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第七章 微分方程 教學目的： 1．了解微分方程及其解、階、通解，初始條件和特等概念。 2．熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。 3．會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程。 4． 會用降階法解下列微分方程：， 和 5． 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。 6．掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。 7.求自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解。 8.會解歐拉方程，會解包含兩個未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性微分方程組。 9．會解微分方程組（或方程組）解決一些簡單的應用問題。 教學重點： 1、 可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法 2、 可降階的高階微分方程， 和 3、 二階常系數(shù)齊次線性微分方程； 4、 自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程； 教學難點： 1、 齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、 線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理； 3、自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解。 4、歐拉方程 §12. 1 微分方程的基本概念 函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映, 利用函數(shù)關(guān)系又可以對客觀事物的規(guī)律性進行研究. 因此如何尋找出所需要的函數(shù)關(guān)系, 在實踐中具有重要意義. 在許多問題中, 往往不能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系, 但是根據(jù)問題所提供的情況, 有時可以列出含有要找的函數(shù)及其導數(shù)的關(guān)系式. 這樣的關(guān)系就是所謂微分方程. 微分方程建立以后, 對它進行研究, 找出未知函數(shù)來, 這就是解微分方程. 例1 一曲線通過點(1, 2), 且在該曲線上任一點M(x, y)處的切線的斜率為2x, 求這曲線的方程. 解 設所求曲線的方程為y=y(x). 根據(jù)導數(shù)的幾何意義, 可知未知函數(shù)y=y(x)應滿足關(guān)系式(稱為微分方程) . (1) 此外, 未知函數(shù)y=y(x)還應滿足下列條件: x=1時, y=2, 簡記為y|x=1=2. (2) 把(1)式兩端積分, 得(稱為微分方程的通解) , 即y=x2+C, (3) 其中C是任意常數(shù). 把條件“x=1時, y=2”代入(3)式, 得 2=12+C, 由此定出C=1. 把C=1代入(3)式, 得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件y|x=1=2的解): y=x2+1. 例2 列車在平直線路上以20m/s(相當于72km/h)的速度行駛; 當制動時列車獲得加速度-0.4m/s2. 問開始制動后多少時間列車才能停住, 以及列車在這段時間里行駛了多少路程? 解 設列車在開始制動后t秒時行駛了s米. 根據(jù)題意, 反映制動階段列車運動規(guī)律的函數(shù)s=s(t)應滿足關(guān)系式 . (4) 此外, 未知函數(shù)s=s(t)還應滿足下列條件: t=0時, s=0, . 簡記為s|t=0=0, s￠|t=0=20. (5) 把(4)式兩端積分一次, 得 ; (6) 再積分一次, 得 s=-0.2t2 +C1t +C2, (7) 這里C1, C2都是任意常數(shù). 把條件v|t=0=20代入(6)得 20=C1; 把條件s|t=0=0代入(7)得0=C2. 把C1, C2的值代入(6)及(7)式得 v=-0.4t +20, (8) s=-0.2t2+20t. (9) 在(8)式中令v=0, 得到列車從開始制動到完全停住所需的時間 (s). 再把t=50代入(9), 得到列車在制動階段行駛的路程 s=-0.2′502+20′50=500(m). 解 設列車在開始制動后t秒時行駛了s米, s￠￠=-0.4, 并且s|t=0=0, s￠|t=0=20. 把等式s￠￠=-0.4兩端積分一次, 得 s￠=-0.4t+C1, 即v=-0.4t+C1(C1是任意常數(shù)), 再積分一次, 得 s=-0.2t2 +C1t +C2 (C1, C2都C1是任意常數(shù)). 由v|t=0=20得20=C1, 于是v=-0.4t +20; 由s|t=0=0得0=C2, 于是s=-0.2t2+20t. 