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2015-2016學(xué)年河南省駐馬店市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 　 一、選擇題（每小題5分，共60分） 1．已知集合，B={y|y=2x+1，x∈R}，則?R（A∩B）=（　?。? A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1） C．（0，1] D．[0，1] 2．已知復(fù)數(shù)z1=﹣i，則下列命題中錯(cuò)誤的是（　?。? A．z12=z2 B．|z1|=|z2| C．z13﹣z23=1 D．zl、z2互為共軛復(fù)數(shù) 3．某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積是（　?。? A． B．4 C．2 D． 4．已知等比數(shù)列{an}，{bn}的公比分別為q1，q2，則q1=q2是{an+bn}為等比數(shù)列的（　　） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 5．執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的N=10，那么輸出的S=（　?。? A． B． C． D． 6．平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（3，t）和（2t，4）分別在頂點(diǎn)為原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸的角α，α+45°的終邊上，則t的值為（　?。? A．±6或±1 B．6或1 C．6 D．1 7．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則z=的取值范圍是（　?。? A．[0，] B．[，2） C．[，] D．[，+∞） 8．將函數(shù)f（x）=sin2x的圖象向右平移φ（0＜φ＜）個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）的圖象．若對(duì)滿足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，則φ=（　?。? A． B． C． D． 9．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若其漸進(jìn)線與圓x2+y2﹣6y+3=0相切，則此雙曲線的離心率等于（　?。? A． B． C． D． 10．有5盆菊花，其中黃菊花2盆、白菊花2盆、紅菊花1盆，現(xiàn)把它們擺放成一排，要求2盆黃菊花必須相鄰，2盆白菊花不能相鄰，則這5盆花不同的擺放種數(shù)是（　　） A．12 B．24 C．36 D．48 11．四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為2的球面上，若AB、AC、AD兩兩垂直， =2，則該四面體體積的最大值為（　　） A． B． C．2 D．7 12．若曲線C1：y=ax2（a＞0）與曲線C2：y=ex存在公共切線，則a的取值范圍為（　　） A． B． C．[，+∞） D． 　 二、填空題（本大題有4小題，每小題5分，共20分） 13．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4），函數(shù)f（x）=x2，若在矩形ABCD 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于　　　　　?。? 14．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5， =3， ?=2，則?的值是　　　　　?。? 15．已知f（x）=lg﹣x，則f（x）的最小值為　　　　　?。? 16．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)an=n2（cos2﹣sin2），其前n項(xiàng)和為Sn，則S30為　　　　　　． 　 三、解答題（6小題，70分） 17．如圖，A、B、C、D為平面四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角． （Ⅰ）證明：tan； （Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值． 18．某工廠生產(chǎn)甲，乙兩種芯片，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82為合格品，小于82為次品．現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種芯片各100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表： 測(cè)試指標(biāo) [70，76） [76，82） [82，88） [88，94） [94，100] 芯片甲 8 12 40 32 8 芯片乙 7 18 40 29 6 （I）試分別估計(jì)芯片甲，芯片乙為合格品的概率； （Ⅱ）生產(chǎn)一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品則虧損5元；生產(chǎn)一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品則虧損10元．在（I）的前提下， （i）記X為生產(chǎn)1件芯片甲和1件芯片乙所得的總利潤(rùn)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望； （ii）求生產(chǎn)5件芯片乙所獲得的利潤(rùn)不少于140元的概率． 19．