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1、2017專題4：圓與相似(含答案) 專題：圓與相似(1) 1．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H．點(diǎn)G在⊙O上，過點(diǎn)G作直線EF，交CD延長線于點(diǎn)E，交AB的延長線于點(diǎn)F．連接AG交CD于K，且KE＝GE． （1）判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由； （2）若AC∥EF，，F(xiàn)B＝1，求⊙O的半徑． 2．如圖，PB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，直線PO交⊙于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)B作PO的垂線BA，垂足為點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)A，延長AO與⊙O交于點(diǎn)C，連接BC，AF． （1）求證：直線PA為⊙O的切線； （2）試探究線段EF，OD，OP之間的等量關(guān)系，并加

2、以證明； （3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值和線段PE的長． 3．如圖所示，AB是⊙O的直徑，AE是弦，C是劣弧AE的中點(diǎn)，過C作CD⊥AB于點(diǎn)D，CD交AE于點(diǎn)F，過C作CG∥AE交BA的延長線于點(diǎn)G．連接OC交AE于點(diǎn)H。 （1）求證：GC⊥OC． （2）求證：AF=CF． （3）若∠EAB=30，CF=2，求GA的長． 4．如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在AC的延長線上，且∠CBF=∠CAB． （1）求證：直線BF是⊙O的切線； （2）若AB=5，sin∠CBF=，求

3、BC和BF的長． 5．如圖，⊙O的弦AB=8，直徑CD⊥AB于M，OM ：MD =3 ：2， E是劣弧CB上一點(diǎn)，連結(jié)CE并延長交CE的延長線于點(diǎn)F． 求：（1）⊙O的半徑； （2）求CECF的值． 6．如圖，已知在△ABP中，C是BP邊上一點(diǎn)，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且交BP于點(diǎn)E． （1）求證：PA是⊙O的切線； （2）過點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為點(diǎn)F，延長CF交AB于點(diǎn)G，若AG?AB=12，求AC的長； （3）在滿足（2）的條件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半徑及sin∠ACE的值．

4、 7.如圖，在△ABC中，∠C=90，AC=3，BC=4.0為BC邊上一點(diǎn)，以0為圓心，OB為半徑作半圓與BC邊和AB邊分別交于點(diǎn)D、點(diǎn)E，連接DE． （1）當(dāng)BD=3時(shí)，求線段DE的長； （2）過點(diǎn)E作半圓O的切線，當(dāng)切線與AC邊相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為F．求證：△FAE是等腰三角形． 8.如圖，在△ABC中，∠C=90，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作BE的垂線交AB于點(diǎn)F，⊙O是△BEF的外接圓． （1）求證：AC是⊙O的切線； （2）過點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為H，求證：CD=HF； （3）若CD=1，EH=3，求BF及AF

5、長． 9.如圖，BD是⊙O的直徑，OA⊥OB，M是劣弧 上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作⊙O的切線MP交OA的延長線于P點(diǎn)，MD與OA交于N點(diǎn)． （1）求證：PM=PN； （2）若BD=4，PA= AO，過點(diǎn)B作BC∥MP交⊙O于C點(diǎn)，求BC的長． 10.如圖是一個(gè)量角器和一個(gè)含30角的直角三角板放置在一起的示意圖，其中點(diǎn)B在半圓O的直徑DE的延長線上，AB切半圓O于點(diǎn)F，且BC=OE． （1）求證：DE∥CF； （2）當(dāng)OE=2時(shí)，若以O(shè)，B，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求OB的長； （3）若OE=2，移動(dòng)三角板ABC且使AB邊始終與

6、半圓O相切，直角頂點(diǎn)B在直徑DE的延長線上移動(dòng)，求出點(diǎn)B移動(dòng)的最大距離． 11.如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦DE⊥AB分別交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延長線上一點(diǎn)且PC=PF． （1）求證：PC是⊙O的切線； （2）點(diǎn)D在劣弧AC什么位置時(shí)，才能使AD2=DE?DF，為什么？ （3）在（2）的條件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的長． 12.如圖，在△ABC中，∠ABC=90，以AB的中點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點(diǎn)D，E是BC的中點(diǎn)，連接DE，OE． （1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)

