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www.ks5u.com 2016-2017學(xué)年河南省平頂山市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 　 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求. 1．若（x﹣i）i=y+2i，x，y∈R，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)x+yi=（　?。? A．2+i B．﹣2+i C．1﹣2i D．1+2i 2．對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b、c，在下列命題中，真命題是（　　） A．“ac＞bc”是“a＞b”的必要條件 B．“ac=bc”是“a=b”的必要條件 C．“ac＞bc”是“a＞b”的充分條件 D．“ac=bc”是“a=b”的充分條件 3．若實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=2，則3a+3b的最小值是（　?。? A．18 B．6 C．2 D．2 4．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，則A的取值范圍是（　?。? A．（0，] B．[，π） C．（0，] D．[，π） 5．已知F是拋物線y2=x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|+|BF|=3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為（　?。? A． B．1 C． D． 6．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a2a3=5，a7a8a9=10，則a4a5a6=（　?。? A．4 B．5 C．6 D．7 7．設(shè)x，y滿足約束條件，則z=2x﹣y的最大值為（　?。? A．10 B．8 C．3 D．2 8．設(shè)F1和F2為雙曲線﹣y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足∠F1PF2=90°，則△F1PF2的面積是（　　） A．1 B． C．2 D． 9．已知a＞0，函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，若x0滿足關(guān)于x的方程2ax+b=0，則下列選項(xiàng)的命題中為假命題的是（　?。? A．?x∈R，f（x）≤f（x0） B．?x∈R，f（x）≥f（x0） C．?x∈R，f（x）≤f（x0） D．?x∈R，f（x）≥f（x0） 10．設(shè)函數(shù)f（x）=xex，則（　?。? A．x=1為f（x）的極大值點(diǎn) B．x=1為f（x）的極小值點(diǎn) C．x=﹣1為f（x）的極大值點(diǎn) D．x=﹣1為f（x）的極小值點(diǎn) 11．甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)．若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有（　?。? A．150種 B．180種 C．300種 D．345種 12．已知橢圓T： +=1（a＞b＞0）的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為k（k＞0）的直線與T相交于A，B兩點(diǎn)，若=3，則k=（　?。? A．1 B． C． D．2 　 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 13．曲線y=4x﹣x3在點(diǎn)（﹣1，﹣3）處的切線方程是　 ?。? 14．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（3，100），且P（ξ≤5）=0.84，則P（1≤ξ≤5）=　 ?。? 15．在（x﹣）5的二次展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為　 ?。ㄓ脭?shù)字作答）． 16．若規(guī)定E={a1，a2，…，a10}的子集{at1，at2，…，ak}為E的第k個(gè)子集，其中，則E的第211個(gè)子集是　 ?。? 　 三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明或推理、驗(yàn)算過(guò)程. 17．已知{an}為等差數(shù)列，且a1+a3=8，a2+a4=12． （1）求{an}的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和． 18．甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與p，且乙投球2次均未命中的概率為． （Ⅰ）求乙投球的命中率p； （Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命中的次數(shù)記為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 19．如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD． （Ⅰ）證明：平面PQC⊥平面DCQ （Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值． 20．