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1、空間“角”問題,例1如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的 底面ABCD為平行四邊形，其中AB= ，BD=BC=1， =2，E為DC的中點，F是棱DD1上的動點. (1)求異面直線AD1與BE所 成角的正切值； (2)當DF為何值時,EF與BC1 所成的角為90?,題型一 異面直線所成的角的求法,分析:依異面直線所成角的定義或推理尋 找或平行移動作出異面直線所成角對應 平面角.,方法1 （1）連接EC1.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD1BC1， 則EBC1為異面直線 AD1與BE所成的角.,又底面ABCD側面DCC1D1 BD=BC E為CD的中點 BE側面DCC1D1

2、BEEC1. 在RtBEC1中，BE= = ， EC1= = ， 所以tanEBC1= =3.,,BECD,,(2)當DF= 時,EF與BC1所成的角為90. 由（1）知，BE側面DCC1D1 BEEF. 又DE=EC= ，CC1=AA1=2. 當DF= 時， 因為 = = ， = = ，,所以DEFCC1E， 所以DEF+CEC1=90， 所以FEC1=90，即FEEC1. 又EBBC1=E，所以EF平面BEC1，所以EFBC1, 即EF與BC1所成的角等于90.,例2如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2， E為CD的中點，將ADE沿AE折起，

3、使平 面ADE平面ABCE，得到幾何體D-ABCE。 (1)求證：BE平面ADE，并求AB與 平面ADE所成的角的大??； (2)求BD與平面CDE所成角的正弦值.,題型二 直線和平面所成的角,解析：(1)在矩形ABCD中，連接BE， 因為AB=2AD，E為CD的中點， 所以AD=DE，EAB=45， 從而EBA=45，故AEEB. 過D作DOAE于O. 因為平面ADE平面 ABCE， 所以DO平面ABCE，所以DOBE. 又AEDO=O，所以BE平面ADE. 可知AE為AB在平面ADE上的射影， 從而BAE為AB與平面ADE所成的角,大小為45.,題型三 二面角,2找直線和平面所成的角常用

4、方法是過線上一點作面的垂線或找線上一點到面的垂 線，或找(作)垂面，將其轉化為平面角，或解直角三角形 二面角的求解方法一般有作垂面法、三垂線定理法、面積射影法、向量法等，特別是對“無”棱(圖中沒有棱)的二面角，應先找出棱求解,1角的計算與度量總要進行轉化， 這體現了轉化的思想，主要將空間角轉化為平面角,空 間 距 離,點到平面的距離,直線到與它平行平面的距離,兩個平行平面的距離,兩條異面直線的距離,,點到平面的距離,,,A,,B,一點到它在一個平面內的正射影的距離叫做這一個點到這個平面的距離。,可見，連結平面 外一點P與 內一點所得的線段中，垂線段PA最短,直線到與它平行平面的距離,,,

5、,一條直線上的任一點到與它平行的平面的距離，叫做這條直線到平面的距離。,如果一條直線 平行于平面 ，,則直線 上的各點到平面的垂線段相等，,即 上各個點到 的距離相等。,在棱長為a的正方體AC1中找出表示下列距離的垂線段: （1）點A到面BCC1B1的距離 ； （2）B1D1到面ABCD的距離 ； （3）點A到面BB1D1D的距離 ,,a,,,,a,,,,例4.如圖,已知正三角形ABC的邊長為6cm，點O到ABC各頂點的距離都是4cm，求點O到這個三角形所在平面的距離。,,,,,,,,,,,A,B,C,O,H,E,設H為點O在平面ABC內的射影， 延長AH，交BC于E，連結BH、

6、CH,即H是ABC的中心，AE是邊BC上的垂直平分線,在RtBHE中，,即點O到平面ABC的距離是2cm,解:,例5已知四面體ABCD，ABACAD6，BC3，CD4，BD5，求點A到平面BCD的距離。,兩個平行平面的距離,,,,,A,B,A,B,和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做這兩個平面的公垂線。,公垂線夾在平行平面間的部分，叫做這兩個平面的公垂線段。,直線AA、BB都是它們的公垂線段,兩個平行平面的公垂線段的長度，叫做兩個平行平面的距離。,1.與已知平面的距離等于3cm的所有點的集合是什么圖形？,2.已知兩平面平行，且兩平面距離為4cm，與兩平面距離相等的所有點集合是什么圖形？,,,,,

7、,,,,在已知平 面兩側且 距離為 3 的兩個平 行平面.,在已知平 面之間且 距離為2, 平行于已 知平面的 一個平面.,例6.,解:,,例7.,解:,,連結CD,,異面直線的距離,,,在正方體中，棱AA和BC所在直線是異面直線，,直線AB和它們都垂直相交。,和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線。,,任意兩條異面直線有幾條公垂線？,思考：,直線AB就是兩異面直 線AA和BC的公垂線,任意兩條異面直線有且只有一條公垂線,證：設a、b是兩條異面直線,在b上任取一點P，過P引a//a，,設b、a確定平面 ，則a//,在a上任取一點Q，過Q引QM ，垂足為M，,設a和QM確定的平

8、面 與平面 相交于直線c，,c與b相交于點B。,在 內作BA // MQ，交a于點A，則,,,A,B,可見，直線AB就是異面直線a、b的公垂線,兩條異面直線的公垂線夾在異面直線間的部分，叫做這兩條異面直線的公垂線段。,（即線段AB就是異面直線a、b的公垂線段）,兩條異面直線的公垂線段長是分別連結兩條異面直線上兩點的線段中最短的一條。,思考：,兩條異面直線的公垂線段的長度，叫做兩條異面直線的距離。,,例8. 在1200二面角的棱長，有兩個點A、B，AC、BD分別是在這個二面角的兩個面內垂直于AB的線段，已知AB4cm，AC6cm，BD8cm，求CD的長。,,,,,,,,,,,C,A,B,D,,能力思維方法,1.平面四邊形ABCD中，AB=BC=CD=a，B=90，DCB=135，沿對角線AC將四邊形折成直二面角. 證：(1)AB面BCD； (2)求面ABD與面ACD所成的角.,2.在直角梯形P1DCB中，P1DCB，CDP1D，P1D= 6，BC=3，DC=3，A是P1D的中點. 沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角P-CD-B成45，設E、F分別為AB、PD的中點. (1)求證：AF平面PEC； (2)求二面角P-BC-A的大?。?解折疊題時，一定要分清折前與折后的變與不變的量，有時在折后的立體圖中不好計算的量要回到折前圖中去計算.,