高中數(shù)學(xué) 3.3.1二倍角的三角函數(shù)(一)課件 北師大版必修4.ppt
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§3 二倍角的三角函數(shù)(一),二倍角公式及其變形,sinαcosβ+cosαsinβ,2sinαcosα,cosαcosβ-sinαsinβ,2cos2α-1,1-2sin2α,1.判一判 (正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)sin 2α=2sin α.( ) (2)cos 2α=sin2α-cos2α.( ) (3)tan 2α= 對(duì)任意的α都成立.( ) (4)sin2α= ( ),【解析】(1)錯(cuò)誤.因?yàn)閟in 2α=2sin αcos α. (2)錯(cuò)誤.因?yàn)閏os 2α=cos2α-sin2α. (3)錯(cuò)誤.因?yàn)? (k∈Z)時(shí)公式不成立. (4)錯(cuò)誤.因?yàn)閟in2α= 答案:(1)× (2)× (3)× (4)×,2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫(xiě)在橫線上) (1)sin 15°cos 15°=_______. (2)cos215°-sin215°=________. (3) =________.,【解析】(1)sin 15°cos 15°= sin 30°= . 答案: (2)cos215°-sin215°=cos 30°= . 答案: (3)原式= tan 45°= . 答案:,【要點(diǎn)探究】 知識(shí)點(diǎn) 正弦、余弦、正切的二倍角公式 1.對(duì)二倍角中“倍”的說(shuō)明 (1)“倍”具有廣泛的涵義.例如,2α是α的二倍角,同樣 地,4α是2α的二倍角,2nα是2n-1α的二倍角,α是 的二 倍角,3α是 的二倍角等. (2)在具體應(yīng)用中可先對(duì)角進(jìn)行觀察,尋求待求的角與已知角 之間的差異,再?zèng)Q定用哪種“倍”的關(guān)系.,2.二倍角的應(yīng)用 (1)直接應(yīng)用公式進(jìn)行升冪、配方、開(kāi)方、求值化簡(jiǎn)證明等運(yùn)算.,(2)變形應(yīng)用公式主要體現(xiàn)在化異角為同角、化異次為同次、 逆用公式等方面,其中二倍角的余弦公式最靈活.如:①1+ cos 2α=2cos2α;②cos2α= ③1-cos 2α= 2sin2α;④sin2α= 不僅僅是逆用,更重要的是體 現(xiàn)了冪指數(shù)的變化,其中①③是從一次冪向二次冪轉(zhuǎn)換,因此 把它們稱為升冪公式,②④則是從二次冪向一次冪轉(zhuǎn)換,因此 把它們稱為降冪公式.,【微思考】 (1)公式S2α,C2α,T2α的適用范圍是否相同? 提示:公式S2α,C2α中角α可以是任意角,但公式T2α只有當(dāng) α≠ +kπ及 α≠ (k∈Z)時(shí)才成立,否則不成立. (2)逆用正弦、余弦、正切的二倍角公式的關(guān)鍵是什么? 提示:關(guān)鍵是將待化簡(jiǎn)的三角函數(shù)式化到公式右邊所滿足的結(jié) 構(gòu),再逆用公式.,【即時(shí)練】 求值:(1) =__________. (2)1-2sin2750°=__________. (3)tan 150°+ =__________.,【解析】(1)原式= = 答案: (2)原式=cos(2×750°)=cos 1 500°=cos(4×360°+ 60°)=cos 60°= . 答案:,(3)原式= = = 答案:,【題型示范】 類型一 用二倍角公式解決給值求值問(wèn)題 【典例1】 (1)(2013·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)已知sin 2α= 則 =( ),(2)(2013·四川高考)設(shè)sin 2α=-sin α,α∈ 則 tan 2α的值是_________. (3)已知 0<x< ,求 的值.,【解題探究】1.題(1)中如何將 化簡(jiǎn)? 2.題(2)中求tan 2α的關(guān)鍵是什么? 3.題(3)中cos 2x, 如何用 -x的三角函數(shù)值表示?,【探究提示】1.利用降冪公式得 2.由已知求得tan α后用正切二倍角公式求解. 