如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且AD=2BC，過A1、C、D三點(diǎn)的平面記為α，BB1與α的交點(diǎn)為Q． （Ⅰ）證明：Q為BB1的中點(diǎn)； （Ⅱ）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面積為6，∠ADC=60°，求平面α與底面ABCD所成銳二面角的大小． 20．已知橢圓x2+2y2=1，過原點(diǎn)的兩條直線l1和l2分別于橢圓交于A、B和C、D，記得到的平行四邊形ACBD的面積為S． （1）設(shè)A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐標(biāo)表示點(diǎn)C到直線l1的距離，并證明S=2|x1y2﹣x2y1|； （2）設(shè)l1與l2的斜率之積為﹣，求面積S的值． 21．設(shè)函數(shù)f （x）=（x+1）lnx﹣a （x﹣1）在x=e處的切線與y軸相交于點(diǎn)（0，2﹣e）． （1）求a的值； （2）函數(shù)f （x）能否在x=1處取得極值？若能取得，求此極值；若不能，請(qǐng)說明理由． （3）當(dāng)1＜x＜2時(shí)，試比較與大小． 　 選做題（請(qǐng)?jiān)?2、23、24三題中任選一題作答，若多做，則按所做的第一題計(jì)分）[幾何證明選講] 22．已知AB為半圓O的直徑，AB=4，C為半圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作半圓的切線CD，過點(diǎn)A作AD⊥CD于D，交半圓于點(diǎn)E，DE=1． （Ⅰ）求證：AC平分∠BAD； （Ⅱ）求BC的長(zhǎng)． 　 [坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 23．在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心C（，），半徑r=． （Ⅰ）求圓C的極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）若α∈[0，），直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l交圓C于A、B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍． 　 [不等式選講] 24．函數(shù)f（x）=． （Ⅰ）若a=5，求函數(shù)f（x）的定義域A； （Ⅱ）設(shè)B={x|﹣1＜x＜2}，當(dāng)實(shí)數(shù)a，b∈B∩（?RA）時(shí)，求證：＜|1+|． 　  2015-2016學(xué)年河南省駐馬店市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（每小題5分，共60分） 1．已知集合，B={y|y=2x+1，x∈R}，則?R（A∩B）=（　　） A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1） C．（0，1] D．[0，1] 【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算． 【分析】求出A中不等式的解集確定出A，求出B中y的范圍確定出B，求出A與B的解集，進(jìn)而確定交集的補(bǔ)角即可． 【解答】解：由A中不等式變形得：x（x﹣1）≥0，且x﹣1≠0， 解得：x≤0或x＞1，即A=（﹣∞，0]∪（1，+∞）， 由B中y=2x+1＞1，即B=（1，+∞）， ∴A∩B=（1，+∞）， 則?R（A∩B）=（﹣∞，1]， 故選：A． 　 2．已知復(fù)數(shù)z1=﹣i，則下列命題中錯(cuò)誤的是（　?。? A．z12=z2 B．|z1|=|z2| C．z13﹣z23=1 D．zl、z2互為共軛復(fù)數(shù) 【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算． 【分析】復(fù)數(shù)z1=﹣i，可得=z2，|z1|=|z2|，， =0．即可判斷出． 【解答】解：∵復(fù)數(shù)z1=﹣i， ∴=z2，|z1|=|z2|，，因此A，B，D正確． 對(duì)于C： =0． 故選：C． 　 3．某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積是（　?。? A． B．4 C．2 D． 【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積． 【分析】由三視圖可知：該三棱錐的側(cè)面PBC⊥底面ABC，PD⊥交線BC，AE⊥BC，且AE=3，PD=2，CD=3，DB=1，CE=EB=2．據(jù)此即可計(jì)算出其體積． 【解答】解：由三視圖可知：該三棱錐的側(cè)面PBC⊥底面ABC，PD⊥交線BC，AE⊥BC，且AE=3，PD=2，CD=3，DB=1，CE=EB=2． ∴VP﹣ABC===4． 故選B． 　 4．已知等比數(shù)列{an}，{bn}的公比分別為q1，q2，則q1=q2是{an+bn}為等比數(shù)列的（　?。? A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 【分析】利用等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式、充要條件的判定即可得出． 【解答】解：等比數(shù)列{an}，{bn}的公比分別為q1，q2，則q1=q2=q?==q，因此{(lán)an+bn}為等比數(shù)列； 反之也成立，設(shè){an+bn}是公比為q等比數(shù)列，則an+bn=， +=，對(duì)于?n∈N*恒成立，∴q1=q2=q． ∴q1=q2是{an+bn}為等比數(shù)列的充要條件． 故選：C． 　 5．