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1、第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 2.1 導(dǎo)數(shù)與微分 （甲）內(nèi)容要點(diǎn) 一、導(dǎo)數(shù)與微分概念 1、導(dǎo)數(shù)的定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，自變量在處有增量，相應(yīng)地函數(shù)增量。如果極限 存在，則稱此極限值為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)（也稱微商），記作，或，，等，并稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)。如果上面的極限不存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)。 導(dǎo)數(shù)定義的另一等價(jià)形式，令，，則 我們也引進(jìn)單側(cè)導(dǎo)數(shù)概念。 右導(dǎo)數(shù)： 左導(dǎo)數(shù)： 則有 在點(diǎn)處可導(dǎo)在點(diǎn)處左、右導(dǎo)數(shù)皆存在且相等。 2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義 如果函數(shù)在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)存在，則在幾何上表示曲線在點(diǎn)（）處的切線的斜率。 切線方程： 法線方程： 設(shè)

2、物體作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)路程S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為，如果存在，則表示物體在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度。 3．函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系 如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則在點(diǎn)處一定連續(xù)，反之不然，即函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，卻不一定在點(diǎn)處可導(dǎo)。例如，，在處連續(xù)，卻不可導(dǎo)。 4．微分的定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有增量時(shí)，如果函數(shù)的增量有下面的表達(dá)式 （） 其中為為無關(guān)，是時(shí)比高階的無窮小，則稱在處可微，并把中的主要線性部分稱為在處的微分，記以或。 我們定義自變量的微分就是。 5．微分的幾何意義 是曲線在點(diǎn)處相應(yīng)于自變量增量的縱坐標(biāo)的增量，微分是曲線在點(diǎn)處切線的縱坐標(biāo)相應(yīng)的增量（見圖）。 6．可微與

3、可導(dǎo)的關(guān)系 在處可微在處可導(dǎo)。 且 一般地，則 所以導(dǎo)數(shù)也稱為微商，就是微分之商的含義。 7．高階導(dǎo)數(shù)的概念 如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處仍是可導(dǎo)的，則把在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)稱為在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，記以，或，或等，也稱在點(diǎn)處二階可導(dǎo)。 如果的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，稱為的階導(dǎo)數(shù)，記以，，等，這時(shí)也稱是階可導(dǎo)。 二、導(dǎo)數(shù)與微分計(jì)算 1．導(dǎo)數(shù)與微分表（略） 2．導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則 （1）四則運(yùn)算求導(dǎo)和微分公式 （2）反函數(shù)求導(dǎo)公式 （3）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和微分公式 （4）隱函數(shù)求導(dǎo)法則 （5）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 （6）用參數(shù)表示函數(shù)的求導(dǎo)公式 （乙）典型例題 一、用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)

4、例 設(shè)，其中在處連續(xù)，求 解： 二、分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性 例1 設(shè)函數(shù) 試確定、的值，使在點(diǎn)處可導(dǎo)。 解：∵可導(dǎo)一定連續(xù)，∴在處也是連續(xù)的。 由 要使在點(diǎn)處連續(xù)，必須有或 又 要使在點(diǎn)處可導(dǎo)，必須，即. 故當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處可導(dǎo). 例2 設(shè)，問和為何值時(shí)，可導(dǎo)，且求 解：∵時(shí)，， 時(shí)， ∴ 由處連續(xù)性，，，可知 再由處可導(dǎo)性， 存在 存在 且 根據(jù)洛必達(dá)法則 ，∴ 于是 三、運(yùn)用各種運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)或微分 例1 設(shè)可微，，求 解： 例

5、2 設(shè)，求 解： 對(duì)求導(dǎo)，得 再令，，對(duì)求導(dǎo)， ，∴ 于是 （） 例3 設(shè)由方程所確定，求 解：兩邊取對(duì)數(shù)，得， 對(duì)求導(dǎo)， ， 例4 設(shè) 求 解： 四、求切線方程和法線方程 例1 已知兩曲線與在點(diǎn)（0，0）處的切線相同，寫出此切線方程，并求。 解：由已知條件可知， 故所求切線方程為 例2 已知曲線的極坐標(biāo)方程，求曲線上對(duì)應(yīng)于處的切線與法線的直角坐標(biāo)方程。 解：曲線的參數(shù)方程為 故切線方程 即 法線方程 即 例3 設(shè)為周期是5的連續(xù)函數(shù)，在鄰域內(nèi)，恒有。其中，在

