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3-5 傅里葉變換的基本性質(zhì) 　　傅里葉變換建立了時間函數(shù)和頻譜函數(shù)之間轉(zhuǎn)換關(guān)系。在實際信號分析中，經(jīng)常需要對信號的時域和頻域之間的對應(yīng)關(guān)系及轉(zhuǎn)換規(guī)律有一個清楚而深入的理解。因此有必要討論傅里葉變換的基本性質(zhì)，并說明其應(yīng)用。 一、 線性 傅里葉變換是一種線性運算。若 則 其中a和b均為常數(shù)，它的證明只需根據(jù)傅里葉變換的定義即可得出。 例3-6 利用傅里葉變換的線性性質(zhì)求單位階躍信號的頻譜函數(shù)。 解 因 由式(3-55)得 二、對稱性 若 證明 因為 有 將上式中變量換為x，積分結(jié)果不變，即 再將t用代之，上述關(guān)系依然成立，即 最后再將x用t代替，則得 所以 證畢 若是一個偶函數(shù)，即，相應(yīng)有，則式(3-56)成為 可見，傅里葉變換之間存在著對稱關(guān)系，即信號波形與信號頻譜函數(shù)的波形有著互相置換的關(guān)系，其幅度之比為常數(shù)。式中的表示頻譜函數(shù)坐標(biāo)軸必須正負(fù)對調(diào)。例如 例3-7 若信號的傅里葉變換為 試求。 解 將中的換成t，并考慮為的實函數(shù)，有 該信號的傅里葉變換由式(3-54)可知為 根據(jù)對稱性 故 再將中的換成t，則得 為抽樣函數(shù)，其波形和頻譜如圖3-20所示。 三、折疊性 若 則 四、尺度變換性 觀看動畫 若 則 證明 因a＞0，由 令，則，代入前式，可得 函數(shù)表示沿時間軸壓縮(或時間尺度擴展) a倍，而則表示沿頻率軸擴展(或頻率尺度壓縮) a倍。 該性質(zhì)反映了信號的持續(xù)時間與其占有頻帶成反比，信號持續(xù)時間壓縮的倍數(shù)恰好等于占有頻帶的展寬倍數(shù)，反之亦然。 例3-8 已知 ,求頻譜函數(shù)。 解 前面已討論了 的頻譜函數(shù)，且 根據(jù)尺度變換性，信號比的時間尺度擴展一倍，即波形壓縮了一半，因此其頻譜函數(shù) 兩種信號的波形及頻譜函數(shù)如圖3-21所示。 五、時移性 若 則 此性質(zhì)可根據(jù)傅里葉變換定義不難得到證明。它表明若在時域平移時間，則其頻譜函數(shù)的振幅并不改變，但其相位卻將改變。 例3-9 求 的頻譜函數(shù)。 解: 根據(jù)前面所討論的矩形脈沖信號和傅里葉變換的時移性，有 六、頻移性 若 則 證明 證畢 頻移性說明若信號乘以，相當(dāng)于信號所分解的每一指數(shù)分量都乘以，這就使頻譜中的每條譜線都必須平移，亦即整個頻譜相應(yīng)地搬移了位置。頻譜搬移技術(shù)在通信系統(tǒng)得到了廣泛應(yīng)用，諸如調(diào)幅、同步解調(diào)、變頻等過程都是在頻譜搬移的基礎(chǔ)上完成的。頻譜搬移實現(xiàn)原理是將信號乘以所謂載頻信號或，即 七、時域微分性 若 則 證明 因為 兩邊對t求導(dǎo)數(shù)，得 所以 同理，可推出 例3-10 求的頻譜函數(shù)。 解: 因為 由時域微分性 例3-11 圖3-22所示信號為三角形函數(shù) 求其頻譜函數(shù)。 解: 將微分兩次后，得到圖3-22(c)所示函數(shù)，其表達式為 由微分性 所以 八、頻域微分性 若 則 例3-12 求的頻譜函數(shù)。 解: 因為 根據(jù)頻域微分性 九、時域積分性 若 則 例3-13 根據(jù)和積分性求的頻譜函數(shù)。 解: 因為 又 根據(jù)時域積分性 例3-14 求圖3-23所示信號的頻譜函數(shù)。 解: 對求兩次微分后，得 且 由時域積分性 十、頻域積分性 若 則 例3-15 已知，求。 解: 因為 根據(jù)頻域積分性 十一、時域卷積定理 若 則 證明 例3-16 圖3-24(a)所示的三角形函數(shù) 　　　 可看做為兩個如圖3－24(b)所示門函數(shù)卷積。試?yán)脮r域卷積定理求其頻譜函數(shù)。 解：　因 又 所以 例3-17 一個信號的希伯特變換是和的卷積，即 解： 因為 則對稱性 有 由時域卷積定理 即 十二、頻域卷積定理 若 則 或 例3-18 利用頻域卷積定理求的傅里葉變換。 解： 因為 由對稱性 有 所以根據(jù)頻域卷積定理 有 即 十三、帕塞瓦爾定理 若 則 可推廣 若為實函數(shù)，則 若,為實函數(shù)，則 例3-19 求。 解： 因 又 由帕塞瓦爾定理可得 十四、奇偶性 若，則 (1) 當(dāng)為實函數(shù)時，則 若為實偶函數(shù)，即，則 若為實奇函數(shù)，即，則 (2) 當(dāng)為虛函數(shù)，即時，則 傅里葉變換的基本性質(zhì)歸納如表3-3所示。 表3-3傅里葉變換的基本性質(zhì) 性 質(zhì) 名 稱 時 域 頻 域 1. 線性 2. 對稱性 3. 折疊性 4. 尺度變換性 5. 時移性 6. 頻移性 7. 時域微分 8. 頻域微分 9. 時域積分 10. 頻域積分 11. 時域卷積 12. 頻域卷積 13. 帕塞瓦爾定理 跳轉(zhuǎn)至第六節(jié)