中學(xué)數(shù)學(xué)常用公式大匯總(含初中、高中).doc
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中學(xué)數(shù)學(xué)常用公式大匯總(含初中、高中) 初中數(shù)學(xué)常用公式 1、整數(shù)(包括:正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù))和分?jǐn)?shù)(包括:有限小數(shù)和無(wú)限環(huán)循小數(shù))都是有理數(shù).如:-3,,0.231,0.737373…,,.無(wú)限不環(huán)循小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).如:π,-,0.1010010001…(兩個(gè)1之間依次多1個(gè)0).有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù). 2、絕對(duì)值:a≥0丨a丨=a;a≤0丨a丨=-a.如:丨-丨=;丨3.14-π丨=π-3.14. 3、一個(gè)近似數(shù),從左邊笫一個(gè)不是0的數(shù)字起,到最末一個(gè)數(shù)字止,所有的數(shù)字,都叫做這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字.如:0.05972精確到0.001得0.060,結(jié)果有兩個(gè)有效數(shù)字6,0. 4、把一個(gè)數(shù)寫(xiě)成±a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整數(shù)),這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法.如:-40700=-4.07×105,0.000043=4.3×10-5. 5、乘法公式(反過(guò)來(lái)就是因式分解的公式):①(a+b)(a-b)=a2-b2.②(a±b)2=a2±2ab+b2.③(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3.④(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3;a2+b2=(a+b)2-2ab,(a-b)2=(a+b)2-4ab. 6、冪的運(yùn)算性質(zhì):①am×an=am+n.②am÷an=am-n.③(am)n=amn.④(ab)n=anbn.⑤()n=n. ⑥a-n=,特別:()-n=()n.⑦a0=1(a≠0).如:a3×a2=a5,a6÷a2=a4,(a3)2=a6,(3a3)3=27a9,(-3)-1=-,5-2==,()-2=()2=,(-3.14)o=1,(-)0=1. 7、二次根式:①()2=a(a≥0),②=丨a丨,③=×,④=(a>0,b≥0).如:①(3)2=45.②=6.③a<0時(shí),=-a.④的平方根=4的平方根=±2.(平方根、立方根、算術(shù)平方根的概念) 8、一元二次方程:對(duì)于方程:ax2+bx+c=0: ①求根公式是x=,其中△=b2-4ac叫做根的判別式. 當(dāng)△>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根; 當(dāng)△=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根; 當(dāng)△<0時(shí),方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.注意:當(dāng)△≥0時(shí),方程有實(shí)數(shù)根. ②若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1和x2,并且二次三項(xiàng)式ax2+bx+c可分解為a(x-x1)(x-x2). ③以a和b為根的一元二次方程是x2-(a+b)x+ab=0. 9、一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線(b是直線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即一次函數(shù)在y軸上的截距).當(dāng)k>0時(shí),y隨x的增大而增大(直線從左向右上升);當(dāng)k<0時(shí),y隨x的增大而減小(直線從左向右下降).特別:當(dāng)b=0時(shí),y=kx(k≠0)又叫做正比例函數(shù)(y與x成正比例),圖象必過(guò)原點(diǎn). 10、反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象叫做雙曲線.當(dāng)k>0時(shí),雙曲線在一、三象限(在每一象限內(nèi),從左向右降);當(dāng)k<0時(shí),雙曲線在二、四象限(在每一象限內(nèi),從左向右上升).因此,它的增減性與一次函數(shù)相反. 11、統(tǒng)計(jì)初步:(1)概念:①所要考察的對(duì)象的全體叫做總體,其中每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體.從總體中抽取的一部份個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本,樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量.②在一組數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)(有時(shí)不止一個(gè)),叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).③將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列,把處在最中間的一個(gè)數(shù)(或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù). (2)公式:設(shè)有n個(gè)數(shù)x1,x2,…,xn,那么: ①平均數(shù)為:; ②極差:用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來(lái)反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍,用這種方法得到的差稱(chēng)為極差,即:極差=最大值-最小值; ③方差:數(shù)據(jù)、……, 的方差為,則= 標(biāo)準(zhǔn)差:方差的算術(shù)平方根.數(shù)據(jù)、……, 的標(biāo)準(zhǔn)差,則= 一組數(shù)據(jù)的方差越大,這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大,越不穩(wěn)定。 12、頻率與概率: (1)頻率=,各小組的頻數(shù)之和等于總數(shù),各小組的頻率之和等于1,頻率分布直方圖中各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為各組頻率。 (2)概率①如果用P表示一個(gè)事件A發(fā)生的概率,則0≤P(A)≤1; P(必然事件)=1;P(不可能事件)=0; ②在具體情境中了解概率的意義,運(yùn)用列舉法(包括列表、畫(huà)樹(shù)狀圖)計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率。 ③大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)頻率可視為事件發(fā)生概率的估計(jì)值; 13、銳角三角函數(shù): ①設(shè)∠A是Rt△ABC的任一銳角,則∠A的正弦:sinA=,∠A的余弦:cosA=,∠A的正切:tanA=.并且sin2A+cos2A=1. 0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0.∠A越大,∠A的正弦和正切值越大,余弦值反而越?。? ②余角公式:sin(90o-A)=cosA,cos(90o-A)=sinA. h l α ③特殊角的三角函數(shù)值:sin30o=cos60o=,sin45o=cos45o=,sin60o=cos30o=, tan30o=,tan45o=1,tan60o=. ④斜坡的坡度:i==.