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1、 等差數(shù)列與等比數(shù)列的運用 儲蓄問題 學習目標: 1、了解銀行存款模型中的基本概念:本金、 利率、利息、期數(shù)、本息和、單利、復利; 2、理解掌握利用數(shù)列知識計算利息的方法; 3、能靈活運用利息的計算方法解決實際問題。 4、在社會實踐、合作交流、自主探究中,體 驗學習數(shù)學帶來的自信和成功感,激發(fā)數(shù)學的 興趣。 教學重點與難點: 重點:根據(jù)不同的儲蓄方式來計算利 息; 難點:將實際問題提煉為數(shù)學問題, 建立數(shù)學模型,解決實際問題。 利息一般分為單
2、利和復利兩種 一個月后 本息和 單利 : 指存滿一個規(guī)定的利息期限后,按照預先指定的利率 計息,在下一個計息期限中,利息不計入到本金中。 例如:某種儲蓄規(guī)定按月以單利計息,月利率是 1%,若 某人存入 1000元作為本金, 兩個月后 本息和 三個月后 本息和 n個月后 本息和 1000+10n 1000+10 =1010 1000+102 = 1020 1000+10 3 = 1030 單利 : 指存滿一個規(guī)定的利息期限后,按照預先指定的利率 計息,在下一個計息期限中,利息 不計入 到本金中。 (等差數(shù)列)
3、 復利: 指存滿一個規(guī)定的利息期限后,按照預先指定的利率 計息,在下一個計息期限中,將所得的利息計入到本 金中,作為新的本金。 復利: 指存滿一個規(guī)定的利息期限后,按照預先指定的利率 計息,在下一個計息期限中,將所得的利息 計入 到本 金中,作為 新 的本金。 單利 : 指存滿一個規(guī)定的利息期限后,按照預先指定的利率 計息,在下一個計息期限中,利息不計入到本金中。 單利 : 指存滿一個規(guī)定的利息期限后,按照預先指定的利率 計息,在下一個計息期限中,利息 不計入 到本金中。 (等差數(shù)列) 利息一般分為單利和復
4、利兩種 例如:某種儲蓄規(guī)定按月以復利計息,月利率是 1%, 若某人存入 1000元作為本金, 一個月后 本息和 兩個月后 本息和 三個月后 本息和 n個月后 本息和 1000 (1+1%) 1000 (1+1%)2 1000 (1+1%)n 1000 (1+1%) 3 復利: 指存滿一個規(guī)定的利息期限后,按照預先指定的利率 計息,在下一個計息期限中,將所得的利息 計入 到本 金中,作為 新 的本金。 (等比數(shù)列) 利息一般分為單利和復利兩種 1.五一節(jié)期間,高二同學楊磊從他回國探親的舅舅處得到 一筆錢 a元,這
5、筆錢是給他明年讀大學時用的,距今還有 16個月 .于是他決定立刻把這筆錢存入銀行,直到明年 9月 初全部取出?,F(xiàn)在有兩家銀行供他選擇,一家銀行是按月 息 0.201 %單利計息,另一家銀行是按月息 0.2 %復利計息, 請大家?guī)椭鷹罾谕瑢W計算一下,存入哪家銀行更合算? a +16 0.201% a =1.03216a a( 1+ 0.2%)16 =1.03248a 故存入按復利計息的銀行更合算。 (整存整取) 1.03216a 解:單利計息 復利計息 (零存整?。? 2.另外從 5月起,楊磊的父母決定每月給他 300元作零用錢 直到明年 8月份,期間一共 16個月,但他
6、是一勤儉的學生, 他準備每月省下 100元于月初(從 5月起)存入銀行,若按 0.2%的月息復利計息,到明年 9月初,一共可省下多少元 ? (零存整?。? 2.另外從 5月起,楊磊的父母決定每月給他 300元作零用錢 直到明年 8月份,期間一共 16個月,但他是一勤儉的學生, 他準備每月省下 100元于月初(從 5月起)存入銀行,若按 0.2%的月息復利計息,到明年 9月初,一共可省下多少元 ? 解:設(shè) an為存入銀行 n個月的本息數(shù) . 8月: a3=100(1.0022+1.002)+1001.002 6月: 7月: a1=100(1+0.2%) a2=(1001.002
7、+100)1.002 . . . =1001.002 =100(1.0022+1.002) a 16=100(1.00216+1.00215+ +1.002) =1627.47 100 2+1.002) =100(1.0023+1.0022+1.002) 100 (1.0023+1.0022+1.002) 1001.002 =100 1.002(1-1.002 16) 1-1.002 120001.0023-x( 1.0022+1.002 +1) 120001.0022-x( 1.002+1) 120001.002-x (整存零?。? 3.如果在明年 9月份初楊磊把上面兩筆錢的本息全
