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1、有限元法 學院：機械電子工程學院 專業(yè)：機械制造及其自動化 姓名：李淑磊 班級： 17-1班 學號： 201782050009 一、有限元法的概念 二、基本計算步驟 三、發(fā)展與應用 基本思想 一、幾個基本概念 有限元法是把要分析的連續(xù)體假想地分割成有限個單元所 組成的組合體，簡稱 離散化 。 這些單元僅在頂角處相互聯(lián)接，稱這些聯(lián)接點為 節(jié)點 。 離散化的組合體與真實彈性體的區(qū)別在于：組合體中單元 與單元之間的聯(lián)接除了結點之外再無任何關聯(lián)。但是這種 聯(lián)接要滿足變形協(xié)調條件，即不能出現(xiàn)

2、裂縫，也不允許發(fā) 生重疊。顯然， 單元之間只能通過結點來傳遞內力 。 通過結點來傳遞的內力稱為 節(jié)點力 ，作用在結點上的荷載 稱為 節(jié)點荷載 。當連續(xù)體受到外力作用發(fā)生變形時，組成 它的各個單元也將發(fā)生變形，因而各個結點要產生不同程 度的位移，這種位移稱為 節(jié)點位移 。 單元 節(jié)點 節(jié)點力 節(jié)點荷載 節(jié)點位移 在有限元中， 常以結點位移作為基本未知量 。并 對每個單元根據分塊近似的思想，假設一個簡單 的函數(shù)近似地表示單元內位移的分布規(guī)律，再利 用力學理論中的變分原理或其他方法，建立結點 力與位移之間的力學特性關系，得到一組以結點 位移為未知量的代數(shù)方程，從而求解結

3、點的位移 分量。然后利用插值函數(shù)確定單元集合體上的 場 函數(shù) 。顯然，如果單元滿足問題的收斂性要求， 那么隨著縮小單元的尺寸，增加求解區(qū)域內單元 的數(shù)目，解的近似程度將不斷改進，近似解最終 將收斂于精確解。 有限元法的基本計算步驟 物體離散化 單元特性分析 分析單元的力學性質 選擇位移模式 計算等效節(jié)點力 單元組集 求解未知節(jié)點位移 1. 物體離散化 單元選擇 ：應根據連續(xù)體的形狀選擇最能完滿地描述 連續(xù)體形狀的單元。常見的單元有：桿單元，梁單元， 三角形單元，矩形單元，四邊形單元，曲邊四邊形單 元，四面體單元，六面體單元以及曲面六面體單元等 等。 單元劃分 ：進行

4、單元劃分，單元劃分完畢后，要將全 部單元和結點按一定順序編號，每個單元所受的荷載 均按靜力等效原理移植到結點上，并在位移受約束的 結點上根據實際情況設置約束條件。 3維實體的 4面 體單元劃分 平面的三角形單 元劃分 3維實體的 6面體單元劃分 將某個工程結構離散為由各種單元組成的計算模型，這 一步又稱作單元剖分或網格劃分。 離散后單元于單元之間利用單元的節(jié)點相互連接起來； 單元節(jié)點的設置、性質、數(shù)目等應視問題的性質，描述 變形形態(tài)的需要和計算進度而定。 用有限元分析計算所獲得的結果只是近似的。如果劃分 單元數(shù)目非常多而又合理，則所獲得的結果就與實際情 況相符合。 網格劃

5、分的好壞將直接影響到計算結果的準確性和計算 進度，甚至會因為網格劃分不合理而導致計算不收斂。 網格的劃分主要取決于專業(yè)知識和經驗積累。一個水平 高的 FEA工程師， 80%的時間是用在網格劃分上。 對于一般的問題，各種 FEA均能自動的進行合理的網格 劃分。 hypermesh最目前好的劃分網格工具 。 2. 單元特性分析 分析單元的力學性質 根據單元的材料性質、形狀、尺寸、節(jié)點數(shù) 目、位置及其含義等， 找出單元節(jié)點力和節(jié)點 位移的關系式 ，這是單元分析中的關鍵一步。 此時需要應用彈性力學中的幾何方程和物理方 程來建立力和位移的方程式，從而導出單元剛 度矩陣，這

6、是有限元法的基本步驟之一。 平面問題的三角形單元的例子：單元有三個結點 I、 J、 M， 每個結點有兩個位移 u、 v和兩個結點力 U、 V。 m m j j i i e v u v u v u m m j j i i e V U V U V U F 節(jié)點位移 節(jié)點力 eee KF 取決于材料性質、形狀、尺寸 選擇位移模式：在反映力和位移的關系式中，依據那一 個量是未知量，可建立不同的模型。 位移法 ：選擇節(jié)點位移作為基本未知量稱為位移法； 力法 ：選擇節(jié)點力