令v=0, 得t=50(s). 于是列車在制動階段行駛的路程 s=-0.2′502+20′50=500(m). 幾個概念: 微分方程: 表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程, 叫常微分方程. 偏微分方程: 未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程, 叫偏微分方程. 微分方程的階: 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù), 叫微分方程的階. x3 y￠￠￠+x2 y￠￠-4xy￠=3x2 , y(4) -4y￠￠￠+10y￠￠-12y￠+5y=sin2x, y(n) +1=0, 一般n階微分方程: F(x, y, y￠, × × × , y(n) )=0. y(n)=f(x, y, y￠, × × × , y(n-1) ) . 微分方程的解: 滿足微分方程的函數(shù)(把函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解. 確切地說, 設函數(shù)y=j(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導數(shù), 如果在區(qū)間I上, F[x, j(x), j￠(x), × × ×, j(n) (x)]=0, 那么函數(shù)y=j(x)就叫做微分方程F(x, y, y￠, × × ×, y(n) )=0在區(qū)間I上的解. 通解: 如果微分方程的解中含有任意常數(shù), 且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同, 這樣的解叫做微分方程的通解. 初始條件: 用于確定通解中任意常數(shù)的條件, 稱為初始條件. 如 x=x0 時, y=y0 , y￠= y￠0 . 一般寫成 , . 特解: 確定了通解中的任意常數(shù)以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常數(shù)的解. 初值問題: 求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題. 如求微分方程y￠=f(x, y)滿足初始條件的解的問題, 記為 . 積分曲線: 微分方程的解的圖形是一條曲線, 叫做微分方程的積分曲線. 例3 驗證: 函數(shù) x=C1cos kt+C2 sin kt 是微分方程 的解. 解 求所給函數(shù)的導數(shù): , . 將及x的表達式代入所給方程, 得 -k2(C1cos kt+C2sin kt)+ k2(C1cos kt+C2sin kt)o0. 這表明函數(shù)x=C1coskt+C2sinkt 滿足方程, 因此所給函數(shù)是所給方程的解. 例4 已知函數(shù)x=C1coskt+C2sinkt(k10)是微分方程的通解, 求滿足初始條件 x| t=0 =A, x￠| t=0 =0 的特解. 解 由條件x| t=0 =A及x=C1 cos kt+C2 sin kt, 得 C1=A. 再由條件x￠| t=0 =0, 及x￠(t) =-kC1sin kt+kC2cos kt, 得 C2=0. 把C1、C2的值代入x=C1cos kt+C2sin kt中, 得 x=Acos kt. §12. 2 可分離變量的微分方程 觀察與分析: 1. 求微分方程y￠=2x的通解. 為此把方程兩邊積分, 得 y=x2+C. 一般地, 方程y￠=f(x)的通解為(此處積分后不再加任意常數(shù)). 2. 求微分方程y￠=2xy2 的通解. 因為y是未知的, 所以積分無法進行, 方程兩邊直 接積分不能求出通解. 為求通解可將方程變?yōu)? 兩邊積分, 得 , 或, 可以驗證函數(shù)是原方程的通解. 一般地, 如果一階微分方程y￠=j(x, y)能寫成 g(y)dy=f(x)dx 形式, 則兩邊積分可得一個不含未知函數(shù)的導數(shù)的方程 G(y)=F(x)+C, 由方程G(y)=F(x)+C所確定的隱函數(shù)就是原方程的通解 對稱形式的一階微分方程: 一階微分方程有時也寫成如下對稱形式: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 在這種方程中, 變量x與y 是對稱的. 若把x看作自變量、y看作未知函數(shù), 則當Q(x,y)10時, 有 . 若把y看作自變量、x看作未知函數(shù), 則當P(x,y)10時, 有 . 可分離變量的微分方程: 如果一個一階微分方程能寫成 g(y)dy=f(x)dx (或?qū)懗蓎￠=j(x)y(y)) 的形式, 就是說, 能把微分方程寫成一端只含y的函數(shù)和dy, 另一端只含x的函數(shù)和dx, 那么原方程就稱為可分離變量的微分方程. 討論: 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？ (1) y￠=2xy, 是. Ty-1dy=2xdx . (2)3x2+5x-y￠=0, 是. Tdy=(3x2+5x)dx. (3)(x2+y2)dx-xydy=0, 不是. (4)y￠=1+x+y2+xy2, 是. Ty￠=(1+x)(1+y2). (5)y￠=10x+y, 是. T10-ydy=10xdx. (6). 