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3.4 生活中的優(yōu)化問題舉例,生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題，通過前面的學習，知道，導數是求函數最大（?。┲档挠辛ぞ?，本節(jié)我們運用導數，解決一些生活中的優(yōu)化問題。,問題1:海報版面尺寸的設計,學?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳，現讓你設計一張如圖所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2,上下邊各空2dm,左右空1dm,如何設計海報的尺寸，才能使四周空白面積最小？,解：設版心的高為xdm,則寬為,此時四周空白面積為,學?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳，現讓你設計一張如圖所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2,上下邊各空2dm,左右空1dm,如何設計海報的尺寸，才能使四周空白面積最??？,解：設版心的高為xcm,則寬為,此時四周空白面積為：,求導數，有,解得，x=16 (x=-16舍去）,因此，x=16是函數s(x)的極小值點，也是最小值點。,所以，當版心高為16dm,寬為8dm時，能使四周空白面積最小。,答：當版心高為16dm,寬為8dm時，海報四周空白面積最小。,練習1、一條長為l的鐵絲截成兩段，分別 彎成兩個正方形，要使兩個正方形 的面積和最小，兩段鐵絲的長度分 別是多少？,則兩個正方形面積和為,由問題的實際意義可知：,問題2:飲料瓶大小對飲料公司利潤 有影響嗎?,你是否注意過,市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些?你想從數學上知道它的道理嗎? 是不是飲料瓶越大,飲料公司的利潤越大?,某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料.瓶子制造成本是0.8πr2分.其中r是瓶子的半徑,單位是厘米.已知每出售1mL的飲料,制造商可獲利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm.,（１）瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？ （２）瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最??？,解：,由于瓶子的半徑為r,所以每瓶飲料的利潤為：,知識背景,令,解：,由于瓶子的半徑為r,所以每瓶飲料的利潤為：,令,因此，當r2時，f’(r)0,它表示f(r)單調遞增，即半徑越大，利潤越高；,當r2時，f’(r)0,它表示f(r)單調遞減，即半徑越大，利潤越低。,（1）半徑為2時，利潤最小。這時f(2)0,表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值；,（2）半徑為6時，利潤最大。,,練習2:在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去邊長相等的正方形,再把它的邊沿虛線折起(如圖),做成一個無蓋的方底鐵皮箱.箱底邊長為多少時,箱子容積最大?最大容積是多少?,,x,h,解 設箱底邊長為 x,,則箱高為,箱子容積為,由,解得 x1=0 (舍), x2=40.,,,x,h,解 設箱底邊長為 x,,箱子容積為,由,解得 x1=0 (舍), x2=40.,當x∈(0,40)時,V'(x)0;當x∈(40,60)時,V'(x)0.,∴函數V (x)在x=40處取得極大值,這個極大值就是函數V (x)的最大值.,答 當箱箱底邊長為40cm時,箱子容積最大, 最大值為16000cm3,練習3:某種圓柱形的飲料罐的容積一定時,如何確定它的高與底半徑,使得所用材料最省?,,,,,,,R,h,,解 設圓柱的高為h,底面半徑為R.,則表面積為 S(R)=2πRh+2πR2.,又V=πR2h(定值),,即h=2R.,可以判斷S(R)只有一個極值點,且是最小值點.,答 罐高與底的直徑相等時, 所用材料最省.,問題3:如何使一個圓形磁盤儲存更多信息?,解:,存儲量=磁道數×每磁道的比特數.,設存儲區(qū)的半徑介于r與R之間,由于磁道之間的寬度必須大于m,且最外面的磁道不存儲任何信息,,所以磁道數最多可達(R-r)/m。,由于每條磁道上的比特數相同，為了獲得最大的存儲量，最內一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數可達到 ,,所以，磁道總存儲量為：,(1) 它是一個關于r的二次函數，從函數的解析式可以判斷，不是r越小，磁盤的存儲量越大。,解：存儲量=磁道數×每磁道的比特數,(2) 為求f(r)的最大值，先計算,解得,如何解決優(yōu)化問題?,優(yōu)化問題,優(yōu)化問題的答案,用函數表示的數學問題,用導數解決數學問題,,,,,