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1,第5章 對單個和兩個樣本平均數(shù)的假設檢驗,魏澤輝講義,2,5.1 對單個總體均數(shù)的檢驗,檢驗一個樣本平均數(shù)與已知的總體平均數(shù)是否有顯著差異 （檢驗該樣本是否來自某一總體） 已知的總體平均數(shù)一般為一些公認的理論數(shù)值、經驗數(shù)值或期望數(shù)值。 （正常生理指標、懷孕期、家禽出雛日齡）,魏澤輝講義,3,5.1.1 z檢驗：總體方差已知,魏澤輝講義,4,由該場隨機抽取了10頭豬，測得它們在體重為100kg時的平均背膘厚為8.7mm。 1）提出假設,例 ：某豬場稱該場的豬在體重為100kg時的平均背膘厚度為9±0.32 mm2。問如何檢驗該場的說法是否真確？（已知該場豬的背膘厚服從正態(tài)分布）,一、方差已知時μ 的假設檢驗,,魏澤輝講義,5,2) 構造并計算檢驗統(tǒng)計量,,,6,若取 ? ＝5％，則,3）確定否定域并作統(tǒng)計推斷,z = -3.1623 -1.96 （落入） 接受備擇假設,結論：該場豬的平均背膘厚與9mm差異顯著,魏澤輝講義,7,5.1.2 t檢驗：總體方差未知,魏澤輝講義,8,顯著性檢驗步驟,1、提出假設 （1） H0：μ＝μ0；HA：μ≠μ0 雙側檢驗 2、計算t值 3、查臨界t值，作出統(tǒng)計推斷,,,,9,【例5.1】 按照規(guī)定，100g 罐頭番茄汁中的平均維生素 C 含量不得少于 21mg/g，現(xiàn)在從工廠的產品中抽取 17 個罐頭，其 100g 番茄汁 中測得維生素 C 含量記錄如下：16，25，21，20，23，21，19，15，13，23，17，20，29，18，22，16，22，設維生 素 C 含量服從正態(tài)分布，問這批罐頭是否符合規(guī)定要求？,,,,,,10,解：依題意，可對此批罐頭的平均維生素 C 含量 μ提出待檢驗假設： H0：μ=21，HA：μ-1.746,不能否定零假設，即該批罐頭的平均 維生素 C 含量與規(guī)定的 21mg 無顯著差異，可以出廠。,,,,,,11,5.2兩個樣本平均數(shù)的比較,推斷兩個樣本平均數(shù)差異是否顯著的問題，以了解兩樣本所屬總體的平均數(shù)是否相同 。,,,,目的就是分析表面效應主要是由處理效應引起，還是由實驗誤差引起。從而分析處理效應是否存在。 表面效應可以計算，實驗誤差可以估計，根據(jù)這些推斷處理效應是否顯著。,5. 2.1 隨機分組資料的假設檢驗,1、提出假設,雙側檢驗,單側檢驗,單側檢驗,,,統(tǒng)計量 的抽樣分布,統(tǒng)計量 的抽樣分布,統(tǒng)計量 的抽樣分布,2、構造檢驗統(tǒng)計量 如果兩個總體都是正態(tài)總體，則：,因此，可以計算檢驗統(tǒng)計量Z 對總體均數(shù)進行假設檢驗，分三種情況分別介紹。,3、確定否定域 比較檢驗統(tǒng)計量和臨界值的關系，根據(jù)小概率事件（顯著水平：0.01；0.05）原理，確定其落在否定域還是接收域。,4、對假設進行統(tǒng)計推斷 接受原假設，否定備擇假設；或否定原假設，接受備擇假設,1.兩總體方差已知時的檢驗－Z檢驗,例：某單位測定了31頭犢牛和48頭母牛100 ml 中血液中血糖的含量（mg），得犢牛平均血糖含量為81.23，成年母牛的平均血糖含量為70.23。 設已知犢牛血糖的總體方差為15.642，成年母牛血糖的總體方差為12.072，問犢牛和成年母牛之間血糖含量有無差異？