設(shè)坡角為α,則i=tanα=. 14、平面直角坐標(biāo)系中的有關(guān)知識(shí): (1)對(duì)稱(chēng)性:若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P(a,b),則P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為P1(a,-b),P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為P2(-a,b),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為P3(-a,-b). (2)坐標(biāo)平移:若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P(a,b)向左平移h個(gè)單位,坐標(biāo)變?yōu)镻(a-h(huán),b),向右平移h個(gè)單位,坐標(biāo)變?yōu)镻(a+h,b);向上平移h個(gè)單位,坐標(biāo)變?yōu)镻(a,b+h),向下平移h個(gè)單位,坐標(biāo)變?yōu)镻(a,b-h(huán)).如:點(diǎn)A(2,-1)向上平移2個(gè)單位,再向右平移5個(gè)單位,則坐標(biāo)變?yōu)锳(7,1). 15、二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí): 1.定義:一般地,如果是常數(shù),,那么叫做的二次函數(shù). 2.拋物線的三要素:開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn). ①的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向:當(dāng)時(shí),開(kāi)口向上;當(dāng)時(shí),開(kāi)口向下; 相等,拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同. ②平行于軸(或重合)的直線記作.特別地,軸記作直線. 幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下: 函數(shù)解析式 開(kāi)口方向 對(duì)稱(chēng)軸 頂點(diǎn)坐標(biāo) 當(dāng)時(shí) 開(kāi)口向上 當(dāng)時(shí) 開(kāi)口向下 (軸) (0,0) (軸) (0, ) (,0) (,) () 4.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法 (1)公式法:,∴頂點(diǎn)是,對(duì)稱(chēng)軸是直線. (2)配方法:運(yùn)用配方的方法,將拋物線的解析式化為的形式,得到頂點(diǎn)為(,),對(duì)稱(chēng)軸是直線. (3)運(yùn)用拋物線的對(duì)稱(chēng)性:由于拋物線是以對(duì)稱(chēng)軸為軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形,對(duì)稱(chēng)軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn)。 若已知拋物線上兩點(diǎn)(及y值相同),則對(duì)稱(chēng)軸方程可以表示為: 9.拋物線中,的作用 (1)決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小,這與中的完全一樣. (2)和共同決定拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線 ,故:①時(shí),對(duì)稱(chēng)軸為軸;②(即、同號(hào))時(shí),對(duì)稱(chēng)軸在軸左側(cè);③(即、異號(hào))時(shí),對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè). (3)的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置. 當(dāng)時(shí),,∴拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0,): ①,拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn); ②,與軸交于正半軸;③,與軸交于負(fù)半軸. 以上三點(diǎn)中,當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí),仍成立.如拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè),則 . 11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 (1)一般式:.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值,通常選擇一般式. (2)頂點(diǎn)式:.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸,通常選擇頂點(diǎn)式. (3)交點(diǎn)式:已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、,通常選用交點(diǎn)式:. 12.直線與拋物線的交點(diǎn) (1)軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, ). (2)拋物線與軸的交點(diǎn) 二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、,是對(duì)應(yīng)一元二次方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定: ①有兩個(gè)交點(diǎn)()拋物線與軸相交; ②有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在軸上)()拋物線與軸相切; ③沒(méi)有交點(diǎn)()拋物線與軸相離. (3)平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn) 同(2)一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí),兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,設(shè)縱坐 標(biāo)為,則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. (4)一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn),由方程組 的解的數(shù)目來(lái)確定:①方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn); ②方 程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn);③方程組無(wú)解時(shí)與沒(méi)有交點(diǎn). (5)拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離:若拋物線與軸兩交點(diǎn)為,則 1、多邊形內(nèi)角和公式:n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)180o(n≥3,n是正整數(shù)),外角和等于360o 2、平行線分線段成比例定理: (1)平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。 如圖:a∥b∥c,直線l1與l2分別與直線a、b、c相交與點(diǎn)A、B、C D、E、F,則有 (2)推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線),所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。 