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第七章 機(jī)械能守恒定律 第三節(jié) 功率,一、功率的概念,1.物理意義：表示力做功快慢的物理量,2.定義：功與完成這些功所用時(shí)間的比值叫功率,3.定義式： ，所求出的功率是時(shí)間t內(nèi)的平均功率。,4.計(jì)算式： ，其中θ是力與速度間的夾角。用該公式時(shí)，要求F為恒力。,（1）當(dāng)v為即時(shí)速度時(shí)，對(duì)應(yīng)的P為即時(shí)功率；,（2）當(dāng)v為平均速度時(shí)，對(duì)應(yīng)的P為平均功率。,（3）重力的功率可表示為 ，僅由重力及物體的豎直分運(yùn)動(dòng)的速度大小決定。,（4）若力和速度在一條直線上，上式可簡(jiǎn)化為 Pt=F·vt,（5）由公式P=Fvt可知，當(dāng)功率一定時(shí)，即時(shí)速度越大，則作用力越??；反之，作用力越大，速度越小。汽車(chē)上坡時(shí)要慢速行駛就是這個(gè)原因。,對(duì)于機(jī)動(dòng)車(chē)輛的功率Ｐ＝Ｆｖ（因Ｆ與Ｖ同向）。Ｆ是牽引力，Ｐ即為牽引力的功率，Ｆ并非機(jī)車(chē)的合外力。,例1.如圖示,質(zhì)量為m的小滑塊,由靜止開(kāi)始從傾角為θ的光滑斜面上高為h 的A 點(diǎn)滑到斜面的底端B點(diǎn)，求： （1）滑塊由A 點(diǎn)滑到B點(diǎn)的過(guò)程中，重力的平均功率；,（2）滑塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)重力的瞬時(shí)功率,解：設(shè)滑塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度為vB ，經(jīng)歷的時(shí)間為t,由機(jī)械能守恒定律得 vB2 =2gh,,【練習(xí)1】從空中以40m/s的初速度平拋一重為10N的物體，物體在空中運(yùn)動(dòng)3s落地，不計(jì)空氣阻力，?。?10m/s2，則物體落地時(shí)，重力的瞬時(shí)功率為( ) A.400W B.300W C.500W D.700W,B,【解析】本題要求的是3s未重力的瞬時(shí)功率，如圖所示，由于曲線運(yùn)動(dòng),G與未速度v間有夾角α，同學(xué)們常?？紤]先求了v的大小，再求出α，利用公式P=F·vcosα求解，這種思路是正確的.但過(guò)于麻煩.本題要求的功率是P=G·vcosα，其實(shí)v·cosα就是v豎直分量，只需求出3s末平拋運(yùn)動(dòng)的豎直分速度vy.vy=g·t所以P=G·v·cosα=G·vy=G·gt=10×10×3W=300W,Vx=V0,α,V,Vy,【例2】一跳繩運(yùn)動(dòng)員質(zhì)量m=50kg,1min跳N=180次，假設(shè)每次跳躍中，腳與地面的接觸時(shí)間占跳躍一次所用時(shí)間的2/5，試估算該運(yùn)動(dòng)員跳繩時(shí)克服重力做功的平均功率多大?,【解析】跳躍的周期T=60s/180=1/3s，而一個(gè)周期內(nèi)在空中停留時(shí)間t1=(3/5)T=(1/5)s人向上跳看做是豎直上拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)起跳速度為v0，,由t1=2v0/g得v0=gt1/2,每次跳躍克服重力做功W=1/2mv02=1/8mg2t12,所以克服重力做功的平均功率P=W/T=75(W),提示：兩種情況中拉力對(duì)人做的功一樣，第二種情況拉力除對(duì)人做功外，又對(duì)另一只小船也做了功，所以W2＞W(wǎng)1．由于所用時(shí)間一樣，所以P2＞P1．,【例3】一個(gè)小孩站在船頭，按應(yīng)當(dāng)為圖中兩種情況用同樣大小力拉繩，經(jīng)過(guò)相同的時(shí)間t（船未碰撞），小孩所做的功W1、W2及在時(shí)間t內(nèi)小孩拉繩的功率 P1、P2的關(guān)系為（ ） A．W1＞W(wǎng)2，P1= P2 B．W1＝W2，P1＝P2 C．W1＜W2，P1＜P2 D．W1＜W2，P1= P2,C,練習(xí)2.某人用同一水平力F先后兩次拉同一物體，第一次使此物體沿光滑水平面前進(jìn)s距離，第二次使此物體沿粗糙水平也前進(jìn)s距離，若先后兩次拉力做的功為W1和W2，拉力做功的功率是P1和P2，則( ) A.W1=W2，P1=P2 B.W1=W2，P1＞P2 C.W1＞W(wǎng)2，P1＞P2 D.W1＞W(wǎng)2，P1=P2,B,例4、 質(zhì)量為m=80kg 的人站在質(zhì)量為MA=240kg 的船上，用80N 的力拉一根足夠長(zhǎng)的水平繩子，不計(jì)水的阻力，從靜止起經(jīng)過(guò)t=10 秒鐘，下列兩種情況下，人做功的平均功率和瞬時(shí)功率各多少？ （1）繩的另一端系在岸邊的樹(shù)上， （2）繩的另一端系在質(zhì)量為MB=400kg 的船上,解：（1）a=F/（m+MA）= 0.25 m/s2,SA=1/2at2=12.5 m,vAt=at=2.5m/s,P1=F vAt =200W,（2） aB=F/ MB= 0.2 m/s2,SB=1/2aBt2=10 m vBt= aBt = 2m/s,W2=F（SA+ SB ）=1800J,P2=F（vt + vBt ）= 360W,練習(xí)3.如圖所示，質(zhì)量為lkg的物體與平面間摩擦系數(shù)μ=0．l（g取10m／s2），在2 N水平拉力作用下由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)了2s，求這段時(shí)間內(nèi)拉力、摩擦力、重力、支持力的平均功率及2s末的即時(shí)功率各為多少？,解析：a=(F-f)/m =1m／s2,s＝?at2＝2m,v＝at＝2m/s,外力 F做功功率平均值為：p1＝W/t=Fs/t=2W 2s末即時(shí)功率為：P1/=Fv＝4 W,摩擦力做功功率平均值：P2=fs/t=1W 2 s末即時(shí)功率為：P2/=fv= 2 W,重力與支持力N由P=Fvcosθ知：功率都為0．,【例5】正常人心臟在一次搏動(dòng)中泵出血液70 mL，推動(dòng)血液流動(dòng)的平均壓強(qiáng)為1.6×104Pa，設(shè)心臟主動(dòng)脈的內(nèi)徑約2.5cm，每分鐘搏動(dòng)75次，求： (1)心臟推動(dòng)血液流動(dòng)的平均功率是多大? (2)血液從心臟流出的平均速度是多大?,(3)把一種對(duì)人體無(wú)害，但不能透出血管的9 mg的試劑，由靜脈一次性注入體內(nèi)，在安靜的情況下，經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間后抽取血樣檢查，發(fā)現(xiàn)該試劑的濃度已穩(wěn)定在2 mg/L，則此人全部循環(huán)血量通過(guò)心臟一次的時(shí)間需多長(zhǎng)?,,,(2)每分鐘心臟輸出血量為: V=nV0=75×70×10-6m3=5.25×10-3m3 心臟主動(dòng)脈橫截面積S為： S=?r2=3.14×(1.25×10-2)2=4.9×10-4m2,【解析】(1)設(shè)心臟每次推動(dòng)血液前進(jìn)的位移為L(zhǎng)，血液受到心臟的壓力為F，由p=F/S可知，心臟起搏一次對(duì)血液所做的功W=F·L=p0SL=p0V,V是心臟跳動(dòng)一次輸送的血液. W=npV=75×1.6×104×70×10-6J=84 J P=W/t=84/60=1.4 W,,,所以v=L/t=V/(S·t) =(5.25×10-3m/s)/(4.9×10-4×60)=0.18m/s,(3)設(shè)此人的循環(huán)血量為V1，則V1=9/2 所以V1=4.5(L)=4.5×10-3m3 循環(huán)一次的時(shí)間為: t=(4.5×10-3/5.25×10-3)×60=51s,,,．,【練習(xí)4】長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線一端固定在O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m的小球，開(kāi)始時(shí)，細(xì)線被拉直，并處于水平位置，球處在0點(diǎn)等高的A位置，如圖所示，現(xiàn)將球由靜止釋放，它由A運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)B的過(guò)程中，重力的瞬時(shí)功率變化的情況是 （ ） A.一直在增大 B.一直在減小 C.先增大后減小 D.先減小后增大,解析:小球在A位置時(shí)速度為零，重力的瞬時(shí)功率為零，到達(dá)B位置時(shí)，速度達(dá)到最大,方向水平向左，與重力夾角為900，PB＝0，由于兩個(gè)極端位置瞬時(shí)功率均為0，故可判斷C正確．,二.汽車(chē)的兩種加速問(wèn)題,1.恒定功率的加速,由公式P=Fv和F-f=ma知，由于P恒定，隨著v的增大，F(xiàn)必將減小，a也必將減小，汽車(chē)做加速度不斷減小的加速運(yùn)動(dòng)，直到F=f，a=0，這時(shí)v達(dá)到最大值.,可見(jiàn)恒定功率的加速一定不是勻加速。