3.cos 2x=,【自主解答】(1)選A.因?yàn)?所以 選A. (2)根據(jù)題意sin 2α=-sin α,可得2sin αcos α= -sin α,可得cos α=- ,tan α=- ,所以tan 2α = 答案:,(3)因?yàn)閤∈ 所以 又因?yàn)?所以 又cos 2x= = = 所以原式=,【延伸探究】把第(3)題的條件改為 x∈ 求sin 4x. 【解析】因?yàn)?= = = 所以cos 2x= .,因?yàn)閤∈ 所以2x∈(π,2π), 所以sin 2x= 所以sin 4x=2sin 2xcos 2x=,【方法技巧】 1.用二倍角公式求解給值求值問(wèn)題的常用策略 (1)當(dāng)已知和待求式含有三角函數(shù)的平方式時(shí),需先降冪,再求解. (2)先探尋到已知和待求式中角的倍、單關(guān)系,再正用或逆用二倍角公式求解. (3)當(dāng)式子中涉及的角較多時(shí),要探尋其間的關(guān)系,化異角為同角.,2. ±x與2x的關(guān)系 當(dāng)遇到 ±x這樣的角時(shí)可利用角的互余關(guān)系和誘導(dǎo)公式溝通 條件與結(jié)論,如cos 2x= = 類似這樣的變換還有:,【變式訓(xùn)練】(2014·江蘇高考)已知 (1)求 的值. (2)求 的值.,【解析】(1)由題意cos α= 所以 = (2)sin 2α=2sin αcos α= cos 2α=2cos2α-1= 所以 =,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知 (1)求tan α的值. (2)求 的值.,【解析】(1) = 解得tan α= (2) =,類型二 利用二倍角公式化簡(jiǎn)與證明 【典例2】 (1)設(shè)α≠kπ+ ,k∈Z,求證: (2)(2014·西安高一檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=2asin x·cos x-2bsin2x+b(a,b為常數(shù),且a<0)的圖像過(guò)點(diǎn)(0,3),且函數(shù)f(x)的最大值為2.求函數(shù)y=f(x)的解析式,并寫(xiě)出其單調(diào)遞增區(qū)間.,【解題探究】 1.證明三角恒等式應(yīng)遵循什么樣的原則? 2.題(2)中如何將f(x)化為一個(gè)角的三角函數(shù)式. 【探究提示】 1.應(yīng)本著“異名化同名,復(fù)角化單角”的原則. 2.先逆用二倍角及降冪公式,再用輔助角公式.,【解析】(1)左邊= = = = =右邊. 所以,(2)f(x)=asin 2x+bcos 2x, 由f(0)= ,得b= . 又由 =2及a0,解得a=-1. 所以函數(shù)y=f(x)的解析式是f(x)=-sin 2x+ cos 2x = 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 (k∈Z).,【方法技巧】 1.化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的策略 一般地,三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要從減少角的種類,減少函數(shù)的種類,改變函數(shù)式的運(yùn)算結(jié)構(gòu)入手,通過(guò)切化弦、弦化切、異角化同角、高次降冪、分解因式、逆用公式等手段,使函數(shù)式的結(jié)構(gòu)化為最簡(jiǎn)形式.,2.證明三角恒等式的原則與步驟 (1)觀察恒等式的兩端的結(jié)構(gòu)形式,處理原則是從復(fù)雜到簡(jiǎn)單,高次降低,復(fù)角化單角,如果兩端都比較復(fù)雜,就將兩端都化簡(jiǎn),即采用“兩頭湊”的思想. (2)證明恒等式的一般步驟是:先觀察,找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)等方面的差異,然后本著“復(fù)角化單角”“異名化同名”、變換式子結(jié)構(gòu)“變量集中”等原則,設(shè)法消除差異,達(dá)到證明的目的.,【變式訓(xùn)練】求證: 【證明】要證 只需證,上式:左邊= = =右邊. 所以原等式成立.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】化簡(jiǎn):sin3αsin 3α+cos3αcos 3α. 