《“曲線與方程”的教學(xué)實(shí)踐與反思 - 中學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)秀教案教學(xué)反思》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《“曲線與方程”的教學(xué)實(shí)踐與反思 - 中學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)秀教案教學(xué)反思（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、“曲線與方程〞的教學(xué)實(shí)踐與反思 - 中學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)秀教案教學(xué)反思 2021年10月17日~19日，在嘉興，那是思緒飛揚(yáng)與心情澎湃的日子．盡管西塘古鎮(zhèn)那通向久遠(yuǎn)的小巷故事伴著輕風(fēng)潛入記憶滋潤(rùn)著心靈，但腦海中卻總想著自己要送給孩子們什么？是“曲線的方程〞？還是“方程的曲線〞？或者是別的什么？ 在第七次課題研討會(huì)上，筆者以“曲線與方程〞為課題進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)并進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐．本文是根據(jù)教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)施后，通過(guò)兩次重新設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)踐再寫(xiě)出的反思，希望能為一線教師的教學(xué)提供參考． 第一局部　教學(xué)反思 在秀州中學(xué)上完課后，看著自己眼前的那群孩子，內(nèi)心充滿遺憾．那一刻，我甚至在想，自己要是能留在秀州中

2、學(xué)一段時(shí)間該多好！ 雖然感慨萬(wàn)千，但現(xiàn)在想來(lái)，最想寫(xiě)下來(lái)的有以下幾點(diǎn)： 1．了解學(xué)生根本情況是進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施教學(xué)的重要條件 在設(shè)計(jì)和實(shí)施教學(xué)時(shí)，筆者不僅關(guān)注概念的形成，而且充分關(guān)注知識(shí)間的聯(lián)系以及知識(shí)所表達(dá)出來(lái)的思想方法．但是，如果設(shè)計(jì)離學(xué)生原有的認(rèn)知環(huán)境、認(rèn)知水平有較大差異的話，在教學(xué)實(shí)施時(shí)是很難到達(dá)預(yù)期目標(biāo)的．因此，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，了解學(xué)生是非常重要的． 例如，原設(shè)計(jì)中的“引子〞是想讓學(xué)生體會(huì)坐標(biāo)法在刻畫(huà)點(diǎn)中的重要作用，為將曲線與方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)〞與“坐標(biāo)〞之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系作準(zhǔn)備．但是“引子〞中的聚會(huì)地點(diǎn)是深圳市的某個(gè)位置，秀州中學(xué)的學(xué)生是不熟悉的，講解時(shí)學(xué)生腦子中根

3、本沒(méi)有這個(gè)位置，所以教師費(fèi)了較多的時(shí)間來(lái)說(shuō)明環(huán)境，這是不可取的． 又如，原設(shè)計(jì)中“臺(tái)風(fēng)〞發(fā)生后輪船航道是否需要變化的問(wèn)題，是學(xué)生在?數(shù)學(xué)2?中學(xué)習(xí)過(guò)的問(wèn)題，設(shè)計(jì)的意圖是想讓學(xué)生在回憶的根底上重新認(rèn)識(shí)“試驗(yàn)〞的方法不可取，建立坐標(biāo)系后可以通過(guò)考察直線與圓的方程所組成的方程組是否有解來(lái)解決問(wèn)題，讓他們體會(huì)坐標(biāo)法的重要作用，為曲線與方程的學(xué)習(xí)提供興趣與動(dòng)力．但教學(xué)中發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生對(duì)這個(gè)問(wèn)題不了解〔似乎沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)一樣〕，被提問(wèn)的學(xué)生答復(fù)說(shuō)“把臺(tái)風(fēng)范圍與航道畫(huà)在紙上就能看出有沒(méi)有危險(xiǎn)〞，這說(shuō)明學(xué)生沒(méi)有用坐標(biāo)法思考問(wèn)題的意識(shí)，這也就使得實(shí)現(xiàn)原設(shè)計(jì)的意圖費(fèi)時(shí)耗力．如果學(xué)生學(xué)習(xí)?數(shù)學(xué)2?時(shí)對(duì)這個(gè)問(wèn)題所滲透的思