不是. 可分離變量的微分方程的解法: 第一步 分離變量, 將方程寫成g(y)dy =f(x)dx的形式; 第二步 兩端積分:, 設積分后得G(y)=F(x)+C; 第三步 求出由G(y)=F(x)+C所確定的隱函數(shù)y=F(x)或x=Y(y) G(y)=F(x)+C , y=F (x)或x=Y(y)都是方程的通解, 其中G(y)=F(x)+C稱為隱式(通)解. 例1 求微分方程的通解. 解 此方程為可分離變量方程, 分離變量后得 , 兩邊積分得 , 即 ln|y|=x2+C1, 從而 . 因為仍是任意常數(shù), 把它記作C, 便得所給方程的通解 . 解 此方程為可分離變量方程, 分離變量后得 , 兩邊積分得 , 即 ln|y|=x2+lnC, 從而 . 例2 鈾的衰變速度與當時未衰變的原子的含量M成正比. 已知t=0時鈾的含量為M0, 求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時間t變化的規(guī)律. 解 鈾的衰變速度就是M(t)對時間t的導數(shù). 由于鈾的衰變速度與其含量成正比, 故得微分方程 , 其中l(wèi)(l>0)是常數(shù), l前的曲面號表示當t增加時M單調(diào)減少. 即. 由題意, 初始條件為 M|t=0=M0. 將方程分離變量得 . 兩邊積分, 得, 即 lnM=-lt+lnC, 也即M=Ce-lt. 由初始條件, 得M0=Ce0=C, 所以鈾含量M(t)隨時間t變化的規(guī)律M=M0e-lt . 例3 設降落傘從跳傘塔下落后, 所受空氣阻力與速度成正比, 并設降落傘離開跳傘塔時速度為零. 求降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系. 解 設降落傘下落速度為v(t). 降落傘所受外力為F=mg-kv( k為比例系數(shù)). 根據(jù)牛頓第二運動定律F=ma, 得函數(shù)v(t)應滿足的方程為 , 初始條件為 v|t=0=0. 方程分離變量, 得 , 兩邊積分, 得, , 即 (), 將初始條件v|t=0=0代入通解得, 于是降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系為. 例4 求微分方程的通解. 解 方程可化為 , 分離變量得 , 兩邊積分得 , 即. 于是原方程的通解為. 例4 有高為1m的半球形容器, 水從它的底部小孔流出, 小孔橫截面面積為1cm2. 開始時容器內(nèi)盛滿了水, 求水從小孔流出過程中容器里水面高度h隨時間t變化的規(guī)律. 解 由水力學知道, 水從孔口流出的流量Q可用下列公式計算: , 其中0. 62為流量系數(shù), S為孔口橫截面面積, g為重力加速度. 現(xiàn)在孔口橫截面面積S=1cm2, 故 , 或. 另一方面, 設在微小時間間隔[t, t+dt]內(nèi), 水面高度由h降至h+dh(dh<0), 則又可得到 dV=-pr2dh, 其中r是時刻t的水面半徑, 右端置負號是由于dh<0而dV>0的緣故. 又因 , 所以 dV=-p(200h-h2)dh. 通過比較得到 , 這就是未知函數(shù)h=h(t)應滿足的微分方程. 此外, 開始時容器內(nèi)的水是滿的, 所以未知函數(shù)h=h(t)還應滿足下列初始條件: h|t=0=100. 將方程分離變量后得 . 兩端積分, 得 , 即 , 其中C是任意常數(shù). 由初始條件得 , . 因此 . 上式表達了水從小孔流出的過程中容器內(nèi)水面高度h與時間t之間的函數(shù)關(guān)系. §12. 3 齊次方程 齊次方程: 如果一階微分方程中的函數(shù)f(x, y)可寫成 的函數(shù), 即, 則稱這方程為齊次方程. 下列方程哪些是齊次方程？ (1)是齊次方程.. (2)不是齊次方程.. (3)(x2+y2)dx-xydy=0是齊次方程. . (4)(2x+y-4)dx+(x+y-1)dy=0不是齊次方程.. (5)是齊次方程. 齊次方程的解法: 在齊次方程中, 令, 即y=ux, 有 , 分離變量, 得 . 兩端積分, 得 . 求出積分后, 再用代替u, 便得所給齊次方程的通解. 例1 解方程. 解 原方程可寫成 , 因此原方程是齊次方程. 令, 則 y=ux, , 于是原方程變?yōu)? , 即 . 分離變量, 得 . 兩邊積分, 得u-ln|u|+C=ln|x|, 或?qū)懗蒷n|xu|=u+C. 以代上式中的u, 便得所給方程的通解 . 例2 有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡, 假設由旋轉(zhuǎn)軸上一點O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行. 求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解 設此凹鏡是由xOy面上曲線L: y=y(x)(y>0)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成, 光源在原點. 