執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的N=10，那么輸出的S=（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】程序框圖． 【分析】從賦值框給出的兩個(gè)變量的值開始，逐漸分析寫出程序運(yùn)行的每一步，便可得到程序框圖表示的算法的功能． 【解答】解：框圖首先給累加變量S和循環(huán)變量i賦值， S=0+1=1，k=1+1=2； 判斷k＞10不成立，執(zhí)行S=1+，k=2+1=3； 判斷k＞10不成立，執(zhí)行S=1++，k=3+1=4； 判斷k＞10不成立，執(zhí)行S=1+++，k=4+1=5； … 判斷i＞10不成立，執(zhí)行S=，k=10+1=11； 判斷i＞10成立，輸出S=． 算法結(jié)束． 故選B． 　 6．平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（3，t）和（2t，4）分別在頂點(diǎn)為原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸的角α，α+45°的終邊上，則t的值為（　?。? A．±6或±1 B．6或1 C．6 D．1 【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正切函數(shù)；任意角的三角函數(shù)的定義． 【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義分別求出tanα和tan（α+45°），然后利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值得到一個(gè)關(guān)于t的方程，求出t的值，然后利用α和α+45°是始邊為x軸的非負(fù)半軸的角，得到滿足題意t的值即可． 【解答】解：由題意得tanα=，tan（α+45°）== 而tan（α+45°）===，化簡(jiǎn)得：t2+5t﹣6=0即（t﹣1）（t+6）=0，解得t=1，t=﹣6 因?yàn)辄c(diǎn)（3，t）和（2t，4）分別在頂點(diǎn)為原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸的角α，α+45°的終邊上，所以t=﹣6舍去 則t的值為1 故選D 　 7．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則z=的取值范圍是（　?。? A．[0，] B．[，2） C．[，] D．[，+∞） 【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃． 【分析】由約束條件作出可行域，化z==1+，由其幾何意義（動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率）得答案． 【解答】解：由約束條件作出可行域如圖， A（1，0）． z==， 的幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)P（﹣1，1）連線的斜率， ∵． ∴z的取值范圍為[，+∞）． 故選：D． 　 8．將函數(shù)f（x）=sin2x的圖象向右平移φ（0＜φ＜）個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）的圖象．若對(duì)滿足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，則φ=（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換． 【分析】利用三角函數(shù)的最值，求出自變量x1，x2的值，然后判斷選項(xiàng)即可． 【解答】解：因?yàn)閷⒑瘮?shù)f（x）=sin2x的周期為π，函數(shù)的圖象向右平移φ（0＜φ＜）個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）的圖象．若對(duì)滿足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，兩個(gè)函數(shù)的最大值與最小值的差為2，有|x1﹣x2|min=， 不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此時(shí)φ=，不合題意， x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此時(shí)φ=，滿足題意． 故選：D． 　 9．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若其漸進(jìn)線與圓x2+y2﹣6y+3=0相切，則此雙曲線的離心率等于（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【分析】利用雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線y=x與圓x2+y2﹣6y+3=0相切?圓心（0，3）到漸近線的距離等于半徑r，利用點(diǎn)到直線的距離公式和離心率的計(jì)算公式即可得出． 【解答】解：取雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線y=x，即bx﹣ay=0． 由圓x2+y2﹣6y+3=0化為x2+（y﹣3）2=6．圓心（0，3），半徑r=． ∵漸近線與圓x2+y2﹣6y+3=0相切， ∴=化為a2=2b2． ∴該雙曲線的離心率e====． 故選：C． 　 10．有5盆菊花，其中黃菊花2盆、白菊花2盆、紅菊花1盆，現(xiàn)把它們擺放成一排，要求2盆黃菊花必須相鄰，2盆白菊花不能相鄰，則這5盆花不同的擺放種數(shù)是（　?。? A．12 B．24 C．36 D．