【解題指南】先利用變形公式sin2α= 和cos2α= 降冪,再整合化簡(jiǎn),注意公式的逆用和變形用.,【解析】原式=sin2αsin αsin 3α+cos2αcos αcos 3α = sin αsin 3α+ cos αcos 3α = (cos αcos 3α+sin αsin 3α)+ cos 2α· (cos 3αcos α-sin 3αsin α) = cos(α-3α)+ cos 2αcos(3α+α) = cos 2α+ cos 2αcos 4α = cos 2α(1+cos 4α) = cos 2α·2cos22α =cos32α.,拓展類型 利用對(duì)偶式化簡(jiǎn)求值 【備選例題】 1.計(jì)算:cos 72°cos 36°=________. 2.計(jì)算:sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=________.,【解析】1.方法一:cos 72°cos 36° = = = 方法二:令x=cos 72°cos 36°,y=sin 72°sin 36°, 則xy=sin 72°cos 72°sin 36°cos 36° = sin 144°sin 72°, 故 答案:,2.因?yàn)閟in 10°=cos 80°,sin 50°=cos 40°, sin 70°=cos 20°, 所以原式= cos 80°cos 40°cos 20°,答案:,【方法技巧】 1.對(duì)偶式的概念 在三角學(xué)上,如果把某個(gè)三角式中的角的位置轉(zhuǎn)化為同角互余的弦值,那么得到的式子叫原式的對(duì)偶式.這兩個(gè)式子互為對(duì)偶式. 2.對(duì)偶式的應(yīng)用 在化簡(jiǎn)求值或證明一些三角問(wèn)題時(shí),如果能靈活地運(yùn)用對(duì)偶的數(shù)學(xué)思想,合理地構(gòu)造出對(duì)偶式,并對(duì)原式和對(duì)偶式進(jìn)行和、差或積的計(jì)算,則可以使問(wèn)題得到巧妙解決.,【易錯(cuò)誤區(qū)】利用二倍角公式及其變形求值過(guò)程中忽視角的范 圍致誤 【典例】(2014·榆林高一檢測(cè))已知sin(2α-β)= sin β = 則sin α=_______.,【解析】因?yàn)?所以π<2α<2π,0<-β< , 所以π2α-β . 由 得2π<2α-β< ,① 所以cos(2α-β)= 因?yàn)? β0, 由sin β= 得cos β=,所以cos 2α=cos [(2α-β)+β] =cos(2α-β)·cos β-sin(2α-β)·sin β = 由cos 2α=1-2sin2α,得sin2α= 又 <α<π②,所以sin α= 答案:,【常見(jiàn)誤區(qū)】,【防范措施】 1.審題問(wèn)題 已知條件角度的認(rèn)識(shí)不到位,不能夠結(jié)合三角函數(shù)值的符號(hào), 將已知角的范圍進(jìn)一步縮小,在本例中求得sin(2α-β)= > 0,可以將2α-β的角度進(jìn)行再縮小,得2π<2α-β< 就可以輕松求解其余弦.,2.技巧問(wèn)題 熟練將所求角與已知角聯(lián)系,建立關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.本例 在求解過(guò)程中要求cos 2α,所以需要構(gòu)造角度,即cos 2α= cos [(2α-β)+β],這需要結(jié)合已知條件進(jìn)行分析求解.,【類題試解】sin α+cos α= 0<α<π,則sin 2α= ________,cos 2α=_________. 【解析】sin α+cos α= ,0<α<π,則α∈ 又sin α+cos α= 兩邊平方得1+sin 2α= , sin 2α= 因?yàn)?α∈ 所以cos 2α= 答案:,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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- 高中數(shù)學(xué) 3.3.1二倍角的三角函數(shù)一課件 北師大版必修4 3.3 二倍 三角函數(shù) 課件 北師大 必修
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