,,Z檢驗,解： （1）提出假設,即犢牛和成年母牛之間血液中血糖含量無差異；,即犢牛和成年母牛之間血液中血糖含量有差異。,（2）計算檢驗統(tǒng)計量,（3）確定顯著性水平 u0.05= 1.96 u0.01=2.58,所以：否定H0，接受備擇假設。即犢牛和成年母牛之間血糖含量存在極顯著的差異。,,實際研究中總體方差往往是未知的，因為很難得到總體內所有個體的觀測值，因此無法計算總體方差。尤其對于無限總體和連續(xù)性資料。,,2.兩總體方差相等但未知時的檢驗－t 檢驗,當 n1≥30 和 n2≥30 時（大樣本）， 可以用樣本方差代替總體方差，仍然用Z 檢驗，因為在大樣本中其近似服從正態(tài)分布。,,,當 n1≤30 和 n2≤30 時（小樣本）， 不能用樣本方差代替總體方差，應該采用t 檢驗。,在μ1=μ2 （原假設），σ2＝σ2＝σ條件下，認為兩個樣本來自同一個總體，因此可以將兩個樣本合并，然后用合并樣本的方差代替總體方差。,,5. 2.3 兩總體方差相等但未知時的檢驗－t 檢驗,,計算公式如下：,5. 2.3 兩總體方差相等但未知時的檢驗－t 檢驗,所以：均數(shù)差異標準誤為,,,均數(shù)差異標準誤,5. 2.3 兩總體方差相等但未知時的檢驗－t 檢驗,當n1=n2=n時，上面公式演變?yōu)椋?5. 2.3 兩總體方差相等但未知時的檢驗－t 檢驗,,t值為,自由度為：df=(n1-1)+(n2-1)= n1+n2-2,5. 2.3 兩總體方差相等但未知時的檢驗－t 檢驗,魏澤輝講義,27,例： 研究兩種不同飼料對香豬生長的影響，隨機選擇了體重相近的12頭香豬并隨機分成兩組，一組喂 甲種飼料，另一組喂乙種飼料 在相同條件下飼養(yǎng)， 6周后的增重結果如下（kg）： 甲飼料：6.65，6.35，7.05，7.90，8.04，4.45 乙飼料: 5.35，7.00，9.89，7.05，6.74， 9.28 設兩樣本所屬總體服從正態(tài)分布且方差相等， 試比 較兩種不同飼料對香豬的生長是否有差異？,28,解：總體方差未知但相等，可用t檢驗 (1) 假設: H0:μ1= μ2 ,即兩種不同飼料對香豬的生長影響無差異 HA: μ1≠= μ2 ,兩種不同飼料對香豬的生長影響存在差異 (2)計算檢驗統(tǒng)計量,29,(3)取α＝0.05, 查附表4 得t0.05(10) = 2.23 ∵|t| = 0.92 0.05, 接受H0， 接受不同飼料對香豬的生長影響無顯著差異。,df= n1+n2-2=6+6-2=10,30,解： (1) 假設: H0:μ1= μ2 ,兩品種豬的肌肉脂肪含量無差異 HA: μ1≠= μ2 ,兩品種豬的肌肉脂肪含量存在差異,例： 測定金華豬與長白豬肌內脂肪含量（％），金華豬共10頭，其樣本平均數(shù)為3.93，標準差為0.4；長白豬4頭，平均數(shù)為2.56，標準差為0.4。設兩樣本所屬總體服從正態(tài)分布，且方差相等，試測驗兩品種豬的肌肉脂肪含量是否存在差異。,本例為總體方差未知相等，且樣本容量不等。,31,(2)計算檢驗統(tǒng)計量,32,(3)取α＝0.01, 查附表4 得t0.01(12) = 3.055 ∵|t| = 5.79 t0.01(12) = 3.055 ∴P 0.01, 否定H0，兩品種豬的肌肉脂肪含量存在極顯著差異。,df= n1+n2-2=10+4-2=12,3兩總體方差不相等而且未知時的檢驗－t 檢驗,（一）方差的齊性檢驗 在很多情況下，我們不能確定兩個總體的方差是否相等，而且方差不相等的情況下，假設檢驗方法不同。 