48 【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題． 【分析】由題設(shè)中的條件知，可以先把黃1與黃2必須相鄰，可先將兩者綁定，又白1與白2不相鄰，可把黃1與黃2看作是一盆菊花，與白1白2之外的菊花作一個(gè)全排列，由于此兩個(gè)元素隔開了三個(gè)空，再由插空法將白1白2菊花插入三個(gè)空，由分析過程知，此題應(yīng)分為三步完成，由計(jì)數(shù)原理計(jì)算出結(jié)果即可． 【解答】解：由題意，第一步將黃1與黃2綁定，兩者的站法有2種，第二步將此兩菊花看作一個(gè)整體， 與除白1，白2之外的一菊花看作兩個(gè)元素做一個(gè)全排列有A22種站法， 此時(shí)隔開了三個(gè)空，第三步將白1，白2兩菊花插入三個(gè)空，排法種數(shù)為A32 則不同的排法種數(shù)為2×A22×A32=2×2×6=24． 故選B． 　 11．四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為2的球面上，若AB、AC、AD兩兩垂直， =2，則該四面體體積的最大值為（　?。? A． B． C．2 D．7 【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 【分析】由題意， =c??=c2=2，進(jìn)而可得a2+b2=14≥2ab，即可求出四面體體積的最大值． 【解答】解：由題意， =c??=c2=2， ∵a2+b2+c2=16， ∴a2+b2=14≥2ab， ∴ab≤7， ∴=≤， ∴四面體體積的最大值為， 故選：A． 　 12．若曲線C1：y=ax2（a＞0）與曲線C2：y=ex存在公共切線，則a的取值范圍為（　?。? A． B． C．[，+∞） D． 【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程． 【分析】求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)相等列方程，再由方程有根轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)求得a的范圍． 【解答】解：由y=ax2（a＞0），得y′=2ax， 由y=ex，得y′=ex， ∵曲線C1：y=ax2（a＞0）與曲線C2：y=ex存在公共切線，則 設(shè)公切線與曲線C1切于點(diǎn)（），與曲線C2切于點(diǎn)（）， 則，將代入，可得2x2=x1+2， ∴a=，記， 則，當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f′（x）＜0． ∴當(dāng)x=2時(shí)，． ∴a的范圍是[）． 故選：C． 　 二、填空題（本大題有4小題，每小題5分，共20分） 13．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4），函數(shù)f（x）=x2，若在矩形ABCD 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于　　． 【考點(diǎn)】定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用；幾何概型． 【分析】分別求出矩形和陰影部分的面積，利用幾何概型公式，解答． 【解答】解：由已知，矩形的面積為4×（2﹣1）=4， 陰影部分的面積為=（4x﹣）|=， 由幾何概型公式可得此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于； 故答案為：． 　 14．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5， =3， ?=2，則?的值是　22?。? 【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 【分析】由=3，可得=+， =﹣，進(jìn)而由AB=8，AD=5， =3， ?=2，構(gòu)造方程，進(jìn)而可得答案． 【解答】解：∵=3， ∴=+， =﹣， 又∵AB=8，AD=5， ∴?=（+）?（﹣）=||2﹣?﹣||2=25﹣?﹣12=2， 故?=22， 故答案為：22． 　 15．已知f（x）=lg﹣x，則f（x）的最小值為　lg2?。? 【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義． 【分析】化簡(jiǎn)f（x）=lg﹣x=lg=lg（10x+10﹣x），從而利用基本不等式求最值． 【解答】解：f（x）=lg﹣x =lg =lg（10x+10﹣x）≥lg2， （當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立）； 故答案為：lg2． 　 16．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)an=n2（cos2﹣sin2），其前n項(xiàng)和為Sn，則S30為　470?。? 【考點(diǎn)】數(shù)列的求和． 【分析】利用二倍角公式對(duì)已知化簡(jiǎn)可得，an=n2（cos2﹣sin2）=n2cos，然后代入到求和公式中可得， +32cos2π+…+302cos20π，求出 特殊角的三角函數(shù)值之后，利用平方差公式分組求和即可求解 【解答】解：∵an=n2（cos2﹣sin2）=n2cos ∴+32cos2π+…+302cos20π =+… = [1+22﹣2×32）+（42+52﹣62×2）+…+] = [（12﹣32）+（42﹣62）+…++（22﹣32）+（52﹣62）+…+] = [﹣2（4+10+16…+58）﹣（5+11+17+…+59）] = [﹣2×] =470 故答案為：470 　 三、解答題（6小題，70分） 17．