《數(shù)學(xué)建模入門試題極其答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)建模入門試題極其答案（8頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、1. 你要在雨中從一處沿直線走到另一處，雨速是常數(shù)，方向不變。你是否走得越快，淋雨量越少呢？ 2. 假設(shè)在一所大學(xué)中，一位普通教授以每天一本的速度開始從圖書館借出書。再設(shè)圖書館平均一周收回借出書的1/10，若在充分長的時間內(nèi)，一位普通教授大約借出多少年本書？ 3. 一人早上6：00從山腳A上山，晚18：00到山頂B；第二天，早6：00從B下山，晚18：00到A。問是否有一個時刻t,這兩天都在這一時刻到達(dá)同一地點(diǎn)？ 4. 如何將一個不規(guī)則的蛋糕I平均分成兩部分？ 5. 兄妹二人沿某街分別在離家3公里與2公里處同向散步回家，家中的狗一直在二人之間來回奔跑。已知哥哥的速度為3公里/小時，妹妹

2、的速度為2公里/小時，狗的速度為5公里/小時。分析半小時后，狗在何處？ 6. 甲乙兩人約定中午12：00至13：00在市中心某地見面，并事先約定先到者在那等待10分鐘，若另一個人十分鐘內(nèi)沒有到達(dá)，先到者將離去。用圖解法計(jì)算，甲乙兩人見面的可能性有多大？ 7. 設(shè)有n個人參加某一宴會，已知沒有人認(rèn)識所有的人，證明：至少存在兩人他們認(rèn)識的人一樣多。10cm 8. 一角度為60度的圓錐形漏斗裝著10厘米高的水（如右圖），其下端小孔的 面積為0.5平方厘米，求這些水流完需要多少時間？ 9. 假設(shè)在一個剎車交叉口，所有車輛都是由東駛上一個1/100的斜坡，計(jì)算這種情 下的剎車距離。如果

3、汽車由西駛來，剎車距離又是多少？ 10. 水管或煤氣管經(jīng)常需要從外部包扎以便對管道起保護(hù)作用。包扎時用很長的帶子纏繞在管道外部。為了節(jié)省材料，如何進(jìn)行包扎才能使帶子全部包住管道而且?guī)ё右矝]有發(fā)生重疊。 1．解：把人體簡化為長方柱，表面積之比為前：側(cè):頂=1：a:b，選坐標(biāo)系將人的速度表示為（v,0,0）,即人沿x周方向走，v>0,而設(shè)語雨速為（x,y,z）,行走距離為L，則淋雨量Q的表達(dá)式為： Q=[ Q=|x-a|+a|y|+b|z|]*L/v 記q=a|x|+b|z|,則 L(),v≤x Q(v)= L(+1),v>x 在q≥x和q

4、 Q/L q>x 2.解：由于教授每天借一本書，即一周借七本書，而圖書館平均每周收回書的1/10，設(shè)教授已借出書的冊數(shù)是時間t的函數(shù)小x(t)的函數(shù)，則它應(yīng)滿足（時間t以周為單位） X(0)=0 其中 初始條件表示開始時教授借出數(shù)的冊數(shù)為0。 解該線性方程初始問題得X(t) =70[1-] 由于當(dāng)t ∞時，其極限值為70,故在充分長的時間內(nèi)，一位普通教授大約已借出70本書。 3.解：我們從山腳A點(diǎn)為始點(diǎn)記路程，設(shè)

5、從A到B路程函數(shù)為f（t）, 即t時刻走的距離為f（t）;同樣設(shè)從B點(diǎn)到A點(diǎn)的路程為函數(shù)g（t）。由題意有 f(8)=0,f(18)=|AB|，g（8）=|AB|，g（18）=0； 令h（t）= f（t）--g（t），則有h(8)= f(8) -- g（8）=-- |AB||<0, h(6)=f(6) -- g(6)= | AB|>0 又注意f（t），g（t）都是時刻t的連續(xù)函數(shù)，因此h（t）也是時刻t的連續(xù)函數(shù)，由連續(xù)函數(shù)的介質(zhì)定理，一定存在某時刻t。使h（t。）=0，即f（t。）=g（t。） 所以存在一個時刻t,這兩天都在這一時刻到達(dá)同一地點(diǎn)。 4.解：設(shè)I為平面上任一封閉曲線