如圖:△ABC中,DE∥BC,DE與AB、AC相交與點(diǎn)D、E,則有: *3、直角三角形中的射影定理:如圖:Rt△ABC中,∠ACB=90o,CD⊥AB于D,則有: (1)(2)(3) 4、圓的有關(guān)性質(zhì): (1)垂徑定理:如果一條直線具備以下五個(gè)性質(zhì)中的任意兩個(gè)性質(zhì):①經(jīng)過(guò)圓心;②垂直弦;③平分弦;④平分弦所對(duì)的劣??;⑤平分弦所對(duì)的優(yōu)弧,那么這條直線就具有另外三個(gè)性質(zhì).注:具備①,③時(shí),弦不能是直徑.(2)兩條平行弦所夾的弧相等.(3)圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù).(4)一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.(5)圓周角等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半.(6)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.(7)在同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧相等.(8)90o的圓周角所對(duì)的弦是直徑,反之,直徑所對(duì)的圓周角是90o,直徑是最長(zhǎng)的弦.(9)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ). 5、三角形的內(nèi)心與外心:三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心就是三內(nèi)角角平分線的交點(diǎn).三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心.三角形的外心就是三邊中垂線的交點(diǎn). 常見(jiàn)結(jié)論:(1)Rt△ABC的三條邊分別為:a、b、c(c為斜邊),則它的內(nèi)切圓的半徑; (2)△ABC的周長(zhǎng)為,面積為S,其內(nèi)切圓的半徑為r,則 *6、弦切角定理及其推論: (1)弦切角:頂點(diǎn)在圓上,并且一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角。如圖:∠PAC為弦切角。 O P B C A (2)弦切角定理:弦切角度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。 如果AC是⊙O的弦,PA是⊙O的切線,A為切點(diǎn),則 推論:弦切角等于所夾弧所對(duì)的圓周角(作用證明角相等) 如果AC是⊙O的弦,PA是⊙O的切線,A為切點(diǎn),則 *7、相交弦定理、割線定理、切割線定理: 相交弦定理:圓內(nèi)的兩條弦相交,被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。 如圖①,即:PA·PB = PC·PD 割線定理 :從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這點(diǎn)到每條割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。 如圖②,即:PA·PB = PC·PD 切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。如圖③,即:PC2 = PA·PB ① ② ③ 8、面積公式: ①S正△=×(邊長(zhǎng))2. ②S平行四邊形=底×高. ③S菱形=底×高=×(對(duì)角線的積), ④S圓=πR2. ⑤l圓周長(zhǎng)=2πR. ⑥弧長(zhǎng)L=. ⑦ ⑧S圓柱側(cè)=底面周長(zhǎng)×高=2πrh,S全面積=S側(cè)+S底=2πrh+2πr2 ⑨S圓錐側(cè)=×底面周長(zhǎng)×母線=πrb, S全面積=S側(cè)+S底=πrb+πr2 高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論 1. 元素與集合的關(guān)系 ,. 2.德摩根公式 . 3.包含關(guān)系 4.容斥原理 . 5.集合的子集個(gè)數(shù)共有 個(gè);真子集有–1個(gè);非空子集有 –1個(gè);非空的真子集有–2個(gè). 6.二次函數(shù)的解析式的三種形式 (1)一般式; (2)頂點(diǎn)式; (3)零點(diǎn)式. 7.解連不等式常有以下轉(zhuǎn)化形式 . 8.方程在上有且只有一個(gè)實(shí)根,與不等價(jià),前者是后者的一個(gè)必要而不是充分條件.特別地, 方程有且只有一個(gè)實(shí)根在內(nèi),等價(jià)于,或且,或且. 9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得,具體如下: (1)當(dāng)a>0時(shí),若,則; ,,. (2)當(dāng)a<0時(shí),若,則,若,則,. 10.一元二次方程的實(shí)根分布 依據(jù):若,則方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根 . 設(shè),則 (1)方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或;(2)方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或或或; (3)方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或 . 11.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù) (1)在給定區(qū)間的子區(qū)間(形如,,不同)上含參數(shù)的二次不等式(為參數(shù))恒成立的充要條件是. (2)在給定區(qū)間的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式(為參數(shù))恒成立的充要條件是. (3)恒成立的充要條件是或. 12.真值表 p q 非p p或q p且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常見(jiàn)結(jié)論的否定形式 原結(jié)論 反設(shè)詞 原結(jié)論 反設(shè)詞 是 不是 至少有一個(gè) 一個(gè)也沒(méi)有 都是 不都是 至多有一個(gè) 至少有兩個(gè) 大于 不大于 至少有個(gè) 至多有()個(gè) 小于 不小于 至多有個(gè) 至少有()個(gè) 對(duì)所有,成立 存在某,不成立 或 且 對(duì)任何,不成立 存在某,成立 且 或 14.四種命題的相互關(guān)系 原命題 互逆 逆命題 若p則q 若q則p 互 互 互 為 為互 否 否 逆 逆 否 否 否命題 逆否命題 若非p則非q 互逆若非q則非p 15.充要條件 (1)充分條件:若,則是充分條件. (2)必要條件:若,則是必要條件. (3)充要條件:若,且,則是充要條件. 注:如果甲是乙的充分條件,則乙是甲的必要條件;反之亦然. 16.函數(shù)的單調(diào)性 (1)設(shè)那么 上是增函數(shù); 上是減函數(shù). (2)設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),如果,則為增函數(shù);如果,則為減函數(shù). 17.如果函數(shù)和都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)也是減函數(shù); 如果函數(shù)和在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)是增函數(shù). 18.奇偶函數(shù)的圖象特征 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);反過(guò)來(lái),如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù);如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù). 