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)為A，B（A在B的上方），且四邊形AF1BF2的面積為8． （1）求橢圓C的方程； （2）設(shè)動(dòng)直線y=kx+4與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G，求證：A，G，N三點(diǎn)共線． 21．已知函數(shù)f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0． （1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間； （2）設(shè)f（x）的最小值為g（a），求證：． 　 選修4-4：參數(shù)方程與極坐標(biāo)系 22．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． （1）將直線l：（t為參數(shù)）化為極坐標(biāo)方程； （2）設(shè)P是（1）中直線l上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A（，），B是曲線ρ=﹣2sinθ上的動(dòng)點(diǎn)，求|PA|+|PB|的最小值． 　 選修4-5：不等式選講 23．（1）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1； （2）設(shè)a2﹣2ab+5b2=4對(duì)?a，b∈R成立，求a+b的最大值及相應(yīng)的a，b． 　  2016-2017學(xué)年河南省平頂山市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求. 1．若（x﹣i）i=y+2i，x，y∈R，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)x+yi=（　　） A．2+i B．﹣2+i C．1﹣2i D．1+2i 【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算． 【分析】把等式左邊變形，再由復(fù)數(shù)相等的條件列式求得x，y值，則答案可求． 【解答】解：由（x﹣i）i=1+xi=y+2i， 得y=1，x=2． ∴復(fù)數(shù)x+yi=2+i． 故選：A． 　 2．對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b、c，在下列命題中，真命題是（　?。? A．“ac＞bc”是“a＞b”的必要條件 B．“ac=bc”是“a=b”的必要條件 C．“ac＞bc”是“a＞b”的充分條件 D．“ac=bc”是“a=b”的充分條件 【考點(diǎn)】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 【分析】當(dāng)a=b時(shí)，一定有ac=bc．但ac=bc時(shí)，且c=0時(shí)，a，b可以不相等．即“ac=bc”是“a=b”的必要條件． 【解答】解：A、C當(dāng)c＜0時(shí)，“ac＞bc”即不是“a＞b”的必要條件也不是充分條件，故A，C不成立； B、∵當(dāng)a=b時(shí) ∴一定有ac=bc． 但ac=bc時(shí)，且c=0時(shí)，a，b可以不相等． 即“ac=bc”是“a=b”的必要條件． D、當(dāng)c=0時(shí)，“ac=bc”是“a=b”的充分條件不成立； 故選B． 　 3．若實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=2，則3a+3b的最小值是（　?。? A．18 B．6 C．2 D．2 【考點(diǎn)】7F：基本不等式． 【分析】先判斷3a與3b的符號(hào)，利用基本不等式建立關(guān)系，結(jié)合a+b=2，可求出3a+3b的最小值 【解答】解：由于3a＞0，3b＞0， 所以3a+3b = = =6．當(dāng)且僅當(dāng)3a=3b，a=b，即a=1，b=1時(shí)取得最小值． 故選B 　 4．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，則A的取值范圍是（　　） A．（0，] B．[，π） C．（0，] D．[，π） 【考點(diǎn)】HP：正弦定理；HR：余弦定理． 【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值轉(zhuǎn)化成邊，進(jìn)而代入到余弦定理公式中求得cosA的范圍，進(jìn)而求得A的范圍． 【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC， ∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC， ∴a2≤b2+c2﹣bc， ∴bc≤b2+c2﹣a2 ∴cosA=≥ ∴A≤ ∵A＞0 ∴A的取值范圍是（0，] 故選C 　 5．已知F是拋物線y2=x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|+|BF|=3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為（　?。? A． B．1 C． D． 【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【分析】根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，列出方程求出A，B的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，求出線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離． 