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1、3.1.2 空間向量的數乘運算 1.回 顧 1.回顧平面向量向量知識：平行向量或共線向量？ 怎樣判定向量 b與非零向量 a是否共線？ 方向相同或者相反的非零向量叫做 平行向量 .由于 任何一組平行向量都可以平移到同一條直線上， 所以平行向量也叫做 共線向量 向量 b與非零向量 a共線的充要條件是有且只有一 個實數 ，使 b= a ,稱 平面向量共線定理 . 1.回 顧 2. 必修 平面向量 ，平面向量的一個重要定理 平面向量基本定理：如果 e1、 e2是同一平面內兩 個不共線的向量，那么對這一平面內的任意一個向 量 a， 有且只有一對實數 1、 2，使 a 1e

2、1 2e2. 其中不共線向量 e1、 e2叫做表示這一平面內所有向量 的一組 基底 回 顧 a O B b 結論 ： 空間 任意兩個 向量 都可 平移 到 同一個平面 內 ，成為同一平面內的向量 . 因此凡是涉及 空間任意兩個向量 的問題， 平面向 量 中有關結論仍 適用 于它們 . 一、空間向量數乘運算 1.實數 與空間向量 的乘積 仍然是一個向量 . 當 時， 當 時， 與向量 方向相同； 與向量 方向相同； 是零向量 . a a 0 0 a a a a 當 時， 0 a （ 1）方向： （ 2）大?。?的長度是 的長度的 倍 . a ||

3、a 2.空間向量的數乘運算滿足分配律及結合律 即： （ ） () ( ) ( ) a b a b a a a aa 二、共線向量 :如果表示空間向量的有向線段所在 直線互 相平行或重合 ,則這些向量叫做共線向量 (或 平行向量 ),記作 ba// 問題 2：平面向量中， )0(// bba .ab 的充要條件是：存在 唯一的實數 ，使 能否推廣到空間向量中呢？ 問題 1：若 )0(// aba 則 ba , 所在直線有那些位置關系 ? )0(// bba )0( bba )0(// bba 由此可判斷空間中兩直線 平行或三點共線

4、問題 共線向量定理 : 對空間任意兩個向量 ， ， 的充要條件是存在唯一實數 ， 使 a b ( 0) .a b b )0(// bba 性質 判定 )0( bba 如圖， l 為經過已知點 A且平行已 知非零向量 的直線， 若點 P是直線 l 上任意一點，則 a al // atAP 對空間任意一點 O, ,OAOPAP 所以 atOAOP atOAOP 即 若在 l上取 則有 ABtOAOP 和都稱為空間直線的向量表示式，空間任 意直線由空間一點及直線的方向向量唯一決定 .由 此可判斷空間任

5、意三點共線。 a l A B P O 由 知存在唯一的 t, 滿足 aAB 因為 ,BB OAOA 所以 )A(tAOP OOBO OBtO At)1( 特別的，當 t= 時， 2 1 )B(21OP OOA 則有 ABtOAOP 進一步， OBOAOP _ _ _ __ _ _ _ 還可表示為：OP t 1-t P點為 A,B 的中點 a l A B P O 判定空間中三點 A、 B、 C共線的常用方法： （ 1）只需得到存在實數 ，使 BCAB ACkAB 或 （ 2）對空間任意點 O，存在實數 t,使 OBtOAtOC )1(

6、特別地，當 t=1/2時， )( 2 1 OBOAOC 此時，點 C恰為線段 AB的 中點 A、 B、 P三點共線 ABtOAOP ABtAP )1(AP yxOByOxO 練習 1 已知 A 、 B 、 P 三點共線， O 為空間任意一點， O P 1 3 O A OB ，則 _ ___ __ __. 3 2 結論 1: 練習 1: 已知 OE 是以 O A O B O C、 、 為棱的平行六面 體 O A D B C F E G 的 對 角 線 , 點 M 是 ABC 的重心 . 求證 : 點 M 在直線 OE 上 . O A M G E F C B D O

7、 分析 : 證三點共線可 嘗試 用向量來分析 . 如圖所示 ， 在正方體 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， E 在 A 1 D 1 上 ， 且 A 1 E 2 ED 1 ， F 在對角線 A 1 C 上 ， 且 A 1 F 2 3 FC . 求證 ： E ， F ， B 三點共線 例 2 【思路點撥】 要證 E ， F ， B 三點共線，只需證 EB m EF ( m R ) 即可 【證明】 設 AB a ， AD b ， AA 1 c . A 1 E 2 ED 1 ， A 1 F 2 3 FC ， A 1 E

