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年級(jí)：_____________ 專(zhuān)業(yè)：_____________________ 班級(jí)：_________________ 學(xué)號(hào)：_______________ 姓名：__________________ …………………………………………………………..裝………………….訂…………………..線(xiàn)……………………………………………………… 誠(chéng)信應(yīng)考 考出水平 考出風(fēng)格 年級(jí)：_____________ 專(zhuān)業(yè)：_____________________ 班級(jí)：_________________ 學(xué)號(hào)：_______________ 姓名：__________________ …………………………………………………………..裝………………….訂…………………..線(xiàn)……………………………………………………… 浙江大學(xué)城市學(xué)院 2006—2007學(xué)年第二學(xué)期考試試卷 《 微積分（B）II》 開(kāi)課單位：計(jì)算分院 ；考試形式：閉卷；考試日期：07年7月10日；時(shí)間：120分鐘 題序 一 二 三 四 五 六 總 分 得分 評(píng)卷人 得分 一． 微分方程問(wèn)題(本大題共 3 題，每題 5分，共15 分) 1． 求解微分方程 . 解：； 　　　　　記，得通解：， 　　　　　由，得，所以微分方程特解為 點(diǎn)評(píng)：此題考可分離變量微分方程掌握情況?？煞蛛x變量微分方程的關(guān)鍵是將方程通過(guò)因式分解，使“分家”，變成：形式，然后積分。本題還要注意的變化。 2.求解微分方程 . 解: , 點(diǎn)評(píng)：　本題為典型的一階線(xiàn)性微分方程，這類(lèi)方程只要記住公式： 　　　　　　 　注意公式中三個(gè)不定積分計(jì)算后不需要另再加積分常數(shù)，因?yàn)楸竟街幸呀?jīng)有了。如果這個(gè)公式不能記住，那下學(xué)期只好跟著唐老師重修了。 3.求解微分方程 . 解：　設(shè)，得， 　　　 即　　 通解為：　 點(diǎn)評(píng)：對(duì)可降階的三種二階微分方程如何求解問(wèn)題必需掌握。另外注意二階微分方程的通解中一定有二個(gè)不可合并的任意常數(shù)，否則拜托，一定有錯(cuò)！ 得分 二.向量與空間解析幾何問(wèn)題(本大題共 4 題,每題 5 分，共 20分) 1． 設(shè)向量 ，求，并求。 ，＝ 點(diǎn)評(píng)：如果連，，，的夾角等都不會(huì)求，那恐怕不是重修的問(wèn)題了。 2．求直線(xiàn)與平面的交點(diǎn)，并求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線(xiàn)方程。 解：　解方程即可得交點(diǎn)， 令，得代入 得：，，交點(diǎn)為， 所求直線(xiàn)的一個(gè)方向即平面的一個(gè)法向：， 因此經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線(xiàn)方程為： 　　　　　　　　 　點(diǎn)評(píng)：平面的點(diǎn)法式方程和直線(xiàn)的點(diǎn)向式方程是二個(gè)最基本的問(wèn)題，必需會(huì)做。另外，千萬(wàn)看清是求直線(xiàn)方程還是求平面方程，二者不要混淆了（每年大概有２０%同學(xué)會(huì)混淆） 3.方程是什么圖形，求該方程與軸在第一卦限的交點(diǎn)，并求經(jīng)過(guò)的平面方程。 解：　此圖形乃橢球面也。 將代入得點(diǎn)坐標(biāo)， 同理可得點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為 　　所求平面方程為： 點(diǎn)評(píng)：本題題目稍有欠缺，因?yàn)檩S不可能在第一卦限，似乎應(yīng)將第一卦限改為正軸較好。但這也不影響對(duì)問(wèn)題的理解。學(xué)了空間解析幾何，幾個(gè)常見(jiàn)的曲面：球面，橢球面，拋物面，各類(lèi)柱面，旋轉(zhuǎn)面（包括怎么旋轉(zhuǎn)得到）等它們的方程總應(yīng)該記記牢，另外平面的截距式方程似乎也是很容易記住。 　4．將直線(xiàn)的一般式方程化為點(diǎn)向式方程與參數(shù)方程。 