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文數(shù) 課標(biāo)版,第六節(jié) 雙曲線,1.雙曲線的定義 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的① 距離的差的絕對(duì)值 等于常數(shù)(小于|F1 F2|且不等于零)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做 ② 雙曲線的焦點(diǎn) ,兩焦點(diǎn)間的距離叫做③ 雙曲線的焦距 . 集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a、c為常數(shù)且a0,c0.,教材研讀,(1)當(dāng)④ 2a|F1F2| 時(shí),P點(diǎn)不存在.,2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4),F2(0,-4)距離之差等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線. (×) (2)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4),F2(0,-4)距離之差的絕對(duì)值等于6的點(diǎn)的軌跡是雙 曲線. (√) (3)方程 - =1(mn0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線. (×) (4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直,離心率等于 . (√) (5)雙曲線方程 - =λ(m0,n0,λ≠0)的漸近線方程是 - =0,即 ±,=0. (√),1.雙曲線2x2-y2=8的實(shí)軸長(zhǎng)是 ( ) A.2 B.2 C.4 D.4 答案 C 雙曲線2x2-y2=8的標(biāo)準(zhǔn)方程為 - =1,故實(shí)軸長(zhǎng)為4.,2.雙曲線方程為x2-2y2=1,則它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ( ) A. B. C. D.( ,0) 答案 C ∵原方程可化為 - =1, ∴a2=1,b2= ,∴c2=a2+b2= ,∴右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 .,,,3.若雙曲線E: - =1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P在雙曲線E上,且 |PF1|=3,則|PF2|等于 ( ) A.11 B.9 C.5 D.3 答案 B |PF1|=3a+c=8,故點(diǎn)P在雙曲線的左支上,由雙曲線的定義得 |PF2|-|PF1|=2a=6,所以|PF2|=9,故選B.,,4.“ab0和a0,b0時(shí),方 程 + =1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線;②當(dāng)a0,b0, b0,則ab0.由此可得,“ab0”是“方程 + =1表示焦點(diǎn)在x軸上的 雙曲線”的必要而不充分條件.故選B.,,5.若點(diǎn)P(2,0)到雙曲線 - =1(a0,b0)的一條漸近線的距離為 ,則 雙曲線的離心率為 ( ) A. B. C.2 D.2 答案 A 雙曲線的漸近線方程為bx±ay=0,點(diǎn)P(2,0)到漸近線的距離為 = ,所以a2=b2,所以c2=2a2,所以雙曲線的離心率為 ,故選A.,,6.設(shè)中心在原點(diǎn)的雙曲線與橢圓 +y2=1有公共的焦點(diǎn),且它們的離心 率互為倒數(shù),則該雙曲線的方程是 .,答案 2x2-2y2=1 解析 ∵橢圓的焦點(diǎn)為(±1,0),∴雙曲線的焦點(diǎn)為(±1,0).∵橢圓的離心 率e= ,∴雙曲線的離心率e'= . ∴雙曲線中c2=2a2,∴1=2a2,∴a2= , 又雙曲線中b2=c2-a2,∴b2= ,,∴所求雙曲線的方程為2x2-2y2=1.,,考點(diǎn)一 雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 典例1 (1)已知F1、F2為雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,|PF1| =2|PF2|,則cos∠F1PF2= ( ) A. B. C. D. (2)已知雙曲線 - =1(a0,b0)和橢圓 + =1有相同的焦點(diǎn),且雙曲 線的離心率是橢圓離心率的兩倍,則雙曲線的方程為 . 答案 (1)C (2) - =1 解析 (1)雙曲線方程可化為 - =1,∴a=b= ,∴c=2.由,考點(diǎn)突破,,得|PF1|=4 ,|PF2|=2 ,由余弦定理得cos∠F1PF2= = .