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2.2.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 第1課時 橢圓的簡單幾何性質(zhì),-a≤x≤a,-b≤y≤b,-b≤x≤b,-a≤y≤a,橢圓的簡單幾何性質(zhì),坐標軸,(0,0),(-c,0),(c,0),(0,-c),(0,c),2c,2c,(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b),(0,-a),(0,a),(-b,0),(b,0),2a,2b,2a,2b,(0,1),(0,1),判斷:(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)橢圓的頂點是橢圓與坐標軸的交點.( ) (2)橢圓上的點到焦點的距離的最大值為a+c.( ) (3)橢圓的離心率e越接近于1,橢圓越圓.( ) 提示:(1)錯誤.只有橢圓方程是標準方程時,此說法才正確,而此處并未說明是標準方程,故不正確. (2)正確.橢圓上的點到焦點的距離的最大值為a+c,最小值為a-c. (3)錯誤.離心率e越接近于1,即c越大,這時b越小,橢圓越扁. 答案:(1)× (2)√ (3)×,【知識點撥】 對橢圓幾何性質(zhì)的六點說明 (1)橢圓的焦點決定了橢圓的位置.在ab0時,方程 的焦點在x軸上,方程 的焦點在y軸上. (2)橢圓的范圍決定了橢圓的大小,即橢圓 位于四 條直線x=±a,y=±b圍成的矩形內(nèi).,(3)橢圓的離心率刻畫了橢圓的扁平程度,具體影響如下:,(4)橢圓是軸對稱與中心對稱圖形,具體如下:,(5)橢圓的長軸和短軸都是線段,并不是直線,所以它們有長度,長軸長是2a,短軸長是2b. (6)在橢圓中,a,b,c都具有實際的具體意義,其中 a——長半軸長, b——短半軸長, c——半焦距. 它們之間的關(guān)系是a2-b2=c2.,類型 一 利用標準方程研究幾何性質(zhì) 【典型例題】 1.(2013·北京高二檢測)橢圓x2+8y2=1的短軸的端點坐標 是( ) A.(0,- ),(0, ) B.(-1,0),(1,0) C.(2 ,0),(-2 ,0) D.(0,2 ),(0,-2 ) 2.設(shè)橢圓方程為mx2+4y2=4m(m0)的離心率為 ,試求橢圓 的長軸的長和短軸的長、焦點坐標及頂點坐標.,【解題探究】1.題1中的方程是標準形式嗎?如何在標準形式下區(qū)分焦點所在的坐標軸? 2.題2中的方程首先應(yīng)如何處理?能判斷出焦點的位置嗎?,探究提示: 1.題1中的方程不是橢圓的標準形式,標準形式是 (m≠n且m0,n0).當mn0時,焦點在x軸上,當nm0時, 焦點在y軸上. 2.首先把此方程化成標準形式,因為不確定焦點的位置, 故需要討論處理.,【解析】1.選A.把方程化為標準形式得 ∴焦點在x軸上,b2= ,∴b=± , 故橢圓短軸的端點坐標為(0,± ).,2.橢圓方程可化為 (1)當0m4時,a=2,b= ,c= , ∴e= ∴m=3,∴b= ,c=1, ∴橢圓的長軸的長和短軸的長分別是4,2 ,焦點坐標為 F1(-1,0),F2(1,0),頂點坐標為A1(-2,0),A2(2,0), B1(0,- ),B2(0, ).,(2)當m4時,a= ,b=2,∴c= , ∴e= 解得m= ∴a= c= ∴橢圓的長軸的長和短軸的長分別為 ,4, 焦點坐標為F1( ),F2( ),頂點坐標為 A1( ),A2 ( ),B1(-2,0),B2(2,0).,【拓展提升】確定橢圓的幾何性質(zhì)的四個步驟 (1)化標準:把橢圓方程化成標準形式. (2)定位置:根據(jù)標準方程分母大小確定焦點位置. (3)求參數(shù):寫出a,b的值,并求出c的值. (4)寫性質(zhì):按要求寫出橢圓的簡單幾何性質(zhì).,【變式訓練】求橢圓64x2+25y2=400的長軸長、短軸長、焦距、離心率、焦點和頂點坐標.,【解析】橢圓的方程可化為 ∵16 ,∴焦點在y軸上,并且長半軸長a=4,短半軸長b= 半焦距 ∴長軸長2a=8,短軸長2b=5,焦距2c= . 