在L上任取一點M(x, y), 作L的切線交x軸于A. 點O發(fā)出的光線經(jīng)點M反射后是一條平行于x軸射線. 由光學及幾何原理可以證明OA=OM, 因為 , 而 . 于是得微分方程, 整理得. 這是齊次方程. 問題歸結(jié)為解齊次方程. 令, 即x=yv, 得, 即 , 分離變量, 得, 兩邊積分, 得 , , , , 以yv=x代入上式, 得. 這是以x軸為軸、焦點在原點的拋物線, 它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 . 這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 例3 設河邊點O的正對岸為點A, 河寬OA=h, 兩岸為平行直線, 水流速度為a, 有一鴨子從點A游向點O, 設鴨子的游速為b(b>a), 且鴨子游動方向始終朝著點 O. 求鴨子游過的跡線的方程. 例3 設一條河的兩岸為平行直線, 水流速度為a, 有一鴨子從岸邊點A游向正對岸點O, 設鴨子的游速為b(b>a), 且鴨子游動方向始終朝著點O, 已知OA=h, 求鴨子游過的跡線的方程. 解 取O為坐標原點, 河岸朝順水方向為x軸, y 軸指向?qū)Π? 設在時刻t鴨子位于點P(x, y), 則鴨子運動速度 , 故有. 另一方面, , . 因此, 即. 問題歸結(jié)為解齊次方程. 令, 即x=yu, 得 , 分離變量, 得, 兩邊積分, 得 , 將代入上式并整理, 得. 以x|y=h=0代入上式, 得, 故鴨子游過的軌跡方程為 , 0￡y￡h. 將代入后的整理過程: . §12.4 線性微分方程 一、 線性方程 線性方程: 方程叫做一階線性微分方程. 如果Q(x)o0 , 則方程稱為齊次線性方程, 否則方程稱為非齊次線性方程. 方程叫做對應于非齊次線性方程的齊次線性方程. 下列方程各是什么類型方程？ (1)T是齊次線性方程. (2) 3x2+5x-5y￠=0Ty￠=3x2+5x , 是非齊次線性方程. (3) y￠+y cos x=e-sin x , 是非齊次線性方程. (4), 不是線性方程. (5)T或, 不是線性方程. 齊次線性方程的解法: 齊次線性方程是變量可分離方程. 分離變量后得 , 兩邊積分, 得 , 或 , 這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數(shù)）. 例1 求方程的通解. 解 這是齊次線性方程, 分離變量得 , 兩邊積分得 ln|y|=ln|x-2|+lnC, 方程的通解為 y=C(x-2). 非齊次線性方程的解法: 將齊次線性方程通解中的常數(shù)換成x的未知函數(shù)u(x), 把 設想成非齊次線性方程的通解. 代入非齊次線性方程求得 , 化簡得 , , 于是非齊次線性方程的通解為 , 或 . 非齊次線性方程的通解等于對應的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個特解之和. 例2 求方程的通解. 解 這是一個非齊次線性方程. 先求對應的齊次線性方程的通解. 分離變量得 , 兩邊積分得 ln y=2ln (x+1)+ln C, 齊次線性方程的通解為 y=C(x+1)2. 用常數(shù)變易法. 把C換成u, 即令y=u×(x+1)2, 代入所給非齊次線性方程, 得 , 兩邊積分, 得 . 再把上式代入y=u(x+1)2中, 即得所求方程的通解為 . 解: 這里, . 因為 , , , 所以通解為 . 例3 有一個電路如圖所示, 其中電源電動勢為E=Emsinwt(Em、w都是常數(shù)), 電阻R和電感L都是常量. 求電流i(t). 解 由電學知道, 當電流變化時, L上有感應電動勢. 由回路電壓定律得出 , 即 . 把E=Emsinw t代入上式, 得 . 初始條件為 i|t=0=0. 方程為非齊次線性方程, 其中 , . 由通解公式, 得 . 其中C為任意常數(shù). 將初始條件i|t=0=0代入通解, 得, 因此, 所求函數(shù)i(t)為 . 二、伯努利方程 伯努利方程: 方程 (n10, 1) 叫做伯努利方程. 下列方程是什么類型方程？ (1), 是伯努利方程. (2), T, 是伯努利方程. (3), T, 是伯努利方程. (4), 是線性方程, 不是伯努利方程. 伯努利方程的解法: 以yn除方程的兩邊, 得 令z =y1-n , 得線性方程 . 例4 求方程的通解. 解 以y2除方程的兩端, 得 , 即 , 令z=y-1, 則上述方程成為 . 這是一個線性方程, 它的通解為 . 以y-1代z , 得所求方程的通解為 . 經(jīng)過變量代換, 某些方程可以化為變量可分離的方程, 或化為已知其求解方法的方程. 例5 解方程. 解 若把所給方程變形為 , 即為一階線性方程, 則按一階線性方程的解法可求得通解. 但這里用變量代換來解所給方程. 令x+y=u, 則原方程化為 , 即. 分離變量, 得 , 兩端積分得 u-ln|u+1|=x-ln|C|. 以u=x+y代入上式, 得 y-ln|x+y+1|=-ln|C|, 或x=Cey-y-1. §12. 