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1、牛吃草問題 教學(xué)目標(biāo)： 1. 理解牛吃草這類題目的解題步驟，掌握牛吃草問題的解題思路. 2. 初步了解牛吃草的變式題，會將一些變式題與牛吃草問題進(jìn)行區(qū)別與聯(lián)系 知識點撥： 英國科學(xué)家牛頓在他的《普通算術(shù)》一書中，有一道關(guān)于牛在牧場上吃草的問題，即牛在牧場上吃草，牧場上的草在不斷的、均勻的生長．后人把這類問題稱為牛吃草問題或叫做“牛頓問題”． “牛吃草”問題主要涉及三個量：草的數(shù)量、牛的頭數(shù)、時間．難點在于隨著時間的增長，草也在按不變的速度均勻生長，所以草的總量不定．“牛吃草”問題是小學(xué)應(yīng)用題中的難點． 解“牛吃草”問題的主要依據(jù)： ① 草的每天生長量不變； ② 每頭牛每天的食

2、草量不變； ③ 草的總量草場原有的草量新生的草量，其中草場原有的草量是一個固定值 ④ 新生的草量每天生長量天數(shù)． 同一片牧場中的“牛吃草”問題，一般的解法可總結(jié)為： ⑴設(shè)定1頭牛1天吃草量為“1”； ⑵草的生長速度(對應(yīng)牛的頭數(shù)較多天數(shù)對應(yīng)牛的頭數(shù)較少天數(shù))(較多天數(shù)較少天數(shù))； ⑶原來的草量對應(yīng)牛的頭數(shù)吃的天數(shù)草的生長速度吃的天數(shù)； ⑷吃的天數(shù)原來的草量(牛的頭數(shù)草的生長速度)； ⑸牛的頭數(shù)原來的草量吃的天數(shù)草的生長速度． “牛吃草”問題有很多的變例，像抽水問題、檢票口檢票問題等等，只有理解了“牛吃草”問題的本質(zhì)和解題思路，才能以不變應(yīng)萬變，輕松解決此類問題． 例題精

3、講： 板塊一、一塊地的“牛吃草問題” 【例 1】 青青一牧場，牧草喂牛羊； 放牛二十七，六周全吃光。 改養(yǎng)廿三只，九周走他方； 若養(yǎng)二十一，可作幾周糧？ （注：“廿”的讀音與“念”相同?！柏ァ奔炊?。） 【解說】題目翻譯過來是：一牧場長滿青草，27頭牛6個星期可以吃完，或者23頭牛9個星期可以吃完。若是21頭牛，要幾個星期才可以吃完？（注：牧場的草每天都在生長） 【解析】 設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，27頭牛吃6周共吃了份；23頭牛吃9周共吃了份．第二種吃法比第一種吃法多吃了份草，這45份草是牧場的草周生長出來的，所以每周生長的草量為

4、，那么原有草量為：． 供21頭牛吃，若有15頭牛去吃每周生長的草，剩下6頭牛需要(周)可將原有牧草吃完，即它可供21頭牛吃12周． 【鞏固】 牧場上長滿牧草，每天牧草都勻速生長．這片牧場可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天．供25頭?？沙詭滋?？ 【解析】 設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，10頭牛吃20天共吃了份；15頭牛吃10天共吃了份．第一種吃法比第二種吃法多吃了份草，這50份草是牧場的草天生長出來的，所以每天生長的草量為，那么原有草量為：． 供25頭牛吃，若有5頭牛去吃每天生長的草，剩下20頭牛需要(天)可將原有牧草吃完，即它可供25頭牛吃5天． 【例 2】

5、牧場上有一片勻速生長的草地，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周，那么它可供多少頭牛吃18周？ 【解析】 設(shè)1頭牛1周的吃草量為“1”，草的生長速度為，原有草量為，可供（頭）牛吃18周 【鞏固】 有一塊勻速生長的草場，可供12頭牛吃25天，或可供24頭牛吃10天．那么它可供幾頭牛吃20天？ 【解析】 設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么天生長的草量為，所以每天生長的草量為；原有草量為：． 20天里，草場共提供草，可以讓頭牛吃20天． 【鞏固】 一牧場放牛58頭，7天把草吃完；若放牛50頭，則9天吃完．假定草的生長量每日相等，每頭牛每日的吃草量也相同，那么放多少頭牛6天可以