19.若函數(shù)是偶函數(shù),則;若函數(shù)是偶函數(shù),則. 20.對(duì)于函數(shù)(),恒成立,則函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是函數(shù);兩個(gè)函數(shù)與 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng). 21.若,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng); 若,則函數(shù)為周期為的周期函數(shù). 22.多項(xiàng)式函數(shù)的奇偶性 多項(xiàng)式函數(shù)是奇函數(shù)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零. 多項(xiàng)式函數(shù)是偶函數(shù)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零. 23.函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性 (1)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) . (2)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) . 24.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性 (1)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(即軸)對(duì)稱(chēng). (2)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng). (3)函數(shù)和的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng). 25.若將函數(shù)的圖象右移、上移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象;若將曲線的圖象右移、上移個(gè)單位,得到曲線的圖象. 26.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系 . 27.若函數(shù)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為,并不是,而函數(shù)是的反函數(shù). 28.幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)方程 (1)正比例函數(shù),. (2)指數(shù)函數(shù),. (3)對(duì)數(shù)函數(shù),. (4)冪函數(shù),. (5)余弦函數(shù),正弦函數(shù),, . 29.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0) (1),則的周期T=a; (2), 或, 或, 或,則的周期T=2a; (3),則的周期T=3a; (4)且,則的周期T=4a; (5) ,則的周期T=5a; (6),則的周期T=6a. 30.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (1)(,且). (2)(,且). 31.根式的性質(zhì) (1). (2)當(dāng)為奇數(shù)時(shí),; 當(dāng)為偶數(shù)時(shí),. 32.有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) (1) . (2) . (3). 注: 若a>0,p是一個(gè)無(wú)理數(shù),則ap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù).上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪都適用. 33.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式 . 34.對(duì)數(shù)的換底公式 (,且,,且, ). 推論 (,且,,且,, ). 35.對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則 若a>0,a≠1,M>0,N>0,則 (1); (2) ; (3). 36.設(shè)函數(shù),記.若的定義域?yàn)?則,且;若的值域?yàn)?則,且.對(duì)于的情形,需要單獨(dú)檢驗(yàn). 37. 對(duì)數(shù)換底不等式及其推廣 若,,,,則函數(shù) (1)當(dāng)時(shí),在和上為增函數(shù). , (2)當(dāng)時(shí),在和上為減函數(shù). 推論:設(shè),,,且,則 (1).(2). 38. 平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題 如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長(zhǎng)率為,則對(duì)于時(shí)間的總產(chǎn)值,有. 39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系 ( 數(shù)列的前n項(xiàng)的和為). 40.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 ; 其前n項(xiàng)和公式為. 41.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式; 其前n項(xiàng)的和公式為 或. 42.等比差數(shù)列:的通項(xiàng)公式為 ; 其前n項(xiàng)和公式為. 43.分期付款(按揭貸款) 每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為). 44.常見(jiàn)三角不等式 (1)若,則. (2) 若,則. (3) . 45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 ,=,. 46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式 (n為偶數(shù)) (n為奇數(shù)) (n為偶數(shù)) (n為奇數(shù)) 47.和角與差角公式 ; ; . (平方正弦公式); . =(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定, ). 48.二倍角公式 . . . 49. 三倍角公式 . .. 50.三角函數(shù)的周期公式 函數(shù),x∈R及函數(shù),x∈R(A,ω,為常數(shù),且A≠0,ω>0)的周期;函數(shù),(A,ω,為常數(shù),且A≠0,ω>0)的周期. 51.正弦定理? . 52.余弦定理 ; ; . 53.面積定理 (1)(分別表示a、b、c邊上的高). (2). (3). 54.三角形內(nèi)角和定理 在△ABC中,有 . 55. 簡(jiǎn)單的三角方程的通解 . . . 特別地,有 . . . 56.最簡(jiǎn)單的三角不等式及其解集 . . . . . . 57.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律 設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù),那么 (1) 結(jié)合律:λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律: (1) a·b= b·a (交換律); (2)(a)·b= (a·b)=a·b= a·(b); (3)(a+b)·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理? 如果e1、e 2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2,使得a=λ1e1+λ2e2. 不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底. 60.