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1、計數(shù)原理 乙地 甲地 甲地 乙地 a1 a2 a3 b1 b2 看圖 1和圖 2，數(shù)一數(shù)從甲地到乙地有多少種不同的走 法？ 圖 1 圖 2 問題 1 從甲地去乙地，可以乘火車，也可以乘汽車 .一天 中，火車有 2 班，汽車有 4 班，那么一天中乘坐這些交 通工具從甲地到乙地有多少種不同的選擇？ 解 2 4 6(種 ) 1.要完成什么事？ 2.完成這件事有幾類不 同的辦法？ 3.每類辦法中又有幾種 方法？ 4.完成這件事共有多少 種不同的方法？ 乙地 汽車 火車 甲地 （一）分類計數(shù)原理 有 n 類辦法 N m1 m2 mn 第 1 類辦法中 有 m1

2、種不同的方法 第 2 類辦法中 有 m2 種不同的方法 第 n 類辦法中 有 mn 種不同的方法 共有多少種不同的方法 完 成 一 件 事 例 1 書架上層有不同的數(shù)學(xué)書 15 本，中層有不同的語文 書 18 本，下層有不同的物理書 7 本 .現(xiàn)從中任取一本書， 問有多少種不同的取法？ 有 三 類取法 N 15 18 7 40(種 ) 第 1 類 ， 從上層 15 本數(shù)學(xué) 書任取一本 ， 有 15 種取法 第 2 類 ， 從中層 18 本語文 書任取一本 ， 有 18 種取法 第 3 類 ， 從下層 7 本物理 書任取一本 ， 有 7 種取法 共有多少

3、種不同的取法 任 取 一 本 書 例 2 某班同學(xué)分成甲、乙、丙、丁四個小組， 甲組 9 人，乙組 11 人，丙組 10 人，丁組 9 人 現(xiàn)要求該班選派一人去參加某項活動，問有多少 種不同的選法？ 解 根據(jù)分類計數(shù)原理， 不同的選法一共有： N 9 11 10 9 39(種 ) 問題 (1)：本題中要完成一件什么事？ 問題 (2)：由 A 地去 C 地有 個步驟， 第一步：由 A 地到 B 地，有 種不同的走法； 第二步：由 B 地到 C 地，有 種不同的走法 問題 (3)：完成這件事有多少種不同的方法？ 2 2 3 問題 2 由 A

4、 地去 C 地，中間必須經(jīng)過 B 地，且已知由 A 地到 B 地有 3 條路可走，再由 B 地到 C 地有 2 條路可走， 那么由 A 地經(jīng) B 到 C 地有多少種不同的走法？ C B A a1 a2 a3 b1 b2 解 3 2 6 (種 ) （二）分步計數(shù)原理 完 成 一 件 事 第 1 步 有 m1 種 不 同 的 方 法 第 2 步 有 m2 種 不 同 的 方 法 第 n 步 有 mn 種 不 同 的 方 法 N= m1 m2 mn 有 n 個步驟 共有多少種不同的方法 例 3 書架上層有不同的數(shù)學(xué)書 15

5、本，中層有不同的語文書 18本， 下層有不同的物理書 7本 .現(xiàn)從中取出數(shù)學(xué)、語文、物理書各一 本，問有多少種不同的取法？ 有 三個步驟 N 15 18 7 1890 第 1步 ， 從上層 15本數(shù) 學(xué)書任 取一本 , 有 15種 取法； 第 2步 ， 從中層 18本語 文書任 取一本 , 有 18種 取法； 第 3步 ， 從下層 7 本物 理書任 取一本 , 有 7 種 取法 . 各 取 一 本 書 共有多少種不同的取法 第 步 ， 例 4 某農(nóng)場要在 4種不同類型的土地上，試驗種植 A， B， C， D這 4種不同品種的小麥，要求每種土地上試

6、種一種小麥，問 有多少種不同的試驗方案？ 依據(jù)分步計數(shù)原理， 可知有 4 3 2 1 24 種不同的試驗方案 . 第 3 步，考慮 C 種小麥，可在剩下的 2 種不同 類型的土地中任選 1 種，有 2 種選法； 第 2 步，考慮 B 種小麥，可在剩下的 3 種不同 類型的土地中任選 1 種，有 3 種選法； 第 4 步，最后考慮 D 種小麥，只剩下 1 種類型 的土地，因此只有 1 種選法 . 第 1 步，先考慮 A 種小麥，可在 4 種不同類型 的土地中任選 1 種，有 4 種選法； 例 5 由數(shù)字 1， 2， 3， 4， 5 可以組成多少個 3 位數(shù)

7、(各位上的數(shù)字可以重復(fù) )？ 解 根據(jù)分步計數(shù)原理， 組成不同的 3 位數(shù)的個數(shù)共有 5 5 5 125 (個 ). 百位 十位 個位 第一步 第二步 第三步 5 5 5 兩個原理的共同點與不同點 . (1)共同點： (2)不同點： 都是研究“完成一件事，共有多少種不同 的方法”； 分類計數(shù)原理 中的 n 類辦法相互獨立，且每類辦法里 的每種方法都可獨立完成這件事； 分步計數(shù)原理 中的每個步驟互相依存，每一步都不能 獨立完成這件事，只有每個步驟都完成了，這件事才 算完成 . 例 6 甲班有三好學(xué)生 8 人，乙班有三好學(xué)生 6 人，丙班有三 好學(xué)生 9人： （ 1）由這三個班中任選 1 名三好學(xué)生，出席三好學(xué)生表 彰會，有多少種不同的選法？ （ 2）由這三個班中各選 1 名三好學(xué)生，出席三好學(xué)生表 彰會，有多少種不同的選法？ 解 (1) 依分類計數(shù)原理，不同的選法種數(shù)是 N 8 6 9 23； (2) 依分步計數(shù)原理，不同的選法種數(shù)是 N 8 6 9 432 分類計數(shù)原理 分步計數(shù)原理 兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系