5 全微分方程 全微分方程: 一個一階微分方程寫成 P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 形式后, 如果它的左端恰好是某一個函數(shù)u=u(x, y)的全微分: du(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy, 那么方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0就叫做全微分方程. 這里 , , 而方程可寫為 du(x, y)=0. 全微分方程的判定: 若P(x, y)、Q(x, y)在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù), 且 , 則方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0是全微分方程, 全微分方程的通解: 若方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0是全微分方程, 且 du(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy 則 u(x, y)=C, 即 . 是方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0的通解 例1 求解(5x4+3xy2-y3)dx+(3x2y-3xy2+y2 )dy=0. 解 這里 , 所以這是全微分方程. 取(x0, y0)=(0, 0), 有 . 于是, 方程的通解為 . 積分因子: 若方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0不是全微分方程, 但存在一函數(shù) m=m(x, y) (m(x, y)10), 使方程 m(x, y)P(x, y)dx+m(x, y)Q(x, y)dy=0 是全微分方程, 則函數(shù)m(x, y)叫做方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0的積分因子. 例2 通過觀察求方程的積分因子并求其通解: (1)ydx-xdy=0; (2)(1+xy)ydx+(1-xy)xdy=0. 解 (1)方程ydx-xdy=0不是全微分方程. 因為 , 所以是方程ydx-xdy=0的積分因子, 于是 是全微分方程, 所給方程的通解為. (2)方程(1+xy)ydx+(1-xy)xdy=0不是全微分方程. 將方程的各項重新合并, 得 (ydx+xdy)+xy(ydx-xdy)=0, 再把它改寫成 , 這時容易看出為積分因子, 乘以該積分因子后, 方程就變?yōu)? , 積分得通解 , 即. 我們也可用積分因子的方法來解一階線性方程y￠+P(x)y=Q(x). 可以驗證是一階線性方程y￠+P(x)y=Q(x)的一個積分因子. 在一階線性方程的兩邊乘以得 , 即 , 亦即 . 兩邊積分, 便得通解 , 或 . 例3用積分因子求的通解. 解 方程的積分因子為 . 方程兩邊乘以得 , 即, 于是 . 因此原方程的通解為. §12. 6 可降階的高階微分方程 一、y(n)=f (x)型的微分方程 解法: 積分n 次 , , × × ×. 例1 求微分方程y￠￠￠=e2x-cos x 的通解. 解 對所給方程接連積分三次, 得 , , , 這就是所給方程的通解. 或 , , , 這就是所給方程的通解. 例2 質(zhì)量為m的質(zhì)點受力F的作用沿Ox軸作直線運動. 設力F僅是時間t的函數(shù):F=F(t). 在開始時刻t=0時F(0)=F0, 隨著時間t的增大, 此力F均勻地減小, 直到t=T時, F(T)=0. 如果開始時質(zhì)點位于原點, 且初速度為零, 求這質(zhì)點的運動規(guī)律. 解 設x=x(t)表示在時刻t時質(zhì)點的位置, 根據(jù)牛頓第二定律, 質(zhì)點運動的微分方程為 . 由題設, 力F(t)隨t增大而均勻地減小, 且t=0時, F(0)=F0, 所以F(t)=F0-kt; 又當t=T時, F(T)=0, 從而 . 于是質(zhì)點運動的微分方程又寫為 , 其初始條件為, . 把微分方程兩邊積分, 得 . 再積分一次, 得 . 由初始條件x|t=0=0, , 得C1=C2=0. 于是所求質(zhì)點的運動規(guī)律為 , 0￡t￡T. 解 設x=x(t)表示在時刻t時質(zhì)點的位置, 根據(jù)牛頓第二定律, 質(zhì)點運動的微分方程為 mx￠￠=F(t). 由題設, F(t)是線性函數(shù), 且過點(0, F0)和(T, 0), 故 , 即. 于是質(zhì)點運動的微分方程又寫為 . 其初始條件為x|t=0=0, x￠|t=0=0. 把微分方程兩邊積分, 得 , 再積分一次, 得 , 由初始條件x|t=0=0, x￠|t=0=0, 得C1=C2=0. 于是所求質(zhì)點的運動規(guī)律為 , 0￡t￡T. 二、y￠￠= f(x, y￠)型的微分方程 解法: 設y￠=p則方程化為 p￠=f(x, p). 設p￠=f(x, p)的通解為p=j(x,C1), 則 . 原方程的通解為 . 例3 求微分方程 (1+x2)y￠￠=2xy￠ 滿足初始條件 y|x=0=1, y￠|x=0=3 的特解. 解 所給方程是y￠￠=f(x, y￠)型的. 設y￠=p, 代入方程并分離變量后, 有 . 