故選C. (2)由題易得橢圓焦點(diǎn)為(± ,0),離心率為 , ∴在雙曲線中有a2+b2=7且e= = , 結(jié)合a2+b2=c2解得a2=4,b2=3, ∴雙曲線的方程為 - =1.,方法技巧 (1)在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))具備的幾何條件,即 “到兩定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之差的絕對(duì)值為一個(gè)常數(shù),且該常數(shù)必須小于 兩定點(diǎn)間的距離”.若去掉定義中的“絕對(duì)值”,則點(diǎn)的軌跡是雙曲線 的一支.同時(shí)注意定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用. (2)求雙曲線方程時(shí),一是注意標(biāo)準(zhǔn)形式的判斷;二是注意a、b、c的關(guān) 系.,變式1-1 若將本例(1)中的條件“|PF1|=2|PF2|”改為“∠F1PF2=60°”, 則△F1PF2的面積是多少? 解析 不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上,則|PF1|-|PF2|=2a=2 , 在△F1PF2中,由余弦定理,得 cos∠F1PF2= = , 所以|PF1|·|PF2|=8, 所以 = |PF1|·|PF2|sin 60°=2 .,,1-2 過雙曲線C: - =1的右頂點(diǎn)作x軸的垂線,與C的一條漸近線相 交于點(diǎn)A.若以C的右焦點(diǎn)為圓心、4為半徑的圓經(jīng)過A,O兩點(diǎn)(O為坐標(biāo) 原點(diǎn)),則雙曲線C的方程為 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1,答案 A 由雙曲線方程知右頂點(diǎn)為(a,0),不妨設(shè)其中一條漸近線方程 為y= x,因此可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,b).設(shè)右焦點(diǎn)為F(c,0),由已知可知c=4, 且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,所以有(c-a)2+b2=c2,得a2-2ac+b2=0,又知c2=a2+b2, 所以得a2-2ac+c2-a2=0,即a= =2,所以b2=c2-a2=42-22=12.故雙曲線的方程 為 - =1,故選A.,考點(diǎn)二 雙曲線的幾何性質(zhì) 命題角度一 雙曲線的離心率問題 典例2 (2016山東,14,5分)已知雙曲線E: - =1(a0,b0).矩形ABCD 的四個(gè)頂點(diǎn)在E上,AB,CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn),且2|AB|=3|BC|,則E的 離心率是 . 答案 2,解析 由已知得|AB|=|CD|= ,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c.因?yàn)?|AB|=3|BC|,所 以 =6c,2b2=3ac, =3e,2(e2-1)=3e,2e2-3e-2=0,解得e=2,或e=- (舍去).,,典例3 (1)已知雙曲線的漸近線方程為y=± x,且經(jīng)過點(diǎn)A(2,-3),則雙曲 線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 (2)過雙曲線 - =1(a0,b0)的左焦點(diǎn)F作圓O:x2+y2=a2的兩條切線,切 點(diǎn)為A,B,雙曲線左頂點(diǎn)為C,若∠ACB=120°,則雙曲線的漸近線方程為 ( ) A.y=± x B.y=± x C.y=± x D.y=± x,命題角度二 雙曲線的漸近線問題,答案 (1)B (2)A,解析 (1)由題意設(shè)雙曲線的方程為x2-4y2=λ(λ≠0).,因?yàn)辄c(diǎn)A(2,-3)在雙曲線上,所以4-4×(-3)2=λ, 解得λ=-32,故雙曲線的方程為 - =1. (2)如圖所示,C(-a,0),連接OA,OB,設(shè)雙曲線 - =1(a0,b0)的焦距為 2c(c0),則F(-c,0). 由雙曲線和圓的對(duì)稱性知,點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱,則∠ACO=∠BCO=,∠ACB= ×120°=60°. 因?yàn)閨OA|=|OC|=a,所以△ACO為等邊三角形, 所以∠AOC=60°. 因?yàn)镕A與圓O切于點(diǎn)A,所以O(shè)A⊥FA, 在Rt△AOF中,∠AFO=90°-∠AOF=90°-60°=30°, 所以|OF|=2|OA|,即c=2a, 所以b= = = a, 故雙曲線 - =1(a0,b0)的漸近線方程為y=± x=± x.,典例4 (1)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn) (4,-2),則它的離心率為 ( ) A. B. C. D. (2)過雙曲線C: - =1(a0,b0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直 線,交C于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a,則C的離心率為 . 