4、想方法有深刻印象，或者課前讓學(xué)生重新回憶了?數(shù)學(xué)2?上的這個(gè)問(wèn)題，課堂上是可以做到更流暢地實(shí)現(xiàn)意圖的．當(dāng)然，從這個(gè)問(wèn)題也能看到，教學(xué)中思想方法的滲透是多么重要！ 再如，原設(shè)計(jì)中的的設(shè)計(jì)意圖，一方面是想為歸納曲線與方程提供特例，另一方面，我們知道曲線上的點(diǎn)的幾何特征是求曲線方程的重要根底，而直線是沒(méi)有定義的，因而直線上的點(diǎn)的幾何特征難以表述，因此，這里試圖以向量方法來(lái)刻畫(huà)直線上的點(diǎn)的幾何特征，以方便求出直線的方程，并從“統(tǒng)一性〞的角度說(shuō)明直線方程的形式是二元一次方程．在實(shí)際教學(xué)中，我們看到學(xué)生對(duì)兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)刻畫(huà)方式是不熟悉的，這也為課堂教學(xué)增加了難度． 由此可見(jiàn)，應(yīng)充分重視了解學(xué)生、根

5、據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平設(shè)計(jì)問(wèn)題的重要性．如果是給自己不了解情況的學(xué)生上課，教學(xué)設(shè)計(jì)中的問(wèn)題應(yīng)在能到達(dá)目標(biāo)的前提下盡可能簡(jiǎn)單． 2．?dāng)?shù)學(xué)內(nèi)容的地位與作用決定教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)目標(biāo)的份量產(chǎn)生教學(xué)重點(diǎn) 如果不明確教學(xué)過(guò)程中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，或者不明確數(shù)學(xué)內(nèi)容的地位與作用，我們就不可能制定出恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)目標(biāo)，就不可能通過(guò)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的能力與素質(zhì)．因此，對(duì)教學(xué)內(nèi)容的解析，不僅可以明確內(nèi)容中所涉數(shù)學(xué)概念的核心是什么，概念是否是核心概念，而且還是確定教學(xué)目標(biāo)的依據(jù)．但有些情況下教學(xué)目標(biāo)是不唯一的，不同目標(biāo)在教學(xué)中所占的份量〔或比重〕也是不同的．因此，按照各教學(xué)目標(biāo)所占的份量來(lái)產(chǎn)生教學(xué)重點(diǎn)就是一件自然的事情．筆者認(rèn)為，應(yīng)該

6、在對(duì)教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行解析時(shí)給出教學(xué)重點(diǎn)． 例如，對(duì)曲線與方程的內(nèi)容進(jìn)行分析后，我們確立了四個(gè)教學(xué)目標(biāo)〔見(jiàn)后〕，在對(duì)目標(biāo)進(jìn)行解析時(shí)，我們指出了目標(biāo)中的〔1〕、〔2〕分別為第一課時(shí)、第二課時(shí)的教學(xué)重點(diǎn)． 3．教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)，必須緊密圍繞教學(xué)目標(biāo)〔特別是教學(xué)重點(diǎn)〕 設(shè)計(jì)問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生思考是教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)的重點(diǎn)之一，設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想是有利于以最小的教學(xué)資源〔如教學(xué)時(shí)間〕來(lái)達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，也就是說(shuō)所設(shè)計(jì)的問(wèn)題必須緊密圍繞教學(xué)目標(biāo)，必須始終關(guān)注學(xué)生的知識(shí)構(gòu)建和思想方法的提煉． 例如，在曲線與方程的第一課時(shí)中，我們的問(wèn)題始終是圍繞“曲線的方程〞和“方程的曲線〞的概念形成〔也是第一課時(shí)的教學(xué)重點(diǎn)〕來(lái)設(shè)計(jì)的；而在

7、曲線與方程的第二課時(shí)中，我們的問(wèn)題就是圍繞“求曲線的方程，并證明方程就是曲線的方程〞〔也就是第二課時(shí)的教學(xué)重點(diǎn)〕來(lái)設(shè)計(jì)．在對(duì)原設(shè)計(jì)進(jìn)行修改時(shí)，第一課時(shí)刪去原來(lái)的，增加、、,修改原來(lái)的為現(xiàn)在的，并把原來(lái)的作為第二課時(shí)的，第二課時(shí)設(shè)置、、，就是基于上述原因． 4．教學(xué)支持條件不應(yīng)僅是客觀條件〔如信息技術(shù)〕，更重要的是學(xué)生的認(rèn)知根底 就本節(jié)課而言，學(xué)生對(duì)函數(shù)及其圖象的了解，以及在?數(shù)學(xué)2?的學(xué)習(xí)中對(duì)直線方程和圓的方程的了解均是現(xiàn)在學(xué)習(xí)曲線與方程的重要支持條件．同時(shí)，學(xué)生對(duì)向量知識(shí)與向量運(yùn)算的掌握程度，也是教學(xué)設(shè)計(jì)得以順利實(shí)施的重要條件．如果沒(méi)有這些根底，學(xué)生對(duì)曲線與方程的理解會(huì)更困難，也直接影響