向量平行的坐標(biāo)表示?? 設(shè)a=,b=,且b0,則ab(b0). 53. a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積) a·b=|a||b|cosθ. 61. a·b的幾何意義 數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積. 62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)設(shè)a=,b=,則a+b=. (2)設(shè)a=,b=,則a-b=. (3)設(shè)A,B,則. (4)設(shè)a=,則a=. (5)設(shè)a=,b=,則a·b=. 63.兩向量的夾角公式 (a=,b=). 64.平面兩點(diǎn)間的距離公式 =(A,B). 65.向量的平行與垂直 設(shè)a=,b=,且b0,則 A||bb=λa . ab(a0)a·b=0. 66.線段的定比分公式 ? 設(shè),,是線段的分點(diǎn),是實(shí)數(shù),且,則 (). 67.三角形的重心坐標(biāo)公式 △ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、,則△ABC的重心的坐標(biāo)是. 68.點(diǎn)的平移公式 . 注:圖形F上的任意一點(diǎn)P(x,y)在平移后圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,且的坐標(biāo)為. 69.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論 (1)點(diǎn)按向量a=平移后得到點(diǎn). (2) 函數(shù)的圖象按向量a=平移后得到圖象,則的函數(shù)解析式為. (3) 圖象按向量a=平移后得到圖象,若的解析式,則的函數(shù)解析式為. (4)曲線:按向量a=平移后得到圖象,則的方程為. (5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然為m=. 70. 三角形五“心”向量形式的充要條件 設(shè)為所在平面上一點(diǎn),角所對(duì)邊長(zhǎng)分別為,則 (1)為的外心. (2)為的重心. (3)為的垂心. (4)為的內(nèi)心. (5)為的的旁心. 71.常用不等式: (1)(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)). (2)(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)). (3) (4)柯西不等式 (5). 72.極值定理 已知都是正數(shù),則有 (1)若積是定值,則當(dāng)時(shí)和有最小值; (2)若和是定值,則當(dāng)時(shí)積有最大值. 推廣 已知,則有 (1)若積是定值,則當(dāng)最大時(shí),最大; 當(dāng)最小時(shí),最小. (2)若和是定值,則當(dāng)最大時(shí), 最??; 當(dāng)最小時(shí), 最大. 73.一元二次不等式,如果與同號(hào),則其解集在兩根之外;如果與異號(hào),則其解集在兩根之間.簡(jiǎn)言之:同號(hào)兩根之外,異號(hào)兩根之間. ; . 74.含有絕對(duì)值的不等式 當(dāng)a> 0時(shí),有. 或. 75.無(wú)理不等式 (1) . (2). (3). 76.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式 (1)當(dāng)時(shí), ; . (2)當(dāng)時(shí), ; 77.斜率公式 (、). 78.直線的五種方程 (1)點(diǎn)斜式 (直線過(guò)點(diǎn),且斜率為). (2)斜截式 (b為直線在y軸上的截距). (3)兩點(diǎn)式 ()(、 ()). (4)截距式 (分別為直線的橫、縱截距,) (5)一般式 (其中A、B不同時(shí)為0). 79.兩條直線的平行和垂直 (1)若, ①; ②. (2)若,,且A1、A2、B1、B2都不為零, ①; ②; 80.夾角公式 (1). (,,) (2). (,,). 直線時(shí),直線l1與l2的夾角是. 81. 到的角公式 (1).(,,) (2). (,,). 直線時(shí),直線l1到l2的角是. 82.四種常用直線系方程 (1)定點(diǎn)直線系方程:經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數(shù); 經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線系方程為,其中是待定的系數(shù). (2)共點(diǎn)直線系方程:經(jīng)過(guò)兩直線,的交點(diǎn)的直線系方程為(除),其中λ是待定的系數(shù). (3)平行直線系方程:直線中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí),表示平行直線系方程.與直線平行的直線系方程是(),λ是參變量. (4)垂直直線系方程:與直線 (A≠0,B≠0)垂直的直線系方程是,λ是參變量. 83.點(diǎn)到直線的距離 (點(diǎn),直線:). 84. 或所表示的平面區(qū)域 設(shè)直線,則或所表示的平面區(qū)域是: 若,當(dāng)與同號(hào)時(shí),表示直線的上方的區(qū)域;當(dāng)與異號(hào)時(shí),表示直線的下方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之,同號(hào)在上,異號(hào)在下. 若,當(dāng)與同號(hào)時(shí),表示直線的右方的區(qū)域;當(dāng)與異號(hào)時(shí),表示直線的左方的區(qū)域. 簡(jiǎn)言之,同號(hào)在右,異號(hào)在左. 85. 或所表示的平面區(qū)域 設(shè)曲線(),則 或所表示的平面區(qū)域是: 所表示的平面區(qū)域上下兩部分; 所表示的平面區(qū)域上下兩部分. 86. 圓的四種方程 (1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 . (2)圓的一般方程 (>0). (3)圓的參數(shù)方程 . (4)圓的直徑式方程 (圓的直徑的端點(diǎn)是、). 87. 圓系方程 (1)過(guò)點(diǎn),的圓系方程是 ,其中是直線的方程,λ是待定的系數(shù). (2)過(guò)直線:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,λ是待定的系數(shù). (3) 過(guò)圓:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,λ是待定的系數(shù). 88.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種 若,則 點(diǎn)在圓外;點(diǎn)在圓上;點(diǎn)在圓內(nèi). 89.直線與圓的位置關(guān)系 直線與圓的位置關(guān)系有三種: ; ; . 其中. 90.兩圓位置關(guān)系的判定方法 設(shè)兩圓圓心分別為O1,O2,半徑分別為r1,r2, ; ; ; ; . 91.圓的切線方程 (1)已知圓. ①若已知切點(diǎn)在圓上,則切線只有一條,其方程是 . 當(dāng)圓外時(shí), 表示過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程. ②過(guò)圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為,再利用相切條件求k,這時(shí)必有兩條切線,注意不要漏掉平行于y軸的切線. ③斜率為k的切線方程可設(shè)為,再利用相切條件求b,必有兩條切線. (2)已知圓. ①過(guò)圓上的點(diǎn)的切線方程為; ②斜率為的圓的切線方程為. 92.橢圓的參數(shù)方程是. 93.橢圓焦半徑公式 ,. 94.橢圓的的內(nèi)外部 (1)點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部. (2)點(diǎn)在橢圓的外部. 