這種加速過(guò)程發(fā)動(dòng)機(jī)做的功只能用W=Pt計(jì)算，不能用W=Fs計(jì)算（因?yàn)镕為變力）。,,,P=P額不變 F2 = P額/vm =f a=0 v= vm,汽車(chē)以恒定功率運(yùn)動(dòng),,解：汽車(chē)在水平路面行駛達(dá)到最大速度時(shí)牽引力F等于阻力f，即Pm=f?vm，而速度為v時(shí)的牽引力F=Pm/v，再利用F-f=ma，可以求得這時(shí)的a=0.50m/s2,例6.質(zhì)量為2t的農(nóng)用汽車(chē)，發(fā)動(dòng)機(jī)額定功率為30kW，汽車(chē)在水平路面行駛時(shí)能達(dá)到的最大時(shí)速為54km/h。若汽車(chē)以額定功率從靜止開(kāi)始加速，當(dāng)其速度達(dá)到v=36km/h時(shí)的瞬時(shí)加速度是多大？,練習(xí)5.下列關(guān)于汽車(chē)運(yùn)動(dòng)的論述，不正確的是( ) A.汽車(chē)以額定功率啟動(dòng)后做變加速運(yùn)動(dòng)，速度、加速度均逐漸增大 B.汽車(chē)以額定功率啟動(dòng)后做變加速運(yùn)動(dòng)，速度逐漸增大；加速度逐漸減小，加速度為0時(shí)，速度最大 C.汽車(chē)勻速行駛時(shí)最大允許速度受發(fā)動(dòng)機(jī)額定功率限制，要提高最大允許速度，必須增大發(fā)動(dòng)機(jī)的額定功率 D.汽車(chē)在水平路面上以額定功率P行駛，則當(dāng)牽引力F與阻力f平衡時(shí)，汽車(chē)的最大速度vm=P/f,A,例7. 列車(chē)在恒定功率機(jī)車(chē)的牽引下，從車(chē)站出發(fā)行駛5分鐘，速度達(dá)到20m/s，那么在這段時(shí)間內(nèi)，列車(chē)行駛的路程（ ） A.一定小于3km B.一定等于3km C.一定大于3km D.不能確定,解：畫(huà)出運(yùn)動(dòng)的v-t圖象如圖示，,若為勻變速運(yùn)動(dòng)，則圖象如圖示， 位移為3km，故選C,,C,練習(xí)6．按額定功率行駛的汽車(chē)，所受地面的阻力保持不變，則[ ] A．汽車(chē)加速行駛時(shí)，牽引力不變，速度增大 B．汽車(chē)可以做勻加速運(yùn)動(dòng) C．汽車(chē)加速行駛時(shí)，加速度逐漸減小，速度逐漸 增大 D．汽車(chē)達(dá)到最大速度時(shí)，所受合力為零,C D,2.恒定牽引力的加速,(1)由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，所以a恒定，汽車(chē)做勻加速運(yùn)動(dòng)，而隨著v的增大，P也將不斷增大，直到P達(dá)到額定功率Pm，功率不能再增大了。這時(shí)勻加速運(yùn)動(dòng)結(jié)束，，此后汽車(chē)要想繼續(xù)加速就只能做恒定功率的變加速運(yùn)動(dòng)了。,(2)可見(jiàn)恒定牽引力的加速時(shí)功率一定不恒定。這種加速過(guò)程發(fā)動(dòng)機(jī)做的功只能用W=F?s計(jì)算，不能用W=P?t計(jì)算（因?yàn)镻為變功率）。,(4)注意：勻加速結(jié)束時(shí)機(jī)車(chē)的速度并不是最后的最大速度。因此時(shí)F＞ｆ，之后還要在功率不變的情況下變加速一段時(shí)間才達(dá)到最后的最大速度Ｖｍ。,,(4)發(fā)動(dòng)機(jī)銘牌上的額定功率，指的是該機(jī)正常工作的最大輸出功率，而實(shí)際功率是指非正常工作時(shí)消耗的功率。,,,汽車(chē)先做勻加速運(yùn)動(dòng)，再做變加速運(yùn)動(dòng)。,a=(F1-f )/m 不變 v=at ↑ P= F1 v ↑,P=P額 不變 v ↑ F = P額 / v ↓ a=(F-f )/m ↓,P=P額 不變 F2 = P額/vm =f a=0 v= vm,,例八.額定功率為80kW的汽車(chē)，在水平長(zhǎng)直公路上行駛時(shí)最大速度可達(dá)20m/s,汽車(chē)質(zhì)量為2×103kg 。如果汽車(chē)從靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度可達(dá)2m/s2 。