8、到教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)與實(shí)施． 第二局部　反思后的教學(xué)設(shè)計(jì) 一、教學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容解析 1．內(nèi)容： 〔1〕曲線的方程與方程的曲線的概念；〔2〕求曲線的方程；〔3〕坐標(biāo)法的根本思想. 其中〔1〕、〔3〕為第一課時(shí)的內(nèi)容，〔2〕、〔3〕為第二課時(shí)的內(nèi)容． 2．內(nèi)容解析： “曲線與方程〞是?普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)?規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容．這一內(nèi)容既是直線與方程、圓與方程理論的一般化，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)橢圓、雙曲線、拋物線的指導(dǎo)思想．盡管學(xué)習(xí)這一內(nèi)容是學(xué)生體會(huì)并理解圓錐曲線與其方程的根底，但是更為重要的是使人們通過(guò)坐標(biāo)系這座橋，可以利用方程以及代數(shù)的運(yùn)算來(lái)研究曲線，這正是這一內(nèi)容成為數(shù)學(xué)的核心概念的原因，也是曲

9、線與方程這一概念的核心之所在．因此，教學(xué)時(shí)不僅要讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何求曲線的方程，而且要通過(guò)這一內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生的坐標(biāo)法思想，使學(xué)生明白求出曲線方程的真正意義在于利用曲線的方程去研究曲線. 事實(shí)上，研究曲線與方程的過(guò)程，就是把曲線的幾何特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的數(shù)量關(guān)系，并通過(guò)代數(shù)中的運(yùn)算等方便手段，處理已得到的數(shù)量關(guān)系來(lái)得出曲線的幾何性質(zhì)，并到達(dá)利用曲線為人們效勞的目的．因此，學(xué)習(xí)這一局部?jī)?nèi)容可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)中的代數(shù)方法的認(rèn)識(shí)，也能夠讓學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)． 在平面直角坐標(biāo)系建立以后，任何曲線都有惟一的方程，任何方程也都有惟一確定的曲線(或點(diǎn)集)．曲線與方程之間的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，是通過(guò)曲線上的點(diǎn)所成

10、的集合與方程所有解所成的集合之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)建立的．因此，曲線的方程是曲線的惟一表示．這種表示，不僅為我們研究曲線提供了方便，還為人們表達(dá)自己的思想觀點(diǎn)提供了一種標(biāo)準(zhǔn)，這是人們應(yīng)該具備的根本素養(yǎng)． 二、教學(xué)目標(biāo)與目標(biāo)解析 1．目標(biāo)： 〔1〕通過(guò)實(shí)例理解曲線的方程與方程的曲線的概念，能判斷已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的特殊的曲線與方程之間是否具有互為表示的關(guān)系； 〔2〕通過(guò)實(shí)例體會(huì)求曲線的方程的根本步驟，能求出給定了幾何特征的曲線的方程； 〔3〕通過(guò)實(shí)例體會(huì)不同的平面直角坐標(biāo)系對(duì)同一曲線方程的影響，體會(huì)如何“恰當(dāng)〞地建立平面直角坐標(biāo)系. 〔4〕通過(guò)一些簡(jiǎn)單曲線的方程及其研究，體會(huì)坐標(biāo)法的根本思想

11、． 2．目標(biāo)解析： 教學(xué)目標(biāo)〔1〕、〔4〕是第一課時(shí)應(yīng)該完成的目標(biāo)，其中〔1〕是教學(xué)重點(diǎn)；〔2〕、〔3〕、〔4〕是第二課時(shí)應(yīng)該完成的目標(biāo)，〔2〕是教學(xué)重點(diǎn)．教學(xué)時(shí)，落實(shí)好目標(biāo)〔1〕、〔2〕和〔3〕是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)〔4〕的前提與保證. 學(xué)生通過(guò)函數(shù)及其圖象、直線的方程與圓的方程的學(xué)習(xí)，對(duì)曲線的方程與方程的曲線有了初步認(rèn)識(shí)，但這只是一種意會(huì)，我們現(xiàn)在的任務(wù)是要建立曲線與方程之間的一般性的概念，讓學(xué)生能從“定義〞的角度去理解這些概念. 教學(xué)目標(biāo)〔3〕是學(xué)生初學(xué)時(shí)不易到達(dá)的目標(biāo)，教學(xué)時(shí)要提供學(xué)生熟悉的曲線〔比方直線，圓等〕在不同坐標(biāo)系中的方程的簡(jiǎn)潔程度，讓學(xué)生體會(huì)建立坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)該關(guān)注的要點(diǎn)．