95. 橢圓的切線方程 (1)橢圓上一點(diǎn)處的切線方程是. (2)過(guò)橢圓外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 . (3)橢圓與直線相切的條件是. 96.雙曲線的焦半徑公式 ,. 97.雙曲線的內(nèi)外部 (1)點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部. (2)點(diǎn)在雙曲線的外部. 98.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系 (1)若雙曲線方程為漸近線方程:. (2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為. (3)若雙曲線與有公共漸近線,可設(shè)為(,焦點(diǎn)在x軸上,,焦點(diǎn)在y軸上). 99. 雙曲線的切線方程 (1)雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是. (2)過(guò)雙曲線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 . (3)雙曲線與直線相切的條件是. 100. 拋物線的焦半徑公式 拋物線焦半徑. 過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng). 101.拋物線上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P或 P,其中 . 102.二次函數(shù)的圖象是拋物線:(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)為;(2)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為;(3)準(zhǔn)線方程是. 103.拋物線的內(nèi)外部 (1)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部. 點(diǎn)在拋物線的外部. (2)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部. 點(diǎn)在拋物線的外部. (3)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部. 點(diǎn)在拋物線的外部. (4) 點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部. 點(diǎn)在拋物線的外部. 104. 拋物線的切線方程 (1)拋物線上一點(diǎn)處的切線方程是. (2)過(guò)拋物線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是. (3)拋物線與直線相切的條件是. 105.兩個(gè)常見(jiàn)的曲線系方程 (1)過(guò)曲線,的交點(diǎn)的曲線系方程是 (為參數(shù)). (2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程,其中.當(dāng)時(shí),表示橢圓; 當(dāng)時(shí),表示雙曲線. 106.直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式 或 (弦端點(diǎn)A,由方程 消去y得到,,為直線的傾斜角,為直線的斜率). 107.圓錐曲線的兩類(lèi)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題 (1)曲線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的曲線是. (2)曲線關(guān)于直線成軸對(duì)稱(chēng)的曲線是 . 108.“四線”一方程 對(duì)于一般的二次曲線,用代,用代,用代,用代,用代即得方程 ,曲線的切線,切點(diǎn)弦,中點(diǎn)弦,弦中點(diǎn)方程均是此方程得到. 109.證明直線與直線的平行的思考途徑 (1)轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無(wú)交點(diǎn); (2)轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行;(3)轉(zhuǎn)化為線面平行; (4)轉(zhuǎn)化為線面垂直;(5)轉(zhuǎn)化為面面平行. 110.證明直線與平面的平行的思考途徑 (1)轉(zhuǎn)化為直線與平面無(wú)公共點(diǎn); (2)轉(zhuǎn)化為線線平行;(3)轉(zhuǎn)化為面面平行. 111.證明平面與平面平行的思考途徑 (1)轉(zhuǎn)化為判定二平面無(wú)公共點(diǎn); (2)轉(zhuǎn)化為線面平行;(3)轉(zhuǎn)化為線面垂直. 112.證明直線與直線的垂直的思考途徑 (1)轉(zhuǎn)化為相交垂直;(2)轉(zhuǎn)化為線面垂直; (3)轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直; (4)轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直. 113.證明直線與平面垂直的思考途徑 (1)轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直; (2)轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直; (3)轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行; (4)轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面; (5)轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直. 114.證明平面與平面的垂直的思考途徑 (1)轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角; (2)轉(zhuǎn)化為線面垂直. 115.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律 (1)加法交換律:a+b=b+a. (2)加法結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c). (3)數(shù)乘分配律:λ(a+b)=λa+λb. 116.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣 始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和,等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量. 117.共線向量定理 對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b(b≠0 ),a∥b存在實(shí)數(shù)λ使a=λb. 三點(diǎn)共線. 、共線且不共線且不共線. 118.共面向量定理 向量p與兩個(gè)不共線的向量a、b共面的存在實(shí)數(shù)對(duì),使. 推論 空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對(duì),使, 或?qū)臻g任一定點(diǎn)O,有序?qū)崝?shù)對(duì),使. 119.對(duì)空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)A、B、C,滿(mǎn)足(),則當(dāng)時(shí),對(duì)于空間任一點(diǎn),總有P、A、B、C四點(diǎn)共面;當(dāng)時(shí),若平面ABC,則P、A、B、C四點(diǎn)共面;若平面ABC,則P、A、B、C四點(diǎn)不共面. 四點(diǎn)共面與、共面 (平面ABC). 120.空間向量基本定理 如果三個(gè)向量a、b、c不共面,那么對(duì)空間任一向量p,存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使p=xa+yb+zc. 