【解答】解：∵F是拋物線y2=x的焦點(diǎn)， F（）準(zhǔn)線方程x=， 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）， 根據(jù)拋物線的定義拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離|AF|=，|BF|=， ∴|AF|+|BF|==3 解得， ∴線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為， ∴線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為． 故選C． 　 6．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a2a3=5，a7a8a9=10，則a4a5a6=（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【考點(diǎn)】8G：等比數(shù)列的性質(zhì)． 【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數(shù)列，即可得出結(jié)論． 【解答】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數(shù)列， 所以a4a5a6=5． 故選：B． 　 7．設(shè)x，y滿足約束條件，則z=2x﹣y的最大值為（　?。? A．10 B．8 C．3 D．2 【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃． 【分析】由題意作出其平面區(qū)域，將z=2x﹣y化為y=2x﹣z，﹣z相當(dāng)于直線y=2x﹣z的縱截距，由幾何意義可得． 【解答】解：由題意作出其平面區(qū)域： 將z=2x﹣y化為y=2x﹣z，﹣z相當(dāng)于直線y=2x﹣z的縱截距， 由可解得，A（5，2）， 則過(guò)點(diǎn)A（5，2）時(shí)， z=2x﹣y有最大值10﹣2=8． 故選B． 　 8．設(shè)F1和F2為雙曲線﹣y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足∠F1PF2=90°，則△F1PF2的面積是（　　） A．1 B． C．2 D． 【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【分析】設(shè)|PF1|=x，|PF2|=y，根據(jù)根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知x﹣y的值，再根據(jù)∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，進(jìn)而根據(jù)2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，進(jìn)而可求得∴△F1PF2的面積 【解答】解：設(shè)|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y） 根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知x﹣y=4， ∵∠F1PF2=90°， ∴x2+y2=20 ∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4 ∴xy=2 ∴△F1PF2的面積為xy=1 故選A 　 9．已知a＞0，函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，若x0滿足關(guān)于x的方程2ax+b=0，則下列選項(xiàng)的命題中為假命題的是（　?。? A．?x∈R，f（x）≤f（x0） B．?x∈R，f（x）≥f（x0） C．?x∈R，f（x）≤f（x0） D．?x∈R，f（x）≥f（x0） 【考點(diǎn)】26：四種命題的真假關(guān)系． 【分析】由x0滿足關(guān)于x的方程2ax+b=0得出x=x0是二次函數(shù)的對(duì)稱軸，由a＞0可知二次函數(shù)有最小值． 【解答】解：∵x0滿足關(guān)于x的方程2ax+b=0，∴ ∵a＞0，∴函數(shù)f（x）在x=x0處取到最小值是 等價(jià)于?x∈R，f（x）≥f（x0），所以命題C錯(cuò)誤． 答案：C． 　 10．設(shè)函數(shù)f（x）=xex，則（　?。? A．x=1為f（x）的極大值點(diǎn) B．x=1為f（x）的極小值點(diǎn) C．x=﹣1為f（x）的極大值點(diǎn) D．x=﹣1為f（x）的極小值點(diǎn) 【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值． 【分析】由題意，可先求出f′（x）=（x+1）ex，利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，即可得出x=﹣1為f（x）的極小值點(diǎn) 【解答】解：由于f（x）=xex，可得f′（x）=（x+1）ex， 令f′（x）=（x+1）ex=0可得x=﹣1 令f′（x）=（x+1）ex＞0可得x＞﹣1，即函數(shù)在（﹣1，+∞）上是增函數(shù) 令f′（x）=（x+1）ex＜0可得x＜﹣1，即函數(shù)在（﹣∞，﹣1）上是減函數(shù) 所以x=﹣1為f（x）的極小值點(diǎn) 故選D 　 11．甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)．