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熱點(diǎn)專題突破系列(六) 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題,考點(diǎn)一 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 【考情分析】以實(shí)際生活中的事例為背景,通過(guò)對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析、抽象概括,作出估計(jì)、判斷.常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等知識(shí)交匯考查,考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力.,【典例1】(2015·太原模擬)近幾年出現(xiàn)各種食品問(wèn)題,食品添加劑會(huì)引起血脂增高、血壓增高、血糖增高等疾病.為了解三高疾病是否與性別有關(guān),醫(yī)院隨機(jī)對(duì)入院的60人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,得到了如下的列聯(lián)表: (1)請(qǐng)將如圖的列聯(lián)表補(bǔ)充完整;若用分層抽樣的方法在患三高疾病的人群中抽9人,其中女性抽多少人?,(2)為了研究三高疾病是否與性別有關(guān),請(qǐng)計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量K2的觀測(cè)值k,并說(shuō)明是否可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為三高疾病與性別有關(guān).,下面的臨界值表供參考: (參考公式K2= 其中n=a+b+c+d),【解題提示】(1)由問(wèn)卷調(diào)查的情況,可補(bǔ)充完表格. (2)可利用隨機(jī)變量K2確定,因此首先計(jì)算K2的觀測(cè)值k.,【規(guī)范解答】(1) 在患三高疾病人群中抽9人,則抽取比例為 所以女性應(yīng)該抽取12× =3(人).,(2)因?yàn)镵2的觀測(cè)值k= =10＞7.879,所以可以在犯 錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為是否患三高疾病與性別有關(guān).,【規(guī)律方法】利用獨(dú)立性檢驗(yàn)思想解決問(wèn)題的步驟 (1)依題意寫(xiě)出列聯(lián)表. (2)依據(jù)列聯(lián)表用公式計(jì)算K2的觀測(cè)值k的值. (3)依據(jù)k的值以及臨界值表確定問(wèn)題的結(jié)果.,【變式訓(xùn)練】(2015·濟(jì)寧模擬)某企業(yè)為了更好地了解設(shè)備改造前后與生產(chǎn)合格品的關(guān)系,隨機(jī)抽取了180件產(chǎn)品進(jìn)行分析,其中設(shè)備改造前生產(chǎn)的合格品有36件,不合格品有49件,設(shè)備改造后生產(chǎn)的合格品有65件,不合格品有30件.根據(jù)所給數(shù)據(jù): (1)寫(xiě)出2×2列聯(lián)表. (2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為產(chǎn)品是否合格與設(shè)備改造有關(guān).,【解析】(1)由已知數(shù)據(jù)得列聯(lián)表如下:,(2)根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，K2的觀測(cè)值為 k＝ ≈12.38， 由于12.38＞10.828，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下可認(rèn)為產(chǎn)品是否合格與設(shè)備改造有關(guān)．,【加固訓(xùn)練】(2015·蚌埠模擬)在全國(guó)漢字聽(tīng)寫(xiě)大賽之前,某地先進(jìn)行了共十輪的選拔賽,某研究機(jī)構(gòu)一直關(guān)注其測(cè)試選拔過(guò)程.第二輪選拔后有450名學(xué)生進(jìn)入下一輪,該機(jī)構(gòu)利用分層抽樣的方法抽取了90人進(jìn)行跟蹤調(diào)查,得到第三輪是否通過(guò)的數(shù)據(jù)如下表所示:,(1)利用獨(dú)立性檢驗(yàn)估計(jì)第三輪通過(guò)與否與學(xué)生的性別是否有關(guān)? (2)估計(jì)全部450名學(xué)生通過(guò)第三輪測(cè)試的大約有多少人. (3)如果從第三輪測(cè)試通過(guò)的所有學(xué)生中利用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生,然后從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,求這2名學(xué)生中至少有1名女學(xué)生的概率. 附：K2= (其中n=a+b+c+d),【解析】(1)根據(jù)公式得:K2= ≈0.711.323, 所以我們認(rèn)為是否通過(guò)第三輪測(cè)試與學(xué)生的性別無(wú)關(guān). (2)由樣本數(shù)據(jù)可知，學(xué)生通過(guò)第三輪測(cè)試的頻率為 =0.6. 故450名學(xué)生中通過(guò)第三輪測(cè)試的大約有450×0.6=270(人).,(3)根據(jù)表格，通過(guò)第三輪測(cè)試的男學(xué)生有36人，女學(xué)生有18人, 由分層抽樣可知，抽取的6名學(xué)生中男學(xué)生有4名，分別記為A,B,C,D, 女學(xué)生有2名，分別記為1，2，從中任選2名的不同取法為{A,B},{A,C},{A,D},{A,1},{A,2},{B,C},{B,D},{B,1},{B,2}, {C,D},{C,1},{C,2},{D,1},{D,2},{1,2},共15種. 其中至少有1名女生的取法為{A,1},{A,2},{B,1},{B,2},{C,1}, {C,2},{D,1},{D,2},{1,2}，共9種. 所以所求事件的概率為,考點(diǎn)二 統(tǒng)計(jì)與概率分布列綜合 【考情分析】以現(xiàn)實(shí)生活為背景,利用頻率估計(jì)概率,常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率以及概率分布列等知識(shí)交匯考查,考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.,【典例2】(2015·揭陽(yáng)模擬)某學(xué)校900名學(xué)生在一次百米測(cè)試中,成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間,抽取其中50個(gè)樣本,將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組:第一組[13,14),第二組[14,15),…,第五組[17,18],如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.,(1)若成績(jī)小于14秒認(rèn)為優(yōu)秀,求該樣本中百米測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù). (2)請(qǐng)估計(jì)本年級(jí)900名學(xué)生中,成績(jī)屬于第三組的人數(shù). (3)若樣本第一組中只有一個(gè)女生,其他都是男生,第五組則只有一個(gè)男生,其他都是女生,現(xiàn)從第一、五組中各抽取2個(gè)同學(xué)組成一個(gè)實(shí)驗(yàn)組,設(shè)其中男同學(xué)的數(shù)量為ξ,求ξ的分布列和期望.,【解題提示】(1)(2)先求頻率,再求人數(shù). (3)確定ξ的取值,再根據(jù)定義求分布列. 