題設(shè)知I的概率密度為 且的取值為162＜W＜242（因為，）。 其分布函數(shù)為　 故　　　 39　某物體的溫度是隨機變量，且有，已知，試求的概率密度。 解?。á。┣蟮姆植己瘮?shù) 　　　 　　　　　　　（注意：） 　　　　　　 所以 　　　　　， 即