因此，需要首先進行方差的齊性檢驗。 目的：確定兩個總體的方差是否相等，從而進一步確定檢驗方法。,5. 2.4 兩總體方差不相等而且未知時的檢驗－t 檢驗,,因此，構造一個統(tǒng)計量假設檢驗：σ12＝σ22。 這種利用服從F分布的檢驗統(tǒng)計量來進行假設檢驗的方法稱為F檢驗。,方差的齊性檢驗步驟： 設有兩個正態(tài)總體，X1服從N(μ1， σ12)， X2服從N(μ2， σ22)。 1. 零假設： H0： σ12=σ22 備擇假設：H1: σ12≠σ22 2. 確定顯著平準：0.05、0.01,5. 2.4 兩總體方差不相等而且未知時的檢驗－t 檢驗,3. 計算檢驗統(tǒng)計量,確定否定域：查F表，確定臨界值，接受或者拒絕H0 此檢驗為雙側檢驗，上、下側分位點數(shù)不同。 以方差大者為分子，小者為分母，求F值。,如果檢驗結果不顯著，接受零假設σ12=σ22，那么還按照前一種t檢驗進行檢驗。 如果檢驗結果顯著，接受備擇假設σ12 ≠ σ22，那么按照下面的t檢驗方法進行檢驗。,,,（二） σ12 ≠ σ22 條件下兩平均數(shù)的比較 由于兩個總體的方差不等，所以不能用合并的方差來估計總體方差，只能分別用兩個樣本方差來估計兩個總體方差。 按照以前的公式得到：,,于是得檢驗統(tǒng)計量：,不嚴格服從 t（n1+n2-2）,,,近似服從,,n1=n2=n,魏澤輝講義,40,例： 某豬場隨機抽測了甲、乙兩品種豬血液中白細胞的 密度，測得甲品種13頭豬白細胞數(shù)的平均值為 10.73×104/mm3，標準差為1.28×103/mm3, 乙品種15頭豬白細胞數(shù)的平均值為 16.40×104/mm3,標準差為3.44×103/mm3。試比較兩品種豬的白細胞數(shù)是否有顯著的差異。,魏澤輝講義,41,解：已知,(1)方差的齊性檢驗,假設： H0： σ12=σ22;HA: σ12≠σ22,統(tǒng)計推斷：α＝0.05，查附表5，F(xiàn)0.05/2（14，12）＝3.05，由于FF0.05/2，故否定H0接受HA，即兩個樣本所屬總體方差存在顯著的差別。,魏澤輝講義,42,(2)兩總體平均數(shù)的比較,假設: H0:μ1= μ2 , HA: μ1≠ μ2,檢驗統(tǒng)計量,魏澤輝講義,43,統(tǒng)計推斷：α＝0.01，查附表4，t0.01（18）＝2.878，由于t=-5.9279t0.01(18)，故否定H0接受HA，即兩品種豬的白細胞數(shù)存在極顯著的差異。,魏澤輝講義,44,例： 為檢驗一種新的飼料配方是否比原來的飼料配方對豬的增重效果更好,選取符合條件的豬20頭,隨機等數(shù)分為2 組,分別每頭單圈飼喂這兩種飼料,所得增重紀錄如下,試據(jù)此比 較這兩種飼料配方對豬增重速度是否有顯著的差異。 A ：32 23 48 41 20 29 53 39 30 40 B： 27 30 32 26 31 27 23 29 35 20,魏澤輝講義,45,解：已知,(1)方差的齊性檢驗,假設： H0： σ12=σ22;HA: σ12≠σ22,統(tǒng)計推斷：α＝0.05，查附表5，F(xiàn)0.05/2（9，9）＝4.03，由于F=5.78F0.05/2（9，9），故否定H0接受HA，即兩個樣本所屬總體方差存在顯著的差別。,魏澤輝講義,46,(2)兩總體平均數(shù)的比較,假設: H0:μ1= μ2 , HA: μ1 μ2,檢驗統(tǒng)計量,魏澤輝講義,47,統(tǒng)計推斷：α＝0.05，查附表4，t0.1（12）＝1.782，由于t=2.07t0.1(12)，故否定H0接受HA，即配方1的增重效果顯著優(yōu)于配方2。