7、系，并說明理由； （2）求證：BC2=CD?2OE； （3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的長． 專題：圓與相似答案 1．（1）相切，理由見解析；（2）4. （1）如圖，連接OG． ∵OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG. ∵CD⊥AB，∴∠AKH＋∠OAG＝90． ∵KE＝GE， ∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH. ∴∠KGE＋∠OGA＝∠AKH＋∠OAG＝90. ∴∠OGE＝90，即OG⊥EF. 又∵G在圓O上，∴EF與圓O相切． （2）∵AC∥EF， ∴∠F＝∠CAH， ∴Rt△AHC∽ Rt△FGO． ∴. ∵在Rt△OA

8、H中，，設(shè)AH＝3t，則AC＝5t，CH＝4t． ∴. ∴. ∵FB＝1 ∴，解得：OG＝4． ∴圓O的半徑為4 . 考點(diǎn)：1.等腰三角形的性質(zhì)；2.切線的判定；3.相似三角形的判定與性質(zhì)． 2．（1）證明見解析；（2）EF2=4OD?OP，證明見解析；（3），. 解析 試題解析：（1）如圖，連接OB， ∵PB是⊙O的切線，∴∠PBO=90. ∵OA=OB，BA⊥PO于D，∴AD=BD，∠POA=∠POB. 又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO（SAS）. ∴∠PAO=∠PBO=90. ∴直線PA為⊙O的切線. （2）EF2=4OD?OP，證明如下： ∵∠PA

9、O=∠PDA=90，∴∠OAD+∠AOD=90，∠OPA+∠AOP=90. ∴∠OAD=∠OPA. ∴△OAD∽△OPA. ∴，即OA2=OD?OP. 又∵EF=2OA，∴EF2=4OD?OP. （3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD=BC=3（三角形中位線定理）. 設(shè)AD=x， ∵tan∠F=，∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）2=x2+32， 解得，x1=4，x2=0（不合題意，舍去）.∴AD=4，OA=2x﹣3=5. ∵AC是⊙O直徑，∴∠ABC=90. 又∵AC=2OA=10，BC=6，∴cos∠ACB=.

10、∵OA2=OD?OP，∴3（PE+5）=25.∴PE=. 3.試題解析： （1）證明：如圖，連結(jié)OC， ∵C是劣弧AE的中點(diǎn)， ∴OC⊥AE， ∵CG∥AE， ∴CG⊥OC， ∴CG是⊙O的切線； （2）證明：連結(jié)AC、BC， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB=90， ∴∠2+∠BCD=90， 而CD⊥AB， ∴∠B+∠BCD=90， ∴∠B=∠2， ∵AC弧=CE弧， ∴∠1=∠B， ∴∠1=∠2， ∴AF=CF； （3）解：在Rt△ADF中，∠DAF=30，F(xiàn)A=FC=2， ∴DF=AF=1， ∴AD=DF=， ∵AF∥CG， ∴DA：AG=DF

11、：CF，即：AG=1：2， ∴AG=． 4.（1）證明：連接AE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90，∴∠1+∠2=90．∵AB=AC，∴∠1=∠CAB．∵∠CBF=∠CAB，∴∠1=∠CBF，∴∠CBF+∠2=90，即∠ABF=90，∵AB是⊙O的直徑，∴直線BF是⊙O的切線． （2）過點(diǎn)C作CG⊥AB于 G．∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，∴sin∠1=，∵在Rt△AEB中，∠AEB=90，AB=5，∴BE=AB?sin∠1=，∵AB=AC，∠AEB=90，∴BC=2BE=，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==，∴sin∠2==，cos∠2==，在Rt△CBG中，可求得GC