推論 設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn),則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x,y,z,使. 121.射影公式 已知向量=a和軸,e是上與同方向的單位向量.作A點(diǎn)在上的射影,作B點(diǎn)在上的射影,則 〈a,e〉=a·e 122.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算 設(shè)a=,b=則 (1)a+b=;(2)a-b=; (3)λa= (λ∈R);(4)a·b=; 123.設(shè)A,B,則 = . 124.空間的線線平行或垂直 設(shè),,則 ; . 125.夾角公式 設(shè)a=,b=,則 cos〈a,b〉=. 推論 ,此即三維柯西不等式. 126. 四面體的對(duì)棱所成的角 四面體中, 與所成的角為,則 . 127.異面直線所成角 = (其中()為異面直線所成角,分別表示異面直線的方向向量) 128.直線與平面所成角 (為平面的法向量). 129.若所在平面若與過(guò)若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個(gè)內(nèi)角,則 . 特別地,當(dāng)時(shí),有 . 130.若所在平面若與過(guò)若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個(gè)內(nèi)角,則 . 特別地,當(dāng)時(shí),有 . 131.二面角的平面角 或(,為平面,的法向量). 132.三余弦定理 設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線,且BC⊥AC,垂足為C,又設(shè)AO與AB所成的角為,AB與AC所成的角為,AO與AC所成的角為.則. 133. 三射線定理 若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是,,與二面角的棱所成的角是θ,則有 ; (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立). 134.空間兩點(diǎn)間的距離公式 若A,B,則 =. 135.點(diǎn)到直線距離 (點(diǎn)在直線上,直線的方向向量a=,向量b=). 136.異面直線間的距離 (是兩異面直線,其公垂向量為,分別是上任一點(diǎn),為間的距離). 137.點(diǎn)到平面的距離 (為平面的法向量,是經(jīng)過(guò)面的一條斜線,). 138.異面直線上兩點(diǎn)距離公式 . . (). (兩條異面直線a、b所成的角為θ,其公垂線段的長(zhǎng)度為h.在直線a、b上分別取兩點(diǎn)E、F,,,). 139.三個(gè)向量和的平方公式 140. 長(zhǎng)度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長(zhǎng)分別為,夾角分別為,則有 . (立體幾何中長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)的公式是其特例). 141. 面積射影定理 . (平面多邊形及其射影的面積分別是、,它們所在平面所成銳二面角的為). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)是,側(cè)面積和體積分別是和,它的直截面的周長(zhǎng)和面積分別是和,則 ①.②. 143.作截面的依據(jù) 三個(gè)平面兩兩相交,有三條交線,則這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行. 144.棱錐的平行截面的性質(zhì) 如果棱錐被平行于底面的平面所截,那么所得的截面與底面相似,截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比(對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形,相似多邊形面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方);相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比. 145.歐拉定理(歐拉公式) (簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F). (1)=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個(gè)面的邊數(shù)為的多邊形,則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系:; (2)若每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為,則頂點(diǎn)數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系:. 146.球的半徑是R,則 其體積,其表面積. 147.球的組合體 (1)球與長(zhǎng)方體的組合體: 長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng). (2)球與正方體的組合體: 正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng), 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng), 正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng). (3) 球與正四面體的組合體: 棱長(zhǎng)為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為. 148.柱體、錐體的體積 (是柱體的底面積、是柱體的高). (是錐體的底面積、是錐體的高). 149.分類(lèi)計(jì)數(shù)原理(加法原理) . 150.分步計(jì)數(shù)原理(乘法原理) . 151.排列數(shù)公式 ==.(,∈N*,且). 注:規(guī)定. 152.排列恒等式 (1);(2); (3); (4); (5).(6) . 153.組合數(shù)公式 ===(∈N*,,且). 154.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì) (1)= ; (2) +=. 注:規(guī)定. 155.組合恒等式 (1);(2);(3); (4)=;(5). (6). (7). (8). (9). (10). 156.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系 . 157.單條件排列 以下各條的大前提是從個(gè)元素中取個(gè)元素的排列. (1)“在位”與“不在位” ①某(特)元必在某位有種;②某(特)元不在某位有(補(bǔ)集思想)(著眼位置)(著眼元素)種. (2)緊貼與插空(即相鄰與不相鄰) ①定位緊貼:個(gè)元在固定位的排列有種. ②浮動(dòng)緊貼:個(gè)元素的全排列把k個(gè)元排在一起的排法有種.注:此類(lèi)問(wèn)題常用捆綁法; ③插空:兩組元素分別有k、h個(gè)(),把它們合在一起來(lái)作全排列,k個(gè)的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有種. (3)兩組元素各相同的插空 個(gè)大球個(gè)小球排成一列,小球必分開(kāi),問(wèn)有多少種排法? 當(dāng)時(shí),無(wú)解;當(dāng)時(shí),有種排法. (4)兩組相同元素的排列:兩組元素有m個(gè)和n個(gè),各組元素分別相同的排列數(shù)為. 158.