,5. 2.2 配對資料的假設檢驗－t檢驗,魏澤輝講義,49,配對樣品平均數(shù)間的比較,為了排除實驗單位不一致對實驗結果的影響，準確地估計實驗處理效應，降低實驗誤差，提高實驗的準確性和精確性，如果可能，應采用配對實驗設計，可將其看作兩個相關樣本平均數(shù)的比較。,配對的目的是使為了把同一重復內二個實驗單位的初始條件的差異減少到最低限度，使實驗處理效應不被實驗單位的差異而夸大或縮小，提高實驗精確度。,,魏澤輝講義,50,配對實驗設計 指首先將參加試驗的兩個個體按配對的要求兩兩配對，然后再將每一個對子內的兩個個體獨立隨機地接受兩個處理中的一種。 配對的要求：配成對子的兩個個體的初始條件應盡量一致，但不同對子之間的試驗個體的初始條件可以有差異，目的就是盡量減少這些差異對試驗指標的影響。 每一個對子就是實驗的一次重復。,,魏澤輝講義,51,（1）同源配對：同窩、同卵雙生的兩個個體或者有親緣關系的個體配成對子。其中一個個體接受接受這個處理，另一個個體接受另一個處理。 如同一窩的仔豬增重或者雙胞胎的子畜。植物的同一片葉子的兩半等。 （2）自身配對：同一個體的不同時間或不同部位的兩次觀察值作為配對。也可以看作是特殊的親緣配對。如：白鼠照射X射線前后的體重。 （3）條件配對：將具有相近條件的個體配成對子，如性別相同、年齡或體重相近的個體進行配對。,常用的配對方式,,魏澤輝講義,52,一方面，降低了試驗誤差。 另一方面，進行統(tǒng)計檢驗的時候，可以將對子內兩個個體的差異（d）作為一個新的樣本來分析。 由于兩樣本所屬總體的平均數(shù)的差等價于對子內個體間差數(shù)所構成的新總體的平均數(shù)。,,,魏澤輝講義,53,實驗結果表示為：,我們的目的是： 通過 推斷 ，即μ1與μ2是否相同。,μd=μ1-μ2,,魏澤輝講義,54,配對實驗的檢驗步驟： （1）無效假設H0 ：μd=μ1-μ2 =0 備擇假設HA ：μd≠0，即μ1-μ2 ≠0 μ1為第一個樣本所在總體的平均數(shù) μ2為第二個樣本所在總體的平均數(shù) μd為第一個樣本所在總體與第二個樣本所在總體配對變數(shù)的差數(shù)d=x1-x2，所構成的差數(shù)總體的平均數(shù)，且μd=μ1-μ2,,魏澤輝講義,55,（2）計算t值,1.d為第一、第二兩個樣本各對數(shù)據(jù)之差。 為第一、第二兩個樣本各對數(shù)據(jù)之差的平均數(shù)。 3.Sd為第一、第二兩個樣本各對數(shù)據(jù)之差的標準差。 4.n為配對的對子數(shù)，即實驗的重復數(shù)。,魏澤輝講義,56,例5.7 在研究日糧中維生素E與肝中維生素A含量的關系時，隨機選擇8窩試驗動物，每窩選擇性別相同，體重相近的兩個動物配成對子，沒對動物中隨機選擇一個接收正常飼料；另一個接受維生素E缺乏飼料。經過一段時間后測定試驗動物肝中的維生素A含量（IU/g），結果如下。試檢驗日糧中的不同維生素E含量對動物肝中維生素A含量是否有影響。,無效假設H0 ：μd=μ1-μ2 =0 備擇假設HA ：μd≠0，即μ1-μ2 ≠0,2.檢驗統(tǒng)計量,3.計算t值,5. df =n-1=8-1=7 查t值表得：t 0.01（7）=3.499 t =4.207 t 0.01=3.499，即P0.01， 則認為d屬于誤差的概率小于0.01，因此否定無效假設。認為日糧中維生素E對肝中的維生素A含量有極顯著的影響。,