12、對(duì)許多與曲線有關(guān)的具體問(wèn)題而言，原本是沒(méi)有坐標(biāo)系的．因此，通過(guò)這樣的問(wèn)題，可以使學(xué)生體會(huì)如何建立坐標(biāo)系，求出問(wèn)題中曲線的方程，并通過(guò)曲線的方程幫助解決問(wèn)題，這應(yīng)該是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)〔4〕的一種較好的方法． 三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析 1．如何理解曲線與其方程之間的關(guān)系？學(xué)生可以很流利地背出曲線與其方程應(yīng)該滿足的兩條，但是如何證明“一條曲線與一個(gè)方程之間具有互為表示的關(guān)系〞，這是學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)可能遇到的第一個(gè)教學(xué)問(wèn)題，也是第一課時(shí)的教學(xué)難點(diǎn). 這個(gè)教學(xué)問(wèn)題可以結(jié)合“直線與其方程〞、“圓與其方程〞進(jìn)行說(shuō)明． 2．在求曲線的方程時(shí)，如何建立平面直角坐標(biāo)系？這是學(xué)生會(huì)遇上的第二個(gè)教學(xué)問(wèn)題，也是第二課時(shí)的教學(xué)難

13、點(diǎn)．教學(xué)時(shí)，應(yīng)通過(guò)實(shí)例，幫助學(xué)生總結(jié)出建立坐標(biāo)系的根本要點(diǎn)，并用具體問(wèn)題讓學(xué)生練習(xí)進(jìn)行體會(huì)． 3．在將曲線上的點(diǎn)應(yīng)該滿足的幾何特征轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足的等式后，常常遇上“將所得等式化簡(jiǎn)得到所求方程〞的問(wèn)題．對(duì)于有些復(fù)雜的等式，化簡(jiǎn)是一個(gè)學(xué)生不易把握的問(wèn)題，學(xué)生在此極易出錯(cuò)，這是第三個(gè)教學(xué)問(wèn)題.教學(xué)時(shí)不能因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題而使教學(xué)偏離重點(diǎn)，因此教學(xué)時(shí)可適當(dāng)使用信息技術(shù)工具以解決這個(gè)問(wèn)題. 4．學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，可能會(huì)因更多地關(guān)注代數(shù)運(yùn)算而忽略數(shù)學(xué)思想的提煉，這個(gè)教學(xué)問(wèn)題的解決，需要教師有目的地進(jìn)行引領(lǐng). 四、教學(xué)支持條件 1．在進(jìn)行曲線與方程的教學(xué)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)在數(shù)學(xué)必修1中學(xué)習(xí)了函數(shù)及其圖象，在數(shù)學(xué)

14、必修2中學(xué)習(xí)了直線的方程與圓的方程，這些內(nèi)容是學(xué)生理解曲線與方程概念的重要條件，因此教學(xué)時(shí)應(yīng)予以充分注意，引導(dǎo)學(xué)生多進(jìn)行歸納與概括. 2．向量是刻畫(huà)直線的幾何特征、位置關(guān)系以及進(jìn)行運(yùn)算的重要工具，學(xué)生在數(shù)學(xué)4時(shí)學(xué)習(xí)了平面向量，這就使其成為學(xué)習(xí)本內(nèi)容的重要支持． 3．曲線與方程是數(shù)形結(jié)合的典范，教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)會(huì)涉及大量圖形的繪制與方程的簡(jiǎn)化等代數(shù)運(yùn)算，因此，圖形計(jì)算器或幾何畫(huà)板是重要的支持條件，教學(xué)時(shí)充分注意這一條件，不僅可以節(jié)省大量時(shí)間用于學(xué)生思考，而且可以對(duì)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)據(jù)不加“修飾〞地進(jìn)行分、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 第一課時(shí) 如果你邀請(qǐng)朋友在你所在城市的某餐館聚會(huì)，你會(huì)怎樣告訴他〔她〕聚會(huì)地

15、點(diǎn)？例如，如果聚會(huì)地點(diǎn)在“深圳市筍崗路南，寶安路東的澳葡街〞〔如圖一〕，你會(huì)怎樣說(shuō)？ 　　　 　　　　　　〔圖一〕　　　　　　　　　　　　　　　　〔圖二〕 意圖：通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)來(lái)刻畫(huà)點(diǎn)的位置，為后面用點(diǎn)與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)研究曲線與方程的關(guān)系作準(zhǔn)備，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)坐標(biāo)法思想． 師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題讓學(xué)生思考，然后通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，給出聚會(huì)地點(diǎn)的坐標(biāo)〔如圖二〕． 請(qǐng)你先在紙上畫(huà)出一條直線與一個(gè)圓，然后與你同桌同學(xué)所畫(huà)的圖形進(jìn)行比擬，你們所畫(huà)的圖形一致嗎？如果要大家畫(huà)的直線與圓都一樣，然后研究直線與圓的位置關(guān)系，該怎么辦？ 意圖：通常情況下，不同學(xué)生畫(huà)出的圖形是不

