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萊布尼茨數(shù)學(xué)思想的統(tǒng)一性

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1、萊布尼茨數(shù)學(xué)思想的統(tǒng)一性 戈特弗里德·威廉·萊布尼茨(1646~1716)對數(shù)學(xué)有兩項(xiàng)突出貢獻(xiàn):發(fā)明了符號邏輯和微積分。由于這兩項(xiàng)成就分屬不同的數(shù)學(xué)分支,人們也往往將其看作萊布尼茨的兩種不同工作,忽視了它們之間的一致性,這為研究萊布尼茨的數(shù)學(xué)思想、完整地理解數(shù)學(xué)史和科學(xué)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律帶來不少困難。本文的目的就是試圖理解的揭示這種一致性。   一、符號邏輯: "通用數(shù)學(xué)語言"; 萊布尼茨對數(shù)學(xué)問題的最早探索和最初貢獻(xiàn)是試圖沿著笛卡爾和霍布斯的思路建構(gòu)所謂的"通用語言";。這種語言是一種用來代替自然語言的人工語言,它通過字母和符號

2、進(jìn)行邏輯分析與綜合,把一般邏輯推理的規(guī)則改變?yōu)檠菟阋?guī)則,以便更精確更敏捷地進(jìn)行推理。([1],p.8)或者說,"通用語言";是一套表達(dá)思想和事物的符號系統(tǒng),利用這些符號可以進(jìn)行演算并推出各種知識。在《論組合術(shù)》中,二十歲的萊布尼茨曾立志要?jiǎng)?chuàng)設(shè)"一個(gè)一般的方法,在這個(gè)方法中所有推理的真實(shí)性都要簡化為一種計(jì)算。同時(shí),這會(huì)成為一種通用語言或文字,但與那些迄今為止設(shè)想出來的全然不同;因?yàn)樗锩娴姆柹踔猎~匯要指導(dǎo)推理;錯(cuò)誤,除去那些事實(shí)上的錯(cuò)誤,只會(huì)是計(jì)算上的錯(cuò)誤。形成或者發(fā)明這種語言或者記號會(huì)是非常困難的,但是可以不借助任何詞典就很容易懂得它。";([2],p.123)在1679年9月8日給惠更斯的

3、信中他又寫道,有一個(gè)"完全不同于代數(shù)的新符號語言,它對于精確而自然地在腦子里再現(xiàn)(不用圖形)依賴于想象的一切有很大的好處。它的主要效用在于能夠通過記號〔符號〕的運(yùn)算完成結(jié)論和推理,這些記號不經(jīng)過非常精細(xì)的推敲或使用大量的點(diǎn)和線會(huì)把它們混淆起來,因而不得不作出無窮多個(gè)無用的試驗(yàn);另一方面,這個(gè)方法會(huì)確切而簡單地導(dǎo)向〔所需要的〕結(jié)果。我相信力學(xué)差不多可以象幾何學(xué)一樣用這種方法去處理。";([3],p.151~152) 綜合萊布尼茨零零碎碎的設(shè)想,他的宏偉規(guī)劃大體旨在創(chuàng)造兩種工具:其一是通用語言,其二是推理演算(calaulusratiocinator)。前者的主要使命是消除現(xiàn)存語言的局限性和不規(guī)

4、則性,使新語言變成世界上人人會(huì)用的具有簡明符號、合理規(guī)則的語言,規(guī)定符號的演變規(guī)則與運(yùn)算規(guī)則,使邏輯演變依照一條明確的道路進(jìn)行下去,進(jìn)而解決所有可用語言表達(dá)的問題。 為此,萊布尼茨做了兩方面的努力:一是尋找能夠代表所有概念并可認(rèn)作最根本的不可分析的符號;二是給出表述諸如斷定、合取、析取、否定、全稱、特殊、條件聯(lián)結(jié)等形式概念的設(shè)計(jì)。關(guān)于第一方面,萊布尼茨首次設(shè)想用數(shù)目代表原初概念,而邏輯演算則用如同算術(shù)中的乘或除來代替。他認(rèn)為用這種數(shù)字的不同方式排列組合,進(jìn)行各種運(yùn)算,就可產(chǎn)生無窮多的復(fù)合概念。這一思想后來改進(jìn)為以素?cái)?shù)代表基本概念,而復(fù)合詞項(xiàng)即可借分解相應(yīng)的數(shù)字成為它們的素?cái)?shù)因子來加以分析。以

5、"人是理智動(dòng)物";為例,用素?cái)?shù)"3";代表"動(dòng)物";、"5";代表"理智";,則"人";即以"15=3.5";代表。為了更好地構(gòu)設(shè)"通用語言";,萊布尼茨又以設(shè)想的"人類概念字母表";為語言詞匯基礎(chǔ)創(chuàng)制了一些邏輯符號,如"∪";(并)、"∩";(交)等,一直沿用下來。 關(guān)于第二方面,萊布尼茨的工作大致可以1679、1686、1690三個(gè)年代為標(biāo)志劃分為三個(gè)階段。([4],pp.271~273) 第一階段,萊布尼茨改進(jìn)從數(shù)字代替概念以其演算,代之以對普通命題經(jīng)驗(yàn)分析為基礎(chǔ)的代數(shù)邏輯。他以全稱肯定命題"a是b";的形式開始,提出五條基本演算規(guī)則:(1)ab是ba(交換律);(2

6、)a是aa(重言律);(3)a是a(同一原則);(4)ab是a或ab是b(化簡原則);(5)如a是b且b是c,則a是c(傳遞原則)。以此為據(jù),他證明了同一和包含兩個(gè)邏輯系詞之間的重要關(guān)系,即,如a是b且b是a,則a與b是同一的。進(jìn)而,他又提出四個(gè)定理:(1)如a是b且a是c,則a是bc;(2)如a是bc,則a是b且a是c;(3)如a是b,則ac是bc;(4)如a是b且c是d,則ac是bd。由此可見,萊布尼茨在第一階段的邏輯演算已相當(dāng)完善和科學(xué)化,為邏輯的系統(tǒng)化打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 第二階段,萊布尼茨用等式符號作系詞符號,借公式A=BY表述全稱肯定命題(Y為一未確定的系數(shù),用以修飾B而使B成為A

7、的一部分),同時(shí)提出雙重否定之為肯定,即"非非A=A";,并由此演釋出一系列定理。為了進(jìn)一步發(fā)展演算,萊布尼茨還試圖通過與屬性組合的關(guān)系,用代數(shù)方法來描述四個(gè)直言命題,甚至對四個(gè)直言命題的表示法提出了九個(gè)方案。 第三個(gè)階段,萊布尼茨最有價(jià)值的工作是羅列了十四個(gè)基本命題:(1)A=A+A"+";表示邏輯相乘,下同);(2)如A=B且B=C,則A=C;(3)如A=B且B≠C,則A≠C;(4)如A=B,且B<C,則A<C;(5)如A=B且C<B,則C<A;(6)如A=B且C=D;則A+C=B+D;(7)如A=B,則A+C=B+C;(8)A<B,則A+C<B+C;(9)如A+B=A,則B<A;(10)如B<A,則A+B=A;(11)如A<B且B<C,則A<C;(12)如A<B且B<A,則A=B;(13)如A<C且B<C,則A+B<C;(14)如A<B且C<D,則A+C<B+D。為適應(yīng)邏輯相除,

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