12、=4，GB=2，∴AG=3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴，∴BF=． 考點(diǎn)：1．切線的判定與性質(zhì)；2．勾股定理；3．圓周角定理；4．相似三角形的判定與性質(zhì)； 5．試題解析：（1）如圖，連接AO， ∵OM : MD=3:2，∴可設(shè)OM=3 k，MD=2 k (k 0)，則OA=OD=5 k. 又∵弦AB=8，直徑CD⊥AB于M，∴AM=4. 在Rt△OAM中，由勾股定理可得：k=1 ． ∴圓O的半徑為5 ． （2）如圖，連接AE， 由垂徑定理可知：AEC=CAF， 又∵ACF=ACF，∴DACE∽DFCA. ∴，即AC2=CECF. 在Rt△ACM中，

13、由勾股定理可得：AC2=AM2+CM2=16+64=80 ， ∴CECF=80. 6．解：（1）證明：連接CD， ∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD=90。 ∴∠CAD+∠ADC=90。 又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA， ∴∠PAC=∠ADC?！唷螩AD+∠PAC=90。 ∴PA⊥OA。 又∵AD是⊙O的直徑，∴PA是⊙O的切線。 （2）由（1）知，PA⊥AD， 又∵CF⊥AD，∴CF∥PA。∴∠GCA=∠PAC。 又∵∠PAC=∠PBA，∴∠GCA=∠PBA。 又∵∠CAG=∠BAC，∴△CAG∽△BAC。 ∴，即AC2=AG?AB。

14、 ∵AG?AB=12，∴AC2=12?！郃C=。 （3）設(shè)AF=x， ∵AF：FD=1：2，∴FD=2x。∴AD=AF+FD=3x。 在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC2=AF?AD，即3x2=12。 解得；x=2。 ∴AF=2，AD=6?！唷袿半徑為3。 在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1， ∴根據(jù)勾股定理得：。 由（2）知，AG?AB=12，∴。 連接BD， ∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD=90。 在Rt△ABD中，∵sin∠ADB=，AD=6，∴sin∠ADB=。 ∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，∴sin∠ACE=。 7.（1

15、）解：∵∠C=90，AC=3，BC=4， ∴AB=5， ∵DB為直徑， ∴∠DEB=∠C=90， 又∵∠B=∠B， ∴△DBE∽△ABC， ∴DEAC=BDAB， 即DE3=35， ∴DE=； （2）證法一：連接OE， ∵EF為半圓O的切線， ∴∠DEO+∠DEF=90， ∴∠AEF=∠DEO， ∵△DBE∽△ABC， ∴∠A=∠EDB， 又∵∠EDO=∠DEO， ∴∠AEF=∠A， ∴△FAE是等腰三角形； 證法二：連接OE ∵EF為切線， ∴∠AEF+∠OEB=90， ∵∠C=90， ∴∠A+∠B=90，

16、 ∵OE=OB， ∴∠OEB=∠B， ∴∠AEF=∠A， ∴△FAE是等腰三角形． 8.證明：（1）如圖，連接OE． ∵BE⊥EF， ∴∠BEF=90， ∴BF是圓O的直徑． ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE=∠OBE， ∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB， ∴∠OEB=∠CBE， ∴OE∥BC， ∴∠AEO=∠C=90， ∴AC是⊙O的切線； （2）如圖，連結(jié)DE． ∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H， ∴EC=EH． ∵∠CDE+∠BDE=180，∠HFE+∠BDE=180， ∴∠CDE

17、=∠HFE． 在△CDE與△HFE中， ， ∴△CDE≌△HFE（AAS）， ∴CD=HF． （3）由（2）得CD=HF，又CD=1， ∴HF=1， 在Rt△HFE中，EF=32+12=10， ∵EF⊥BE， ∴∠BEF=90， ∴∠EHF=∠BEF=90， ∵∠EFH=∠BFE， ∴△EHF∽△BEF， ∴EFBF=HFEF，即10BF=， ∴BF=10， ∴OE=BF=5，OH=5-1=4， ∴Rt△OHE中，cos∠EOA=， ∴Rt△EOA中，cos∠EOA=OEOA=， ∴=， ∴OA=254， ∴AF=25