8、 2 3 A 1 D 1 ， A 1 F 2 5 A 1 C . A 1 E 2 3 AD 2 3 b ， A 1 F 2 5 ( AC AA 1 ) 2 5 ( AB AD AA 1 ) 2 5 a 2 5 b 2 5 c . EF A 1 F A 1 E 2 5 a 4 15 b 2 5 c 2 5 ( a 2 3 b c ) 又 EB EA 1 A 1 A AB 2 3 b c a a 2 3 b c ， EF 2 5 EB . 所以 E ， F ， B 三點共線

9、三、共面向量 : 1.共面向量 :平行于同一平面的向量 , 叫做共面向量 . 注意： 空間任意兩個向量是共面的，但空間 任意三個向量 既可能共面，也可能不共面 d b a c 由平面向量基本定理知，如果 ， 是平面內的兩個不共線的向量，那 么對于這一平面內的任意向量 ， 有且只有一對實數 ， 使 如果空間向量 與兩不共線向量 ， 共面，那么 可將三個向量平移到同一平面 ，則有 byxp a p b 那么什么情況下三個向量共面呢？ 2211 eea 1e 2e 1 2 a a 1e 2e 反過來，對空間任意兩個不共線的向量 ， ，如 果 ，那

10、么向量 與向量 , 有什么 位置關系？ a b byxp a b 共線，，分別與 bby a,a x 確定的平面內，都在 bby a,ax 確定的平面內，，并且此平行四邊形在 ba 共面，與即確定的平面內，在 bbby ap,aaxp a b A B P pC p 2.共面向量定理 ：如果兩個向量 ， 不共線 ， byxp a bp a b 則向量 與向量 ， 共面的充要 條件是 存在實數對 x,y使 a b A B P p 推論 :空間一點 P位于平面 ABC內的充要條件是存在 有序實數對 x,y使 ACyABxAP C O OCOBOAOP ( _ _

11、_ _ )( _ _ _ _ )( _ _ _ _ _ ) a b A B P p 對空間任一點 O,有 填空： 1-x-y x y ACyABxOAOP C 式稱為空間平面 ABC的向量表示式，空間中任意 平面由空 間一點及兩個不共線的向量唯一確定 . 由此可判斷空間任意四點共面 P與 A,B,C共面 ACyABxAP ACyABxOAOP ( 1 ) O P x O A y O B z O C x y z 課 外 補 充 練習 : 1.下列 說明正確的是： (A)在平面內共線的向量在空間不一定共線 (B)在空間共線的向量在平

12、面內不一定共線 (C)在平面內共線的向量在空間一定不共線 (D)在空間共線的向量在平面內一定共線 2.下列說法正確的是： (A)平面內的任意兩個向量都共線 (B)空間的任意三個向量都不共面 (C)空間的任意兩個向量都共面 (D)空間的任意三個向量都共面 D C 1 下列命題中正確的個數是 ( ) 若 a與 b共線 ， b與 c共線 ， 則 a與 c共線 向量 a、 b、 c共面即它們所在的直線共面 若 a b， 則存在惟一的實數 ， 使 a b. A 1 B 2 C 3 D 0 解析： 中若 b 0

13、， 則 a與 c不一定共線 中共面向量的 定義是平行于同一平面的向量 ， 表示這些向量的有向線段所 在的直線不一定共面 中若 b 0， a0， 則不存在 . 答案： D 練習 2 在下列條件中，使 M 與 A 、 B 、 C 一定共面的是 ( ) A. OM 3 O A 2 OB OC B OM O A OB OC 0 C M A M B M C 0 D OM 1 4 OB O A 1 2 OC 解析： C 中 M A M B M C . 故 M 、 A 、 B 、 C 四點共面 C 練習 1 已知 A

14、， B ， C 三點不共線， O 是平面 A B C 外任一 點，若由 OP 1 5 OA 2 3 OB OC 確定的一點 P 與 A ， B ， C 三 點共面，則 _ _ _ _ _ _ _ _ . 15 2 解析：由共面向量定理知，要證明 P、 A、 B、 C四點共面，只 要證明存在有序實數對（ x,y）使得 ACyABxAP 四點共面。從而 共面且有公共點，，不共線，所以，又 所以所以 即 共面，因為 PCBA AAPACABACAB ACABAPAPACAB APOAOCOAOB OAOPOAOCOB ,,, 3 1 3 1 ,3 3)()( 332)1( O