分配問(wèn)題 (1)(平均分組有歸屬問(wèn)題)將相異的、個(gè)物件等分給個(gè)人,各得件,其分配方法數(shù)共有. (2)(平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題)將相異的·個(gè)物體等分為無(wú)記號(hào)或無(wú)順序的堆,其分配方法數(shù)共有 . (3)(非平均分組有歸屬問(wèn)題)將相異的個(gè)物體分給個(gè)人,物件必須被分完,分別得到,,…,件,且,,…,這個(gè)數(shù)彼此不相等,則其分配方法數(shù)共有. (4)(非完全平均分組有歸屬問(wèn)題)將相異的個(gè)物體分給個(gè)人,物件必須被分完,分別得到,,…,件,且,,…,這個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、…個(gè)相等,則其分配方法數(shù)有 . (5)(非平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題)將相異的個(gè)物體分為任意的,,…,件無(wú)記號(hào)的堆,且,,…,這個(gè)數(shù)彼此不相等,則其分配方法數(shù)有. (6)(非完全平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題)將相異的個(gè)物體分為任意的,,…,件無(wú)記號(hào)的堆,且,,…,這個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、…個(gè)相等,則其分配方法數(shù)有. (7)(限定分組有歸屬問(wèn)題)將相異的()個(gè)物體分給甲、乙、丙,……等個(gè)人,物體必須被分完,如果指定甲得件,乙得件,丙得件,…時(shí),則無(wú)論,,…,等個(gè)數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有 . 159.“錯(cuò)位問(wèn)題”及其推廣 貝努利裝錯(cuò)箋問(wèn)題:信封信與個(gè)信封全部錯(cuò)位的組合數(shù)為 . 推廣: 個(gè)元素與個(gè)位置,其中至少有個(gè)元素錯(cuò)位的不同組合總數(shù)為 . 160.不定方程的解的個(gè)數(shù) (1)方程()的正整數(shù)解有個(gè). (2) 方程()的非負(fù)整數(shù)解有 個(gè). (3) 方程()滿(mǎn)足條件(,)的非負(fù)整數(shù)解有個(gè). (4) 方程()滿(mǎn)足條件(,)的正整數(shù)解有個(gè). 161.二項(xiàng)式定理 ; 二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式 . 162.等可能性事件的概率. 163.互斥事件A,B分別發(fā)生的概率的和P(A+B)=P(A)+P(B). 164.個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 165.獨(dú)立事件A,B同時(shí)發(fā)生的概率P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An). 167.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率 168.離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì) (1);(2). 169.數(shù)學(xué)期望 170.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) (1).(2)若~,則. (3) 若服從幾何分布,且,則. 171.方差 172.標(biāo)準(zhǔn)差 =. 173.方差的性質(zhì) (1);(2)若~,則. (3) 若服從幾何分布,且,則. 174.方差與期望的關(guān)系 . 175.正態(tài)分布密度函數(shù) ,式中的實(shí)數(shù)μ,(>0)是參數(shù),分別表示個(gè)體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差. 176.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù) . 177.對(duì)于,取值小于x的概率 . . 178.回歸直線方程 ,其中. 179.相關(guān)系數(shù) . |r|≤1,且|r|越接近于1,相關(guān)程度越大;|r|越接近于0,相關(guān)程度越小. 180.特殊數(shù)列的極限 (1). (2). (3)(無(wú)窮等比數(shù)列 ()的和). 181. 函數(shù)的極限定理 . 182.函數(shù)的夾逼性定理 如果函數(shù)f(x),g(x),h(x)在點(diǎn)x0的附近滿(mǎn)足: (1); (2)(常數(shù)), 則. 本定理對(duì)于單側(cè)極限和的情況仍然成立. 183.幾個(gè)常用極限 (1),();(2),. 184.兩個(gè)重要的極限 (1);(2)(e=2.718281845…). 185.函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則 若,,則(1); (2);(3). 186.數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則 若,則(1); (2);(3) (4)( c是常數(shù)). 187.在處的導(dǎo)數(shù)(或變化率或微商) . 188.瞬時(shí)速度 . 189.瞬時(shí)加速度 . 190.在的導(dǎo)數(shù) . 191. 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率,相應(yīng)的切線方程是. 192.幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1) (C為常數(shù)).(2) .(3) . (4) . (5) ;. (6) ; . 193.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 (1).(2).(3). 194.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù),函數(shù)在點(diǎn)處的對(duì)應(yīng)點(diǎn)U處有導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù),且,或?qū)懽? 195.常用的近似計(jì)算公式(當(dāng)充小時(shí)) (1);;(2); ; (3);(4);(5)(為弧度); (6)(為弧度);(7)(為弧度) 196.判別是極大(?。┲档姆椒? 當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)時(shí), (1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),則是極大值; (2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),則是極小值. 197.復(fù)數(shù)的相等 .() 198.復(fù)數(shù)的模(或絕對(duì)值) ==. 199.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則 (1); (2); (3); (4). 200.復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算律 對(duì)于任何,有 交換律:. 結(jié)合律:. 分配律: . 201.復(fù)平面上的兩點(diǎn)間的距離公式 (,). 202.向量的垂直 非零復(fù)數(shù),對(duì)應(yīng)的向量分別是,,則 的實(shí)部為零為純虛數(shù) (λ為非零實(shí)數(shù)). 203.實(shí)系數(shù)一元二次方程的解 實(shí)系數(shù)一元二次方程, ①若,則; ②若,則; ③若,它在實(shí)數(shù)集內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根;在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根. 42- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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