18、4-5=． 9.（1）證明：連接OM， ∵M(jìn)P是圓的切線，∴OM⊥PM， ∴∠OMD+∠DMP=90， ∵OA⊥OB， ∴∠OND+∠ODM=90， ∵∠MNP=∠OND，∠ODM=∠OMD， ∴∠DMP=∠MNP， ∴PM=PN． （2）解：設(shè)BC交OM于E， ∵BD=4，OA=OB=BD=2， ∴PA=3， ∴PO=5； ∵BC∥MP，OM⊥MP， ∴OM⊥BC，∴BE=BC； ∵∠BOM+∠MOP=90， 在直角三角形OMP中， ∠MPO+∠MOP=90， ∴∠BOM=∠MPO； ∵∠BEO=∠OMP=90，

19、∴△OMP∽△BEO， ∴OMOP=BEBO，即=BE2， 解得：BE=， ∴BC=． 10.（1）證明：連接OF， ∵AB切半圓O于點(diǎn)F，OF是半徑， ∴∠OFB=90， ∵∠ABC=90， ∴∠OFB=∠ABC， ∴OF∥BC， ∵BC=OE，OE=OF， ∴BC=OF， ∴四邊形OBCF是平行四邊形， ∴DE∥CF； （2）解：若△OBF∽△ACB， ∴OBOF=ACAB， ∴OB=， ∵∠A=30，∠ABC=90，BC=OE=2， ∴AC=4，AB=23． 又∵OF=OE=2， ∴OB=4脳223=； 若△

20、BOF∽△ACB， ∴OBOF=ACBC， ∴OB=， ∴OB=4脳22=4； 綜上，OB=或4； （3）解：畫出移動(dòng)過程中的兩個(gè)極值圖， 由圖知：點(diǎn)B移動(dòng)的最大距離是線段BE的長， ∵∠A=30，∴∠ABO=30，∴BO=4，∴BE=2， ∴點(diǎn)B移動(dòng)的最大距離是線段BE的長為2． 11.（1）證明：連接OC． ∵PC=PF，OA=OC， ∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC， ∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB， ∴∠AHF=90， ∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90， ∴PC是⊙O的切線． （2）解：點(diǎn)

21、D在劣弧AC中點(diǎn)位置時(shí)，才能使AD2=DE?DF，理由如下： 連接AE． ∵點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置， ∴∠DAF=∠DEA， ∵∠ADE=∠ADE， ∴△DAF∽△DEA， ∴AD：ED=FD：AD， ∴AD2=DE?DF． （3）解：連接OD交AC于G． ∵OH=1，AH=2， ∴OA=3，即可得OD=3， ∴DH=OD2-OH2=8=22． ∵點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置， ∴AC⊥DO， ∴∠OGA=∠OHD=90， 在△OGA和△OHD中， ， ∴△OGA≌△OHD（AAS）， ∴AG=DH， ∴AC=42． 12

22、.（1）證明：連接OD，BD， ∵AB為圓O的直徑， ∴∠ADB=90， 在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點(diǎn)， ∴CE=DE=BE=BC， ∴∠C=∠CDE， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO， ∵∠ABC=90，即∠C+∠A=90， ∴∠ADO+∠CDE=90，即∠ODE=90， ∴DE⊥OD，又OD為圓的半徑， ∴DE為⊙O的切線； （2）證明：∵E是BC的中點(diǎn)，O點(diǎn)是AB的中點(diǎn)， ∴OE是△ABC的中位線， ∴AC=2OE， ∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC， ∴△ABC∽△BDC， ∴BCCD=ACBC，即BC2=AC?CD． ∴BC2=2CD?OE； （3）解：∵cos∠BAD=， ∴sin∠BAC=BCAC=， 又∵BE=6，E是BC的中點(diǎn)，即BC=12， ∴AC=15． 又∵AC=2OE， ∴OE=AC=152．