6、把草吃完? 【解析】 設(shè)1頭牛1天的吃草量為1個單位，則每天生長的草量為：，原有草量為：，(頭) 【鞏固】 林子里有猴子喜歡吃的野果，23只猴子可在9周內(nèi)吃光，21只猴子可在12周內(nèi)吃光，問如果要4周吃光野果，則需有多少只猴子一起吃？（假定野果生長的速度不變） 【解析】 設(shè)一只猴子一周吃的野果為“”，則野果的生長速度是，原有的野果為，如果要4周吃光野果，則需有只猴子一起吃 【例 3】 由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不生長，反而以固定的速度在減少．已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天．照此計算，可以供多少頭牛吃10天？ 【解析】 設(shè)1頭牛1天的吃草量為

7、“1”，那么每天自然減少的草量為：，原有草量為：；10天吃完需要牛的頭數(shù)是：(頭)． 【鞏固】 由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長，反而以固定的速度在減少。如果某塊草地上的草可供25頭牛吃4天，或可供16頭牛吃6天，那么可供多少頭牛吃12天？ 【解析】 設(shè)1頭牛1天吃的草為“1”。牧場上的草每天自然減少 ； 原來牧場有草， 12天吃完需要牛的頭數(shù)是：(頭)或（頭）。 【例 4】 一塊勻速生長的草地，可供16頭牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一頭牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么這塊草地可供10頭牛和75只羊一起吃多少天？ 【解析】 設(shè)1頭牛1天的吃草量為

8、“1”，由于一頭牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，所以100只羊吃12天相當(dāng)于20頭牛吃12天．那么每天生長的草量為，原有草量為：． 10頭牛和75只羊1天一起吃的草量，相當(dāng)于25頭牛一天吃的草量；25頭牛中，若有10頭牛去吃每天生長的草，那么剩下的15頭牛需要天可以把原有草量吃完，即這塊草地可供10頭牛和75只羊一起吃8天． 鞏固：有一片草場，草每天的生長速度相同。若14頭牛30天可將草吃完，70只羊16天也可將草吃完(4只羊一天的吃草量相當(dāng)于1頭牛一天的吃草量)。那么，17頭牛和20只羊多少天可將草吃完? 【解析】 “4只羊一天的吃草量相當(dāng)于1頭牛一天的吃草量”，所以可以設(shè)一只

9、羊一天的食量為1，那么14頭牛30天吃了單位草量，而70只羊16天吃了單位草量，所以草場在每天內(nèi)增加了草量，原來的草量為草量，所以如果安排17頭牛和20只羊，即每天食草88草量，經(jīng)過天，可將草吃完。 【鞏固】 一片牧草，每天生長的速度相同?，F(xiàn)在這片牧草可供20頭牛吃12天，或可供60只羊吃24天。如果1頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12頭牛與88只羊一起吃可以吃幾天？ 【解析】 設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，只羊的吃草量等于頭牛的吃草量，只羊的吃草量等于頭牛的吃草量，所以草的生長速度為，原有草量為，12頭牛與88只羊一起吃可以吃（天） 模塊二、“牛吃草問題”的變形 【

10、例 5】 一只船發(fā)現(xiàn)漏水時，已經(jīng)進(jìn)了一些水，水勻速進(jìn)入船內(nèi).如果10人淘水，3小時淘完；如5人淘水，8小時淘完.如果要求2小時淘完，要安排多少人淘水？ 【解析】 設(shè)1人1小時淘出的水量是“1”，淘水速度是，原有水量， 要求2小時淘完，要安排人淘水 【鞏固】 一只船發(fā)現(xiàn)漏水時，已經(jīng)進(jìn)了一些水，現(xiàn)在水勻速進(jìn)入船內(nèi)，如果3人淘水40分鐘可以淘完；6人淘水16分鐘可以把水淘完，那么，5人淘水幾分鐘可以把水淘完？ 【解析】 設(shè)1人1分鐘淘出的水量是“1”，分鐘的進(jìn)水量為，所以每分鐘的進(jìn)水量為，那么原有水量為：．5人淘水需要(分鐘)把水淘完． 【例 6】 在地鐵車站中，從站臺到地面有一架