如圖，A、B、C、D為平面四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角． （Ⅰ）證明：tan； （Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值． 【考點(diǎn)】三角函數(shù)恒等式的證明． 【分析】（Ⅰ）直接利用切化弦以及二倍角公式化簡(jiǎn)證明即可． （Ⅱ）通過A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，利用（Ⅰ）化簡(jiǎn)tan+tan+tan+tan=，連結(jié)BD，在△ABD中，利用余弦定理求出sinA，連結(jié)AC，求出sinB，然后求解即可． 【解答】證明：（Ⅰ）tan===．等式成立． （Ⅱ）由A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，由（Ⅰ）可知：tan+tan+tan+tan==，連結(jié)BD，在△ABD中，有BD2=AB2+AD2﹣2AB?ADcosA，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5， 在△BCD中，有BD2=BC2+CD2﹣2BC?CDcosC， 所以AB2+AD2﹣2AB?ADcosA=BC2+CD2﹣2BC?CDcosC， 則：cosA===． 于是sinA==， 連結(jié)AC，同理可得：cosB===， 于是sinB==． 所以tan+tan+tan+tan===． 　 18．某工廠生產(chǎn)甲，乙兩種芯片，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82為合格品，小于82為次品．現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種芯片各100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表： 測(cè)試指標(biāo) [70，76） [76，82） [82，88） [88，94） [94，100] 芯片甲 8 12 40 32 8 芯片乙 7 18 40 29 6 （I）試分別估計(jì)芯片甲，芯片乙為合格品的概率； （Ⅱ）生產(chǎn)一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品則虧損5元；生產(chǎn)一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品則虧損10元．在（I）的前提下， （i）記X為生產(chǎn)1件芯片甲和1件芯片乙所得的總利潤(rùn)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望； （ii）求生產(chǎn)5件芯片乙所獲得的利潤(rùn)不少于140元的概率． 【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；等可能事件的概率． 【分析】（Ⅰ）分布求出甲乙芯片合格品的頻數(shù)，然后代入等可能事件的概率即可求解 （Ⅱ）（?。┫扰袛嚯S機(jī)變量X的所有取值情況有90，45，30，﹣15．，然后分布求解出每種情況下的概率，即可求解分布列及期望值 （ⅱ）設(shè)生產(chǎn)的5件芯片乙中合格品n件，則次品有5﹣n件．由題意，得 50n﹣10（5﹣n）≥140，解不等式可求n ，然后利用獨(dú)立事件恰好發(fā)生k次的概率公式即可求解 【解答】解：（Ⅰ）芯片甲為合格品的概率約為， 芯片乙為合格品的概率約為． … （Ⅱ）（?。╇S機(jī)變量X的所有取值為90，45，30，﹣15.；；；． 所以，隨機(jī)變量X的分布列為： X 90 45 30 ﹣15 P ． … （ⅱ）設(shè)生產(chǎn)的5件芯片乙中合格品n件，則次品有5﹣n件． 依題意，得 50n﹣10（5﹣n）≥140，解得． 所以 n=4，或n=5． 設(shè)“生產(chǎn)5件芯片乙所獲得的利潤(rùn)不少于140元”為事件A， 則． … 　 19．如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且AD=2BC，過A1、C、D三點(diǎn)的平面記為α，BB1與α的交點(diǎn)為Q． （Ⅰ）證明：Q為BB1的中點(diǎn)； （Ⅱ）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面積為6，∠ADC=60°，求平面α與底面ABCD所成銳二面角的大?。? 【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法． 【分析】（1）由已知得平面QBC∥平面A1AD，從而QC∥A1D，由此能證明Q為BB1的中點(diǎn)． （2）法一：在△ADC中，作AE⊥DC，垂足為E，連接A1E，∠AEA1為平面α與底面ABCD所成二面角的平面角，由此求出平面α與底面ABCD所成二面角的大?。? （3）法二：以D為原點(diǎn)，DA，DD1分別為x軸和z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由此利用向量法能求出平面α與底面ABCD所成二面角的大?。? 【解答】（1）證明：∵BQ∥AA1，BC∥AD， BC∩BQ=B，AD∩AA1=A， ∴平面QBC∥平面A1AD， ∴平面A1CD與這兩個(gè)平面的交線相互平行， 即QC∥A1D． ∴△QBC與△A1AD的對(duì)應(yīng)邊相互平行， ∴△QBC∽△A1AD， ∴， ∴Q為BB1的中點(diǎn)． （2）解法一：如圖1所示，在△ADC中，作AE⊥DC，垂足為E，連接A1E． 又DE⊥AA1，且AA1∩AE=A， 所以DE⊥平面AEA1，所以DE⊥A1E． 所以∠AEA1為平面α與底面ABCD所成二面角的平面角． 因?yàn)锽C∥AD，AD=2BC，所以S△ADC=2S△BCA． 又因?yàn)樘菪蜛BCD的面積為6，DC=2， 所以S△ADC=4，AE=4． 于是tan∠AEA1==1，∠AEA1=． 