6、處可導(dǎo)，求曲線在點(diǎn)（）處的切線方程。 解：由題設(shè)可知，，故切線方程為 所以關(guān)鍵是求出和 由連續(xù)性 由所給條件可知，∴ 再由條件可知 令，又∵ ∴ 上式左邊= = 則 所求切線方程為 即 五、高階導(dǎo)數(shù) 1．求二階導(dǎo)數(shù) 例1 設(shè)，求 解： 例2 設(shè) 求 解： 例3 設(shè)由方程所確定，求 解：， 2．求階導(dǎo)數(shù)（，正整數(shù)） 先求出，總結(jié)出規(guī)律性，然后寫出，最后用歸納法證明。 有一些常用的初等函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)公式 （1） （2）

7、 （3） （4） （5） 兩個(gè)函數(shù)乘積的階導(dǎo)數(shù)有萊布尼茲公式 其中，， 假設(shè)和都是階可導(dǎo) 例1 設(shè)（正整數(shù)），求（正整數(shù)） 解： 例2 設(shè)，求 （正整數(shù)） 解： 例3 設(shè)，求（正整數(shù)） 解： …… 例4 設(shè)，求（正整數(shù)） 解： 例5 設(shè)，求（正整數(shù)） 解：用萊布尼茲公式 2.2 微分中值定理 本節(jié)專門討論考研數(shù)學(xué)中經(jīng)常考的四大定理：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理（泰勒公式）。 [注：數(shù)學(xué)三不考泰勒定理，數(shù)學(xué)四不考泰勒定理]

8、 這部分有關(guān)考題主要是證明題，其中技巧性比較高，因此典型例題比較多，討論比較詳細(xì)。 （甲）內(nèi)容要點(diǎn) 一、羅爾定理 設(shè)函數(shù)滿足 （1）在閉區(qū)間[]上連續(xù)； （2）在開區(qū)間（）內(nèi)可導(dǎo)； （3） 則存在，使得 幾何意義：條件（1）說明曲線在和之間是連續(xù)曲線；[包括點(diǎn)A和點(diǎn)B]。 條件（2）說明曲線在之間是光滑曲線，也即每一點(diǎn)都有不垂直于軸的切線[不包括點(diǎn)和點(diǎn)]。 條件（3）說明曲線在端點(diǎn)和處縱坐標(biāo)相等。 結(jié)論說明曲線在點(diǎn)和點(diǎn)之間[不包括點(diǎn)和點(diǎn)]至少有一點(diǎn)，它的切線平行于軸。 二、拉格朗日中值定理 設(shè)函數(shù)滿足 （1）在閉區(qū)間[]上連續(xù)； （2

9、）在開區(qū)間（）內(nèi)可導(dǎo) 則存在，使得 或?qū)懗? 有時(shí)也寫成 這里相當(dāng)或都可以，可正可負(fù)。 幾何意義：條件（1）說明曲線在點(diǎn)和點(diǎn)之間[包括點(diǎn)和點(diǎn)]是連續(xù)曲線： 條件（2）說明曲線[不包括點(diǎn)和點(diǎn)]是光滑曲線。 結(jié)論說明：曲線 在，之間[不包括點(diǎn)和點(diǎn)]，至少有點(diǎn)，它的切線與割線是平行的。 推論1 若在內(nèi)可導(dǎo)，且，則在內(nèi)為常數(shù)。 推論2 若和在（）內(nèi)可導(dǎo)，且，則在內(nèi)，其中為一個(gè)常數(shù)。 （注：拉格朗日中值定理為羅爾定理的推廣，當(dāng)特殊情形，就是羅爾定理） 三、柯西中值定理 設(shè)函數(shù)和滿足： （1）在閉區(qū)間[，]上皆連續(xù)； （2）在開區(qū)間（，）內(nèi)皆可導(dǎo)；且，則存在使得