離心率e= ,焦點坐標為(0,- ),(0, ), 頂點坐標為(- ,0),( ,0),(0,-4),(0,4).,類型 二 利用幾何性質(zhì)求標準方程 【典型例題】 1.(2013·宜春高二檢測)焦距為6,離心率e= ,焦點在x軸上 的橢圓的標準方程是( ) A. B. C. D. 2.(2013·大理高二檢測)已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍, 且經(jīng)過點A(2,0),求橢圓的標準方程.,【解題探究】1.如果只給離心率的值,方程能夠確定嗎? 2.題2中橢圓的焦點的位置是確定的嗎? 探究提示: 1.方程不能確定.離心率的值只決定扁平程度,不能確定橢圓的方程. 2.題中給出的條件只是定量條件,并不能確定焦點位置,所以解題時應(yīng)分情況討論.,【解析】1.選D.由條件知2c=6且 解得c=3,a=5, 從而b2=a2-c2=16.又∵橢圓焦點在x軸上,所以橢圓的標準 方程為 2.若橢圓的焦點在x軸上,設(shè)橢圓方程為 (ab0), ∵橢圓過點A(2,0),∴ =1,a=2. ∵2a=2×2b,∴b=1,∴方程為 +y2=1. 若橢圓的焦點在y軸上,設(shè)橢圓方程為 =1(ab0),,∵橢圓過點A(2,0),∴ ∴b=2,由2a=2×2b,∴a=4, ∴方程為 綜上所述,橢圓的標準方程為 +y2=1或 =1.,【互動探究】1.題1中,把“焦點在x軸上”去掉,結(jié)果如何? 【解析】焦點可能在x軸上,也可能在y軸上,由于a=5,b2=16, 故標準方程為 或,2.題2中,把“經(jīng)過點A(2,0)”改為“焦點為(2,0)”,結(jié)果如何? 【解析】∵焦點為(2,0), ∴橢圓的焦點在x軸上且c=2,由條件知2a=2×2b, ∴a=2b.又a2-b2=c2, ∴(2b)2-b2=4,即b2= ,a2= , ∴橢圓的標準方程為,【拓展提升】 1.根據(jù)幾何性質(zhì)求橢圓方程的兩個關(guān)鍵,2.求橢圓標準方程的一般方法及步驟 (1)基本方法:待定系數(shù)法. (2)一般步驟:,類型 三 與離心率有關(guān)的問題 【典型例題】 1.(2013·大理高二檢測)橢圓 的離心率為( ),2.(2012·江西高考)橢圓 (ab0)的左、右頂點 分別是A,B,左、右焦點分別是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B| 成等比數(shù)列,則此橢圓的離心率為( ) A. B. C. D. -2 3.橢圓 (ab0)的右頂點是A(a,0),其上存在一點P,使∠APO=90°,求橢圓的離心率的取值范圍.,【解題探究】1.利用公式求離心率的關(guān)鍵是什么? 2.橢圓的長軸上的頂點到焦點的距離如何表示? 3.求離心率的取值范圍的關(guān)鍵是什么? 探究提示: 1.利用公式求離心率的關(guān)鍵是準確確定a和c的值. 2.長軸的頂點到相應(yīng)焦點的距離為a-c,到另一側(cè)焦點的距離為a+c. 3.求離心率的取值范圍的關(guān)鍵是建立a,b,c的齊次不等關(guān)系式.,【解析】1.選D.方程 中,a2=16,c2=16-8=8, ∴離心率 2.選B.因為A,B為左、右頂點,F1,F2為左、右焦點,所以 |AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c.又因為|AF1|,|F1F2|, |BF1|成等比數(shù)列,所以(a+c)(a-c)=4c2,即a2=5c2, 所以離心率e=,3.設(shè)P(x,y),由∠APO=90°知:P點在以O(shè)A為直徑的圓上. 圓的方程是:(x- )2+y2=( )2?y2=ax-x2 ① 又P點在橢圓上,故: ② 把①代入②得: ?(a2-b2)x2-a3x+a2b2=0.,故(x-a)[(a2-b2)x-ab2]=0, x≠a,x≠0? 又0 又∵0e1, 故所求的橢圓離心率的取值范圍是 e1.,【拓展提升】橢圓離心率及范圍的求法 橢圓的離心率是刻畫橢圓扁平程度的量,它是橢圓的半焦距和長半軸長的比值.由于a,b,c的關(guān)系,這個比值可以通過三個量中的任意兩個量來刻畫.