16、一致的．如果是在平面直角坐標(biāo)系中，只要給出了直線與圓的方程，那么不同學(xué)生畫(huà)出的直線與圓應(yīng)該是一樣的位置關(guān)系，提此問(wèn)題主要是讓學(xué)生增加曲線與方程的感性認(rèn)識(shí)，并由此認(rèn)識(shí)坐標(biāo)系的重要作用，進(jìn)一步體會(huì)坐標(biāo)法思想． 師生活動(dòng)：〔1〕教師提出問(wèn)題后讓學(xué)生先畫(huà)一條直線與一個(gè)圓，然后同桌進(jìn)行比擬． 〔2〕給出直線與圓的方程分別為、，然后讓學(xué)生在同一坐標(biāo)系〔兩軸上的單位長(zhǎng)為1 cm〕中畫(huà)出圖形． 〔3〕計(jì)算圓心與直線的距離，并答復(fù)直線與圓的位置關(guān)系．〔4〕學(xué)生答復(fù)以下問(wèn)題． 為什么說(shuō)方程表示一、三象限的平分線？ 意圖：學(xué)生已經(jīng)知道平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的，也知道方程確實(shí)可以表示一、三象限

17、的平分線，但并不知道這是為什么，而這正是本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容．因此，本問(wèn)題是為引出曲線與方程的概念作準(zhǔn)備． 師生活動(dòng)：〔1〕教師提出問(wèn)題后讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)“為什么表示一、三象限的平分線？〞 〔2〕指出：一、三象限的平分線上的點(diǎn)組成集合，方程的全部解組成集合，那么P、Q之間有什么關(guān)系呢？ 〔3〕通過(guò)說(shuō)明P、Q之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生體會(huì)方程與一、三象限的平分線可以互相表示的原因． 我們知道，圓心在(0,1)，半徑為2的圓C可用方程表示，可這是為什么呢？ 意圖：通過(guò)對(duì)本問(wèn)題的研究，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓與其方程之間的關(guān)系和直線與其方程之間的關(guān)系完全類似，以此豐富學(xué)生對(duì)曲線與方程的認(rèn)識(shí)，為歸納得出曲線與

18、方程的概念作進(jìn)一步的準(zhǔn)備． 師生活動(dòng)：〔1〕教師結(jié)合講解給出以下過(guò)程： 設(shè)點(diǎn)是圓C上任意一點(diǎn)，那么 ， 因此，即的坐標(biāo)是方程的解． 反過(guò)來(lái)，設(shè)是方程的解，那么 ， 即　　　　　　　　　?。? 所以，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M滿足，即點(diǎn)M在(0,1)為圓心，2為半徑的圓C上． 〔2〕給出，，幫助學(xué)生體會(huì)到：P、Q之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系． 對(duì)一般的曲線與方程，你能給出方程是曲線的方程，曲線是方程的曲線的概念嗎？ 意圖：讓學(xué)生在歸納概括、的根底上，給出曲線的方程與方程的曲線的概念. 師生活動(dòng)：〔1〕讓學(xué)生先思考，然后教師引領(lǐng)學(xué)生閱讀教科書(shū)上的“定義〞，給出曲線的方程與方程的曲線的概念：如果曲

19、線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f (x,y) = 0 的解；反過(guò)來(lái)，以方程f (x,y) = 0 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線C上的點(diǎn)，那么，方程f (x,y) = 0叫做曲線C的方程，曲線C叫做方程f (x,y) = 0的曲線. 〔2〕教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出：假設(shè)，，那么“方程f (x,y) = 0叫做曲線C的方程，曲線C叫做方程f (x,y) = 0的曲線〞等價(jià)于“P、Q之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系〞． 我們知道，直線x-y = 0上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離相等，你認(rèn)為到兩坐標(biāo)軸的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是否為x-y = 0？ 意圖：讓學(xué)生根據(jù)曲線與方程的概念來(lái)判斷，以此加深對(duì)概念的理解，并得到“方程是曲線的方程

20、〞或“曲線是方程的曲線〞否認(rèn)方法． 師生活動(dòng)：〔1〕學(xué)生思考、交流，發(fā)現(xiàn)“直線x-y = 0上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離相等〞，但是，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)〔－1,1〕到兩坐標(biāo)軸的距離相等，但〔－1,1〕的坐標(biāo)不是方程的解，而是方程的解． 〔2〕得出結(jié)論：“到兩坐標(biāo)軸的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程不是x-y = 0，而是〞． 〔3〕在教師啟發(fā)下，幫助學(xué)生總結(jié)出“方程是曲線的方程〞或“曲線是方程的曲線〞的否認(rèn)方法：假設(shè)曲線C上存在點(diǎn)，其坐標(biāo)不是方程f (x,y) = 0 的解，或方程f (x,y) = 0存在解為坐標(biāo)的點(diǎn)不是曲線C上的點(diǎn)，那么方程f (x,y) = 0不是曲線C的方程，曲線C也不是方程f (x,y)