若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有（　?。? A．150種 B．180種 C．300種 D．345種 【考點(diǎn)】D1：分類加法計(jì)數(shù)原理；D2：分步乘法計(jì)數(shù)原理． 【分析】選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法，1名女同學(xué)來(lái)自甲組和乙組兩類型． 【解答】解：分兩類（1）甲組中選出一名女生有C51?C31?C62=225種選法； （2）乙組中選出一名女生有C52?C61?C21=120種選法．故共有345種選法． 故選D 　 12．已知橢圓T： +=1（a＞b＞0）的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為k（k＞0）的直線與T相交于A，B兩點(diǎn)，若=3，則k=（　　） A．1 B． C． D．2 【考點(diǎn)】KH：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題． 【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），根據(jù)求得y1和y2關(guān)系根據(jù)離心率設(shè)，b=t，代入橢圓方程與直線方程聯(lián)立，消去x，根據(jù)韋達(dá)定理表示出y1+y2和y1y2，進(jìn)而根據(jù)y1和y2關(guān)系求得k． 【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵，∴y1=﹣3y2， ∵，設(shè)，b=t， ∴x2+4y2﹣4t2=0①， 設(shè)直線AB方程為，代入①中消去x，可得， ∴，， 解得， 故選B 　 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 13．曲線y=4x﹣x3在點(diǎn)（﹣1，﹣3）處的切線方程是　x﹣y﹣2=0?。? 【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程． 【分析】欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=﹣1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問(wèn)題解決． 【解答】解：∵y=4x﹣x3， ∴f'（x）=4﹣3x2，當(dāng)x=﹣1時(shí)，f'（﹣1）=1得切線的斜率為1，所以k=1； 所以曲線在點(diǎn)（﹣1，﹣3）處的切線方程為： y+3=1×（x+1），即x﹣y﹣2=0． 故答案為：x﹣y﹣2=0． 　 14．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（3，100），且P（ξ≤5）=0.84，則P（1≤ξ≤5）=　0.68?。? 【考點(diǎn)】CP：正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義． 【分析】先求出P（3≤ξ≤5），再利用正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算P（1≤ξ≤5）． 【解答】解：P（3≤ξ≤5）=P（ξ≤5）﹣P（ξ≤3）=0.84﹣0.5=0.34， ∴P（1≤ξ≤5）=2P（3≤ξ≤5）=0.68． 故答案為：0.68． 　 15．在（x﹣）5的二次展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為　40?。ㄓ脭?shù)字作答）． 【考點(diǎn)】DA：二項(xiàng)式定理． 【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為2求出x2的系數(shù)． 【解答】解：， 令 所以r=2， 所以x2的系數(shù)為（﹣2）2C52=40． 故答案為40 　 16．若規(guī)定E={a1，a2，…，a10}的子集{at1，at2，…，ak}為E的第k個(gè)子集，其中，則E的第211個(gè)子集是　{a1，a2，a5，a7，a8}?。? 【考點(diǎn)】16：子集與真子集． 【分析】根據(jù)題意，分別討論2n的取值，通過(guò)討論計(jì)算n的可能取值，即可得答案． 【解答】解：∵27=128＜211，而28=256＞211， ∴E的第211個(gè)子集包含a8， 此時(shí)211﹣128=83， ∵26=64＜83，27=128＞83， ∴E的第211個(gè)子集包含a7， 此時(shí)83﹣64=19， ∵24=16＜19，25=32＞19， ∴E的第211個(gè)子集包含a5， 此時(shí)19﹣16=3 ∵21＜3，22=4＞3， ∴E的第211個(gè)子集包含a2， 此時(shí)3﹣2=1，20=1， ∴E的第211個(gè)子集包含a1． ∴E的第211個(gè)子集是{a1，a2，a5，a7，a8}； 故答案為：{a1，a2，a5，a7，a8}． 　 三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明或推理、驗(yàn)算過(guò)程. 17．已知{an}為等差數(shù)列，且a1+a3=8，a2+a4=12． （1）求{an}的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和． 【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和；8F：等差數(shù)列的性質(zhì)． 【分析】（1）由已知條件可得，解得a1，d，即可； （2）由an=2n可得，，利用錯(cuò)位相減法數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n． 