11、向上的自動扶梯．小強乘坐扶梯時，如果每秒向上邁一級臺階，那么他走過20級臺階后到達(dá)地面；如果每秒向上邁兩級臺階，那么走過30級臺階到達(dá)地面．從站臺到地面有 級臺階． 【解析】 本題非常類似于“牛吃草問題”，如將題目改為： “在地鐵車站中，從站臺到地面有一架向上的自動扶梯．小強乘坐扶梯時，如果每秒向上邁一級臺階，那么他走過20秒后到達(dá)地面；如果每秒向上邁兩級臺階，那么走過15秒到達(dá)地面．問：從站臺到地面有多少級臺階？” 采用牛吃草問題的方法，電梯秒內(nèi)所走的階數(shù)等于小強多走的階數(shù)：階，電梯的速度為階/秒，扶梯長度為（階）。 【鞏固】 兩個頑皮的孩子逆著自動扶梯行駛的方向行

12、走，男孩每秒可走3級梯級，女孩每秒可走2級梯級，結(jié)果從扶梯的一端到達(dá)另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。問：該扶梯共有多少級梯級？ 【解析】 本題與牛吃草問題類似，其中扶梯的梯級總數(shù)相當(dāng)于原有草量；而自動扶梯運行的速度則相當(dāng)于草的增長速度。并且上樓的速度要分成兩部分︰一部分是孩子自己的速度，另一部分是自動扶梯的速度。 自動扶梯的速度（女孩每秒走的梯級×女孩走的時間－男孩每秒走的梯級×男孩走的時間）÷（女孩走的時間－男孩走的時間），自動扶梯的梯級總數(shù)＝女孩每秒走的梯級×女孩走的時間－自動扶梯的速度×女孩走的時間（級）所以自動扶梯共有150級的梯級。 【例 7】 一個裝滿了水的水池

13、有一個進(jìn)水閥及三個口徑相同的排水閥，如果同時打開進(jìn)水閥及一個排水閥，則分鐘能把水池的水排完，如果同時打開進(jìn)水閥及兩個排水閥，則分鐘把水池的水排完．問：關(guān)閉進(jìn)水閥并且同時打開三個排水閥，需要多少分鐘才能排完水池的水？ 【解析】 設(shè)一個排水閥1分鐘排水量為“1”，那么進(jìn)水閥1分鐘進(jìn)水量為，水池原有水量為．關(guān)閉進(jìn)水閥并且同時打開三個排水閥，需要(分鐘)才能排完水池的水． 【鞏固】 一個蓄水池有1個進(jìn)水口和15個出水口，水從進(jìn)水口勻速流入．當(dāng)池中有一半的水時，如果打開9個出水口，9小時可以把水排空．如果打開7個出水口，18小時可以把水排空．如果是一滿池水，打開全部出水口放水，那么經(jīng)過

14、 時 分水池剛好被排空． 【解析】 本題是牛吃草問題的變形． 設(shè)每個出水口每小時的出水量為1，則進(jìn)水口每小時的進(jìn)水量為：，半池水的量為：，所以一池水的量為72． 如果打開全部15個出水口，排空水池所需要的時間為小時，即7小時12分鐘． 課后練習(xí)： 1、倉庫里原有一批存貨，以后繼續(xù)運貨進(jìn)倉，且每天運進(jìn)的貨一樣多。用同樣的汽車運貨出倉，如果每天用4輛汽車，則9天恰好運完；如果每天用5輛汽車，則6天恰好運完。倉庫里原有的存貨若用1輛汽車運則需要多少天運完？ 【解析】 設(shè)輛汽車天運貨為“”，進(jìn)貨速度為，原有存貨為，倉庫里原有的存貨若用1輛汽車運則需要（天）