21、= 0的曲線. 〔4〕學(xué)生完成教科書(shū)P37練習(xí)第1題，并將題中的“中線AO〔O為原點(diǎn)〕所在直線的方程〞修改為“中線AO〔O為原點(diǎn)〕的方程〞后，提問(wèn)學(xué)生結(jié)論有無(wú)改變？ 〔5〕學(xué)生完成P37練習(xí)第2題． 你能畫(huà)出函數(shù)的圖象嗎？圖象上的點(diǎn)相應(yīng)于坐標(biāo)軸的距離而言具有怎樣的幾何特征？是否具有這些幾何特征的點(diǎn)都在圖象上？ 意圖：在一定意義上，這個(gè)問(wèn)題是的延續(xù),用以幫助學(xué)生穩(wěn)固剛得到的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步體會(huì)如何判斷“方程不是曲線的方程〞或“曲線不是方程的曲線〞．同時(shí)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，用解析式表示的函數(shù)與其圖象之間的關(guān)系，其實(shí)就是方程與曲線之間的關(guān)系，以此可以豐富并穩(wěn)固對(duì)曲線與方程之間的關(guān)系的認(rèn)識(shí). 師生

22、活動(dòng)：〔1〕師生畫(huà)出函數(shù)的圖象〔可以利用信息技術(shù)工具〕． 〔2〕學(xué)生思考“圖象上的點(diǎn)相應(yīng)于坐標(biāo)軸的距離而言具有怎樣的幾何特征〞，利用信息技術(shù)工具探究，可能歸納出的幾何特征是“圖象上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積是常數(shù)〞． 〔3〕學(xué)生思考：“到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積是常數(shù)的點(diǎn)都在圖象上〞嗎？ 〔4〕師生得出“到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡方程是〞． 〔5〕證明所得結(jié)論，完成教科書(shū)P35例1． 你能說(shuō)說(shuō)本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么嗎？ 意圖：對(duì)本節(jié)課進(jìn)行總結(jié)，并以此幫助學(xué)生歸納與概括學(xué)習(xí)內(nèi)容． 師生活動(dòng)：讓學(xué)生明確本節(jié)課主要研究的內(nèi)容是：〔1〕滿足怎樣的條件，方程f (x,y) =

23、0與曲線C的可以互相表示？〔2〕怎樣證明一個(gè)方程是曲線的方程，或曲線是方程的曲線？ 第二課時(shí) 閱讀教科書(shū)P35“2．1．2求曲線的方程〞的第一段內(nèi)容，你能得出什么結(jié)論？ 意圖：明確解析幾何研究的根本內(nèi)容：〔1〕根據(jù)條件，求出表示曲線的方程；〔2〕通過(guò)曲線的方程，研究曲線的性質(zhì)． 師生活動(dòng)：學(xué)生閱讀教科書(shū)并提煉答復(fù)內(nèi)容，請(qǐng)學(xué)生答復(fù)，教師點(diǎn)評(píng)．教師指出，本節(jié)課的主要任務(wù)是求曲線的方程． 我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且方向向量為的直線是惟一確定的，你能求出這條直線的方程嗎？怎么說(shuō)明你所求得的方程就是這條直線的方程呢？ 意圖：直線是沒(méi)有定義的，因此要想像圓那樣把直線上的點(diǎn)所滿

24、足的幾何特征表達(dá)出來(lái)是一件困難的事情，但蘊(yùn)含了刻畫(huà)直線上的點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何特征的一種方式，并且這種方式具有普遍意義．同時(shí)，還給出了求曲線方程的最重要的環(huán)節(jié)：將曲線上的點(diǎn)應(yīng)滿足的“幾何特征〞等價(jià)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足的“數(shù)量關(guān)系〞. 師生活動(dòng)：〔1〕教師引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)兩個(gè)向量平行的刻畫(huà)方式：在平面直角坐標(biāo)系中，假設(shè)，那么　 〔2〕教師講解：設(shè)點(diǎn)是所求直線上的任一點(diǎn)，那么點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何特征是： 　　　　　　　　　　　?。? 因此，所求直線可以看成點(diǎn)集． 因?yàn)?，又，所? 　　　?。? 設(shè)，下面證明所求的直線方程為： 　　　　　　　　　　?。　　　　、? 設(shè)點(diǎn)是所求直線上的任一點(diǎn)，由上面的過(guò)程

