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1、2014 新課標(biāo) 名師導(dǎo)學(xué) 新高考第一輪總復(fù)習(xí)同步測試卷 理科數(shù)學(xué) (二十 ) (全部內(nèi)容 ) 時(shí)間： 60分鐘 總分： 100分 一 、 選擇題 (本大題共 6小題 ， 每小題 5分 ， 共 30分 每 小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中 ， 只有一項(xiàng)是符合題目要求的 ) 1 若集合 A 1， 0， 1， B y|y cos x， x A， 則 AB ( ) A 0 B 1 C 0， 1 D 1， 0， 1 B 【 解析 】 注意到 cos( 1) cos 1 1， cos 0 1，因 此 A B 1，選 B. 2 設(shè)隨機(jī)變量 的分布列為 P ( k ) m 2

2、3 k ( k 1 ， 2 ， 3) ，則 m 的值為 ( ) A. 17 38 B. 27 38 C. 17 19 D. 27 19 B 【解析】 m 2 3 1 m 2 3 2 m 2 3 3 1 ， 即 4 9 2 3 8 27 m 38 27 m 1 ， m 27 38 ，選 B. 3 “ a< 2” 是 “ 函數(shù) f(x) ax 3在區(qū)間 1， 2上 存在零點(diǎn) ” 的 ( ) A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件 A 【 解析 】 當(dāng) a

3、< 2時(shí) ， f( 1)f(2) ( a 3)(2a 3)<0， 所以函數(shù) f(x) ax 3在區(qū)間 1， 2上存在零點(diǎn)； 反過來 ， 當(dāng)函數(shù) f(x) ax 3在區(qū)間 1， 2上存在零點(diǎn)時(shí) ， 不能得到 a< 2， 如當(dāng) a 4時(shí) ， 函數(shù) f(x) ax 3 4x 3在區(qū)間 1， 2上 存在零點(diǎn) 因此 ， “ a n . 則由 | PF 1 PF 2 | | F 1 F 2 |得 | PF 1 PF 2 | | PF 2 PF 1 | | P F 1 PF 2 |， 即 | PF 1 PF 2 | 2 | PF 1 PF 2 |

4、2 ， 所以 PF 1 PF 2 0 ， 所以 m 2 n 2 4 c 2 . 又 e 1 2 c m n ， e 2 2 c m n ， 所以 1 e 2 1 1 e 2 2 2 （ m 2 n 2 ） 4 c 2 2 ， 所以 e 1 e 2 e 2 1 e 2 2 1 1 e 2 2 1 e 2 1 2 2 ，選 A. 6 已知 m是一個(gè)給定的正整數(shù) ， 如果兩個(gè)整數(shù) a， b 用 m除所得的余數(shù)相同 ， 則稱 a與 b對模 m同條 ， 記作 ab(mod m)， 例如： 5 13(mod 4) 若 22 013 r(mod 7)， 則 r

5、可以為 ( ) A 2 008 B 2 009 C 2 010 D 2 011 C 【解析】 根據(jù)定義，要確 定 2 2 013 r ( mod 7 ) 中的 r ， 就要確定 2 2 013 用 7 除的余數(shù)， 因此利用二項(xiàng)式定理，將其向 7 的倍數(shù)轉(zhuǎn)化 2 2 013 2 3 6 71 8 6 71 (7 1) 67 1 C 0 671 7 671 1 0 C 1 671 7 670 1 1 C 671 671 7 0 1 671 ， 因此 2 2 013 除以 7 所得的余數(shù)為 1 ， 經(jīng) 驗(yàn)證， 2 010 除以 7 余數(shù)也為 1 ，選

6、 C. 二 、 填空題 (本大題共 4小題 ， 每小題 5分 ， 共 20分 ， 將各小題的結(jié)果填在題中橫線上 ) 7 某商場在國慶黃金周的促銷活動(dòng)中 ， 對 10月 2日 9 時(shí)至 14時(shí)的銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì) ， 其頻率分布直方圖如圖 所示 ， 已知 9時(shí)至 10時(shí)的銷售額為 2.5萬元 ， 則 11時(shí)至 12時(shí)的銷售額為 ____萬元 10 【 解析 】 由頻率分布直方圖可知， 9時(shí)至 10時(shí)的銷售額的頻率為 0.1， 而其銷售額為 2.5萬元 又 11時(shí)至 12時(shí)的銷售額的頻率為 0.4， 其銷售額為 2.5 4 10(萬元 ) 故填 10萬元 8 設(shè)隨機(jī)變量 X 的