【規(guī)范解答】(1)由頻率分布直方圖知,成績(jī)?cè)诘谝唤M的為優(yōu)秀,頻率為0.06, 人數(shù)為:50×0.06=3. 所以該樣本中成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為3.,(2)由頻率分布直方圖知,成績(jī)?cè)诘谌M的頻率為0.38,以此估計(jì)本年級(jí)900名學(xué)生中成績(jī)屬于第三組的概率為0.38, 人數(shù)為:900×0.38=342. 所以估計(jì)本年級(jí)900名學(xué)生中,成績(jī)屬于第三組的人數(shù)為342.,(3)第一組共有3人，其中2男，1女，第五組共有50×0.08=4人，其中1男，3女，則ξ的可能取值為1，2，3. P(ξ=1)= P(ξ=2)= P(ξ=3)=,所以ξ的分布列為 所以E(ξ)=1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=,【規(guī)律方法】統(tǒng)計(jì)與概率分布綜合問(wèn)題的解題思路 (1)找概率分布問(wèn)題中隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)意義. (2)綜合統(tǒng)計(jì)中相關(guān)圖、表、數(shù)據(jù)明確相關(guān)聯(lián)的隨機(jī)變量的分布特征. (3)依隨機(jī)變量的分布特征進(jìn)一步解決相關(guān)問(wèn)題.,【變式訓(xùn)練】(2014·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖:,(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù) 和樣本方差s2(同一組 中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表). (2)由直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ, σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù) ,σ2近似為樣本方差s2.,①利用該正態(tài)分布,求P(187.8Z212.2). ②某用戶從該企業(yè)購(gòu)買(mǎi)了100件這種產(chǎn)品,記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量 指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù),利用①的結(jié)果,求E(X). 附: ≈12.2. 若Z～N(μ,σ2),則P(μ-σZμ+σ)=0.6826,P(μ-2σZμ+2σ) =0.9544.,【解析】(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù) 和樣本方差s2分 別為 =170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220× 0.08+230×0.02=200, s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+ 202×0.08+302×0.02=150.,(2)①由(1)知,Z～N(200,150),從而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z200+12.2)=0.6826. ②由①知,一件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.6826. 依題意知X～B(100,0.6826), 所以E(X)=100×0.6826=68.26.,【加固訓(xùn)練】為了了解《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》在學(xué)生中的普及情況,調(diào)查部門(mén)組織了一次知識(shí)競(jìng)賽,現(xiàn)隨機(jī)抽取了某校20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī),得到如圖所示莖葉圖:,(1)若測(cè)試成績(jī)不低于90分,則稱為“優(yōu)秀成績(jī)”,求從這20人中隨機(jī)選取3人,至多有1人是“優(yōu)秀成績(jī)”的概率. (2)以這20人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)學(xué)校的總體數(shù)據(jù),若從該校(人數(shù)較多)任選3人,記ξ表示抽到“優(yōu)秀成績(jī)”學(xué)生的人數(shù),求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.,【解析】(1)優(yōu)秀成績(jī):4人；設(shè)優(yōu)秀成績(jī)?nèi)藬?shù)為X,至多一人成績(jī)優(yōu)秀為事件A, P(A)＝ P(X＝0)＋ P(X＝1)＝,(2)由樣本估計(jì)總體可知抽到“優(yōu)秀成績(jī)”學(xué)生的概率P＝ . ξ所有可能的取值為0,1,2,3，顯然 則P(ξ＝i)＝,E(ξ)=,考點(diǎn)三 期望與方差的綜合應(yīng)用 【考情分析】以現(xiàn)實(shí)生活為背景,求某些事件的概率分布列、期望值以及方差,常與離散型隨機(jī)變量、概率、相互獨(dú)立事件、二項(xiàng)分布等知識(shí)交匯考查,考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.,【典例3】(2014·湖北高考)計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站,過(guò)去50年的水文資料顯示,水庫(kù)年入流量X(年入流量:一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和.單位:億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過(guò)120的年份有35年,超過(guò)120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.,(1)求未來(lái)4年中,至多1年的年入流量超過(guò)120的概率. (2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行,但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制,并有如下關(guān)系:,若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,則該臺(tái)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元;若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行,則該臺(tái)年虧損800萬(wàn)元,欲使水電站年利潤(rùn)的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)?,【解題提示】(1)先求出年入流量X的概率,根據(jù)二項(xiàng)分布,求出未來(lái)4年中,至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率. (2)分三種情況進(jìn)行討論,分別求出一臺(tái),兩臺(tái),三臺(tái)的數(shù)學(xué)期望,比較即可得到.,【規(guī)范解答】(1)依題意，p1=P(40120)= =0.1. 