故平面α與底面ABCD所成二面角的大小為． （3）解法二：如圖2所示， 以D為原點(diǎn)，DA，DD1分別為x軸和z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)∠CDA=θ，BC=a，則AD=2a． 因?yàn)镾四邊形ABCD=?2sin60°=6， 所以a=． 從而可得C（1，，0），A1（，0，4）， 所以DC=（1，，0），=（，0，4）． 設(shè)平面A1DC的法向量=（x，y，1）， 由， 得， 所以=（﹣，，1）． 又因?yàn)槠矫鍭BCD的法向量=（0，0，1）， 所以cos＜，＞==， 故平面α與底面ABCD所成二面角的大小為． 　 20．已知橢圓x2+2y2=1，過原點(diǎn)的兩條直線l1和l2分別于橢圓交于A、B和C、D，記得到的平行四邊形ACBD的面積為S． （1）設(shè)A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐標(biāo)表示點(diǎn)C到直線l1的距離，并證明S=2|x1y2﹣x2y1|； （2）設(shè)l1與l2的斜率之積為﹣，求面積S的值． 【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；點(diǎn)到直線的距離公式． 【分析】（1）依題意，直線l1的方程為y=x，利用點(diǎn)到直線間的距離公式可求得點(diǎn)C到直線l1的距離d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可證得S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；當(dāng)l1與l2時(shí)的斜率之一不存在時(shí)，同理可知結(jié)論成立； （2）方法一：設(shè)直線l1的斜率為k，則直線l2的斜率為﹣，可得直線l1與l2的方程，聯(lián)立方程組，可求得x1、x2、y1、y2，繼而可求得答案． 方法二：設(shè)直線l1、l2的斜率分別為、，則=﹣，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在橢圓x2+2y2=1上，可求得面積S的值． 【解答】解：（1）依題意，直線l1的方程為y=x，由點(diǎn)到直線間的距離公式得：點(diǎn)C到直線l1的距離d==， 因?yàn)閨AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|； 當(dāng)l1與l2時(shí)的斜率之一不存在時(shí)，同理可知結(jié)論成立； （2）方法一：設(shè)直線l1的斜率為k，則直線l2的斜率為﹣， 設(shè)直線l1的方程為y=kx，聯(lián)立方程組，消去y解得x=±， 根據(jù)對(duì)稱性，設(shè)x1=，則y1=， 同理可得x2=，y2=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=． 方法二：設(shè)直線l1、l2的斜率分別為、，則=﹣， 所以x1x2=﹣2y1y2， ∴=4=﹣2x1x2y1y2， ∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在橢圓x2+2y2=1上， ∴（）（）=+4+2（+）=1， 即﹣4x1x2y1y2+2（+）=1， 所以（x1y2﹣x2y1）2=，即|x1y2﹣x2y1|=， 所以S=2|x1y2﹣x2y1|=． 　 21．設(shè)函數(shù)f （x）=（x+1）lnx﹣a （x﹣1）在x=e處的切線與y軸相交于點(diǎn)（0，2﹣e）． （1）求a的值； （2）函數(shù)f （x）能否在x=1處取得極值？若能取得，求此極值；若不能，請(qǐng)說明理由． （3）當(dāng)1＜x＜2時(shí)，試比較與大小． 【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程． 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式，計(jì)算化簡(jiǎn)即可得到a=2； （2）函數(shù)f （x）不能在x=1處取得極值．求出導(dǎo)數(shù)，討論x＞1，0＜x＜1函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論； （3）當(dāng)1＜x＜2時(shí)，＞﹣．運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)，即可得到結(jié)論． 【解答】解：（1）f′（x）=lnx++1﹣a， 依題設(shè)得=f′（e），即 e+1﹣a（e﹣1）﹣（2﹣e）=e， 解得a=2； （2）函數(shù)f （x）不能在x=1處取得極值． 因?yàn)閒′（x）=lnx+﹣1，記g（x）=ln x+﹣1，則g′（x）=． ①當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）是增函數(shù)， 所以g（x）＞g（1）=0，所以f′（x）＞0； ②當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）是減函數(shù)， 所以g（x）＞g（1）=0，即有f′（x）＞0． 由①②得f （x）在（0，+∞）上是增函數(shù)， 所以x=1不是函數(shù)f （x）極值點(diǎn)． （3）當(dāng)1＜x＜2時(shí)，＞﹣． 證明如下：由（2）得f （x）在（1，+∞）為增函數(shù)， 所以當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞f （1）=0． 即（x+1）lnx＞2（x﹣1），所以＜．① 因?yàn)?＜x＜2，所以0＜2﹣x＜1，＞1，所以＜=， 即﹣＜．② ①+②得﹣＜+=． 　 