8、部取出, (令 a=10000元),湊足 12000元按月息 0.2%復利計息,又 立刻存入銀行,然后從下一個月起每月初取出數(shù)目相同 的一筆錢供零用 ,問每次最多取出多少元才能維持四年 ( 48個月)的大學生活? 一個月后: 解:設(shè) an是取出 n個月后所剩的金額數(shù) , 每次最多取出 x元。 二個月后: a1= 12000( 1+0.2%) -x a2=(120001.002-x ) 1.002-x =12000 ( 02+1) . . . 三個月后: a3= 12000 ( 02 +1) a48= 120001.00248-x( 1.00247+1.00246 +
9、 +1) 0 x 262 =12000 1.002 小結(jié): 單利: 指存滿一個規(guī)定的利息期限后,按照預先指定的利率 計息,在下一個計息期限中,利息 不計入 到本金中。 (等差數(shù)列) 復利 : 指存滿一個規(guī)定的利息期限后,按照預先指定的利率 計息,在下一個計息期限中,將所得的利息 計入 到本 金中,作為 新 的本金。 (等比數(shù)列) 1.單利和復利的定義,及與等差數(shù)列和等比數(shù)列的關(guān)系。 拓展 1.( 利息稅 ) 甲乙兩人于同一天分別攜款 1萬元到銀行儲蓄, 甲存五年定期儲蓄,年利率為 2.88%,乙存一 年期定期儲蓄,年利率為
10、2.25%,并在每年到 期時將本息續(xù)存一年期定期儲蓄。按規(guī)定每次 計息時,儲戶須交納利息的 20%作為利息稅。 若存滿五年后兩人同時從銀行取出存款,則甲 與乙所得本息之和的差為 ________元。(假定 利率五年內(nèi)保持不變,結(jié)果精確到分) 解:甲存滿 5年所得金額: A = 1+1 2.88% 80% 5 = 1+2.88% 80% 5 乙存滿 1年所得金額: 1+1 2.25% 80%=1+2.25% 80% 乙存滿 5年所得金額: B = (1+2.25% 80%)5 乙存滿 n年所得金額: (1+2.25% 80%)n A B = 1+2.88% 80%
11、 5 (1+2.25% 80%)5 0.021901(萬元 ) = 219.01 元 乙存滿 2年所得金額: (1+2.25% 80% ) + (1+2.25% 80% ) 2.25% 80% =(1+2.25% 80%)2 2.某種細胞在培養(yǎng)過程中 ,每 20分鐘分裂一次 (1個分為 2個 ),經(jīng)過 3小時 , 1 個這樣的細胞可 繁殖為 _______個。 512 分析 : 2 , 22 , 23 , .. , 2 9 a1 = 2 , q = 2 , a9 = a1 q8 3.一彈性小球
12、從 100米高處自由落下,每次 著地后又跳回到原高度的一半,再落下,求 該小球第 10次著地時所經(jīng)過的路程 . 分析 10,21,1001 nqa 6.299s 4.某工廠年產(chǎn)值 150萬元,每年增長 5%, 則 5年后的產(chǎn)值是 萬元(列 式表示, 不必計算結(jié)果)。 150(1+5%)5 分析 : 150 , 150(1+5%) , 150(1+5%) 2 , , 150(1+5%) 5, a1 = 150 , q =1+5% , a6 = a1 q5 5.某工廠去年十二月份的月產(chǎn)值為 a,已 知月平均增長率為 P,今年十二月份的產(chǎn) 值比去年同期增加的倍數(shù)是
13、 __________。 (1+p)12 1 分析 : a , a(1+p)1 , a(1+p)2 , ,a(1+p) 12 1)1( 12 1 113 p a aaa1=a , a13= a(1+p)12 小結(jié): 1.單利和復利的定義,及與等差數(shù)列和等比數(shù)列的關(guān)系。 3.逐步學會建模、化歸等數(shù)學思想方法,加強運用意識。 2.了解銀行中的整存整取、零存整取、整存零取等方式的 求解規(guī)律。 (零存整取) 2.另外從 5月起,楊磊的父母決定每月給他 300元作零用錢 直到明年 8月份,期間一共 16個月,但他是一勤儉的學生, 他準備每月省下 100元于月初(從 5月起)存入銀行
14、,若按 0.2%的月息復利計息,到明年 9月初,一共可省下多少元? 解:設(shè) an為存入銀行 n個月的本息數(shù) . 6月: a1=100 (1+0.2%) =100.2 由題可知 an+1= 1.002(an+100)= 1.002an+100.2 an+1 - x =1.002(an- x) an+1+50100 =1.002(an+50100) 則 bn是首項為 a1+50100 =50200.2,公比為 1.002的等 比數(shù)列。 設(shè) bn= an+ 50100 bn = 50200.21.002n-1 = an+50100 故 a16 = 50200.21.00215-50100 =1627.47 (零存整?。? 2.另外從 5月起,楊磊的父母決定每月給他 300元作零用錢 直到明年 8月份,期間一共 16個月,但他是一勤儉的學生, 他準備每月省下 100元于月初(從 5月起)存入銀行,若按 0.2%的月息復利計息,到明年 9月初,一共可省下多少元? 解: 1001.00216 =1627.47 =100 1.002(1-1.00216) 1-1.002 1001.00215 + + + 1001.002 小結(jié):