25、知點(diǎn)的坐標(biāo)是方程①的解；反過(guò)來(lái)，設(shè)是方程①的解，由于以上每一步都可逆，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在所求直線上． 所以，方程①就是所求的直線方程． 〔3〕教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)中的直線進(jìn)行分析，然后指出：方程①可以表示平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線，由此可以看到：任何直線的方程均是二元一次方程，任何一個(gè)二元一次方程均表示直線． 如果給出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,-1)，(3,7)，動(dòng)點(diǎn)P到A,B的距離相等. 你知道動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是什么嗎？如何證明你的結(jié)論？ 意圖：學(xué)生通過(guò)已學(xué)知識(shí)知道，本問(wèn)題中的點(diǎn)的軌跡是直線〔而且是線段AB的垂直平分線〕，他們可能會(huì)用中點(diǎn)公式求出線段AB的中點(diǎn)，并通過(guò)求出AB的斜率而得出直

26、線的斜率，最后用直線的點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程．但如果問(wèn)學(xué)生：為什么問(wèn)題中的點(diǎn)的軌跡是直線？如果所求軌跡不是直線，你怎么能用求直線方程的方法去求呢？很有可能學(xué)生答復(fù)不出原因來(lái)，這就為用求曲線方程的一般方法求出軌跡方程，并用的結(jié)論說(shuō)明“點(diǎn)P的軌跡是直線〞提供了可能．這個(gè)問(wèn)題的另一個(gè)意圖是讓學(xué)生體會(huì)求曲線方程的步驟． 師生活動(dòng)：〔1〕教師給出問(wèn)題后問(wèn)學(xué)生：你知道點(diǎn)P的軌跡是什么嗎？你會(huì)怎樣求出點(diǎn)P的軌跡？ 〔2〕如果學(xué)生是用求線段AB的中垂線的方式求出點(diǎn)P的軌跡方程，那么問(wèn)點(diǎn)P的軌跡為什么是線段AB的中垂線？ 〔3〕教師按教科書(shū)P35例2　的方式求出點(diǎn)P的軌跡方程，并按定義證明自己的結(jié)論． A

27、，B 是平面上兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到A,B的距離相等. 你知道動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是什么嗎？如何證明你的結(jié)論？ 意圖：［問(wèn)題11］可以讓學(xué)生體會(huì)到求曲線方程的根本步驟，但由于問(wèn)題中已經(jīng)建立了坐標(biāo)系，所以步驟不完整．本問(wèn)題的一個(gè)重要作用就是讓學(xué)生體會(huì)如何建立平面直角坐標(biāo)系，并以此完善求曲線方程的步驟． 師生活動(dòng)：〔1〕讓學(xué)生比擬［問(wèn)題12］與［問(wèn)題11］有什么相同點(diǎn)與不同點(diǎn)． 〔2〕讓學(xué)生嘗試著建立平面直角坐標(biāo)系，體會(huì)建立平面直角坐標(biāo)系的要點(diǎn)． 〔3〕教師幫助學(xué)生總結(jié)出以下兩種建立坐標(biāo)系的方式： 〔4〕師生一起總結(jié)建立坐標(biāo)系的要點(diǎn)：如果曲線〔或軌跡〕有對(duì)稱中心，通常以對(duì)稱中心為原點(diǎn)；如果曲線

28、〔或軌跡〕有對(duì)稱軸，通常以對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；盡可能使曲線上的關(guān)鍵點(diǎn)在坐標(biāo)軸上. 你能簡(jiǎn)要地說(shuō)出求曲線方程的步驟嗎？ 意圖：幫助學(xué)生總結(jié)求曲線方程的根本步驟，并了解各個(gè)步驟的地位與作用． 師生活動(dòng)：通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)［問(wèn)題11］與［問(wèn)題12］的求解過(guò)程，得出以下求曲線方程的步驟： (1)建系設(shè)點(diǎn)：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔x,y〕； (2)寫(xiě)出集合：P={M|p(M)}； (3)寫(xiě)出方程：根據(jù)p(M〕寫(xiě)出f(x,y)=0; (4)化簡(jiǎn)方程：化f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式； (5)驗(yàn)證結(jié)論：解為坐標(biāo)的點(diǎn)在曲線上. 平面上的線段的長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)位于線段所在直線的同一側(cè)，且向線段所張的角恒為，