兩邊積分, 得 ln|p|=ln(1+x2)+C, 即 p=y￠=C1(1+x2) (C1=±eC). 由條件y￠|x=0=3, 得C1=3, 所以 y￠=3(1+x2). 兩邊再積分, 得 y=x3+3x+C2. 又由條件y|x=0=1, 得C2=1, 于是所求的特解為 y=x3+3x+1. 例4 設有一均勻、柔軟的繩索, 兩端固定, 繩索僅受重力的作用而下垂. 試問該繩索在平衡狀態(tài)時是怎樣的曲線? 三、y￠￠=f(y, y￠)型的微分方程 解法: 設y￠=p,有 . 原方程化為 . 設方程的通解為y￠=p=j(y, C1), 則原方程的通解為 . 例5 求微分yy￠￠-y￠2=0的通解. 解 設y￠=p, 則, 代入方程, 得 . 在y10、p10時, 約去p并分離變量, 得 . 兩邊積分得 ln|p|=ln|y|+lnc, 即 p=Cy或y￠=Cy(C=±c). 再分離變量并兩邊積分, 便得原方程的通解為 ln|y|=Cx+lnc1, 或 y=C1eCx (C1=±c1). 例5 求微分yy￠￠-y￠2=0的通解. 解 設y￠=p, 則原方程化為 , 當y10、p10時, 有 , 于是 , 即 y￠-C1y=0, 從而原方程的通解為 . 例6 一個離地面很高的物體,受地球引力的作用由靜止開始落向地面. 求它落 到地面時的速度和所需的時間（不計空氣阻力）. §12. 7 高階線性微分方程 一、二階線性微分方程舉例 例1 設有一個彈簧, 上端固定, 下端掛一個質(zhì)量為m 的物體. 取x 軸鉛直向下, 并取物體的平衡位置為坐標原點. 給物體一個初始速度v010后, 物體在平衡位置附近作上下振動. 在振動過程中, 物體的位置x是t的函數(shù): x=x(t). 設彈簧的彈性系數(shù)為c, 則恢復力f=-cx. 又設物體在運動過程中受到的阻力的大小與速度成正比, 比例系數(shù)為m, 則 , 由牛頓第二定律得 . 移項, 并記, , 則上式化為 , 這就是在有阻尼的情況下, 物體自由振動的微分方程. 如果振動物體還受到鉛直擾力 F=Hsin pt 的作用, 則有 , 其中. 這就是強迫振動的微分方程. 例2 設有一個由電阻R、自感L、電容C和電源E串聯(lián)組成的電路, 其中R、L、及C為常數(shù), 電源電動勢是時間t的函數(shù): E=Emsinwt, 這里Em及w也是常數(shù). 設電路中的電流為i(t), 電容器極板上的電量為q(t), 兩極板間的電壓為uc, 自感電動勢為EL . 由電學知道 , , , 根據(jù)回路電壓定律, 得 , 即 , 或?qū)懗? , 其中, . 這就是串聯(lián)電路的振蕩方程. 如果電容器經(jīng)充電后撤去外電源(E=0), 則上述成為 . 二階線性微分方程: 二階線性微分方程的一般形式為 y￠￠+P(x)y￠+Q(x)y=f(x), 若方程右端f(x)o0時, 方程稱為齊次的, 否則稱為非齊次的. 二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu) 先討論二階齊次線性方程 y￠￠+P(x)y￠+Q(x)y=0, 即. 定理1 如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程 y￠￠+P(x)y￠+Q(x)y=0. 的兩個解, 那么 y=C1y1(x)+C2y2(x) 也是方程的解, 其中C1、C2是任意常數(shù). 齊次線性方程的這個性質(zhì)表明它的解符合疊加原理. 證明 [C1y1+C2y2]￠=C1 y1￠+C2 y2￠, [C1y1+C2y2]￠￠=C1 y1￠￠+C2 y2￠￠. 因為y1與y2是方程y￠￠+P(x)y￠+Q(x)y=0, 所以有 y1￠￠+P(x)y1￠+Q(x)y1=0及y2￠￠+P(x)y2￠+Q(x)y2=0, 從而 [C1y1+C2y2]￠￠+P(x)[ C1y1+C2y2]￠+Q(x)[ C1y1+C2y2] =C1[y1￠￠+P(x)y1￠+Q(x)y1]+C2[y2￠￠+P(x)y2￠+Q(x)y2]=0+0=0. 這就證明了y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程y￠￠+P(x)y￠+Q(x)y=0的解 函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān): 設y1(x), y2(x), × × × , yn(x)為定義在區(qū)間I上的n個函數(shù). 如果存在n個不全為零的常數(shù)k1, k2, × × × , kn, 使得當x?I 時有恒等式 k1y1(x)+k2y2(x)+ × × × + knyn(x)o0 成立, 那么稱這n個函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān); 否則稱為線性無關(guān). 判別兩個函數(shù)線性相關(guān)性的方法: 對于兩個函數(shù), 它們線性相關(guān)與否, 只要看它們的比是否為常數(shù), 如果比為常數(shù), 那么它們就線性相關(guān), 否則就線性無關(guān). 例如, 1, cos2x , sin2x 在整個數(shù)軸上是線性相關(guān)的. 函數(shù)1, x, x2在任何區(qū)間(a, b)內(nèi)是線性無關(guān)的. 