設(shè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中阻力大小不變，試求： （1）汽車(chē)運(yùn)動(dòng)時(shí)所受阻力f； （2）汽車(chē)勻加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程可持續(xù)的時(shí)間t′； （3）汽車(chē)啟動(dòng)后，發(fā)電機(jī)在第三秒末的即時(shí)功率P3； （4）汽車(chē)在做勻加速直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，發(fā)動(dòng)機(jī)所做的功W′．,（2）根據(jù)牛頓定律有 ΣF=ma，F(xiàn)-f=ma F=f+ma,動(dòng)的時(shí)間為t′，則有,（3）汽車(chē)第3秒末仍在做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則,（4）根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律，則有,練習(xí)7.質(zhì)量4t的機(jī)車(chē)，發(fā)動(dòng)機(jī)的最大輸出功率為100kW，運(yùn)動(dòng)阻力恒為2×103N，試求； （1）當(dāng)機(jī)車(chē)由靜止開(kāi)始以0.5m/s2的加速度沿水平軌道做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，能達(dá)到的最大速度和達(dá)到該最大速度所需的時(shí)間。,（2）若機(jī)車(chē)保持額定功率不變行駛，能達(dá)到的最大速度以及速度為10m/s時(shí)機(jī)車(chē)的加速度。,,,解答：（1）機(jī)車(chē)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，有,F-f=ma,P=FVm,Vm=at,由此可解得,Vm=25m/s t=50s,,（2）機(jī)車(chē)行駛時(shí)運(yùn)動(dòng)形式不加限制而機(jī)車(chē)輸出功率保持額定功不變時(shí)則可在大小等于阻力牽引力作用下做勻速直線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)又有,由此又可解得,例九.質(zhì)量為m = 4000kg的卡車(chē)，額定輸出功率為P=60 kW。當(dāng)它從靜止出發(fā)沿坡路前進(jìn)時(shí)，每行駛100 m，升高5m，所受阻力大小為車(chē)重的0.1倍，取g=10 m/s2 . 試求：(1)卡車(chē)能否保持牽引力為8000 N不變?cè)谄侣飞闲旭偅?(2)卡車(chē)在坡路上行駛時(shí)能達(dá)到的最大速度為多大？這時(shí)牽引力為多大？,(3)如果卡車(chē)用4000 N牽引力以12m/s的初速度上坡，到達(dá)坡頂時(shí)，速度為4 m/s,那么卡車(chē)在這一段路程中的最大功率為多少？平均功率是多少？,,,,分析:汽車(chē)能否保持牽引力為8000 N上坡要考慮兩點(diǎn)：第一，牽引力是否大于阻力？第二，汽車(chē)若一直加速，其功率是否將超過(guò)額定功率，依P=Fv解。本題考查了汽車(chē)牽引力恒定時(shí)功率的計(jì)算。不少同學(xué)在得到F f + mgsinθ后，立即做出結(jié)論：汽車(chē)可以保持牽引力8000 N不變上坡；而沒(méi)有考慮到汽車(chē)由于加速，速度不斷增大，其功率不斷增大，如果坡路足夠長(zhǎng)，這種運(yùn)動(dòng)方式是不允許的。,解：分析汽車(chē)上坡過(guò)程中受力情況如圖所示：牽引力F,重力mg＝4×104N，f＝kmg＝4×103 N，支持力N，依題意sinθ＝5/100。,（1）汽車(chē)上坡時(shí)，若F＝8000N,而f＋mgsinθ＝4×103＋4×104×1/20＝6×103 N,即F f +mgsinθ,汽車(chē)將加速上坡，速度不斷增大，其輸 出功率P=Fv也不斷增大，長(zhǎng)時(shí)間后，將 超出其額定輸出功率，所以，汽車(chē)不能 保持牽引力為8000N不變上坡。,,(2)汽車(chē)上坡時(shí)，速度越來(lái)越大，必須不斷減小牽引力以保證輸出功率不超過(guò)額定輸出功率，當(dāng)牽引力F= f + mgsinθ=6×103 N時(shí)，汽車(chē)加速度為零，速度增大到最大，設(shè)為vm，則P＝Fv＝（f＋mgsinθ）·vm；,F= f + mgsinθ=6×103 N,（3）若牽引力F=4000N，汽車(chē)上坡時(shí)，速度不斷減小，所以最初的功率即為最大，P=Fv=4000×12=48×103w。整個(gè)過(guò)程中平均功率為,=32×103W,,