解：　曲線(xiàn)上取一點(diǎn)，直線(xiàn)的一個(gè)方向： 　　 點(diǎn)向式方程：；　　　參數(shù)方程： 　點(diǎn)評(píng)：習(xí)題冊(cè)上一模一樣的題目占30%，你復(fù)習(xí)時(shí)總要看看的。 得分 三．多元函數(shù)微分學(xué)問(wèn)題(本大題共 5 題，每題 5 分，共 25 分) 1． 設(shè), 求. 　　　　解：　，　　　　　　 　點(diǎn)評(píng)：送分題。只要一元微積分的導(dǎo)數(shù)會(huì)求，那么對(duì)某個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)就是將其他變量當(dāng)作常數(shù)來(lái)求導(dǎo)就行了，注意偏導(dǎo)數(shù)的四種記號(hào)都要熟悉，這可不是“茴香豆的茴字有四種寫(xiě)法”。 2． 設(shè)，求。 解：　 ，＝ 點(diǎn)評(píng)：求是冪指函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題，在求導(dǎo)之前先對(duì)函數(shù)采用變換，可是老生常談了。 3． 設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 解： 點(diǎn)評(píng)：　多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，只要記號(hào)弄清楚，沒(méi)難度可言 4． 設(shè)求 解：　記 　　　 　　　 點(diǎn)評(píng)：公式套套。只要記住隱函數(shù)求導(dǎo)的公式就可以毫不費(fèi)力解此題 5.求曲面在點(diǎn)處的切平面方程與法線(xiàn)方程. 解：　 　　 在處切平面的一個(gè)法向 　切平面方程：即 　法線(xiàn)方程：。 點(diǎn)評(píng)：　曲面的切平面方程與法線(xiàn)方程.，空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面方程求法如果沒(méi)記牢的話(huà)再去記一記。 得分 四.重積分問(wèn)題 (本大題共 4題，每題 5 分，共 20分) 求，D由與所圍。 　　　　 點(diǎn)評(píng)：求二重積分的關(guān)鍵是畫(huà)出積分區(qū)域，然后應(yīng)用公式。此題是書(shū)中P107頁(yè)7(5)原題。書(shū)中的題目也要做做的。 2．計(jì)算二重積分， 其中由與直線(xiàn)所圍成. 見(jiàn)習(xí)題冊(cè)p40頁(yè)(4) 3．求由旋轉(zhuǎn)拋物面與所圍立體的體積。 答案見(jiàn)書(shū)中P105例2. 4．求三重積分,其中是與所圍的空間區(qū)域. 解：（其中為平面區(qū)域 　　 得分 五．曲線(xiàn)積分與曲面積分問(wèn)題 (本大題共3題，每題5分，共 15 分) 1. 求第一類(lèi)曲線(xiàn)積分，其中是沿拋物線(xiàn)從到的曲線(xiàn). 解：曲線(xiàn)的參數(shù)方程： 　 點(diǎn)評(píng)：第一類(lèi)曲線(xiàn)積分計(jì)算的關(guān)鍵是將積分曲線(xiàn)參數(shù)化，然后再套公式。 2. 計(jì)算第一類(lèi)曲面積分，其中為錐面及平面所圍成的 區(qū)域的邊界曲面。 解：　習(xí)題冊(cè)p50頁(yè)2(2), 3. 計(jì)算第二類(lèi)曲線(xiàn)積分，其中為先沿直線(xiàn)從點(diǎn)到點(diǎn)，然后再沿直線(xiàn)到的折線(xiàn)。 習(xí)題冊(cè)p5１頁(yè)2(2), 得分 六．應(yīng)用題或證明題 (本大題每題5分，共 10 分) 1． 某馬戲團(tuán)的演出場(chǎng)是由帆布圍成的（自頂至地面），外形是開(kāi)口向下的旋轉(zhuǎn)拋物面，其方程為 （地平面對(duì)應(yīng)，單位為），若帆布的價(jià)格是，計(jì)算要搭建這樣的演出場(chǎng)，帆布的成本應(yīng)為多少？ 解： 　 　　　成本應(yīng)為 2．在橢圓上求一點(diǎn)，使其到直線(xiàn)的距離最短。（提示：設(shè)是到直線(xiàn)的距離，求的最小值等價(jià)于求的最小值）。 解：點(diǎn)到直線(xiàn)距離平方 　　　　 　　作　 由　 解得點(diǎn)或，由圖分析知應(yīng)為 第 6 頁(yè) 共 6 頁(yè)