在解決問題的過程中我們更多地用a,c描述,因此,求e的值或范圍問題就是尋求它們的方程或不等式,具體如下:,(1)定義法:若給定橢圓的方程,則根據(jù)焦點位置確定a2,b2, 求出a,c的值,利用公式e= 直接求解. (2)方程法:若橢圓的方程未知,則根據(jù)條件建立a,b,c滿足的關(guān)系式,化為關(guān)于a,c的齊次方程或不等式,再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪,得到關(guān)于e的方程或不等式,即可求得e的值或范圍.,【變式訓練】(2013·安陽高二檢測)以正方形ABCD的相對頂點A,C為焦點的橢圓,恰好過正方形四邊的中點,則該橢圓的離心率為 . 【解題指南】解題時可先畫出草圖,結(jié)合條件和草圖表示出某邊中點到A,C的距離,建立方程求出離心率.,【解析】如圖,設(shè)正方形的邊長為2a,令CD的中點為P. 則|PA|= a,|PC|=a,|AC|=2 a, 即長軸長為( +1)a, 焦距長為2 a. ∴離心率 答案:,【易錯誤區(qū)】忽視橢圓焦點的位置情況致誤 【典例】(2013·大理高二檢測)若橢圓 的離 心率為 ,則k= . 【解析】當焦點在x軸上時① ,a2=k+4,b2=4, ∴c2=k.∵e= ,∴ 即 ∴,當焦點在y軸上時①,a2=4,b2=k+4, ∴c2=-k.由e= ,∴ ,∴ .∴k=-1. 綜上可知,k= 或k=-1. 答案: 或-1,【誤區(qū)警示】,【防范措施】 1.性質(zhì)的轉(zhuǎn)化應(yīng)用 橢圓的性質(zhì)是高考的重要內(nèi)容,特別是與離心率有關(guān)的問題. 在利用性質(zhì)解決問題時要注意題目中的條件轉(zhuǎn)化,如本例離 心率為 ,可以轉(zhuǎn)化為k的方程求解. 2.隱含條件的提防 在解決橢圓方程問題時,要提防題干中的隱含條件,如本例方程 中,形式上好像是k+44,但當k0時,k+44,這時要分情況討論.,【類題試解】(2013·南京高二檢測)已知橢圓的長軸長為20, 離心率為 ,則該橢圓的標準方程為 . 【解析】∵2a=20,e= ∴a=10,c=6,b2=a2-c2=64. 由于橢圓的焦點可能在x軸上,也可能在y軸上,所以所求橢圓 的標準方程為 或 答案: 或,1.橢圓以兩條坐標軸為對稱軸,一個頂點是(0,13),另一個頂 點是(-10,0),則焦點坐標為( ) A.(±13,0) B.(0,±10) C.(0,±13) D.(0,± ) 【解析】選D.由條件知,橢圓的焦點在y軸上,且a=13,b=10, ∴c2=a2-b2=169-100=69,∴焦點坐標為(0,± ).,2.若m是2和8的等比中項,則橢圓x2+ =1的離心率為( ) A. B. C. D. 【解析】選A.∵m是2和8的等比中項, ∴m2=2×8. 解得m=±4,∵m0,∴m=4.解得e=,3.橢圓25x2+9y2=225的長軸長、短軸長、離心率依次是( ) A.5,3,0.8 B.10,6,0.8 C.5,3,0.6 D.10,6,0.6 【解析】選B.把橢圓的方程寫成標準形式為 知a=5,b=3,c=4. ∴2a=10,2b=6, =0.8.,4.橢圓6x2+5y2=30上的點到其焦點的距離的最大值是 ,最小值是 . 【解析】把方程化成標準形式得 這里a2=6,b2=5, ∴c2=a2-b2=1.∴最大值為a+c= +1,最小值為a-c= -1. 答案: +1 -1,5.已知與橢圓 有相同的離心率且長軸長與 的長軸長相同的橢圓方程為 .,【解析】橢圓 的離心率為e= ,橢圓 的長軸長為4 ∴ 解得a=2 ,c= ,∴b2=a2-c2=6. 又∵所求橢圓焦點既可在x軸上,也可在y軸上, 故方程為 或 答案: 或,6.橢圓短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形,焦點 到橢圓長軸端點的最短距離為 ,求此橢圓的標準方程. 【解析】當焦點在x軸上時,設(shè)橢圓方程為 由題意知a=2c,a-c= ,解得a=2 ,c= ,所以b2=9,所求的 橢圓方程為 ;同理,當焦點在y軸上時,所求的橢圓 方程為,