10、 （注：柯西中值定理為拉格朗日中值定理的推廣，特殊情形時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理） 幾何意義：考慮曲線的參數(shù)方程 點(diǎn)，點(diǎn)曲線在上是連續(xù)曲線，除端點(diǎn)外是光滑曲線，那么在曲線上至少有一點(diǎn)，它的切線平行于割線. 值得注意：在數(shù)學(xué)理論上，拉格朗日中值定理最重要，有時(shí)也稱為微分學(xué)基本定理。羅爾定理看作拉格朗日中值定理的預(yù)備定理，柯西中值定理雖然更廣，但用得不太多。在考研數(shù)學(xué)命題中，用羅爾定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是較少。 四、泰勒定理（泰勒公式）（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二） 定理1（帶皮亞諾余項(xiàng)的階泰勒公式） 設(shè)在處有階導(dǎo)數(shù)，則有公式 （） 其中

11、 稱為皮亞諾余項(xiàng)。 （） 前面求極限方法中用泰勒公式就是這種情形，根據(jù)不同情形取適當(dāng)?shù)?，所以?duì)常用的初等函數(shù)如和（為實(shí)常數(shù)）等的階泰勒公式都要熟記。 定理2 （帶拉格朗日余項(xiàng)的階泰勒公式） 設(shè)在包含的區(qū)間內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，在上有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對(duì)，有公式 其中，（在與之間）稱為拉格朗日余項(xiàng)。 上面展開式稱為以為中心的階泰勒公式。時(shí)，也稱為麥克勞林公式。 如果，那么泰勒公式就轉(zhuǎn)化為泰勒級(jí)數(shù)，這在后面無窮級(jí)數(shù)中再討論。 （乙）典型例題 一、用羅爾定理的有關(guān)方法 例1 設(shè)在[0，3]上連續(xù)，在（0，3）內(nèi)可導(dǎo)，且，. 試證：必存在，使 證：∵ 在[

12、0，3]上連續(xù)，∴ 在[0，2]上連續(xù)，且有最大值和最小值.于是；；，故. 由連續(xù)函數(shù)介值定理可知，至少存在一點(diǎn)使得，因此，且在[，3]上連續(xù)，（，3）內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理得出必存在使得。 例2 設(shè)在[0，1]上連續(xù)，（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且 求證：存在使 證：由積分中值定理可知，存在，使得 得到 對(duì)在[0，c]上用羅爾定理，（三個(gè)條件都滿足） 故存在，使 例3 設(shè)在[0,1]上連續(xù)，(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，對(duì)任意，有，求證存在使 證：由積分中值定理可知存在使得 令，可知 這樣，對(duì)在上用羅爾定理（三個(gè)條件都滿足）存在，使 而

13、 ∴ 又，則 在例3的條件和結(jié)論中可以看出不可能對(duì)用羅爾定理，否則結(jié)論只是，而且條件也不滿足。因此如何構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，它與有關(guān)，而且滿足區(qū)間上羅爾定理的三個(gè)條件，從就能得到結(jié)論成立，于是用羅爾定理的有關(guān)證明命題中，如何根據(jù)條件和結(jié)論構(gòu)造一個(gè)合適的是非常關(guān)鍵，下面的模型Ⅰ，就在這方面提供一些選擇。 模型Ⅰ：設(shè)在上連續(xù)，（）內(nèi)可導(dǎo)，則下列各結(jié)論皆成立。 （1）存在使（為實(shí)常數(shù)） （2）存在使（為非零常數(shù)） （3）存在使（為連續(xù)函數(shù)） 證：（1）令，在上用羅爾定理 ∵ ∴ 存在使 消去因子，即證. （2）令，在上用羅爾定理

14、 存在使 消去因子，即證。 （3）令，其中 由 清去因子，即證。 例4 設(shè)在上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，，，試證： （1）存在，使。 （2）對(duì)任意實(shí)數(shù)，存在，使得 證明：（1）令，顯然它在[0, 1]上連續(xù)，又，根據(jù)介值定理，存在使即 （2）令，它在上滿足羅爾定理的條件，故存在，使，即 從而 （注：在例4（2）的證明中，相當(dāng)于模型Ⅰ中（1）的情形，其中取為，取為） 模型Ⅱ：設(shè)，在上皆連續(xù)，（）內(nèi)皆可導(dǎo)，且，，則存在，使 證：令，則，顯然在[]上滿足羅爾定理的條件，則存在，使，即證. 例5 設(shè)在[0,