7、分布列如下： X 0 5 10 20 P 0.1 0.2 若數(shù)學(xué)期望 EX 10 ，則方差 DX __ __ 35 【解析】 依題意得 0.1 0.2 1 5 10 20 0.2 10 ， 解得 0.2 ， 0.5 ， 則方差 DX (0 10) 2 0.1 (5 10) 2 0.2 (10 10) 2 0.5 ( 20 10) 2 0.2 35. 2 9 已知 a n 是公比為 2 的等比數(shù)列，若 a 3 a 1 6 ，則 a 1 ____ ； 1 a 2 1 1 a 2 2

8、 1 a 2 n 1 3 1 1 4 n 【解析】 a n 是公比為 2 的等比數(shù)列， 且 a 3 a 1 6 ， 4 a 1 a 1 6 ，即 a 1 2 ， a n a 1 2 n 1 2 n ， 1 a n 1 2 n ， 1 a 2 n 1 4 n ， 即數(shù)列 1 a 2 n 是首項(xiàng)為 1 4 ，公比為 1 4 的等比數(shù)列 1 a 2 1 1 a 2 2 1 a 2 n 1 4 1 1 4 n 1 1 4 1 3 1 1 4 n . 1

9、0如圖，在棱長均為 1的三棱錐 S ABC中， E為棱 SA的中點(diǎn)， F為 ABC的中心，則直線 EF與平面 ABC 所成角的正切值是 ____ 2 【解析】 連接 SF ， AF 并延長交 BC 于 M ， 取 AF 的中點(diǎn) H ，連接 EH . 由已知，可知該三棱錐是一個(gè)棱長為 1 的正四面體， 因?yàn)?F 是 ABC 的中心，所以 SF 平面 ABC . 在 ASF 中， H 是 AF 的中點(diǎn)， E 是 AS 的中點(diǎn)， EH SF ，且 EH 1 2 SF . 所以 EH 平面 ABC ， EF A 就是直線 EF 與平面 ABC 所成的 角 在 ABC

10、 中， F 為 ABC 的中心，也是其重心， 故 AF 2 3 AM 2 3 1 2 1 2 2 3 3 . 故 HF 1 2 AF 3 6 . 在 Rt SAF 中， SF SA 2 AF 2 1 2 3 3 2 6 3 ， 故 EH 1 2 SF 6 6 . 在 Rt EFH 中， tan EFH EH HF 6 6 3 6 2 即直線 EF 與平面 ABC 所成角的正切值為 2 . 三 、 解答題 (本大題共 3小題 ， 共 50分 解答應(yīng)寫出 文字說明 、 證明過程或演算步驟 ) 11 (16分 )某省

11、的高考數(shù)學(xué)試卷中共有 10道選擇題 ， 每個(gè)選擇題都給了 4個(gè)選項(xiàng) (其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng) 是正確的 ) 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：每小題只選 1項(xiàng) ， 答對 得 5分 ， 不答或答錯(cuò)得 0分 某考生每道題都給出了 答案 ， 已確定有 6道題的答案是正確的 ， 而其余的題 中 ， 有兩道題每題都可判斷其有兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的 ， 有一道題可以判斷其一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的 ， 還有一 道題因不理解題意只能亂猜 ， 對于這 10道選擇題 ， 試求： (1)該考生得分為 50分的概率； (2)該考生所得分?jǐn)?shù) 的分布列及數(shù)學(xué)期望 E. 【解析】 (1) 要得 50 分， 10 道選擇題必 須全做對， 在其余四道題中

12、，有兩道答對的概率為 1 2 ， 有一道題答對的概率為 1 3 ， 還有一道題答對的概率為 1 4 ， 所以得 50 的概率為 P 1 2 1 2 1 3 1 4 1 48 . (2) 依題意，該考生得分 的取值是 30 ， 35 ， 40 ， 45 ， 50 ， 得分為 30 表示只做對了 6 道題，其余各題都做錯(cuò)， 故所求概率為 P ( 30) 1 2 1 2 2 3 3 4 1 8 ； 同樣可求得得分為 3 5 分的概率為 P ( 35) C 1 2 1 2 1 2 2 3 3 4 1 2 1 2 1 3 3 4 1 2