定理2 如果如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程 y￠￠+P(x)y￠+Q(x)y=0 的兩個線性無關(guān)的解, 那么 y=C1y1(x)+C2y2(x) (C1、C2是任意常數(shù)) 是方程的通解. 例3 驗證y1=cos x與y2=sin x是方程y￠￠+y=0的線性無關(guān)解, 并寫出其通解. 解 因為 y1￠￠+y1=-cos x+cos x=0, y2￠￠+y2=-sin x+sin x=0, 所以y1=cos x與y2=sin x都是方程的解. 因為對于任意兩個常數(shù)k1、k2, 要使 k1cos x+k2sin xo0, 只有k1=k2=0, 所以cos x與sin x在(-￥, +￥)內(nèi)是線性無關(guān)的. 因此y1=cos x與y2=sin x是方程y￠￠+y=0的線性無關(guān)解. 方程的通解為y=C1cos x+C2sin x. 例4 驗證y1=x與y2=ex是方程(x-1)y￠￠-xy￠+y=0的線性無關(guān)解, 并寫出其通解. 解 因為 (x-1)y1￠￠-xy1￠+y1=0-x+x=0, (x-1)y2￠￠-xy2￠+y2=(x-1)ex-xex+ex=0, 所以y1=x與y2=ex都是方程的解, 因為比值e x/x 不恒為常數(shù), 所以y1=x與y2=ex在(-￥, +￥)內(nèi)是線性無關(guān)的. 因此y1=x 與y2=ex是方程(x-1)y￠￠-xy￠+y=0的線性無關(guān)解. 方程的通解為y=C1x+C2e x. 推論 如果y1(x), y2(x), × × ×, yn(x)是方程 y(n)+a1(x)y(n-1)+ × × × +an-1(x)y￠+ an(x)y=0 的n個線性無關(guān)的解, 那么, 此方程的通解為 y=C1y1(x)+C2y2(x)+ × × × + Cnyn(x), 其中C1, C2, × × ×, Cn為任意常數(shù). 二階非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu): 我們把方程 y￠￠+P(x)y￠+Q(x)y=0 叫做與非齊次方程 y￠￠+P(x)y￠+Q(x)y=f(x) 對應的齊次方程. 定理3 設y*(x)是二階非齊次線性方程 y￠￠+P(x)y￠+Q(x)y=f(x) 的一個特解, Y(x)是對應的齊次方程的通解, 那么 y=Y(x)+y*(x) 是二階非齊次線性微分方程的通解. 證明提示: [Y(x)+y*(x)]￠￠+P(x)[ Y(x)+y*(x)]￠+Q(x)[ Y(x)+y*(x)] = [Y ￠￠+P(x)Y ￠+Q(x)Y ]+[ y* ￠￠+P(x)y* ￠+Q(x)y*] =0+ f(x)= f(x). 例如, Y=C1cos x+C2sin x 是齊次方程y￠￠+y=0的通解, y*=x2-2是y￠￠+y=x2?的一個特解, 因此 y=C1cos x+C2sin x+x2-2 是方程y￠￠+y=x2的通解. 定理4 設非齊次線性微分方程 y￠￠+P(x)y￠+Q(x)y=f(x)的右端f(x)幾個函數(shù)之和, 如 y￠￠+P(x)y￠+Q(x)y=f1(x)+ f2(x), 而y1*(x)與y2*(x)分別是方程 y￠￠+P(x)y￠+Q(x)y=f1(x)與y￠￠+P(x)y￠+Q(x)y=f2(x) 的特解, 那么y1*(x)+y2*(x)就是原方程的特解. 證明提示: [y1+y2*]￠￠+P(x)[ y1*+y2*]￠+Q(x)[ y1*+y2*] =[ y1*￠￠+P(x) y1*￠+Q(x) y1*]+[ y2*￠￠+P(x) y2*￠+Q(x) y2*] =f1(x)+f2(x). §12. 9 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 二階常系數(shù)齊次線性微分方程: 方程 y￠￠+py￠+qy=0 稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程, 其中p、q均為常數(shù). 如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)解, 那么y=C1y1+C2y2就是它的通解. 我們看看, 能否適當選取r, 使y=erx 滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程, 為此將y=erx代入方程 y￠￠+py￠+qy=0 得 (r 2+pr+q)erx =0. 由此可見, 只要r滿足代數(shù)方程r2+pr+q=0, 函數(shù)y=erx就是微分方程的解. 特征方程: 方程r2+pr+q=0叫做微分方程y￠￠+py￠+qy=0的特征方程. 特征方程的兩個根r1、r2可用公式 求出. 特征方程的根與通解的關(guān)系: (1)特征方程有兩個不相等的實根r1、r2時, 函數(shù)、是方程的兩個線性無關(guān)的解. 這是因為, 函數(shù)、是方程的解, 又不是常數(shù). 因此方程的通解為 . (2)特征方程有兩個相等的實根r1=r2時, 函數(shù)、是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)的解. 