6、，p為平面上一點(diǎn)（不妨設(shè)p在I內(nèi)），則存在已過點(diǎn)p的直線，將I所圍的面積二等 分，如下圖 a S1 S2 l p 0 設(shè)l為過點(diǎn)p的一條直線，若S1= S1，則得證，否則設(shè)S1 >S2,l與x軸夾角為a，讓l逆時針繞p旋轉(zhuǎn)S2 ，S2，則S1，S2隨a的變化連續(xù)的變化，記其面積為S1a），S2（a）,則記S1（a）= S1, S2（a）= S2, f(a+∏)<0,且f（a）連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，在（0，∏）存在ā使f（ā）=0，a=ā對應(yīng)的直線即為所求。 5．解：哥哥與妹妹的速度分別為3公里/小時及2公里/小時，因此一小時后，哥哥與妹妹都已到家，而狗一直在二者

7、之間，因此狗已到家。 6．解：設(shè)甲乙兩人分別在12點(diǎn)x分及y分等可能到達(dá)到達(dá)約定地點(diǎn)，顯然0≤x≦60,0≦y≦60，若兩人相遇則有|x-y|≦10，這是一個幾何概率問題，其中樣本空間為A={（x，y）|≤x≦60,0≦y≦60} 它構(gòu)成了空間直角標(biāo)系中的正方形，相遇空間為y x 0 60 60 10 10 g a G={（x，y）, |x-y|≦10} 其圖形見上圖陰影部分，Sa，Sg分別表示正方形、陰影部分的面積，從而相遇的概率為P=Sa/Sg=(60*60-2*1/2*50*50)/(60*60)≈0.306 7. 證明：設(shè)第i個人認(rèn)識的人為s（i）

8、，則s（i）∈{0.1.2.3……N-1} 設(shè)沒有兩個人認(rèn)識的人一樣多，則s（1），s（2），……互不相等，則s（i）取遍集合{0、1、2……N-1}中的一個值，即至少存在某兩個人k1，k2使s（k1）=N-1，s（k2）=0，而對第ki個人，由于（ki）=N-I，故他必然認(rèn)識第k2人，故s（k）至少為1，與s（k2）=0矛盾，得證。 8．解：由水力學(xué)定律可知Q=dv/dt=0.62S，其中0.62為流量系數(shù)S為空口橫截面，g為重力加速度，h為從從空口到水面的高度，故有dv=0.31dt， 另一方面，在△t時間內(nèi)，水面由h降至h+dh（dh<0）,則僅有 dv=-∏r*r*dh=-∏/

9、3*h*h*dh, 所以有0.31dt=-∏/3*h*h*dh，再由h(0)=10,聯(lián)立求得其解為 t=(∏/3)*(2/5)*1/(0.31(-,當(dāng)水流完時，h=0， 解得t=2∏/(15*0.31)* 9．解：設(shè)t=0時為開始剎車的時刻，x（t）為從t=0到t時刻所幸的距離，由剎車時所受的制動力為-uW-W*，其中W為車重，故x（t）滿足*d（dt/dt）/dt=-uW-W* 又由x（0）=0，dx/dt|t=0=v。 解得x（t）=-1/2（+）+v。*t 故制動時間為 tb=v。/(+) 因此剎車距離為 x(tb)=1/2*[ v。/(+)] 同理可得汽車由西駛來時，剎車距離為1/2*[ v。/(+)] 10.解：假設(shè)管道是直的圓的、粗細(xì)一樣，帶子寬度一樣。 參數(shù)寬為W，圓管周長為C，纏繞角度為a, C a 則W=C*sina；a=arcsin(w/c) 當(dāng)管道長為l，按上述方式包扎需要的帶孔為L，此時管道表面積與帶子總面積為L*W，則 L*W，則L*W-l*C=W* 即L= （W*+l*C）/w