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章末整合提升,專題一,線面平行與垂直的證明,例 1：如圖 1，在四棱錐 P－ABCD 中，底面 ABCD 是正方 形，側棱 PD⊥底面 ABCD，PD＝DC，E 是 PC 的中點，作 EF ⊥PB 于點 F. (1)證明：PA ∥平面 EDB； (2)證明：PB⊥平面 EFD.,圖 1,(2)∵PD⊥底面 ABCD，DC?底面 ABCD， ∴PD⊥DC.∵PD＝DC，,∴△PDC 是等腰直角三角形，,而 DE 是斜邊 PC 的中線，∴DE⊥PC. 同樣由 PD⊥底面 ABCD，得 PD⊥BC.,又∵DC⊥BC，PC∩DE＝E，∴BC⊥平面 PDC. 而 DE?平面 PDC，∴BC⊥DE.,∵DE⊥PC，BC∩PC＝C，∴DE⊥平面 PBC. 而 PB?平面 PBC，∴DE⊥PB.,又 EF⊥PB 且 DE∩EF＝E，∴PB⊥平面 EFD.,圖 2,證明：(1)設AC 與BD 交于點 G，如圖28.,圖 28,∴四邊形 AGEF 為平行四邊形， ∴AF∥EG.,∵EG?平面 BDE，AF?平面 BDE， ∴AF∥平面 BDE.,(2)連接 FG，如圖28.,∵EF∥CG，EF＝CG＝1，且 CE＝1， ∴平行四邊形 CEFG 為菱形，∴CF⊥EG.,∵四邊形 ABCD 為正方形，,圖 3,1－3.(遼寧) 如圖 4，棱柱ABC － A1B1C1 的 側面,BCC1B1 是菱形，B1C⊥A1B.,(1)證明：平面 AB1C⊥平面 A1BC1；,(2)設 D 是 A1C1 上的點，且 A1B∥平面 B1CD，求 A1D∶DC1,的值．,圖 4,(3)解：∵EF⊥FB，∠BFC＝90°， ∴BF⊥平面 CDEF.,∴BF 為四面體 B－DEF 的高，又 BC＝AB＝2，,專題二,空間角,例 2：(全國)直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，若∠BAC ＝90°，AB＝AC＝AA1 ，則異面直線 BA1 與 AC1 所成的角等于,(,),A．30°,B．45°,C．60°,D．90°,思維突破：延長 CA 到 D，使得 AD＝AC， 則 ADA1C1 為平行四邊形， ∠DA1B 就是異面直線 BA1 與 AC1 所成的角， 又三角形 A1DB 為等邊三角形，∴∠DA1B＝60°.,答案：C,2－1.(2010 年全國)已知三棱錐 S－ABC 中，底面 ABC 為邊 長等于 2 的等邊三角形，SA 垂直于底面 ABC，SA＝3，那么直 線 AB 與平面 SBC 所成角的正弦值為( ),2－2.(湖南)如圖 5，在長方體 ABCD－A1B1C1D1中，,AB＝AD＝1，AA1＝2，M 是棱 CC1 的中點． (1)求異面直線 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值； (2)證明：平面 ABM⊥平面 A1B1M.,圖 5,解：(1)因為C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1 為異面直線A1M 與,C1D1 所成的角．,因為 A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°.,圖 6,(2)解：連接 AC，如圖 7.,設點 A 到平面 PBC 的距離為 h. ∵AB∥DC，∠BCD＝90°， ∴∠ABC＝90°.,從而由 AB＝2，BC＝1，,圖 7,如果很難作出平面的垂線，可以用等體積 法，即利用四面體的體積不變性，求點到平面的距離．,3－1.(廣東)如圖 8， 是半徑為 a 的半圓，AC 為 直徑，點 E 為 的中點，點 B 和點 C 為線段 AD 的三等分點， 平面 AEC 外一點 F 滿足 FC⊥平面 BED，F(xiàn)B＝ .,(1)證明：EB⊥FD；,(2)求點 B 到平面 FED 的距離．,圖 8,圖 9,3－2.(陜西)如圖 9，在四棱錐 P—ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA ⊥平面 ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E、F 分別是 PB、PC 的中點． (1)證明：EF∥平面 PAD； (2)求三棱錐 E—ABC 的體積 V.,