這是因為, 是方程的解, 又 , 所以也是方程的解, 且不是常數(shù). 因此方程的通解為 . (3)特征方程有一對共軛復根r1, 2=a±ib時, 函數(shù)y=e(a+ib)x、y=e(a-ib)x是微分方程的兩個線性無關(guān)的復數(shù)形式的解. 函數(shù)y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的兩個線性無關(guān)的實數(shù)形式的解. 函數(shù)y1=e(a+ib)x和y2=e(a-ib)x都是方程的解, 而由歐拉公式, 得 y1=e(a+ib)x=eax(cosbx+isinbx), y2=e(a-ib)x=eax(cosbx-isinbx), y1+y2=2eaxcosbx, , y1-y2=2ieaxsinbx, . 故eaxcosbx、y2=eaxsinbx也是方程解. 可以驗證, y1=eaxcosbx、y2=eaxsinbx是方程的線性無關(guān)解. 因此方程的通解為 y=eax(C1cosbx+C2sinbx ). 求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y￠￠+py￠+qy=0的通解的步驟為: 第一步 寫出微分方程的特征方程 r2+pr+q=0 第二步 求出特征方程的兩個根r1、r2. 第三步 根據(jù)特征方程的兩個根的不同情況, 寫出微分方程的通解. 例1 求微分方程y￠￠-2y￠-3y=0的通解. 解 所給微分方程的特征方程為 r2-2r-3=0, 即(r+1)(r-3)=0. 其根r1=-1, r2=3是兩個不相等的實根, 因此所求通解為 y=C1e-x+C2e3x. 例2 求方程y￠￠+2y￠+y=0滿足初始條件y|x=0=4、y￠| x=0=-2的特解. 解 所給方程的特征方程為 r2+2r+1=0, 即(r+1)2=0. 其根r1=r2=-1是兩個相等的實根, 因此所給微分方程的通解為 y=(C1+C2x)e-x. 將條件y|x=0=4代入通解, 得C1=4, 從而 y=(4+C2x)e-x. 將上式對x求導, 得 y￠=(C2-4-C2x)e-x. 再把條件y￠|x=0=-2代入上式, 得C2=2. 于是所求特解為 x=(4+2x)e-x. 例 3 求微分方程y￠￠-2y￠+5y= 0的通解. 解 所給方程的特征方程為 r2-2r+5=0. 特征方程的根為r1=1+2i, r2=1-2i, 是一對共軛復根, 因此所求通解為 y=ex(C1cos2x+C2sin2x). n 階常系數(shù)齊次線性微分方程: 方程 y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) + × × × + pn-1y￠+pny=0, 稱為n 階常系數(shù)齊次線性微分方程, 其中 p1, p2 , × × × , pn-1, pn都是常數(shù). 二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式, 可推廣到n 階常系數(shù)齊次線性微分方程上去. 引入微分算子D, 及微分算子的n次多項式: L(D)=Dn +p1Dn-1+p2 Dn-2 + × × × + pn-1D+pn, 則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作 (Dn +p1Dn-1+p2 Dn-2 + × × × + pn-1D+pn)y=0或L(D)y=0. 注: D叫做微分算子D0y=y, Dy=y￠, D2y=y￠￠, D3y=y￠￠￠, × × ×,Dny=y(n). 分析: 令y=erx, 則 L(D)y=L(D)erx=(rn +p1rn-1+p2 rn-2 + × × × + pn-1r+pn)erx=L(r)erx. 因此如果r是多項式L(r)的根, 則y=erx是微分方程L(D)y=0的解. n 階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程: L(r)=rn +p1rn-1+p2 rn-2 + × × × + pn-1r+pn=0 稱為微分方程L(D)y=0的特征方程. 特征方程的根與通解中項的對應: 單實根r 對應于一項: Cerx ; 一對單復根r1, 2=a ±ib 對應于兩項: eax(C1cosbx+C2sinbx); k重實根r對應于k項: erx(C1+C2x+ × × × +Ck xk-1); 一對k 重復根r1, 2=a ±ib 對應于2k項: eax[(C1+C2x+ × × × +Ck xk-1)cosbx+( D1+D2x+ × × × +Dk xk-1)sinbx]. 例4 求方程y(4)-2y￠￠￠+5y￠￠=0 的通解. 解 這里的特征方程為 r4-2r3+5r2=0, 即r2(r2-2r+5)=0, 它的根是r1=r2=0和r3, 4=1±2i. 因此所給微分方程的通解為 y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x). 例5 求方程y(4)+b 4y=0的通解, 其中b>0. 解 這里的特征方程為 r4+b 4=0.