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1、 三角函數(shù)知識點
2、角的頂點與原點重合,角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合,終邊落在第幾象限,則稱為第幾象限角.
第一象限角的集合為
第二象限角的集合為
第三象限角的集合為
第四象限角的集合為
終邊在軸上的角的集合為
終邊在軸上的角的集合為
終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為
3、與角終邊相同的角的集合為
4、已知是第幾象限角,確定所在象限的方法:先把各象限均分等份,再從軸的正半軸的上方起,依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四,則原來是第幾象限對應(yīng)的標(biāo)號即為終邊所落在的區(qū)域.
5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做弧度.
6、半徑為的圓的圓心角所對弧的長為,則角的弧度數(shù)的
2、絕對值是.
7、弧度制與角度制的換算公式:,,.
8、若扇形的圓心角為,半徑為,弧長為,周長為,面積為,則,,.
9、設(shè)是一個任意大小的角,的終邊上任意一點的坐標(biāo)是,它與原點的距離是,則,,.
10、三角函數(shù)在各象限的符號:第一象限全為正,第二象限正弦為正,第三象限正切為正,第四象限余弦為正.
Pv
x
y
A
O
M
T
11、三角函數(shù)線:,,.
12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系:
;
.
13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式:
,,.
,,.
,,.
,,.
口訣:函數(shù)名稱不變,符號看象限.
,.
,.
口訣:奇變偶不變,符號看象限.
14、函
3、數(shù)的圖象上所有點向左(右)平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象.
函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)
的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點向左(右)平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象.
函數(shù)的性質(zhì):
①振幅:;②周期:;③頻率:;④相位:;⑤初相:.
函數(shù),當(dāng)時,取得最小值為 ;當(dāng)時,取得最大值為,則,,.
15
4、、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì):
函
數(shù)
性
質(zhì)
圖象
定義域
值域
最值
當(dāng)時,;當(dāng)
時,.
當(dāng)時,
;當(dāng)
時,.
既無最大值也無最小值
周期性
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
單調(diào)性
在
上是增函數(shù);在
上是減函數(shù).
在上是增函數(shù);在
上是減函數(shù).
在
上是增函數(shù).
對稱性
對稱中心
對稱軸
對稱中心
對稱軸
對稱中心
無對稱軸
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2)
5、 sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
和差化積
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(
6、A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
輔助角公式
,其中.
降冪公式
(sin^2)x
7、=1-cos2x/2 (cos^2)x=i=cos2x/2
萬能公式
令tan(a/2)=t
sina=2t/(1+t^2) cosa=(1-t^2)/(1+t^2) tana=2t/(1-t^2)
公式一:
設(shè)α為任意角,終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα
公式二:
設(shè)α為任意角,π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:
8、 sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα
公式三:
任意角α與 -α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:
sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=
9、-tanα cot(π-α)=-cotα
公式五:
利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:
sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα
公式六:
π/2α及3π/2α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:
sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α
10、)=cosα cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα
(以上k∈Z)
注意:在做題時,將a看成銳角來做會比較好做。
誘導(dǎo)公式記憶口訣
奇變偶不變,符號看象限。
同角三角函數(shù)基本關(guān)系
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
倒數(shù)關(guān)系:
tanα cotα=1
sinα cscα=1
cosα secα=1
商的關(guān)系:
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
兩角和差公
11、式 兩角和與差的三角函數(shù)公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgAct
12、gB+1)/(ctgB-ctgA)
二倍角公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式(升冪縮角公式)
tan2A=2tanA/(1-tan2A) sin2a=2sinacosa
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式
半角的正弦、余弦和正切公式(降冪擴(kuò)角公式)
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
另也有tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)
萬能
13、公式
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
萬能公式推導(dǎo)
附推導(dǎo):
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*,
(因為cos^2(α)+sin^2(α)=1)
再把*分式上下同除cos^2(α),可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))
然后用α/2代替α即可。
同理可推導(dǎo)余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正
14、弦比余弦得到。
和差化積公式
三角函數(shù)的和差化積公式
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
積化和差公式
三角函數(shù)的積化和差公式
sinα cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα cosβ=0.5
15、[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα sinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]
和差化積公式推導(dǎo)
附推導(dǎo):
首先,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosa*cos
16、b-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
這樣,我們就得到了積化和差的四個公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(
17、a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
好,有了積化和差的四個公式以后,我們只需一個變形,就可以得到和差化積的四個公式.
我們把上述四個公式中的a+b設(shè)為x,a-b設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
把a(bǔ),b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式:
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cos
18、y=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
0度 sina=0,cosa=1,tana=0
30度 sina=1/2,cosa=√3/2,tana=√3/3
45度 sina=√2/2,cosa=√2/2,tana=1
60度 sina=√3/2,cosa=1/2,tana=√3
90度 sina=1,cosa=0,tana不存在
120度 sina=√3/2,cosa=-1/2,tana=-√3
150度 sina=1/2,cosa=-√3/2,tana=-√3/3
180度 sina=0,cosa=-1,tana=0
270度 sina=-1,cosa=0,tana不存在
360度 sina=0,cosa=1,tana=0
1、正弦定理:在中,、、分別為角、、的對邊,為的外接圓的半徑,則有.
2、正弦定理的變形公式:①,,;
②,,;
③;
④.
3、三角形面積公式:.
4、余弦定理:在中,有,,
.
5、 余弦定理的推論:,,.
6、設(shè)、、是的角、、的對邊,則:①若,則;
②若,則;③若,則.