13、 1 2 2 3 1 4 17 48 ； 得分為 40 分的概率為 P ( 40) 17 48 ； 得分為 45 分的概率為 P ( 45) 7 48 ； 得分為 50 分的概率為 P ( 50) 1 48 . 于是 的分布列為 30 35 40 45 50 P 6 48 17 48 17 48 7 48 1 48 故 E 30 6 48 35 17 48 40 17 48 45 7 48 50 1 48 455 12 . 該考生所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為 455 12 . 12 ( 16 分 ) 2014 年亞

14、運(yùn)會(huì)在韓國仁川舉行，某商場預(yù)計(jì) 2014 年從 1 月起前 x 個(gè)月顧客對吉祥物的需求總量 p ( x ) 1 2 x ( x 1)(41 2 x )( x 12 ， x N ) (1) 寫出第 x 個(gè)月的需求量 f ( x ) 的表達(dá)式； (2) 若第 x 個(gè)月的銷售量 g ( x ) f （ x ） 21 x ， 1 x <7 ， x N x 2 e x 1 3 x 2 10 x 96 ， 7 x 12 ， x N ( 單位：件 ) ， 每件利潤 q ( x ) 1 000e x 6 x ，求該商場銷售該商品，預(yù)計(jì)第幾 個(gè)

15、月的月利潤達(dá)到最大值？月利潤的最大值是多少？ ( e 6 403 ) 【 解析 】 (1)x2時(shí) ， f(x) p(x) p(x 1) 3x2 42x ； x 1時(shí) ， p(x) 39也滿足 ， 故 f(x) 3x2 42x， x12， x N . (2) 設(shè)該商場第 x 個(gè)月的月利潤為 w ( x ) 元，則 1 x <7 且 x N 時(shí)， w ( x ) ( 3 x 2 42 x 21 x ) 1 000e x 6 x 3 000(7 x ) e x 6 ， w ( x ) 3 000(6 x ) e x 6 ，由 w ( x ) 0 x

16、 6 ， w ( x ) 在 1 ， 6 ，在 6 ， 7) ， w ( x ) max w ( 6) 3 000. 7 x 12 且 x N 時(shí)， w ( x ) x 2 e x 1 3 x 2 10 x 96 1 000e x 6 x 1 000 e 6 1 3 x 3 10 x 2 96 x ， w ( x ) 1 000 e 6 ( x 12) ( x 8) ， w ( x ) 在 7 ， 8 ，在 8 ， 12 ， w ( x ) max w (8)< 3 000. 綜上，第 6 個(gè)月時(shí)

17、，最大利潤為 3 000 元 13 ( 18 分 ) 設(shè)數(shù)列 a n 的前 n 項(xiàng)和為 S n ，對任意的正整 數(shù) n ，都有 a n 5 S n 1 成立，記 b n 4 a n 1 a n ( n N * ) (1) 求數(shù)列 a n 與數(shù)列 b n 的通項(xiàng)公式； (2) 記 c n b 2 n b 2 n 1 ( n N * ) ，設(shè)數(shù)列 c n 的前 n 項(xiàng)和為 T n ，求證：對任 意正整數(shù) n 都有 T n 3 2 . 【解析】 (1) 當(dāng) n 1 時(shí)， a 1 5 S 1 1 ， a 1 1 4 . 又 a n

18、5 S n 1 ， a n 1 5 S n 1 1 ， a n 1 a n 5 a n 1 ，即 a n 1 a n 1 4 ， 數(shù)列 a n 是首項(xiàng)為 a 1 1 4 ，公比為 q 1 4 的等比數(shù)列， a n 1 4 n ， b n 4 1 4 n 1 1 4 n ( n N * ) (2) 由 b n 4 5 （ 4 ） n 1 得 c n b 2 n b 2 n 1 5 4 2 n 1 5 4 2 n 1 1 25 16 n （ 16 n 1 ）（ 16

19、n 4 ） 25 16 n （ 16 n ） 2 3 16 n 4 2 5 16 n （ 16 n ） 2 25 16 n . 又 b 1 3 ， b 2 13 3 ， c 1 4 3 ， 當(dāng) n 1 時(shí)， T 1 3 2 ， 當(dāng) n 2 時(shí)， T n 4 3 25 1 16 2 1 16 3 1 16 n 4 3 25 1 16 2 1 1 16 n 1 1 1 16 4 3 25 1 16 2 1 1 16 69 48 3 2 . 綜上知，對任意正整數(shù) n 都有 T n 3 2 .