【解答】解：（1）由已知條件可得，… 解之得a1=2，d=2，… 所以，an=2n． … （2）由an=2n可得，，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n． 則，… ∴，… 以上二式相減得 =，… 所以，．… 　 18．甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與p，且乙投球2次均未命中的概率為． （Ⅰ）求乙投球的命中率p； （Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命中的次數(shù)記為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；C7：等可能事件的概率；CG：離散型隨機(jī)變量及其分布列． 【分析】（Ⅰ）根據(jù)乙投球2次均未命中的概率為，兩次是否投中相互之間沒(méi)有影響，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式寫(xiě)出乙兩次都未投中的概率，列出方程，解方程即可． （II）做出甲投球命中的概率和乙投球命中的概率，因?yàn)閮扇斯裁械拇螖?shù)記為ξ，得到變量可能的取值，看清楚變量對(duì)應(yīng)的事件，做出事件的概率，寫(xiě)出分布列和期望． 【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)乙投球2次均未命中的概率為，兩次是否投中相互之間沒(méi)有影響， 設(shè)“甲投球一次命中”為事件A，“乙投球一次命中”為事件B 由題意得 解得或（舍去）， ∴乙投球的命中率為． （Ⅱ）由題設(shè)和（Ⅰ）知 ξ可能的取值為0，1，2，3， P（ξ=1）=P（A）P（）+?P（B）P（）P（）= ∴ξ的分布列為 ∴ξ的數(shù)學(xué)期望． 　 19．如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD． （Ⅰ）證明：平面PQC⊥平面DCQ （Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值． 【考點(diǎn)】MJ：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；LY：平面與平面垂直的判定；MN：向量語(yǔ)言表述面面的垂直、平行關(guān)系；MR：用空間向量求平面間的夾角． 【分析】首先根據(jù)題意以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz； （Ⅰ）根據(jù)坐標(biāo)系，求出、、的坐標(biāo)，由向量積的運(yùn)算易得?=0， ?=0；進(jìn)而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得證明； （Ⅱ）依題意結(jié)合坐標(biāo)系，可得B、、的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面的PBC的法向量與平面PBQ法向量，進(jìn)而求出cos＜，＞，根據(jù)二面角與其法向量夾角的關(guān)系，可得答案． 【解答】解：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz； （Ⅰ）依題意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）； 則=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，﹣1，0）， 所以?=0， ?=0； 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC， 故PQ⊥平面DCQ， 又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ； （Ⅱ）依題意，有B（1，0，1）， =（1，0，0），=（﹣1，2，﹣1）； 設(shè)=（x，y，z）是平面的PBC法向量， 則即， 因此可取=（0，﹣1，﹣2）； 設(shè)是平面PBQ的法向量，則， 可取=（1，1，1）， 所以cos＜，＞=﹣， 故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值為﹣． 　 20．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)為A，B（A在B的上方），且四邊形AF1BF2的面積為8． （1）求橢圓C的方程； （2）設(shè)動(dòng)直線y=kx+4與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G，求證：A，G，N三點(diǎn)共線． 【考點(diǎn)】KL：直線與橢圓的位置關(guān)系；K3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【分析】（1）橢圓C的離心率，可得b=c，四邊形AF1BF2是正方形，即a2=8，b=c=2． （2）將已知直線代入橢圓方程化簡(jiǎn)得：（2k2+1）x2+16kx+24=0 設(shè)M（xM，kxM+4），N（xN，kxN+4），G（xG，1）， MB方程為：y=，則G（，1）， 欲證A，G，N三點(diǎn)共線，只需證，，共線，即只需（3k+k）xMxn=﹣6（xM+xN）即可． 【解答】解：（1）∵橢圓C的離心率，∴b=c，因此四邊形AF1BF2是正方形．