7、作為基本未知量時稱為力法； 混合法 ：取一部分節(jié)點力和一部分節(jié)點位移作為基 本未知量時稱為混合法。 位移法 易于實現(xiàn)計算自動化，所以，在有限單元法 中位移法應用范圍最廣。 eee KF 計算等效節(jié)點力：將外在的負載力等效到各個節(jié)點上。 物體離散化后，假定力是通過節(jié)點從一個單元傳遞 到另一個單元。但是，對于實際的連續(xù)體，力是從單元 的公共邊傳遞到另一個單元中去的。因而，這種作用在 單元邊界上的表面力、體積力和集中力都需要等效的移 到節(jié)點上去，也就是用等效的節(jié)點力來代替所有作用在 單元上得力。 彈性體 有限元模型 有限元法的基本計算步驟 3.單

8、元組集 利用結構力的平衡條件和邊界條件把各個單元按 原來的結構重新連接起來，形成整體的有限元方程。 對由各個單元組成的整體進行分析，建立節(jié)點外載 荷與結點位移的關系，以解出節(jié)點位移，這個過程 為整體分析。 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( )eix ix ix ix e F F F F () () ex ix i e ey iy i e FP FP i節(jié)點的節(jié)點力： i節(jié)點的平衡方程 ： xiP yiP ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( )eiy iy iy iy e F F F F 集中力 單元節(jié)點力 3.單元組集 最終，將所有單元

9、組合起來得到整體的方程： K=R K整體剛度矩陣； 全部結點位移組成的列陣； R全部結點荷載組成的 列陣。 在位移法中，只有 是未知的，求解該線性方程組就可得到各結點 的位移。將結點位移代入相應方程中可求出單元的應力分量。 有限元法不僅可以求結構體的位移和應力，還可以對結構體進行穩(wěn)定 性分析和動力分析。例如，結構體的整體動力方程 ： M+C+K=F M整體質量矩陣； C整體阻尼矩陣； K整體剛度矩陣； 整體結 點位移向量； F整體結點荷載向量。 求出結構的自激振動頻率、振型等動力響應，以及動變形和動應力 等

10、。 4. 求解未知節(jié)點位移 可以根據方程組的具體特點來選擇合適的計算方法。 傳統(tǒng)有限元分析的數(shù)值計算方法之中，有直接計算 法（ Direct Solver）與迭代法（ Iterative）兩種。 由于在過去的經驗中，迭代法一直無法直接而有效 的保證數(shù)值計算的收斂性，因此，直接計算法在多 數(shù)有限元素分析軟件中，仍然是一種主流的計算方 法。 線性靜力分析的基本矩陣方程 單元剛度矩陣 2 1 2 1 11 11 u u L EA F F uKF K =剛度矩陣 F =力向量 (已知 ) u =由 F引起的未知位移向量 總體剛度矩

11、陣 uuKK KKFF 2 1 aa aa 2 1 uuKK KKFF 3 2 bb bb 3 2 u u u KK0 KKKK 0KK F F F 3 2 1 bb bbaa aa 3 2 1 F = 10000 磅 L = 10 英寸 YIN L = 10 英寸 面積 A = 1.5 英寸 2 彈性模量 E = 10 106 磅 /英 寸 2 面積 A = 2.0 英寸 2 彈性模量 E = 10 106 磅 /英寸 2 例子： 1、建立結構有限元

12、模型 L=10英寸 A=1.5英寸 2 L=10英寸 A=2.0英寸 2 結點 3# 結點 1# 結點 2# 單元 單元 2、形成單元剛度矩陣 3、總裝剛度矩陣 4、施加邊界條件 5、施加作用載荷 6、求解矩陣方程 7、計算單元應力 0 0 0 5.010 0.0005.0L uuLL 12)1(el 0006667.010 005.001167.0L uuLL 23)2(el 24-6)1(el)1(el )/(5000-=10)5-(1010=E= 英寸磅 24-6)2(el)2(el )/(6667-=10)667.6-(1010=E= 英寸磅 三、

13、有限元法的發(fā)展與與應用 在大力推廣 CAD技術的今天，從自行車到航天飛 機，所有的設計制造都離不開有限元分析計算， FEA在工程設計和分析中將得到越來越廣泛的重 視。 國際上早在 20世紀 50年代末、 60年代初就投入大 量的人力和物力開發(fā)具有強大功能的有限元分析 程序。其中最為著名的是由美國國家宇航局 （ NASA）在 1965年委托美國計算科學公司和貝 爾航空系統(tǒng)公司開發(fā)的 NASTRAN有限元分析系 統(tǒng)。該系統(tǒng)發(fā)展至今已有幾十個版本，是目前世 界上規(guī)模最大、功能最強的有限元分析系統(tǒng)。 目前應用較多的通用有限元軟件如下表所列： 另外還有許多針對某類問題的專用有

