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1、一、 導數和微分的概念及應用,(1) 利用導數定義解決的問題,(3)微分在近似計算與誤差估計中的應用,(2)用導數定義求極限,1) 推出三個最基本的導數公式及求導法則,其他求導公式都可由它們及求導法則推出;,2) 求分段函數在分界點處的導數 ,,及某些特殊,函數在特殊點處的導數;,3) 由導數定義證明一些命題.,應用 :,解:,原式=,聯(lián)想到湊導數的定義式,,,,1. 正確使用導數及微分公式和法則,2. 熟練掌握求導方法和技巧,(1) 求分段函數的導數,注意討論分界點處左右導數是否存在和相等,(2) 隱函數求導法,,對數微分法,(3) 參數方程求導法,極坐標方程求導,(4) 復合函數求導法,(

2、可利用微分形式不變性),(5) 高階導數的求法,,逐次求導歸納 ;,間接求導法;,利用萊布尼茲公式.,二、 導數和微分的求法,,解:方程組兩邊對 t 求導,得,,三、 微分中值定理及其應用,1. 微分中值定理及其相互關系,羅爾定理,,,,柯西中值定理,,,,2. 微分中值定理的主要應用,(1) 研究函數或導數的性態(tài),(2) 證明恒等式或不等式,(3) 證明有關中值問題的結論,3. 有關中值問題的解題方法,利用逆向思維 , 設輔助函數 .,一般解題方法:,證明含一個中值的等式或根的存在 ,,(2) 若結論中涉及到含中值的兩個不同函數 ,,(3) 若結論中含兩個或兩個以上的中值 ,,可用原函數法找

3、輔助函數 .,多用羅爾定理,,可考慮用,柯西中值定理 .,必須多次應用,中值定理 .,(4) 若已知條件中含高階導數 , 多考慮用泰勒公式 ,,(5) 若結論為不等式 , 要注意適當放大或縮小的技巧.,有時也可考慮對導數用中值定理 .,例2 設函數 f (x) 在0, 3 上連續(xù), 在(0, 3) 內可導, 且,,證: 因 f (x) 在0, 3上連續(xù),,所以在0, 2上連續(xù), 且在,0, 2上有最大值 M 與最小值 m, 故,即所證不等式成立 .,,本題另解,四、 導數應用,1. 研究函數的性態(tài):,增減 ,,極值 ,,凹凸 ,,拐點 ,,漸近線 ,,曲率,2. 解決最值問題,目標函數的建立與

4、簡化,最值的判別問題,3. 其他應用 :,求不定式極限 ;,幾何應用 ;,相關變化率;,證明不等式 ;,研究方程實根等.,4. 補充定理 (見下頁),單調增區(qū)間為 ;,例20 填空題,單調減區(qū)間為 ;,極小值點為 ;,極大值點為 .,的正負作 f (x) 的示意圖.,.,在區(qū)間 是上凸弧 ;,拐點為,的正負作 f (x) 的示意圖.,則函數 f (x) 的圖,的圖形如圖所示,,,,,,,證明 f ( x ) 至多只有一個零點 .,其它不變時, 如何設輔助函數?,,,,,,極大值,,,列表判別:,利用一階泰勒公式, 得,故原不等式成立.,故所證不等式成立 .

5、,解法1 利用中值定理求極限,解法2 利用泰勒公式,,解法3 利用等價代換,解法4,clear syms x B C a=-1.5:0.001:1.5; k=(x3-x)*(x2+B*x+C); %f(x) yu1=diff(k); %f(x) f1=subs(yu1,x,1); f2=subs(yu1,x,-1); b,c=solve(2+2*B+2*C=0,2-2*B+2*C=0,B,C) fp=subs(subs(k,B,b),C,c) %f(x) f=int(fp)*6 %f(x) y1=subs(f,x,a); y2=subs(fp,x,a); y3=subs(diff(fp),x,a); plot(a,y1,a,y2,r,a,y3,g,a,0*a),