15、1]上連續(xù)，（0, 1）內(nèi)可導(dǎo)，，為正整數(shù)。 求證：存在使得 證：令，，則，，用模型Ⅱ，存在使得 故 則 例6 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且，求證在內(nèi)任意兩個(gè)零點(diǎn)之間至少有一個(gè)的零點(diǎn) 證：反證法：設(shè)，，而在內(nèi)，則令在上用羅爾定理 [] （不妨假設(shè)否則結(jié)論已經(jīng)成立） 則存在使，得出與假設(shè)條件矛盾。所以在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn) 例7 設(shè)在[]二階可導(dǎo)，且，又 求證：（1）在（）內(nèi)； （2）存在，使 證：（1）用反證法，如果存在使，則對(duì)分別在[]和[]上用羅爾定理，存在使，存在使，再對(duì)在[]上用羅爾定理存

16、在使與假設(shè)條件矛盾。所以在內(nèi) （2）由結(jié)論可知即，因此 令，可以驗(yàn)證在[]上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，滿足羅爾定理的三個(gè)條件 故存在，使 于是成立 二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理 例1 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且， 求的值 解：由條件易見， 由拉格朗日中值定理，有 其中介于與之間，那么 于是，，則 例2 設(shè)是周期為1的連續(xù)函數(shù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且，又設(shè)是在[1，2]上的最大值，證明：存在，使得。 證：由周期性可知，不妨假定而，對(duì)分別在[1, ]和[, 2]上用拉格朗日中值定理， 存在，使得 ①

17、 存在，使得 ② 如果，則用①式，得； 如果，則用②式，得； 因此，必有，使得 例3 設(shè)在[0, 1]上連續(xù)，（0, 1）內(nèi)可導(dǎo)，且，，證明： （Ⅰ）存在，使得 （Ⅱ）存在，，使 證：（Ⅰ）令，則在[0, 1]上連續(xù)，且，，用介值定理推論存在，使，即 （Ⅱ）在[0, ]和[，1]上對(duì)用拉格朗日中值定理，存在，使得 存在，，使 ∴ 例4 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間[]上連續(xù)，在開區(qū)間（）內(nèi)可導(dǎo)，且，若極限存在，證明： （1）在內(nèi)； （2）在內(nèi)存在，使 ； （3）在內(nèi)存在與（2）中相異的

18、點(diǎn)，使 證：（1）因?yàn)榇嬖?，故，由在[]上連續(xù)，從而. 又知在內(nèi)單調(diào)增加，故 （2）設(shè)， 則，故，滿足柯西中值定理的條件，于是在內(nèi)存在點(diǎn)，使 ， 即 （3）因，在[]上應(yīng)用拉格朗日中值定理，知在內(nèi)存在一點(diǎn)，使，從而由（2）的結(jié)論得 ， 即有 . 三、泰勒公式（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二） 例1 設(shè)在[-1，1]上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，，. 求證：，使. 證：麥克勞林公式 其中，介于0與之間。

19、 ∵ 后式減前式，得 ∵ 在[]上連續(xù)，設(shè)其最大值為，最小值為. 則 再由介值定理， 使 例2 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間[]上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，試證：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使 成立。 分析：因所欲證的是不等式，故需估計(jì)，由于一階泰勒公式 ，（其中在之間） 含有，因此應(yīng)該從此入手. 再由知，應(yīng)在兩個(gè)區(qū)間上分別應(yīng)用泰勒公式，以便消去公式中的項(xiàng)，同時(shí)又能出現(xiàn)項(xiàng). 證：在與上分別用泰勒公式，便有 . . 兩式相減，得 . 所以至少存在一點(diǎn)，使得 2.3 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 （甲）內(nèi)容要點(diǎn) 一