選做題（請(qǐng)?jiān)?2、23、24三題中任選一題作答，若多做，則按所做的第一題計(jì)分）[幾何證明選講] 22．已知AB為半圓O的直徑，AB=4，C為半圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作半圓的切線CD，過點(diǎn)A作AD⊥CD于D，交半圓于點(diǎn)E，DE=1． （Ⅰ）求證：AC平分∠BAD； （Ⅱ）求BC的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】圓的切線的性質(zhì)定理的證明；圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定． 【分析】（Ⅰ）連接OC，因?yàn)镺A=OC，所以∠OAC=∠OCA，再證明OC∥AD，即可證得AC平分∠BAD． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，從而BC=CE，利用ABCE四點(diǎn)共圓，可得∠B=∠CED，從而有，故可求BC的長(zhǎng)． 【解答】（Ⅰ）證明：連接OC，因?yàn)镺A=OC，所以∠OAC=∠OCA， 因?yàn)镃D為半圓的切線，所以O(shè)C⊥CD， 又因?yàn)锳D⊥CD，所以O(shè)C∥AD， 所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE， 連接CE，因?yàn)锳BCE四點(diǎn)共圓，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED， 所以，所以BC=2． 　 [坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 23．在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心C（，），半徑r=． （Ⅰ）求圓C的極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）若α∈[0，），直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l交圓C于A、B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍． 【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；直線與圓的位置關(guān)系；參數(shù)方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）先利用圓心坐標(biāo)與半徑求得圓的直角坐標(biāo)方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，進(jìn)行代換即得圓C的極坐標(biāo)方程． （Ⅱ）設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則|AB|=|t1﹣t2|，化為關(guān)于α的三角函數(shù)求解． 【解答】解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐標(biāo)為（1，1）， ∴圓C的直角坐標(biāo)方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2=3． 化為極坐標(biāo)方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0 … （Ⅱ）將代入圓C的直角坐標(biāo)方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3， 得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3， 即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0． ∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1?t2=﹣1． ∴|AB|=|t1﹣t2|==2． ∵α∈[0，），∴2α∈[0，）， ∴2≤|AB|＜2． 即弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍是[2，2）… 　 [不等式選講] 24．函數(shù)f（x）=． （Ⅰ）若a=5，求函數(shù)f（x）的定義域A； （Ⅱ）設(shè)B={x|﹣1＜x＜2}，當(dāng)實(shí)數(shù)a，b∈B∩（?RA）時(shí)，求證：＜|1+|． 【考點(diǎn)】不等式的證明；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；函數(shù)的定義域及其求法． 【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，得|x+1|+|x+2|﹣5≥0；求出x的取值范圍，即是f（x）的定義域A； （Ⅱ）由A、B求出B∩CRA，即得a、b的取值范圍，由此證明成立即可． 【解答】解：（Ⅰ）a=5時(shí)，函數(shù)f（x）=， ∴|x+1|+|x+2|﹣5≥0； 即|x+1|+|x+2|≥5， 當(dāng)x≥﹣1時(shí)，x+1+x+2≥5，∴x≥1； 當(dāng)﹣1＞x＞﹣2時(shí)，﹣x﹣1+x+2≥5，∴x∈?； 當(dāng)x≤﹣2時(shí)，﹣x﹣1﹣x﹣2≥5，∴x≤﹣4； 綜上，f（x）的定義域是A={x|x≤﹣4或x≥1}． （Ⅱ）∵A={x|x≤﹣4或x≥1}，B={x|﹣1＜x＜2}， ∴?RA=（﹣4，1）， ∴B∩CRA=（﹣1，1）； 又∵， 而； 當(dāng)a，b∈（﹣1，1）時(shí)， （b2﹣4）（4﹣a2）＜0； ∴4（a+b）2＜（4+ab）2， 即． 　  2016年7月31日 第26頁（共26頁）