答案 (1)D (2)2+ 解析 (1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 - =1(a0,b0), 所以其漸近線方程為y=± x,因?yàn)辄c(diǎn)(4,-2)在漸近線上, 所以 = ,根據(jù)c2=a2+b2,可得 = ,e2= ,即e= .,命題角度三 離心率與漸近線的綜合問題,,(2)如圖所示,不妨令與漸近線平行的直線的斜率為 ,又直線過右焦點(diǎn) (c,0),則直線的方程為y= (x-c). 把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)2a代入雙曲線方程得 - =1,解得y=- b或y= b(點(diǎn) P在x軸下方,故舍去),故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2a,- b),代入直線方程得- b= (2a-c),化簡(jiǎn)可得離心率e= =2+ .,典例5 (2015課標(biāo)全國Ⅰ,5,5分)已知M(x0,y0)是雙曲線C: -y2=1上的一 點(diǎn),F1,F2是C的兩個(gè)焦點(diǎn).若 · 0,則y0的取值范圍是 ( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 若 · =0,則點(diǎn)M在以原點(diǎn)為圓心,半焦距c= 為半徑的圓 上,則 解得 = .可知: · 0?點(diǎn)M在圓x2+y2=3的內(nèi)部? ?y0∈ .故選A.,命題角度四 求參數(shù)或變量的取值范圍,,規(guī)律總結(jié) (1)求雙曲線離心率或離心率范圍的方法:一種是直接建立e的關(guān)系式求 e或e的范圍;另一種是建立a,b,c的齊次關(guān)系式,將b用a,c表示,令兩邊同 除以a或a2化為e的關(guān)系式,進(jìn)而求解. (2)方程 - =1與 - =1,當(dāng)a1+b1=a2+b2時(shí)焦距相等,當(dāng) = 時(shí)漸近 線相同. (3)雙曲線 - =1的漸近線方程為 - =0.,2-1 已知F是雙曲線C: - =1(a0,b0)的右焦點(diǎn),O是雙曲線C的中 心,直線y= x是雙曲線C的一條漸近線,以線段OF為邊作正三角形 AOF,若點(diǎn)A在雙曲線C上,則m的值為 ( ),A.3+2 B.3-2 C.3+ D.3- 答案 A 由題意知 = ,m= ,A 在雙曲線上,故 - =1, 得m=3+2 (舍負(fù)),故選A.,,2-2 已知P是雙曲線 - =1右支上任意一點(diǎn),M是圓(x+5)2+y2=1上任 意一點(diǎn),設(shè)P到雙曲線的漸近線的距離為d,則d+|PM|的最小值為 . 答案 9 解析 設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,根據(jù)題意可得d+|PM|≥d+ |PF1|-1=d+6+|PF2|-1=d+|PF2|+5,結(jié)合圖象(圖略)可知d+|PF2|的最小值為F2 到漸近線的距離,因?yàn)镕2到漸近線的距離為4,所以d+|PM|的最小值為9.,,考點(diǎn)三 直線與雙曲線的位置關(guān)系 典例6 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0),右頂點(diǎn)為( ,0). (1)求該雙曲線C的方程; (2)若直線l:y=kx+ 與雙曲線C左支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,求k的取值范 圍. 解析 (1)由題意設(shè)雙曲線方程為 - =1(a0,b0).由已知得a= ,c= 2,再由a2+b2=c2,得b2=1.故雙曲線C的方程為 -y2=1. (2)設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB), 將y=kx+ 代入 -y2=1,,,得(1-3k2)x2-6 kx-9=0. 由題意知 解得 k1. ∴k的取值范圍為 k1.,方法技巧 (1)研究直線與雙曲線位置關(guān)系問題的方法:將直線方程代入雙曲線方 程,消元,得關(guān)于x或y的方程,當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)等于0時(shí),直線與雙曲線相交 于某支上一點(diǎn);當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時(shí),用判別式Δ來判定. (2)用“點(diǎn)差法”可以解決弦中點(diǎn)和弦斜率的有關(guān)問題.,3-1 已知雙曲線E的中心為原點(diǎn),F(3,0)是E的焦點(diǎn),過F的直線l與E相交 于A,B兩點(diǎn),且AB的中點(diǎn)為N(-12,-15),則E的方程為 . 答案 - =1 解析 設(shè)雙曲線E的方程為 - =1(a0,b0), 由題意知c=3,則a2+b2=9. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則有 得 = = = ,,,