29、動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否有有限長(zhǎng)度？假設(shè)有，你能求出其長(zhǎng)度嗎？ 意圖：學(xué)生通過(guò)平面幾何知識(shí)可以知道動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一段圓弧，但他們并不知道這是為什么，或者說(shuō)很難由平面幾何的方法證明他們的結(jié)論．通過(guò)求曲線方程的方法，我們可以得出點(diǎn)的軌跡方程，并可由方程說(shuō)明軌跡是一段圓?。虼?，本問(wèn)題可以讓學(xué)生更深刻地感受曲線與方程之間的關(guān)系，體會(huì)求曲線的方程的重要意義不僅在于尋求曲線的表示，而且在于研究曲線的性質(zhì)． 師生活動(dòng)： 〔1〕教師講解：以所在的直線為x軸，以線段的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，那么，．設(shè)點(diǎn)在x軸的上方，坐標(biāo)為，那么點(diǎn)的集合為 　　　　　　　 ． 由于 因?yàn)樗? 　 所以，點(diǎn)的坐標(biāo)滿

30、足方程； 反過(guò)來(lái)，由于上述的步驟均可逆，所以方程①的解作為坐標(biāo)的點(diǎn)都在集合P中． 所以，點(diǎn)的軌跡方程是①，點(diǎn)的軌跡是一段以2為半徑的圓弧，它的長(zhǎng)度是整個(gè)圓的．因此，動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為 〔2〕提問(wèn)學(xué)生，有無(wú)其它建立坐標(biāo)系的方法使點(diǎn)的軌跡方程更簡(jiǎn)單，更簡(jiǎn)單的原因是什么？ 〔3〕提問(wèn)學(xué)生思考：為什么不能把作為點(diǎn)的軌跡方程？ 〔4〕學(xué)生練習(xí)教科書(shū)P37練習(xí)第3題． 一條直線和一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)到的距離是2．一條曲線上面的點(diǎn)到的距離減去到的距離所得的差都是2．你能建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出這條曲線的方程嗎？ 意圖：這是根據(jù)教科書(shū)P36的例3改編的問(wèn)題，意在幫助學(xué)生熟悉和穩(wěn)固求曲線方程的步驟. 師

31、生活動(dòng)： 〔1〕師生一起討論如何畫(huà)出圖形，如何建立坐標(biāo)系． 〔2〕讓學(xué)生按步驟求出曲線的方程． 〔3〕師生一起討論如何防止軌跡中出現(xiàn)多余的點(diǎn)或方程中出現(xiàn)多余的解． 〔4〕簡(jiǎn)化求解步驟． 建立坐標(biāo)系后，是否存在一條曲線有兩個(gè)不同的方程？你能以和為例，歸納一下你本節(jié)課學(xué)得的東西嗎？ 意圖：歸納總結(jié)本節(jié)內(nèi)容. 師生活動(dòng)：學(xué)生思考交流，教師幫助總結(jié)出以下值得關(guān)注的問(wèn)題： 〔1〕如何建立平面直角坐標(biāo)系？ 〔2〕準(zhǔn)確寫(xiě)出幾何特征p(M). 〔3〕將幾何特征轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系而得出方程. 〔4〕簡(jiǎn)化方程的過(guò)程是否同解變形. 六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì) 1．求中心在原點(diǎn)，半徑為2的圓位于直線上方局

32、部所對(duì)應(yīng)的方程． 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)曲線與方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 2．教科書(shū)P37，習(xí)題2.1：A組第3、4題；B組第1題． 　設(shè)計(jì)意圖：穩(wěn)固曲線與方程的概念，體會(huì)如何求曲線的方程〔或求軌跡方程〕． 3．平面上的線段的長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)向線段所張的角恒為，你能求出動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡的長(zhǎng)度嗎？ 　 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生學(xué)會(huì)用方程來(lái)判定軌跡是什么，并進(jìn)一步研究曲線的幾何性質(zhì)． 結(jié)語(yǔ)：“世界上所有的勇士，無(wú)不為這偉大的心靈而心潮澎湃，從中國(guó)的高山到海岸，我們依然能聽(tīng)到李小龍的吶喊．〞這是人們對(duì)中國(guó)功夫“截拳道〞的創(chuàng)立者李小龍的贊美！李小龍說(shuō)過(guò)，“截拳道〞不是一種拳術(shù)，不是一個(gè)門(mén)派，它是一種融會(huì)貫穿的武學(xué)思想．李小龍正是由于掌握和運(yùn)用了武學(xué)思想，才使得他打敗眾多敵手，并使中國(guó)功夫名揚(yáng)天下，他也因此獲得人們的崇敬和贊美，并永遠(yuǎn)地活在人們心中．我在想，一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)功夫要好，是只掌握解題中的“一招一式〞就行呢，還是要更多地關(guān)注“招式〞中的數(shù)學(xué)思想呢？ 文