20、、判斷函數(shù)的單調(diào)性 二、函數(shù)的極值 1、定義 設(shè)函數(shù)內(nèi)有定義，是內(nèi)的某一點(diǎn)，則 如果點(diǎn)存在一個(gè)鄰域，使得對(duì)此鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)，總有，則稱為函數(shù)的一個(gè)極大值，稱為函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)； 如果點(diǎn)存在一個(gè)鄰域，使得對(duì)此鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)，總有，則稱為函數(shù)的一個(gè)極小值，稱為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)。 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱極值。極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn)。 2、必要條件（可導(dǎo)情形） 設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且為的一個(gè)極值點(diǎn)，則 我們稱滿足的為的駐點(diǎn)，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，反之不然。 極值點(diǎn)只能是駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)，所以只要從這兩種點(diǎn)中進(jìn)一步

21、去判斷。 3、第一充分條件 設(shè)在處連續(xù)，在0<內(nèi)可導(dǎo)，不存在，或＝0 如果在內(nèi)的任一點(diǎn)x處，有，而在內(nèi)的任一點(diǎn)x處，有，則為極大值，為極大值點(diǎn)； 如果在內(nèi)的任一點(diǎn)x處，有，而在內(nèi)的任一點(diǎn)x處，有，則為極小值，為極小值點(diǎn)； 如果在內(nèi)與內(nèi)的任一點(diǎn)x處，的符號(hào)相同，那么不是極值，不是極值點(diǎn) 4、第二充分條件 設(shè)函數(shù)在處有二階導(dǎo)數(shù)，且，，則 當(dāng) ，為極大值，為極大值點(diǎn) 當(dāng) ，為極小值，為極小值點(diǎn) 三、函數(shù)的最大值和最小值 1．求函數(shù)在上的最大值和最小值的方法。 首先，求出在內(nèi)所有駐點(diǎn)，和不可導(dǎo)點(diǎn)。 其次計(jì)算 最后，比較，其中最大者就是在上的最大值

22、；其中最小者就是在上的最小值。 2．最大（?。┲档膽?yīng)用問題 首先要列出應(yīng)用問題中的目標(biāo)函數(shù)及其考慮的區(qū)間，然后再求出目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大（?。┲怠? 四、凹凸性與拐點(diǎn) 1．凹凸的定義 設(shè)在區(qū)間Ⅰ上連續(xù)，若對(duì)任意不同的兩點(diǎn)，恒有 （），則稱在Ⅰ上是凸（凹）的 2．曲線上凹與凸的分界點(diǎn)，稱為曲線的拐點(diǎn)。 五、漸近線及其求法 六、函數(shù)作圖 七、曲率 （乙）典型例題 一、證明不等式 例1．求證：當(dāng)時(shí)， 證：令 只需證明時(shí)， 易知，， ，由于的符號(hào)不易判斷，故進(jìn)一步考慮 ， 再考慮 于是，當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， 由此可見，是的最小值。 由于，這樣時(shí)，單調(diào)

23、增加 又因?yàn)?，所以時(shí)，； 時(shí)，。 再由，可知時(shí)，； 時(shí)，，這樣證明了時(shí)，。 證二：令（自己思考） 證三：令（自己思考） 例2 設(shè)，求證： 證：令 則 于是可知在時(shí)單調(diào)增加，又，∴時(shí)，這樣單調(diào)增加。因此，時(shí)，得證。 例3 設(shè)，證明 證一：對(duì)函數(shù)在上用拉格朗日中值定理 （） 再來證明在時(shí)單調(diào)減少 ∵ 從而，即 故 證二：設(shè)，則 當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)減少 因此時(shí)，由可知單調(diào)增加 題設(shè)，于是 故，即 二、有關(guān)函數(shù)的極值 例1、設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則有 [ ] （A）一

24、個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn) （B）兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn) （C）兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn) （D）三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn) 例2 設(shè)的導(dǎo)數(shù)在處連續(xù)，又，則[ ] （A）是的極小值點(diǎn) （B）是的極大值點(diǎn) （C）是曲線的拐點(diǎn) （D）不是極值點(diǎn)，也不是曲線的拐點(diǎn) 例3 設(shè)有二階導(dǎo)數(shù)，滿足 求證：時(shí)，為極小值 證：（1）情形。 故為極小值 （2）情形 這時(shí)方程條件用代入不行，無法得出上面的公式 ∵ 存在 ∴ 連續(xù)， （用洛必達(dá)法則） （再用洛必達(dá)法則） ∴是極小值 三、最大（?。┲档膽?yīng)用題（略） 49