14、限元軟件，例 如金屬成形分析軟件 Deform、 Autoform。 軟件名稱 簡介 MSC/Nastran 著名結構分析程序，最初由 NASA研制 MSC/Dytran 動力學分析程序 MSC/Marc 非線性分析軟件 ANSYS 通用結構分析軟件 ADINA 非線性分析軟件 ABAQUS 非線性分析軟件 轉向機構支架的強度分析（劉道勇，東風汽車工程研究院 動，用 MSC/Nastran完成） 金屬成形過程分析（用 Deform軟件完成 ） :分析金屬成形過程中的各種缺陷 型材擠壓成形的分析。型材在擠壓 成形的初期，容易產生形狀扭曲 螺旋齒輪成形過程的分析 T形鍛

15、件的 成形分析 焊接殘余應力分析（用 Sysweld完成） 結構與焊縫布置 焊接過程的溫度分布與軸向殘余應力 有限元方法的應用 BMW曲軸的感應淬火 （用 SysWeld軟件完成） 有限元方法的應用 復雜形狀工件的組織轉變預測（石偉，用 NSHT3D 完成）：預測工件的組織分布和機械性能 二分之一工件的有限 元模型 淬火 3.06 min 時的溫度 分布 淬火 3.06 min 時的馬 氏體分布 其他的應用還包括： 電磁學、流體力學、電磁場等等等等等 等等等等 1、從單純結構力學計算發(fā)展到求解許多物理 場問題 有限元分析方法最早是從結構化矩陣分析

16、發(fā)展而來， 逐步推廣到板、殼和實體等連續(xù)體固體力學分析，實 踐證明這是一種非常有效的數(shù)值分析方法。 有限元方法已發(fā)展到流體力學、溫度場、電傳導、磁 場、滲流和聲場等問題的求解計算，最近又發(fā)展到求 解幾個交叉學科的問題。 例如當氣流流過一個很高的鐵塔產生變形，而塔的變形又反 過來影響到氣流的流動 這就需要用固體力學和流體動力學的 有限元分析結果交叉迭代求解，即所謂 流固耦合 的問題。 發(fā)展趨勢： 2、由求解線性工程問題進展到分析非線 性問題 線性理論已經遠遠不能滿足設計的要求。 例如：航天和動力工程的高溫部件存在熱變形和 熱應力，要考慮材料的非線性問題；諸如塑

17、料、橡膠 和復合材料等各種新材料的出現(xiàn)，只有采用非線性有 限元算法才能解決。 非線性的數(shù)值計算是很復雜的，很難為一般工 程技術人員所掌握。為此近年來國外一些公司 花費了大量的人力和投資開發(fā)諸如 MARC、 ABQUS和 ADINA等專長于求解非線性問題的 有限元分析軟件，并廣泛應用于工程實踐。 3、增強可視化的前置建模和后置數(shù)據處理功 能 隨著數(shù)值分析方法的逐步完善，尤其是計算機 運算速度的飛速發(fā)展，整個計算系統(tǒng)用于求解 運算的時間越來越少，而數(shù)據準備和運算結果 的表現(xiàn)問題卻日益突出。 在現(xiàn)在的工程工作站上，求解一個包含 10萬個 方程的有限元模型只需要用幾十分鐘。工程師 在分析計算

18、一個工程問題時有 80%以上的精力 都花在數(shù)據準備和結果分析上。 與 CAD軟件的無縫集成 當今有限元分析系統(tǒng)的另一個特點是與通用 CAD 軟件的集成使用， 即：在用 CAD軟件完成部件和零件 的造型設計后，自動生成有限元網格并進行計算，如 果分析的結果不符合設計要求則重新進行造型和計算， 直到滿意為止，從而極大地提高了設計水平和效率。 當今所有的商業(yè)化有限元系統(tǒng)商都開發(fā)了和著名的 CAD軟件（ 例如 Pro/ENGINEER 、 Unigraphics 、 SolidEdge 、 SolidWorks 、 IDEAS 、 Bentley 和 AutoCAD 等） 的接口。

19、有限元軟件使用的基本步驟 三個步驟：前處理（ PREPROCESSION），求解 （ SOLUTION），后處理 POSTPROCESSION） 前處理 單元選擇 材料定義 幾何建模 網格劃分 模型局部調整 施加荷載 有限元軟件使用的基本步驟 求解 分析問題的類型 設定分析參數(shù) 添加荷載條件 建立荷載工況 求解 有限元軟件使用的基本步驟 后處理 結果的文字輸出 (Result List) 結果的云圖輸出 (Result Contour) 結果的矢量輸出 (Result Vector) 結果的路徑輸出 (Result Mapping) Element Table的提取 Load Case 及其組合