15、AOPOCOB 3)1( 例 1.已知 A、 B、 C三點不共線，對于平面 ABC外的任 一點 O，確定在下列各條件下，點 P是否與 A、 B、 C一 定共面？ OCOBOAOP 4)2( 利用共面向量的推論是證明四點共面的依據 證明四點共面 已知非零向量 e 1 、 e 2 不共線，如果 AB e 1 e 2 ， AC 2 e 1 8 e 2 ， AD 3 e 1 3 e 2 . 求 證： A 、 B 、 C 、 D 共面 例 2 【思路點撥】 要證明 AB 、 AC 、 AD 共面，即只要 證明存在三個非零實數 、 、 v ，使 AB AC

16、 v AD 0 即可 【證明】 令 ( e 1 e 2 ) (2 e 1 8 e 2 ) v (3 e 1 3 e 2 ) 0 ， 則 ( 2 3 v ) e 1 ( 8 3 v ) e 2 0. e 1 、 e 2 不共線， 2 3 v 0 ， 8 3 v 0 ， 易知 5 1 ， v 1 是其中一組解，則 5 AB AC AD 0 ， A 、 B 、 C 、 D 共面 另證：觀察易得 AC AD (2 e 1 8 e 2 ) 3( e 1 3 e 2 )

17、 5 e 1 5 e 2 5( e 1 e 2 ) 5 AB ， AB 1 5 AC 1 5 AD . 由共面向量知， AB 、 AC 、 AD 共面 又它們有公共點 A ， A 、 B 、 C 、 D 四點共面 例 1 如圖，在空間四邊形 ABCD中， M、 N分別是 AD、 BC的中點 ，求證： B M N A D C 共面。、與 CDABMN 證明三個向量共面的常用方法： (1)設法證明其中 一個向量可表示成另兩個向量的線性組合； (2)尋 找平面 ， 證明這些向量與平面 平行 向量共面問題 如圖 ， 正方體 A

18、BCD A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， E 、 F 分 別為 BB 1 和 A 1 D 1 的中點 證明 ： 向量 A 1 B 、 B 1 C 、 EF 是共面向量 例 3 【證明】 法一 ： EF EB B A 1 A 1 F 1 2 B 1 B A 1 B 1 2 A 1 D 1 1 2 ( B 1 B BC ) A 1 B 1 2 B 1 C A 1 B . 由向量共面的充要條件知， A 1 B 、 B 1 C 、 EF 是共面向 量 【 思路點撥 】 利用向量共面的充要條件或向 量共面的定義來證明

19、 法二：連結 A 1 D 、 BD ，取 A 1 D 中點 G ，連結 FG 、 BG ， 則有 FG // 1 2 DD 1 ， BE // 1 2 DD 1 ， FG // BE . 四邊形 B E F G 為平行四邊形 EF BG . EF 平面 A 1 BD . 同理， B 1 C A 1 D ， B 1 C 平面 A 1 BD ， A 1 B 、 B 1 C 、 EF 都與平面 A 1 BD 平行 A 1 B 、 B 1 C 、 EF 共面 (例 2 )如圖，已知平行四邊形 ABCD,從平 面 AC外一點 O引向量 ,

20、 , , , 求證： 四點 E、 F、 G、 H共面； 平面 EG//平面 AC. O E k O A O F k O B O G k O C O H k O D 例 2 (課本例 )已知 ABCD ，從平面 AC外一點 O引向量 A , , ,O E k O A O F k O B O G k O C O H k O D 求證：四點 E、 F、 G、 H共面； B CD O E F G H 證明： 四邊形 ABCD為 A C A B A D （ ） E G O G O E k O C k O A ()k O C O A kAC （ ）代入 ()k AB AD ()k O B O A O D O A O F O E O H O E 所以 E、 F、 G、 H共面。 E F E H 共線向量 共面向量 定義 向量所在直線互相平 行或重合 平行于同一平面的向量 , 叫做共面向量 . 定理 推論 運用 判斷三點共線，或兩 直線平行 判斷四點共線，或直線 平行于平面 )0(// aba ba pa b byxp ABtOAOP ACyABxOAOP 小結 共面 )1(AP yxOByOxO )1( 0 zyx OCzOByOAxOP