根據(jù)二項(xiàng)分布，在未來(lái)4年中至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率為 =,(2)記水電站年總利潤(rùn)為Y, ①安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形: 由于水庫(kù)年入流量總大于40,故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1,對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)Y=5000,E(Y)=1×5000=5000.,②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形: 依題意,當(dāng)40X80時(shí),一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5000-800=4200, 因此P(Y=4200)=P(40X80)=p1=0.2; 當(dāng)X≥80時(shí),兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5000×2=10000, 因此P(Y=10000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8;,由此得分布列如下 所以,E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840.,③安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形: 依題意,當(dāng)40120時(shí),三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5000×3=15000, 因此P(Y=15000)=P(X120)=p3=0.1.由此得分布列如下,所以,E(Y)=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620. 綜上,欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).,【規(guī)律方法】 1.求數(shù)學(xué)期望值的方法 (1)求離散型隨機(jī)變量分布列. (2)利用公式E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn. 2.均值、方差意義的應(yīng)用 均值僅體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平.如果兩個(gè)隨機(jī)變量的均值相等,還要看隨機(jī)變量的取值在均值周?chē)淖兓?方差大,說(shuō)明隨機(jī)變量取值較分散;方差小,說(shuō)明取值較集中.,【變式訓(xùn)練】(2015·揭陽(yáng)模擬)某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息,安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如表所示.,已知這100位顧客中的一次購(gòu)物量超過(guò)8件的顧客占55%. (1)確定x,y的值,并求顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間X的分布列與數(shù)學(xué)期望. (2)若某顧客到達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰有2位顧客需結(jié)算,且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立,求該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過(guò)2.5分鐘的概率.(注:將頻率視為概率),【解析】(1)由已知,得25+y+10=55,x+y=35,所以x=15,y=20.該超市 所有顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體,所以收集的100位顧客一 次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)隨機(jī)樣本,將頻率視為概率得:,因此X的分布列為: X的數(shù)學(xué)期望為 E(X)＝,(2)記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過(guò)2.5分鐘”,Xi(i=1,2) 為該顧客前面第i位顧客的結(jié)算時(shí)間,則P(A)=P(X1=1且X2=1)+ P(X1=1 且X2=1.5)+ P(X1=1.5且X2=1). 由于顧客的結(jié)算相互獨(dú)立,且X1,X2的分布列都與X的分布列相同,所以 P(A)=P(X1=1)×P(X2=1)+ P(X1=1)×P(X2=1.5)+ P(X1=1.5)×P(X2=1) = 故該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過(guò)2.5分鐘的概率為,【加固訓(xùn)練】(2014·邯鄲模擬)甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,約定每 局勝者得1分,負(fù)者得0分,比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí) 停止.設(shè)甲在每局中獲勝的概率為P(P ),且各局勝負(fù)相互獨(dú)立.已 知第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為 . (1)求P的值. (2)設(shè)ξ表示比賽停止時(shí)比賽的局?jǐn)?shù),求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ).,【解析】(1)當(dāng)甲連勝2局或乙連勝2局時(shí), 第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止,故P2+(1-P)2= , 解得P= 或P= ,又P ,故P= .,(2)依題意知ξ的所有可能取值為2,4,6, 設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠?則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為 ， 若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù),則甲、乙在該輪中必是各得一分, 此時(shí),該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒(méi)有影響,從而有P(ξ＝2) ＝ ，P(ξ＝4)＝,則隨機(jī)變量ξ的分布列為: E(ξ)＝,