15、 2、一片茂盛的草地，每天的生長速度相同，現(xiàn)在這片青草16頭?？沙?5天，或者可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相當(dāng)于l頭牛的吃草量，那么8頭牛與48只羊一起吃，可以吃多少天? 【解析】 設(shè)１頭牛１天的吃草量為“１”，摘錄條件，將它們轉(zhuǎn)化為如下形式方便分析 16頭牛 15天 16×15＝240：原有草量＋15天生長的草量 100只羊（25頭牛） 6天 25×6＝150： 原有草量＋6天生長的草量 從上易發(fā)現(xiàn)：1天生長的草量＝10；那么原有草量：150－10×6＝90； 8頭牛與48只羊相當(dāng)于20頭牛的吃草量，其

16、中10頭牛去吃新生草，那么剩下的10頭牛吃原有草，90只需9天，所以8頭牛與48只羊一起吃，可以吃9天。 3、一水庫原有存水量一定，河水每天勻速入庫。5臺抽水機(jī)連續(xù)20天抽干，6臺同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干，若要6天抽干，要多少臺同樣的抽水機(jī)？ 【解析】 設(shè)臺抽水機(jī)天的抽水量為“”則進(jìn)水速度為，原有水量為，若要6天抽干，要臺同樣的抽水機(jī) 4、某建筑工地開工前運進(jìn)一批磚，開工后每天運進(jìn)相同數(shù)量的磚，如果派250個工人砌磚墻，6天可以把磚用完，如果派160個工人，10天可以把磚用完，現(xiàn)在派120名工人砌了10天后，又增加5名工人一起砌，還需要再砌幾天可以把磚用完？ 【解析】 開工

17、前運進(jìn)的磚相當(dāng)于“原有草量”，開工后每天運進(jìn)相同的磚相當(dāng)于“新生長的草”，工人砌磚相當(dāng)于“牛在吃草”．所以設(shè)1名工人1天砌磚數(shù)量為“1”，那么每天運來的磚為，原有磚的數(shù)量為：． 如果120名工人砌10天，將會砌掉10天新運來的磚以及950原有的磚，還剩的原有的磚未用，變成人來砌磚，還需要：(天)． 5、一水庫原有存水量一定，河水每天均勻入庫.5臺抽水機(jī)連續(xù)20天可抽干；6臺同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少臺同樣的抽水機(jī)？ 【解析】 水庫原有的水與20天流入的水可供多少臺抽水機(jī)抽1天？(臺). 水庫原有的水與15天流入的水可供多少臺抽水機(jī)抽1天？(臺). 每天

18、流入的水可供多少臺抽水機(jī)抽1天？ (臺). 原有的水可供多少臺抽水機(jī)抽1天？ (臺). 若6天抽完，共需抽水機(jī)多少臺？ (臺). ④設(shè)立幾個檢票口 (個) 6、自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行駛的扶梯上，男孩每秒向上走1梯級，女孩每3秒鐘走2梯級。結(jié)果男孩用50秒到達(dá)樓上，女孩用60秒到達(dá)樓上。該樓梯共有多少級？ 【解析】 該題屬于草勻速減少的情況，扶梯的運行速度：。自動扶梯的梯級總數(shù)：(級) 7、食品廠開工前運進(jìn)一批面粉，開工后每天運進(jìn)相同數(shù)量的面粉，如果派5個工人加工食品30天可以把面粉用完，如果派4個工人，40天可以把面粉用完，現(xiàn)在派4名工人加工了30天后，又增加了2名工人一起干，還需要幾天加工完？ 【分析】 開工前運進(jìn)的面粉相當(dāng)于“原有草量”，開工后每天運進(jìn)相同的面粉相當(dāng)于“新生長的草”，工人加工食品相當(dāng)于“牛在吃草”． 設(shè)1名工人1天用掉面粉的量為“1”，那么每天運來的面粉量為，原有面粉量為：．如果4名工人干30天，那么將會加工掉30天新運來的面粉量以及90原有的面粉量，原有還剩未加工，而后變成6名工人，還需要(天)可以加工完．