… ∴a2=8，b=c=2． … ∴橢圓C的方程為． … （2）證明：將已知直線代入橢圓方程化簡(jiǎn)得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，… △=32（2k2﹣3）＞0，解得：k． 由韋達(dá)定理得：①，xM?xN=，②… 設(shè)M（xM，kxM+4），N（xN，kxN+4），G（xG，1）， MB方程為：y=，則G（，1），… ∴，，… 欲證A，G，N三點(diǎn)共線，只需證，共線， 即（kxN+2）=﹣xN成立，化簡(jiǎn)得：（3k+k）xMxn=﹣6（xM+xN） 將①②代入易知等式成立，則A，G，N三點(diǎn)共線得證． … 　 21．已知函數(shù)f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0． （1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間； （2）設(shè)f（x）的最小值為g（a），求證：． 【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值． 【分析】（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0原函數(shù)單調(diào)遞減可得答案； （2）由（1）可知，f（x）的最小值為，a＞0，構(gòu)造函數(shù)設(shè)，x∈（0，+∞），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可證明結(jié)論． 【解答】解：（1）由已知可得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī?，+∞）， 而， ∵a＞0，x＞﹣1，∴當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0， 當(dāng)時(shí)，f'（x）＞0， ∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是． （2）由（1）可知，f（x）的最小值 為，a＞0． 要證明， 只須證明成立． 設(shè)，x∈（0，+∞）． 則， ∴φ（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，∴φ（x）＞φ（0）=0，即． 取得到成立． 設(shè)ψ（x）=ln（x+1）﹣x，x∈（0，+∞），同理可證ln（x+1）＜x． 取得到成立．因此，． 　 選修4-4：參數(shù)方程與極坐標(biāo)系 22．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． （1）將直線l：（t為參數(shù)）化為極坐標(biāo)方程； （2）設(shè)P是（1）中直線l上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A（，），B是曲線ρ=﹣2sinθ上的動(dòng)點(diǎn)，求|PA|+|PB|的最小值． 【考點(diǎn)】Q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程． 【分析】（1）由直線l：（t為參數(shù)）消去參數(shù)t，可得x+y=，利用即可化為極坐標(biāo)方程； （2）定點(diǎn)A（，），化為A（1，1）．曲線ρ=﹣2sinθ化為ρ2=﹣2ρsinθ，可得直角坐標(biāo)方程：x2+（y+1）2=1．可得圓心C（0，﹣1）．連接AC交直線l于點(diǎn)P，交⊙C于點(diǎn)B，可得|PA|+|PB|的最小值=|AC|﹣r． 【解答】解：（1）由直線l：（t為參數(shù)）消去參數(shù)t，可得x+y=，化為極坐標(biāo)方程ρcosθ+ρsinθ=； （2）定點(diǎn)A（，），化為A（1，1）． 曲線ρ=﹣2sinθ化為ρ2=﹣2ρsinθ，∴直角坐標(biāo)方程為：x2+y2=﹣2y， 配方為x2+（y+1）2=1． 可得圓心C（0，﹣1）． 連接AC交直線l于點(diǎn)P，交⊙C于點(diǎn)B， |AC|==， ∴|PA|+|PB|的最小值=|AC|﹣r=﹣1． 　 選修4-5：不等式選講 23．（1）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1； （2）設(shè)a2﹣2ab+5b2=4對(duì)?a，b∈R成立，求a+b的最大值及相應(yīng)的a，b． 【考點(diǎn)】R5：絕對(duì)值不等式的解法；7G：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用． 【分析】（1）對(duì)x分情況討論，去絕對(duì)值；然后分別解之； （2）設(shè)a+b=x，則原方程化為關(guān)于a的一元二次方程的形式，利用判別式法，得到x的范圍． 【解答】解：根據(jù)題意，對(duì)x分3種情況討論： ①當(dāng)x＜0時(shí)，原不等式可化為﹣2x+1＜﹣x+1， 解得x＞0，又x＜0，則x不存在， 此時(shí)，不等式的解集為?． ②當(dāng)0≤x＜時(shí)，原不等式可化為﹣2x+1＜x+1， 解得x＞0，又0≤x＜， 此時(shí)其解集為{x|0＜x＜}． ③當(dāng)x≥時(shí)，原不等式可化為2x﹣1＜x+1，解得x＜2， 又由x≥， 此時(shí)其解集為{x|≤x＜2}， ?∪{x|0＜x＜}∪{x|≤x＜2}={x|0＜x＜2}； 綜上，原不等式的解集為{x|0＜x＜2}． （2）設(shè)a+b=x，則原方程化為8a2﹣12ax+5x2﹣4=0，此方程有實(shí)根，則△=144x2﹣4×8（5x2﹣4）≥0，解得， 所以a+b的最大值為2，此時(shí)a=，b=． 　  2017年7月11日